BAGIAN 1 SINTAK DASAR MATLAB

Matematika Komputasi By Using MATLAB

BAGIAN 1 SINTAK DASAR MATLAB Pada bagian 1 ini, akan diuraikan tentang bagaimana mendefinisikan data, operasi data dan teknik mengakses data pada Matlab. Untuk lebih memahami, pembaca sebaiknya mecobanya langsung pada command window pada Matlab.

1.1 Pendefinisian Data Matlab 1.

Data setring a.

Menuliskan data setring

b.

Menggabungkan dua atau lebih data setring.

c.

Mengubah karakter menjadi bilangan ASCII

-----------------------------------------------------------------------------Doc/Ripai/MatKom/2009

1


2.

Data numerik tunggal Data numerik tunggal yang dapat didefinisikan pada Matlab adalah bilangan real dan kompleks. a. Bilangan real

c. Bagian real dari z

b. Bilangan kompleks

d. Bagian imajiner dari z

e. Panjang dari z

f.

Sudut yang dibentuk z terhadap sumbu x

-----------------------------------------------------------------------------Doc/Ripai/MatKom/2009

2


3.

Data matriks a. Data matriks dengan satu elemen

b.

Data matriks dengan satu baris

c.

Data matriks dengan satu kolom

d.

Data matriks dengan n baris dan m kolom

-----------------------------------------------------------------------------Doc/Ripai/MatKom/2009

3


e.

Kontruksi matriks 0 berukuran n baris dan m kolom

f.

Kontruksi matriks 1 dengan n baris dan m kolom

g.

Kontruksi matriks identitas dengan n baris dan n kolom

h.

Kontruksi data pada interval (a,b) dengan step 1.

-----------------------------------------------------------------------------Doc/Ripai/MatKom/2009

4


i.

Kontruksi data pada interval [a,b] dengan step c

1.2 Operasi Matematika 1.

Data setring Untuk data setring, tidak dapat dioperasikan.

2.

Data numerik tunggal Operasi matematika untuk data numerik tunggal pada Matlab,

sama

halnya

sebagaimana

mengoperasikan

kalkulator. a.

Bilangan real Misalkan dimiliki;

a). Penjumlahan

b). Pengurangan

-----------------------------------------------------------------------------Doc/Ripai/MatKom/2009

5


b.

c). Perkalian

d). Pembagian

e). Perpangkatan

f). Akar kuadrat

Bilangan kompleks Misalkan dimiliki bilangan kompleks;

a). Penjumlahan

c). Perkalian

b). Pengurangan

d). Pembagian

-----------------------------------------------------------------------------Doc/Ripai/MatKom/2009

6


e). Perpangkatan

3.

f). Akar kuadrat

Data matriks Operasi matematika pada data berbentuk matriks, terbagi menjadi dua, yakni operasi matriks dan operasi elemen matriks. a.

Operasi matriks Misalkan dimiliki dua buah matriks A dan B sebagai berikut:

-----------------------------------------------------------------------------Doc/Ripai/MatKom/2009

7


a). Penjumlahan

b). Pengurangan

c). Perkalian

d). Pembagian

b.

Operasi elemen matriks Operasi

elemen

matriks

untuk

penjumlahan

dan

pengurangan, sama dengan operasi penjumlahan dan pengurangan pada matriks. a). Perkalian elemen matriks

-----------------------------------------------------------------------------Doc/Ripai/MatKom/2009

8


b). Pembagian elemen matriks

c). Perpangkatan elemen matriks

Catatan : 1.

Tanda (;) pada Matlab, digunakan untuk tidak menampilkan hasil operasi. Contoh:

2.

Untuk menampilkan A, maka dapat dilakukan sebagai berikut:

-----------------------------------------------------------------------------Doc/Ripai/MatKom/2009

9


3.

Bentuk tampilan yang lain juga, dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut

4.

Jika ingin menampilkan dua buah karakter, yakni setring dan numerik, maka dilakukan dengan teknik berikut:

5.

Untuk data matriks, hanya data matriks dengan satu baris yang bisa ditampilkan seperti pada contoh 4 di atas,

Untuk melatih kemampuan anda, silahkan anda kontruksi data sembarang sebagaimana contoh yang telah diberikan pada bagian 1 ini. Kemudian anda berlatih untuk mengakses dan mengoperasikan data tersebut. Jika anda salah mengoperasikan, maka Matlab akan memberikan informasi.

------------------------------------------------------------------------------ 10 Doc/Ripai/MatKom/2009


BAGIAN 2 TEKNIK MANIPULASI DATA MATRIKS Setelah data terdefinisi dengan bahasa Matlab, maka berdasarkan data tersebut, akan dilakukan analisa berdasarkan suatu model matematika tertentu. Oleh karena itu, data-data tersebut tentu akan diakses untuk dialkukan suatu analisa. Kemampuan manipulasi data matriks, merupakan kemampuan dasar yang sangat diperlukan dalam mengkontruksi suatu program matematika berbasis Matlab.

2.1 Teknik Mengakses Data Matriks Misalkan dimiliki matriks sebagai berikut:

1.

Mengambil elemen pada baris ke 3 dan kolom ke 2 dari matriks A

------------------------------------------------------------------------------ 11 Doc/Ripai/MatKom/2009


2.

Mengambil elemen pada baris ke 2 dari matriks A

3.

Mengambil elemen pada kolom ke 3 dari matriks A

4.

Mengambil elemen dari baris ke-2 sampai baris ke-3 dan kolom ke-2 sampai kolom ke-4 dari matriks A

5.

Mengganti elemen matriks A pada baris ke-2 dan kolom ke-3 dengan nilai -100

------------------------------------------------------------------------------ 12 Doc/Ripai/MatKom/2009


6.

Mengganti elemen matriks A pada baris ke 3 dengan nilai -1 , 2, -3 dan -4

7.

Mengganti elemen matriks A pada kolom ke 2 dengan nilai -3 , -2, -1 dan 0

8.

Menghapus elemen matriks A pada kolom ke-3

------------------------------------------------------------------------------ 13 Doc/Ripai/MatKom/2009


9.

Menghapus elemen matriks A pada baris ke-4

10. Menggabungkan dua buah matriks Perhatikan matriks A di atas dan misalkan dimiliki matriks B sebagai berikut:

a.

Menempelkan matriks B pada matriks A berdasarkan baris

------------------------------------------------------------------------------ 14 Doc/Ripai/MatKom/2009


b.

Menempelkan matriks B pada matriks A berdasarkan kolom

2.2 Fungsi Matematika Matlab menyediakan beberapa fungsi matematika yang dapat langsung diakses. Misalkan dimiliki matriks

1.

Fungsi aljabar matriks a.

Invers Matriks

------------------------------------------------------------------------------ 15 Doc/Ripai/MatKom/2009


2.

b.

Determinan Matriks

c.

Transpose Matriks

Fungsi trigonometri Matlab menyediakan fungsi trigonometri sebagai berikut: Fungsi

Deskripsi

acos

Invers kosinus

acosh

Invers hiperbola kosinus

acot

Invers kotangen

acoth

Invers hiperbola kotangen

acsc

Invers kosekan

acsch

Invers hiperbola kosekan

asec

Invers sekan

asech

Invers hiperbola sekan

asin

Invers sinus

asinh

Invers hiperbola sinus

atan

Invers tangen

atanh

Invers hiperbola tangent

------------------------------------------------------------------------------ 16 Doc/Ripai/MatKom/2009


cos

Kosinus

cosh

Kosinus hiperbola

cot

Kotangen

coth

Kotangen hiperbola

csc

Kosekan

csch

Kosekan hiperbola

sec

Sekan

sech

Sekan hiperbola

sin

Sinus

sinh

Sinus hiperbola

tan

Tangen

tanh

Tangen hiperbola

Contoh pengaksesan sebagai berikut:

Penggunaan untuk fungsi-fungsi lainnya, ekivalen.

3.

Fungsi eksponensial a.

Bilangan Eksponensial

artinya: e1 = 2.7183 ------------------------------------------------------------------------------ 17 Doc/Ripai/MatKom/2009


b.

Logaritma natural

, artinya: ln 4 = 1.3864 c.

Logaritma berbasis tertentu

, artinya: 2log 4 = 2 d.

Akar pangkat

, artinya:

9 3

------------------------------------------------------------------------------ 18 Doc/Ripai/MatKom/2009


BAGIAN 3 TEKNIK VISUALISASI DATA

Pada tingkatan pemodelan matematika, teknik visualisasi data sangat penting untuk dapat mengetahui karakteristik suatu data. Matlab menyediakan teknik visualisasi data hingga tiga dimensi. Berikut diberikan contoh teknik visualisasi data menggunakan Matlab.

3.1 Visualisasi Data Dengan Grafik Fungsi a. Membuat grafik 2 dimensi

------------------------------------------------------------------------------ 19 Doc/Ripai/MatKom/2009


b.

Membuat title dari gafik

c. Menampilkan garis-garis dimensi pada grafik

------------------------------------------------------------------------------ 20 Doc/Ripai/MatKom/2009


d. Megubah symbol garis grafik

e. Mengganti warna grafik

------------------------------------------------------------------------------ 21 Doc/Ripai/MatKom/2009


Untuk warna yang lain, bahasa Matlab yang digunakan adalah sebagai berikut:

f.

r = red

b = blue

k = Black

g = Green

c = Cyan

w = white

m = magenta

y = yellow

Mengabungkan beberapa grafik fungsi dalam satu koordinat

------------------------------------------------------------------------------ 22 Doc/Ripai/MatKom/2009


g. Menampilkan grafik fungsi dalam beberapa koordinat a. Bentuk tersusun

------------------------------------------------------------------------------ 23 Doc/Ripai/MatKom/2009


b. Bentuk berbaris

------------------------------------------------------------------------------ 24 Doc/Ripai/MatKom/2009


Visualisasi data 2 dimensi b.

Menampilkan data dalam bentuk grafik batang

c.

Menampilkan data dalam bentuk grafik stem

------------------------------------------------------------------------------ 25 Doc/Ripai/MatKom/2009


d.

Menampilkan data dalam bentuk grafik tangga

3.3 Visualisasi data 3 dimensi a.

Menampilkan data dalam tiga dimensi

------------------------------------------------------------------------------ 26 Doc/Ripai/MatKom/2009


b.

Menampilkan data dalam bentuk permukaan tiga dimensi

------------------------------------------------------------------------------ 27 Doc/Ripai/MatKom/2009


c.

Menampilkan data dalam bentuk permukaan tiga dimensi dengan berwarna berdasarkan bobot grid

d.

Menampilkan data dalam bentuk permukaan tiga dimensi dengan berwarna berdasarkan teknik pencahayaan

------------------------------------------------------------------------------ 28 Doc/Ripai/MatKom/2009


e.

Menampilkan data tiga dimensi dalam bentuk permukaan dua dimensi

f.

Menampilkan data tiga dimensi dalam bentuk dua dimensi dengan pewarnaan yang lebih halus

------------------------------------------------------------------------------ 29 Doc/Ripai/MatKom/2009


g.

Menampilkan garis-garis pada visualisasi data dengan tiga dimensi

h.

Memberikan warna pada grafik counter

------------------------------------------------------------------------------ 30 Doc/Ripai/MatKom/2009


BAGIAN 4 TEKNIK INPUT DATA

4.1 Teknik Input Data Pada Command Window

4.2 Teknik Input Data Pada M File Langkah-langkah 1. Ketik “edit” pada command window

2. Pada lembar M file, tuliskan data

3. Untuk mengaktifkan data, maka tekan F5, kemudian simpan data 4. Data akan ditampilkan pada command window sebagai berikut:

------------------------------------------------------------------------------ 31 Doc/Ripai/MatKom/2009


4.3 Teknik Input Data Pada Excel Langkah langkah sebagai berikut 1. Tuliskan data pada excel, misal:

2. Kemudian sheet1 rename dengan A

3. Kemudian simpan file tersebut dengan nama “data” pada drive tempet kerja anda 4. Selanjutnya pada command window panggil data file tersebut dengan perintah sebagai berikut

------------------------------------------------------------------------------ 32 Doc/Ripai/MatKom/2009


4.4 Teknik Input Data Pada Notepad Langkah-langkah: 1.

Tuliskan data pada notepad, contoh:

2.

Kemudian simpan file tersebut dengan nama “data” pada tempat kerja anda.

3.

Untuk memanggil data tersebut pada Matlab, diperlukan bahasa matlab. Cobalah tuliskan skrip program untuk memanggil data di atas pada M file sebagai berikut:

------------------------------------------------------------------------------ 33 Doc/Ripai/MatKom/2009


4.

Selanjutnya anda jalankan program tersebut, maka pada command window akan ditampilkan sebagai berikut:

5.

Selanjutnya, silahkan anda tuliskan tempat dan nama file, sebagai berikut:

------------------------------------------------------------------------------ 34 Doc/Ripai/MatKom/2009


BAGIAN 5 TEKNIK DASAR KOMPUTASI MATEMATIKA Pada bagian ini, akan dibahas bahasa Matlab yang digunakan sebagai dasar untuk mengkontruksi pemograman matematika komputasi.

5.1 Kondisional Nilai Relative Bahasa Matlab yang digunakan adalah If … Perintah- perintah elseif … Perintah-perintah else … Peintah-perintah and Contoh: Pada M file, tuliskan skrip program ini..!

------------------------------------------------------------------------------ 35 Doc/Ripai/MatKom/2009


Hasil running pada command window sebagai berikut:

Matlab memiliki bahasa logika yang dapat digunakan untuk kondisi lainnya. Operator == ~= <=

>=

Deskripsi Sama Dengan Tidak sama Kurang dari atau sama dengan Lebih besar dari atau sama dengan

Operator <

Deskripsi Kurang dari

> &

Lebih besar dari dan

|

atau

------------------------------------------------------------------------------ 36 Doc/Ripai/MatKom/2009


5.2 Iterasi Terbatas Bahasa matlab yang digunakan adalah for i = a:b Perintah perintah end Contoh: Pada M file, tuliskan scrip program ini..!


------------------------------------------------------------------------------ 37 Doc/Ripai/MatKom/2009


5.3 Iterasi Terkondisi Bahasa Matlab yang digunakan adalah While ….. Perintah-perintah end Contoh Pada M file, tuliskan skrip program ini..!

------------------------------------------------------------------------------ 38 Doc/Ripai/MatKom/2009



------------------------------------------------------------------------------ 39 Doc/Ripai/MatKom/2009


5.4 Kondisional Nilai Absoulut Bahasa Matlab yang digunakan adalah: Switch ….. Perintah-perintah case Perintah-perintah End Contoh: Pada M file, tuliskan scrip program ini. ------------------------------------------------------------------------------ 40 Doc/Ripai/MatKom/2009


------------------------------------------------------------------------------ 41 Doc/Ripai/MatKom/2009


Hasil running pada command windows sebagai berikut:

Misalkan dipilih case ke-2

------------------------------------------------------------------------------ 42 Doc/Ripai/MatKom/2009


BAGIAN 6 KOMPUTASI MATEMATIKA

6.1 Penyelesaian SPL Simultan Menyelesaikan SPL dengan dua variabel atau tiga variabel, bukanlah perkara yang sulit. Tetapi akan menjadi sangat sulit jika hendak menyelesaikan SPL dengan 100 variabel atau bahkan lebih. Komputasi matematika, merupakan satu-satunya cara untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. Secara numerik, terdapat banyak metode yang dapat digunakan, salah satu diantaranya adalah eliminasi gauss. Berikut disajikan skrip program menggunakan Matlab untuk menyelesaikan SPL simultan dengan menggunakan metode eliminasi gauss.

------------------------------------------------------------------------------ 43 Doc/Ripai/MatKom/2009



------------------------------------------------------------------------------ 44 Doc/Ripai/MatKom/2009


------------------------------------------------------------------------------ 45 Doc/Ripai/MatKom/2009


------------------------------------------------------------------------------ 46 Doc/Ripai/MatKom/2009


------------------------------------------------------------------------------ 47 Doc/Ripai/MatKom/2009


------------------------------------------------------------------------------ 48 Doc/Ripai/MatKom/2009


------------------------------------------------------------------------------ 49 Doc/Ripai/MatKom/2009


------------------------------------------------------------------------------ 50 Doc/Ripai/MatKom/2009


------------------------------------------------------------------------------ 51 Doc/Ripai/MatKom/2009


Dengan

tujuan

meningkatkan

kemampuan

anda

dalam

komputasi matematika; maka silahkan anda kontruksi dalam bahasa Matlab penyelesaian SPL dengan 1.

Metode Invers

2.

Metode Jacobian

3.

Metode Cramer

4.

Metode Dekomposisi

5.

Metode Gauss Jordan

6.

Metode Gauss Seidel

6.2 Penyelesaian persamaan non linier Mendapatkan

x  f ( x)  0 untuk

f ( x)  x 2  5 x  6

bukan sesuatu yang sulit. Akan tetapi, untuk mendapatkan

x  f ( x)  0 untuk f ( x)  1  xe  x bukan perkara yang mudah. Matematika komputasi memberikan kemudahan untuk mendapatkan penyelesaian permasalahan tersebut. Berikut diberikan contoh skrip program menggunakan Matlab dari metode biseksi.

------------------------------------------------------------------------------ 52 Doc/Ripai/MatKom/2009



------------------------------------------------------------------------------ 53 Doc/Ripai/MatKom/2009


------------------------------------------------------------------------------ 54 Doc/Ripai/MatKom/2009


Grafik fungsi f ( x )  1  xe

x

Dengan tujuan meningkatkan kemampuan komputasi matematika, silahkan kontruksi metode berikut dalam bahasa matlab: 1.

MetodeRegula Falsi

2.

Metode Iterasi Sederhana

3.

MetodeNewton Raphson

4.

MetodeSecant

5.

Penentuan nilai maksimal dan minimal

6.

Penentuan nilai eigen pada matriks

------------------------------------------------------------------------------ 55 Doc/Ripai/MatKom/2009


6.3 Integrasi a. Inegrasi berdasarkan fungsi Menyelesaikan L  tetapi

jika

1

 ( x  sin x)dx , sangatlah mudah, akan 0

menyelesaikan

secara

analisis

integral

sin x dx bukanlah pekerjaan yang mudah. Matematika 0 x 1

L

komputasi memberikan solusi untuk permasalahn tersebut. Berikut skrip program Matlab untuk integrasi numerik dengan metode deret Reimant.

------------------------------------------------------------------------------ 56 Doc/Ripai/MatKom/2009



------------------------------------------------------------------------------ 57 Doc/Ripai/MatKom/2009


b. Integrasi berdasarkan gambar Misalkan akan dicari luas daerah sebagaimana pada gambar di bawah ini.

Untuk mendapatkan luasnya, dibuat grid sebagaimana pada gambar dengan interval 1. Tinggi grid tiap titik diberikan sebagai berikut:

Skrip program Matlab yang dapat digunakan adalah sebagai berikut:

------------------------------------------------------------------------------ 58 Doc/Ripai/MatKom/2009



------------------------------------------------------------------------------ 59 Doc/Ripai/MatKom/2009


Dengan tujuan mengasah kemampuan komputasi matematika, maka silahkan kontruksi dalam bahasa Matlab dari integrasi dengan metode: 1. Metode gauss 2. Metode kuadratur gauss dengan 2 titik 3. Metode kuadratur gauss dengan 3 titik 4. Metode trapezoida 5. Metode simpson

6.4 Statistik Matematika Misalkan dimiliki 3 buah koin, maka untuk mendapatkan distribusi probabilitas munculnya gambar, tidaklah sulit. Akan tetapi akan berbeda jika dimiliki 100 koin yang dilambungkan bersamaan,

maka

untuk

mencari

distribusi

probabilitas

munculnya gambar akan menjadi sulit. Berikut diberikaan penyelesaian masalah tersebut dengan menggunakan Matlab

------------------------------------------------------------------------------ 60 Doc/Ripai/MatKom/2009


------------------------------------------------------------------------------ 61 Doc/Ripai/MatKom/2009


Hasil running pada command window diperoleh

------------------------------------------------------------------------------ 62 Doc/Ripai/MatKom/2009


------------------------------------------------------------------------------ 63 Doc/Ripai/MatKom/2009


Dengan

tujuan

meningkatkan

kemampuan

programming

matematika komputasi, silahkan kontruksi dengan bahasa Matlab untuk menentukan. 1.

Distribusi probabilitas untuk kasus sejumlah n dadu dilambungkan bersamaan.

------------------------------------------------------------------------------ 64 Doc/Ripai/MatKom/2009


2.

Bangkitkan kumpulan data, jika dari data tersebut diketahui: a.

Terdistribusi normal

b.

Memiliki mean dan simpangan baku

c.

Data minimum dan maksimum

d.

Banyaknya data

6.5 Interpolasi Misalkan anda miliki fungsi

f(x) = sin x. Tentu akan sangat

mudah untuk mendapatkan nilai dari f(0.8). Akan tetapi akan menjadi sulit jika fungsi tidak diketahui, kemudian anda harus menentukan nilai suatu fungsi tertentu. Sebagai contoh, Misalkan dimiliki data sebagai berikut:

Berdasarkan data tersebut, tentukan f(0.8)..! Interpolasi dengan metode Newton Gregory maju merupakan salah satu metode secara numerik yang dapat digunakan. Dalam kasus yang lebih kompleks perhitungan secara manual pada metode tersebut menjadi sangat sulit. Komputasi matematika menjadi sangat diperlukan untuk memecahkan permasalahn ------------------------------------------------------------------------------ 65 Doc/Ripai/MatKom/2009


tersebut. Berikut diberikan contoh program komputasi dengan metode Newton Gregory maju.

------------------------------------------------------------------------------ 66 Doc/Ripai/MatKom/2009


Hasil setelah diruning pada command window adalah:

------------------------------------------------------------------------------ 67 Doc/Ripai/MatKom/2009


Dengan tujuan meningkatkan kemampuan komputasi, silahkan kontruksi program matlab untu: 1.

Interpolasi linier

2.

Interpolasi kuadrat

3.

Interpolasi polinomial

4.

Interpolasi Newton gregori mundur

REFERENSI Gunaidi, A. 2006. “Matlab Programing” . Informatika. Bandung

Erick, P. Yessica, N. 2007. “Gui Matlab” . Andi Yogyakarta. Yogyakarta

Subakti, I. 2003. “Metode, Numerik” Institut Teknologi Sepuluh November. Surabaya

------------------------------------------------------------------------------ 68 Doc/Ripai/MatKom/2009

BAGIAN 1 SINTAK DASAR MATLAB

Recommend Documents