BAB. VI. FUNGSI A. FUNGSI I. Pengertian Fungsi Fungsi (pemetaan) yaitu relasi khusus, dimana setiap anggota daerah asal mempunyai pasangan tepat satu dengan anggota daerah kawan A B
°
°
Keterangan: A=Daerah asal (Domain=Df) B=Daerah kawan (kodomain=Kf) Rf=Daerahhasil/bayangan/peta/wilayah (Range=Rf),Rf B Suatu fungsi dapat ditunjukkan dengan: (1) Rumus fungsi (2) Diagram panah (3) Himpunan pasangan berurutan Banyak fungsi yang mungkin dari A ke B ada ba Contoh 1 Apa yang disajikan dibawah ini, merupakan fungsi atau bukan. Jika bukan beri alasannya a. b. 1 2 3
1 2 3
4 5 6
4 5 6
. c. {(1,4)(1,5)(2,6)} d. {(1,4)(2,4)(3,5)} e.
y
f.
y
x
x g. h(x)=x2-9 x h. g(x)= x2 Jawab :
Contoh 2 1 2 3 4 4
5 6 7 8
Dari diagram panah diatas tentukan: a. Domain b.Kodomain c. Range d.Himpunan pasangan berurutan jawab:
II. Sifat Sifat Fungsi 1. Fungsi injektif (satu-satu) Jika tidak ada anggota domain yang mempunyai pasangan yang sama dengan anggota kodomain (syarat:n(A)≤n(B)) A B 1 2 3
4 5 6 7
Banyaknya fungsi injektif dari A ke B=bPa 2. Fungsi Surjektif (onto) Jika daerah hasil sama dengan anggota kodomain (syarat:n(A)≥n(B)) 1 2 3
4 5
3. Fungsi into (ke dalam) Jika daerah hasil tidak sama dengan anggota kodomain A B 1 2 3
4 5 6
4. Fungsi bijektif (korespondensi satu satu) Jika bersifat fungsi injektif dan fungsi surjektif (syarat:n(A)=n(B)=n A B 1 2 3
4 5 6
III. Macam macam fungsi 1. Fungsi konstan o Daerah hasilnya hanya satu anggota o Grafiknya : garis sejajar sumbu x o Rumus : f(x) = c 2. Fungsi identitas o Memasangkan setiap anggota daerah asal dengan dirinya sendiri o Grafiknya:garis yang melalui titik asal D(0,0) dan membentuk sudut 450 dengan sumbu x o Rumus : f(x)=x 3.
Fungsi linier o Grafiknya:garis yang tidak sejajar dengan sumbu y o Rumus:f(x)=ax+b
4.
Fungsi kuadrat o Grafiknya : parabola yang membuka ke atas atau ke bawah o Rumus : f(x)=ax2+bx+c,a≠0
5.
Fungsi Modulus (Nilai Mutlak) o Definisi nilai mutlak 0 x {xuntukx xuntukx0
Nilainya selalu ≥ 0 o Grafik y = f (x) selalu di atas sumbu x
Banyaknya fungsi Bijektif dari A ke B= n! Contoh 3: Diketahui A={1,2,3} dan B={4,5} a. ada berapa fungsi yang mungkin dari A ke B b. Tulislah himpunan pasangan berurutan fungsi onto dari A ke B c. Tulislah himpunan pasangan berurutan fungsi into dari A ke B Jawab:
Contoh 4: Lukis grafik fungsi: a. y = x 2 b. y = x 2 2 x 3 jawab:
6. fungsi genap dan fungsi ganjil o fungsi genap : f(-x)=f(x) o fungsi ganjil : f(-x)=-f(x) Contoh 5: diantara fungsi-fungsi berikut , manakah yang merupakan fungsi genap, ganjil atau bukan keduanya. a. f(x)=x2-5 b. f(x)=2x+4 3 x 2x c.f(x)= 2 d. f(x)=cos x x 1 jawab:
IV. Domain Fungsi 1. Fungsi linier,kuadrat,polinom Domain : semua bilangan nyata/real y=f(x)D={ x x R} 2. Fungsi Rasional / Pecahan Domain: penyebutnya tidak boleh nol (≠0) f ( x) y= D={ x x R, g(x) ≠0) g ( x) 3. Fungsi Irasional (bentuk akar) Domain:didalam akar tidak boleh negatif (≥0 ) y= f (x) D={ x f(x)≥0} 4. Fungsi logaritma Domain : di dalam logaritma harus positif (>0) y=log f(x) D={ x f(x)>0} Contoh 6: Supaya fungsi berikut ini terdefinisi, tentukan domainnya. 2x a. f(x)= b. f(x)= x 2 1 x3 1 x c. f(x)= d. f(x)=log(2x-4) x2 jawab:
B. ALJABAR FUNGSI Jika f dan g suatu fungsi, maka: 1. (f+g) (x) = f(x)+g(x) 2. (f-g) (x) = f(x)-f(g) 3. (f.g) (x) = f(x).g(x) f ( x) f 4. ( ) (x) = : g(x)≠0 g ( x) g domain dari aljabar fungsi f dan g adalah : D=Df Dg Contoh 7: Diketahui f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} g={(2,1),(3,2),(4,5),(5,4)} Tentukan: a. f+g b. f-g f c. f.g d. nilai ( )(3) g Jawab:
Contoh 8: Diketahui : f(x)=2x-1 dan g(x)=x+2 tentukan: a. (f+g)(x) b.(f-g)(x) f c. (f.g)(x) d. nilai ( )(3) g Jawab:
TUGAS INDIVIDU 6 1. Selidiki dengan memakai f(-x), apakah fungsi berikut ini fungsi genap atau fungsi ganjil. a. f(x)= x b. f(x)=5-x2 2x3 x2 1 2 2. Fungsi f(x)=x -4x+2 jika daerah asal { x 0 x 5 }, tentukan daerah hasil fungsi tersebut.
c. f(x)=x3-2x
d. f(x)=
3. Tentukan domain dari fungsi : x 1 a..f(x)= x2
x2 x b. f(x)= 1 x
4. Diketahui : x2-3, untuk x<0 f(x)= x+2, untuk x=0 2x+5, untuk x>0 Tentukan nilai : a. f(2) b. f(-1)+f(0)+f(1) 5. Diketahui f(x)=2x+1 dan g(x)=x2 -1. Tentukan : a. nilai (f.g)(2) b. rumus (f+g)(x) 6. Diketahui f(x)=3-x tentukan : a. nilai f(x2)+[f(x)]2+f(x) untuk x=2 b. rumus f(x2)+[f(x)]2-2f(x) 7. Diketahui f(x)=2x-1, tentukan fungsi g(x)=f(x+1)+f(x-1)
rumus
8. Diketahui: f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)} g={(1,3),(2,4),(3,1),(4,2)} tentukan himpunan pasangan berurutan dari : a. (f+g) b. (f.g) -o shela-math o-
B. FUNGSI KOMPOSISI 1. Komposisi fungsi g dan f ditulis g o f g o f yaitu fungsi f dilanjutkan ke fungsi g f x
g f(x)
g(f(x))
II. Menentukan fungsi f atau g jika diketahui gof Contoh 11 Tentukan rumus fungsi f(x) jika diketahui: a. g(x)=2x+1 dan (g o f)(x)=4x2-2x+5 b.g(x)=x+1 dan (f o g)(x)=4x+3 jawab:
(gof)(x)=g(f(x)) f:AB dan g:BC maka g o f : AC (g o f)(x)=g(f(x))merupakan fungsi jika f fungsi surjektif Contoh 9 Diketahui : f={(1,2).(2,3),(3,4),(4,1)} g={(1,3),(2,4),(3,2),(4,1)} Tentukan : a. g o f b fog c. f o f d. g o g (3) Jawab:
Contoh 12 Diketahui (gof)(x)=2x2-3x+2 dan f(x)=2x-1, tentukan nilai g(3). Jawab:
C. FUNGSI INVERS I. Invers fungsi f= f-1 Jika gof=fog=I, dimana I fungsi identitas maka g merupakan fungsi invers dari f , sehingga g=f -1 atau sebaliknya f=g -1 f x
y f-1
Contoh 10 Diketahui : f(x)=x2-4 g(x)=2x+1 Tentukan: a. (g o f)(x) c. (f o f)(1) Jawab:
b. (f o g)(x) d. (g o g)(x)
f : xy maka f(x)=y f -1:yx maka f -1(y)=x f -1 merupakan fungsi (fungsi invers) jika f fungsi bijektif Contoh 13 Diketahui f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)} g={(1,3),(2,4),(3,2),(4,1)} Tentukan: a. f-1 b. g -1 -1 c. (g o f) d. f-1o g -1 Jawab:
II. Menentukan Rumus Fungsi Invers. Perhatikan operasi aljabar dan operasi inversnya (1). a+b=ca=c-b atau b=c-a c c (2). ab=ca= atau b= b a n 1/n n (3). a =ba=b = b (4). an=bn=a log b Contoh 14 Tentukan invers dari fungsi: a. f(x)=2x-1 c. f(x)= x 2 e. f(x)=2x+1 Jawab:
3x 2 4x 1 2 d. f(x)=x -4x+3 f. f(x)=log(5x+1) b. f(x)=
E. SIFAT - SIFAT FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS (1). g ◦ f ≠ f ◦ g (2). f ◦ I = I ◦ f = f (3). f ◦f -1=f-1◦f =I (4). (f-1)-1 =f (5). (g◦f)-1=f-1◦ g-1 (6). ( h◦g◦f )-1=f-1◦g-1◦h-1 (7). Jika f(a) = maka f-1(b) =a (8). Jika g◦f =h maka g =h◦f -1 dan f=g-1◦h Contoh 15 Diketahui f(x)=2x+1 dan g(x)=x2-1, tentukan nilai a jika (g o f)-1(a)=1. Jawab:
Contoh 16 Diketahui (gof)(x)=x2-2x+3 tentukan g(x) Jawab:
dan
Contoh 17 Diketahui f-1=3x-1 dan g tentukan: a. (g o f)-1(x) Jawab:
-1
(x)=
f(x)=x-1,
2x 1 , x≠1, x 1
b.(f o g)-1(x)
TUGAS KELOMPOK 6 1. Diketahui: f={(1,5),(2,7),(3,7),(4,5)} g={(5,1),(6,1),(7,3),(8,3)} Tentukan : a. g o f b. fog 2. Diketahui f(x)=3x+1 dan g(x)=2x+5, jika : a. (fog)(p)=(gof)(p), tentukan nilai p b. (fog)(a)=(fof)(a), tentukan nilai a . 3. Diketahui f(x)=x2-x+2 dan g(x)=2x-1, tentukan rumus : a. (fog)(x) b. (gof)(x) 4. a. Diketahui g(x)=x2+x+2 dan (fog)(x)= 2x2+2x+5 maka f(x)=….. b. Jika (g o f)(x)=4x2+4x dan g(x)=x2-1 maka f(x-2)=…. 5. a. Diketahui f(x-2)+f(4-x)=x2+3, tentukan nilai f(1) b. Diketahui 2f(x-1)+f(4-x)=3x+3, tentu kan nilai f(1) dan f(2). 6. Tentukan invers fungsi dari : x a. f(x)= b. f(x)=1+ x 2 4 2x 6 7. Jika f(x)= x dan g(x)=
x maka nilai (gof)-1(2)= … . x 1
8. Diketahui f(x)=2x-1, h(x)=3x+1 dan (fogoh)(x)= 6x+3 nilai g(1)=…. -o shela-math o-
UJI KOMPETENSI 6 1. Diketahui f(x)=(x+2)2 dan g(x)=2x-1, tentukan : a. (f-g)(x) b. Nilai f(1)+g(2) 2. Diketahui: gof ={(1,3),(2,4),(3,3),(4,1)} g={(1,1),(2,3),(3,4),(4,2)} Tentukan : a. f b. fog 3. Diketahui: x2
untuk x<5
f(x)= x-10 untuk x≥5 Tentukan nilai dari : a. ( f o f o f )(3) b. (fof)(2)-f(8) 4. Diketahui f(x)= x 1 dan (fog)(x) =2 x 1 , tentukan rumus g(x) . 5. Tentukan fungsi invers dari : 3 2x a. f(x)=2- x 1 b. f(x)= x 1 6. Diketahui f-1(x)=2x-1 dan g-1(x)=
2x 1 ,tentukan rumus (g o f)-1 (x) x 1
7.
Diketahui f(x)=2x+3 dan (g o f)-1(x) =x2+4x-1, tentukan rumus g -1(x)
8.
Diketahui f(x)=4x-3 , g(x)=x+2 dan (fogoh)(x)=8x-5, tentukan h(x) . -o shela-math o-
