BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS
5.1 Diagonalisasi Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nxn ke dalam hasil kali berbentuk PDP −1 , di mana D adalah matriks diagonal. Jika diperoleh hubungan
P −1 AP = D maka dikatakan bahwa matriks A dapat didiagonalisasi. Bagaimana memperoleh matriks P dan D yang dimaksud akan dibahas lebih lanjut dalam bagian ini. TIK : Setelah mengikuti sub bab ini diharapkan mahasiswa dapat menentukan suatu matriks yang dapat didiagonalisasi. Definisi : Suatu matriks A berorde nxn disebut dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks P non singular dan matriks diagonal D sedemikian sehingga
PDP −1 = D Matriks P dikatakan mendiagonalisir matriks A. Teorema : Suatu matriks A berorde nxn, dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika A mempunyai n vektor eigen yang bebas linear. Bukti : Misalkan matriks A mempunyai n vektor eigen bebas linear p1 , p 2 K , p n dan λi adalah nilai eigen dari A yang bersesuaian dengan pi untuk setiap i (beberapa dari λi boleh sama). Misalkan P adalah matriks di mana vektor kolom ke-j adalah p j untuk
j = 1,2,K.n , terlihat bahwa Ap j = λ j p j adalah vektor kolom ke-j dari AP, maka
AP = ( Ap1 , Ap 2 ,K, Ap n ) = (λ1 p1 , λ2 p 2 ,K , λn p n ) ⎛ λ1 ⎞ ⎜ ⎟ λ2 ⎜ ⎟ = ( p1 , p 2 , K , p n )⎜ ⎟ O ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ λ n⎠ ⎝
= PD Karena P mempunyai n vektor kolom yang bebas linear, maka P adalah taksingular, karena itu : D = P −1 PD = P −1 AP Sebaliknya, misalkan A dapat didiagonalisasi. Selanjutnya terdapat suatu matriks taksingular P sehingga AP = PD , jika p1 , p 2 K, p n adalah vektor kolom dari P, maka : Ap j = λ j p j
, (λ j = d jj ) untuk setiap j.
Jadi untuk setiap j, λ j adalah nilai eigen dari A dan p j adalah vektor eigen yang dimiliki
λ j . Karena vektor kolom P bebas linear, maka A mempunyai n vektor eigen yang bebas linear. Dari bukti di atas, maka kita mendapatkan prosedur untuk mendiagonalisasi sebuah matriks A berorde nxn, sebagai berikut : Langkah 1 : Carilah n vektor eigen yang bebas linear dari A, p1 , p 2 K, p n . Langkah 2 : Bentuklah matriks P yang mempunyai p1 , p 2 K, p n sebagai vektor
kolomnya
Langkah 3 : Maka matriks P −1 AP akan didiagonal dengan λ1 , λ2 ,K λ n sebagai entri-
entri diagonalnya yang berturutan, di mana λi adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan pi , i = 1,2, K, n. Contoh :
Carilah sebuah matriks P yang mendiagonalkan matriks ⎡ 3 − 2 0⎤ A = ⎢⎢− 2 3 0⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 5⎥⎦
Penyelesaian :
Matriks A ini mempunyai nilai-nilai eigen, λ = 1 dan λ = 5 . Untuk λ = 1 diperoleh vektor-vektor karakteristik ⎡− 1⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ p1 = ⎢ 1 ⎥ dan p 2 = ⎢⎢0⎥⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
Untuk λ = 5 diperoleh vektor karakteristik ⎡1⎤ p3 = ⎢⎢1⎥⎥ ⎢⎣0⎥⎦
Mudah untuk memeriksa bahwa {p1 , p 2 , p3 } bebas linear, sehingga dapat dibentuk matriks ⎡− 1 0 1⎤ P = ⎢⎢ 1 0 1⎥⎥ yang mendiagonalkan matriks A. ⎢⎣ 0 1 0⎥⎦
Hal ini dapat ditunjukkan dengan membuktikan bahwa P −1 AP = D , yaitu :
⎡− 1 ⎢ 2 P −1 AP = ⎢ 0 ⎢ 1 ⎣ 2
0 ⎤ ⎡ 3 − 2 0 ⎤ ⎡ − 1 0 1 ⎤ ⎡5 0 0 ⎤ ⎥ 0 1⎥ ⎢⎢− 2 3 0⎥⎥ ⎢⎢ 1 0 1⎥⎥ = ⎢⎢0 5 0⎥⎥ 1 0⎥ ⎢ 0 0 5⎥⎦ ⎢⎣ 0 1 0⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ 2 ⎦⎣ 1 2
Terlihat bahwa entri-entri pada diagonal pokok adalah nilai-nilai eigen dari matriks A. Jadi dapat dikatakan bahwa matriks P mendiagonalkan matriks A Catatan :
Tidak ada persyaratan yang khusus untuk meletakkan orde kolom-kolom dari matriks P Karena entri diagonal ke i dari P −1 AP adalah nilai eigen untuk vektor eigen kolom ke i dari P, maka dengan mengubah orde kolom-kolom dari P hanyalah mengubah orde dari nilai-nilai eigen pada diagonal dari P −1 AP . Jadi seandainya kita menuliskan : ⎡ − 1 1 0⎤ P = ⎢⎢ 1 1 0⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦
.
Maka diperoleh :
P
−1
⎡5 0 0 ⎤ AP = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 5⎥⎦
5.2. Dekomposisi Matriks.
Sub pokok bahasan ini membahas tentang matriks [A] dari SPL didekomposisi (difaktorisasi) menjadi matriks-matriks segitiga bawah [L] dan segitiga atas [U] sedemikian rupa sehingga persamaannya menjadi : [A] = [L][U] atau A = L U. Bagaimana mendapatkan matriks L dan U yang dimaksud akan dibahas lebih lanjut. TIK : Setelah mengikuti sub bab ini diharapkan mahasiswa dapat mencari penyelesaian
SPL dengan cara dekomposisi LU. 5.2.1. Prinsip Dekomposisi LU.
Secara umum, jika suatu matriks A berorde nxn dapat direduksi menjadi matriks segi tiga atas U tanpa pertukaran baris, berarti A dapat dikomposisi (difaktorisasi) ke dalamhasil kali LU, dimana L adalah matriks segi tiga bawah dengan elemen-elemen pada diagonal utama 1. Entri (i , j) dari L di bawah diagonal akan merupakan kelipatan dari baris i yang telah dikurangkan dari baris j selama proses eliminasi, sedemikian sehingga identitasnya menjadi : [A] = [L][U] atau A = L U Contoh : 2 − 2⎤ ⎡4 ⎢ Misalakan matriks A = ⎢ 2 10 2 ⎥⎥ ⎢⎣− 2 2 5 ⎥⎦
Matriks L ditentukan sebagai berikut :
Langkah pertama dalam proses eliminasi adalah baris kedua dikurangi dengan 1 kali 2
baris pertama dan baris ketiga dikurangi dengan − 1 kali baris pertama, sehingga kita 2
tetapkan l 21 = 1 dan l31 = − 1 . Selanjutnya menghasilkan matriks : 2 2
A
(1)
⎡ 4 2 − 2⎤ = ⎢⎢0 9 3 ⎥⎥ ⎢⎣0 3 4 ⎥⎦
Langkah kedua proses eliminasi adalah baris ketiga dikurangi dengan 1 kali baris kedua, 3
sehingga kita tetapkan l32 = 1 . Sesudah langkah kedua ini diperoleh matriks segi tiga 3 atas,
U=A
( 2)
⎡ 4 2 − 2⎤ = ⎢⎢0 9 3 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 3 ⎥⎦
Matriks L dapat ditulis sebagai : ⎡ 1 ⎢ L=⎢ 1 ⎢ 21 ⎢⎣− 2
0 0⎤⎥ 1 0⎥ ⎥ 1 1 ⎥⎦ 3
Dapat kita uji bahwa hasil kali LU = A Jika ditinjau dari sudut pandang matriks elementer, terlihat bahwa operasi baris baris diterapkan sebanjyak tiga kali. Hal ini setara dengan perkalian matriks A di sebelah kiri dengan tiga buah matriks elementer E1 , E 2 , E3 yaitu E3 E 2 E1 A = U
⎡1 0 0 ⎤ ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ 1 ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ 1 ⎢0 1 0 ⎥ ⎢ 0 1 0 ⎥ ⎢ − 2 ⎢0 1 1 ⎥ ⎢ 1 0 1 ⎥ ⎢ 0 3 ⎦⎣ ⎣ ⎦⎣ 2
0 0⎤ ⎡ 4 2 − 2⎤ ⎡ 4 2 − 2⎤ ⎥ ⎢ 1 0⎥ ⎢ 2 10 2 ⎥⎥ = ⎢⎢0 9 3 ⎥⎥ 0 1⎥⎦ ⎢⎣− 2 2 5 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 3 ⎥⎦
Karena matriks-matriks elementernya tak singular, maka A = ( E1−1 E 2−1 E3−1 )U dimana
invers dari matriks-matriks elementer dengan urutan ini menghasilkan suatu matriks segi tiga bawah L dengan elemen pada diagonal utama adalah satu. ⎡ 1 0 0⎤ ⎡ 1 ⎢ E1−1 E 2−1 E3−1 = ⎢⎢ 1 1 0⎥⎥ ⎢ 0 2 ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢− 1 ⎣ 2
0 0⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎡⎢ 1 ⎥ ⎥⎢ 1 0 ⎥ ⎢0 1 0 ⎥ = ⎢ 1 ⎢ 2 0 1 ⎥ ⎢0 1 1 ⎥ ⎢ − 1 3 ⎦⎣ ⎦ ⎣ 2
0 0⎤⎥ 1 0⎥ = L ⎥ 1 1 ⎥⎦ 3
5.2.2. Penyelesaian SPL dengan Dekomposisi LU
Diberikan sistem persamaan linear Ax = b dengan Anxn adalah matriks invertible. Untuk menyelesaikan SPL ini, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut : Langkah 1 : Lakukan faktorisasi A = LU dimana L adalah matriks segi tiga bawah
dengan elemen diagonal utama satu dan U adalah matriks segi tiga atas. Langkah 2 : Ambil vektor kolom y yang belum diketahui sedemikian sehingga y = Ux . Langkah 3 : Substitusikan A = LU dan y = Ux ke dalam sistem persamaan linear Ax = b , diperoleh ( LU ) x = L(Ux) = Ly = b .
Langkah 4 : Menyelesaikan Ly = b , maka akan diperoleh nilai dari vektor kolom y.
Selanjutnya dengan menyelesaika y = Ux , maka akan diperoleh nilai-nilai dari x.
Contoh :
Selesaikan SPL berikut dengan cara dekomposisi matriks. 4x + 2 y − 2z = 2 2 x + 10 y + 2 z = 4 − 2 x + 2 y + 5z = 1 Penyelesaian :
SPL di atas mempunyai matriks koeffisien 2 − 2⎤ ⎡4 ⎢ A = ⎢ 2 10 2 ⎥⎥ ⎢⎣− 2 2 5 ⎥⎦
Kemudian matriks A difaktorisasi menjadi L dan U, menghasilkan : ⎡ 1 ⎢ L=⎢ 1 ⎢ 21 ⎢⎣− 2
0 0⎤⎥ ⎡ 4 2 − 2⎤ 1 0⎥ dan U = ⎢⎢0 9 3 ⎥⎥ ⎥ 1 1 ⎢⎣0 0 3 ⎥⎦ ⎥⎦ 3
⎡ y1 ⎤ Jika diambil y = ⎢⎢ y 2 ⎥⎥ , maka ⎢⎣ y3 ⎥⎦
Ly = b atau ⎡ 1 ⎢ ⎢ 1 ⎢ 21 ⎢⎣− 2
0 0⎤⎥ 1 0⎥ ⎥ 1 1 ⎥⎦ 3
⎡ y1 ⎤ ⎡ 2⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢0⎥ , diperoleh ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ y3 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦
y1 = 2 1 y + y =4⇒ y =3 2 2 2 1 − 1 y1+ 1 y 2 + y 3 = 1 ⇒ y 3 2 3
=1
⎡ 2⎤ Jadi y = ⎢⎢3⎥⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦
Sehingga,
Ux = y ⎡4 2 − 2⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2⎤ ⎢0 9 3 ⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢3⎥ , diperoleh : ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 3 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦
4 x1 + 2 x 2 − 2 x3 = 2 9 x 2 + 3 x3 = 3 3 x3 = 1
⇒ x1 = 5 ⇒ x2 = ⇒ x3 =
9 2 9 1 3
(9
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah tunggal, yaitu : (x1 , x 2 , x3 ) = 5 , 2 , 1
9 3
)
