24
Bab IV Simulasi Metode Monte Carlo Mengatasi Masalah dalam Distribusi Data IV.1 Mengenal Metode Monte Carlo Distribusi probabilitas digunakan dalam menganalisis sampel data. Sebagaimana kita ketahui, distribusi probabilitas biasanya dilakukan dengan menggunakan integral atau jumlah suatu distribusi probabilitas pada rentang tertentu. Walaupun seharusnya dalam sebuah percobaan sampel data, kita hanya menggunakan sebuah fungsi distribusi probabilitas, tetapi terkadang kita bisa melibatkan kombinasi beberapa fungsi distribusi probabilitas yang berbeda. Sebagai contoh, sebuah percobaan hamburan sederhana untuk menentukan distribusi sudut partikel yang dihamburkan dari proton menuju sasaran tertentu. Besar dan arah vektor momentum partikel, probabilitas partikel yang akan bertumbukan dengan proton, serta hasil vektor momentum partikel yang dihamburkan, semuanya dapat digambarkan dalam distribusi probabilitas. Hasil percobaan akhir didapatkan melalui integrasi multipel pada semua distribusi. Evaluasi secara analitik pada sebuah integral tidak memungkinkan, maka kite harus menggunakan metode numerik. Terdapat sebuah metode yang digunakan dalam mengevaluasi integrasi multipel. Metode yang akan kita gunakan adalah metode Monte Carlo. Metode Monte Carlo adalah salah satu cara yang digunakan orang dalam mengevaluasi integrasi multipel berdasarkan kepada percobaan acak yang berasal dari distribusi kerapatan probabilitas. Dengan menggunakan metode Monte Carlo, kita dapat melakukan pengujian signifikansi statistik terhadap data, dengan perhitungan yang relatif sederhana serta tidak membutuhkan pemahaman yang mendalam dalam analisis statistik dan juga tidak membutuhkan teknik pemrograman yang tinggi. Inti dari metode Monte Carlo adalah metode analisis distribusi data, yang mengikuti fungsi distribusi tertentu dengan menggunakan percobaan acak. Metode Monte Carlo dapat memecahkan masalah rumit saintifik dan matematika dengan sangat mudah dan presisi. Metode Monte Carlo digunakan dalam banyak keperluan, diantaranya : a. Image Processing
25 b. Fisika statistik c. Persamaan linear dengan jumlah yang besar d. Integrasi numeric e. Fisika nuklir IV.2 Mengenal Angka Random Kesuksesan perhitungan menggunakan metode Monte Carlo membutuhkan sejumlah besar angka random. Akan tetapi angka random yang sebenarnya sulit untuk didapatkan. Hal ini dikarenakan, kita tidak dapat memprediksi nilai angka selanjutnya dari nilai sebelumnya. Dalam perhitungan, kita menggunakan angka random yang dihasilkan oleh algoritma computer. Algoritma komputer didesain untuk menghasilkan angka-angka yang tidak saling berhubungan, tetapi terditribusi secara uniform pada rentang tertentu. Angka random yang dihasilkan dari algoritma komputer dinamakan pseudorandom numbers. Metode Monte Carlo menggunakan angka random yang sangat banyak dan cara perhitungan pada program bergantung pada angka-angka yang dipilih dalam setiap eksekusi. Dengan angka random yang sebenarnnya, setiap eksekusi perhitungan Monte Carlo, akan mengikuti jalan yang berbeda dan akan menghasilkan hasil yang berbeda pula. Program akan sangat sulit untuk dieksekusi. Akan tetapi dengan angka pseudorandom, kita dapat mengulang perhitungan dengan barisan bilangan yang sama dan juga dapat mencari masalah yang tersembunyi dalam kode program. Terdapat keuntungan lainnya juga, yaitu ketika kita mempelajari sensitivitas perhitungan variasi parameter yang telah dipilih, dengan pseudorandom kita dapat mengurangi variansi perbedaan antara hasil yang telah dihitung menggunakan dua nilai parameter percobaan dengan menggunakan barisan angka random yang sama. Angka random tersebut independen terhadap parameter. Pseudorandom, yang menghasilkan angka random, berbentuk sebagai suatu program, dapat dijalankan di komputer manapun
26 dengan hasil yang sama, tanpa berkaitan dengan perangkat keras dan bahasa dari komputer yang digunakan. Secara umum, dalam menghasilkan angka random harus memenuhi criteria di bawah ini : a. Distribusi angka haruslah uniform dalam rentang tertentu, dan harus memenuhi tes statistik untuk ke-random-an, yaitu : (i) ketiadaan prediktabilitas (ii) ketiadaan korelasi di antara angka-angka yang berdekatan b. perhitungan harus menghasilkan sejumlah besar angka yang unik sebelum pengulangan siklus c. perhitungan harus sangat cepat IV.3 Metode Transformasi Sebagian besar angka random yang dihasilkan terdistribusi secara uniform antara 0 dan 1. Secara umum, kita membutuhkan angka random yang dihasilkan dari distribusi probabilitas khusus. Kita definisikan sebuah fungsi uniform antara r = 0 dan r = 1, yang berasal dari distribusi kerapatan probabilitas standar. 1
untuk 0 ≤ r < 1
0
batas nilai lain
p(r)=
Distribusi ini ternomalisasi, maka akan menjadi :
∞ -∞
1
∫p(r)dr = ∫1 dr = 1 0
p(r) sebagai distribusi uniform Andaikan kita membutuhkan angka random dari distribusi kerapatan probabilitas yang berbeda P(r) yang terdistribusi secara uniform antara x = -1 dan 1, maka distribusinya adalah : ½
untuk -1 ≤ x < 1
0
batas nilai lain
P(x) =
27
Jika kita memilih angka random r antara 0 dan 1 dari distribusi uniform p(r), sangat jelas bahwa, kita dapat menghitung angka random lainnya x sebagai fungsi r x = f(r) = 2r-1 yang akan terdistribusi secara uniform antara -1 dan 1. ini adalah contoh transformasi linear sederhana. Untuk mendapatkan sample random x dari distribusi P(x), kita mulai dengan angka random r yang didapatkan dari distribusi p(r), dan temukan fungsi f(r). fungsi f(r) memberikan relasi yang dibutuhkan antara x dan r. Kita harus menemukan relasi umum untuk mendapatkan angka random x dari distribusi kerapatan probabilitas P(x) yang berhubungan dengan r, berasal dari distribusi probabilitas uniform p(r). Untuk mencari ҳ, dipilih secara random dari distribusi probabilitas P(x). Kita dapatkan angka random r dari distribusi uniform dan mencari nilai pendekatan ҳ yang memenuhi persamaan integral Prosedur yang dijelaskan di atas adalah metode transformasi, menghasilkan angka random dari distribusi probabilitas. Langkah-langkah metode transformasi dengan integrasi numerik untuk menghasilkan angka random dari distribusi probabilitas khusus adalah sebagai berikut : a. tentukan rentang nilai x. Beberapa fungsi kerapatan probabilitas didefinisikan dalam rentang terbatas. Fungsi yang lain seperti fungsi Gaussian yang rentang nilainya tak terbatas. Untuk perhitungan numeric memungkinkan pendekatan nilai terbatas harus di-set pada rentang variable. b. Normalisasikan fungsi probabilitas. Jika membutuhkan untuk menentukan pendekatan
pada
rentang
variable
x,
fungsi
harus
kembali
dinormalisasikan untuk meyakinkan bahwa integral adalah kesatuan pada rentang yang baru didefinisikan. Integral normalisasi harus dihitung secara
28 numeric, dengan routine yang sama dengan yang digunakan untuk mencari nilai ҳ c. Carilah nilai random variable r yang berasal dari distribusi uniform p(r). d. Integrasikan fungsi probabilitas P(x) ternormalisasi dari negative tak terhingga sampai nilai x = ҳ, dimana ҳ memenuhi persamaan Metode Monte Carlo biasanya membutuhkan sejumlah besar angka random pada suatu event. Oleh karena itu, interpolasi numerik yang cepat dan routine integrasi menjadi penting. Cara yang cukup efisien untuk mengurangi computing time adalah dengan menset table yang merupakan solusi dalam bagian inisialisasi pada program Monte Carlo. IV.4 Metode Rejeksi Metode Rejeksi adalah metode menghasilkan angka random secara uniform pada permukaan sebuah lingkaran dan membuang semua kecuali yang berada dalam area luas. Keuntungan metode rejeksi dibandingkan dengan metode transformasi adalah lebih sederhana. Integrasi tidak dibutuhkan, hanya fungsi probabilitasnya saja yang harus dihitung. Sedangkan kelemahannya adalah efisiensi yang rendah. Dalam sebuah program Monte Carlo yang rumit hanya fraksi kecil saja yang digunakan pada events, sehingga mendapatkan perhitungan yang lengkap dan berhasil. Terlalu banyak menggunakan angka random, memungkinkan running time yang lama. Untuk mengatasi masalah ini, tempatkanlah pendekatan kemungkinan uji yang tepat ke dalam koordinat random, digunakan untuk memetakan fungsi distribusi ketika menggunakan metode rejeksi. IV.5 Memilih Metode Terbaik Ketika kita mengaplikasikan metode transformasi dan metode rejeksi terhadap suatu fungsi distribusi, metode manakah yang terbaik dalam menghasilkan sample dari fungsi distribusi yang dimaksud. Memilih metode yang mana yang terbaik dalam menghasilkan sample dari fungsi distribusi tertentu bergantung pada kebutuhan dan keadaan masalah yang harus diselesaikan. Untuk presisi yang tinggi, kita harus mengetahui korelasi yang dekat antara titik distribusi uniform yang berdekatan, sehingga angka-angka yang dihasilkan membentuk distribusi tertentu.
29
Jika kita membutuhkan kecepatan yang sangat tinggi, maka metode transformasi menjadi pilihan, dengan perhitungan table integral sebelumnya dan beberapa titik untuk akses cepat kepada tabel. Akan tetapi metode ini membutuhkan penentuan rentang dan resolusi variabel. Selain itu metode ini juga membutuhkan pemrograman tambahan, untuk membuat dan mengakses tabel integral. Dalam hal ini metode rejeksi digunakan karena dapat menghasilkan sampel dengan sangat cepat. Dalam tugas akhir ini, kita akan menggunakan metode Monte Carlo-transformasi untuk membuat model simulasi fungsi Gaussian dua dimensi serta aplikasi terhadap model pendekatan diagram HR.
