Bab III Reduksi Orde Model Sistem LPV Metode reduksi orde model melalui LMI telah digunakan untuk mereduksi orde model sistem LTI baik untuk kasus kontinu maupun diskrit. Melalui metode ini telah dihasilkan pula bentuk dari model tereduksinya. Pada bab ini reduksi orde model melalui LMI pada sistem LTI akan diperumum agar dapat digunakan dan diterapkan untuk mereduksi orde model sistem LPV.
Dalam bab ini, rumusan masalah reduksi orde model pada sistem LPV diberikan pada subbab III.1. Beberapa lemma yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah reduksi orde model dan menurunkan bentuk model tereduksi disajikan dalam subbab III.2. Selanjutnya inti dari bab III yaitu teorema yang memberikan syarat cukup eksistensi reduksi orde model pada sistem LPV beserta bentuk model tereduksinya diberikan pada subbab III.3.
III.1 Rumusan Masalah Reduksi Orde Model Sistem LPV Diberikan model sistem LPV yang stabil kuadratik berorde n dengan representasi ruang keadaan x& ( t ) = A ( ρ ( t ) ) x ( t ) + B ( ρ ( t ) ) u ( t ) , y ( t ) = C ( ρ ( t ) ) x ( t ) + D ( ρ ( t ) ) u ( t ) , x ( 0 ) = x0 ,
(II.27)
dengan x ( t ) vektor keadaan, u ( t ) vektor masukan, dan y ( t ) vektor keluaran,
x (t ) ∈
n
, u (t ) ∈
m
, y (t ) ∈
p
, A, B, C, D adalah fungsi-fungsi kontinu
sebagaimana dalam (II.2). Fungsi transfer dari realisasi sistem diatas adalah L
Tα ( ) = ∑ α i ( i =1
)
{
Ci ( sI − Ai )
−1
}
Bi + Di , ∀α i ≥ 0,
L
∑ αi = 1 .
(II.14)
i =1
Masalah reduksi orde model sistem LPV (II.27) dapat dirumuskan sebagai mencari model sistem LPV berorde ( k < n ) yang tetap stabil kuadratik (notasi r pada Ar , B r , C r , dan D r melambangkan sistem tereduksi) :
17
x& r ( t ) = Ar ( ρ ( t ) ) x r ( t ) + B r ( ρ ( t ) ) u ( t ) , y r ( t ) = C r ( ρ ( t ) ) x r ( t ) + D r ( ρ ( t ) ) u ( t ) , x ( 0 ) = x0 , sedemikian sehingga Tα − Tαr
∞
< γ , untuk suatu γ yang diberikan, dengan
L
{C ( sI − A )
−1
Tα ( ) = ∑ α i (
)
Tαr ( ) = ∑ α i (
⎧ ) ⎨Cir sI − Air ⎩
i =1 L
i =1
(III.1)
i
i
(
)
}
Bi + Di ,
−1
⎫ Bir + Dir ⎬ . ⎭
(III.2)
III.2 Lemma Pendukung
Berikut lemma-lemma yang diperlukan dalam pembuktian teorema reduksi orde model sistem LPV. Yang pertama lemma dibawah ini berisi tentang eliminasi variabel K yang tak diketahui dari suatu ketaksamaan matriks dan parametrisasi salah satu matriks K yang feasible [6]. m×m
Lemma III.1 Diberikan matriks R ∈
, R = RT , U ∈
m×l
, dan V ∈
m×k
sedemikian sehingga U dan V mempunyai rank kolom penuh. Misalkan U ⊥ , V⊥ adalah matriks sedemikian hingga [U U ⊥ ] , [V V⊥ ] adalah matriks bujur sangkar yang invertibel dengan U ⊥T U = 0, V⊥T V = 0 , maka terdapat matriks K ∈
l×k
sedemikian sehingga R + UKV T + VK T U T < 0
(III.3)
jika dan hanya jika U ⊥T RU ⊥ < 0, dan V⊥T RV⊥ < 0 .
(
−1 T Jika (III.4) dipenuhi dan P2Q22 P2
)
−1
(III.4)
well defined, maka salah satu solusi dari
(III.3) diberikan oleh
(
−1 T K = P2Q22 P2
) ( P1 − P2Q22−1Q12T ) , −1
(III.5)
dengan
[ P1
P2 ] = U T ⎡V + T V⊥ ⎤ , Q12 = V T R V⊥ , dan Q22 = V⊥T R V⊥ . ⎣ ⎦
18
dan U + , V + merepresentasikan pseudoinvers dari matriks U,V .
Bukti :
(⇒) : Kalikan persamaan (III.3) dari kiri dengan U ⊥T dan dari kanan dengan U ⊥ didapat U ⊥T RU ⊥ + U ⊥T UKV T U ⊥ + U ⊥T VK T U T U ⊥ < 0 . Karena U ⊥T U = 0 , maka U ⊥T RU ⊥ < 0 . Kalikan persamaan (III.3) dari kiri dengan V⊥T dan dari kanan dengan V⊥ didapat V⊥T RV⊥ + V⊥T UKV T V⊥ + V⊥T VK T U T V⊥ < 0 . Karena V⊥T V = 0 , maka V⊥T RV⊥ < 0 .
( ⇐) : Misalkan WUV adalah basis dari ker (U ) ∩ ker (V ) . Matriks WU dan WV adalah matriks
sedemikian
sehingga
U ⊥ = [WUV WU ] basis ker (U )
dan
V⊥ = [WUV WV ] basis ker (V ) . l dimensi dari ker (U ) dan k dimensi dari ker (V ) .
Maka,
[WUV WU
WV ] basis ker (U ) ⊕ ker (V ) ,
dan T = [WUV WU WV Z] basis
m
.
Matriks T non singular, sehingga persamaan (III.3) ekivalen dengan TRT T + (TU ) K (TV ) + (TV ) K T (TU ) < 0 . T
Blok partisi dari
[WUV WU
T
(III.6)
TU, TV, dan TRTT menyesuaikan dengan partisi dari
WV Z] dari T. Dengan konstruksi ini didapat
19
TU = [ 0 0 U1 U 2 ]
TV = [ 0 V1 0 V2 ] ,
(III.7)
dengan
[U1 U 2 ] ∈
( p +l2 )×l dengan l ≤ p + l 2
[V1 V2 ] ∈
( p + m2 )×k dengan k ≤ p + m 2
dan
adalah matriks dengan rank kolom penuh. Dinotasikan
(
U1
U2
)
⎛ V1T K⎜ ⎜V T ⎝ 2
⎞ ⎛K ⎟ = ⎜ 11 ⎟ ⎜⎝ K 21 ⎠
K12 ⎞ ⎟∈ K 22 ⎟⎠
l×k
.
(III.8)
Partisi ⎡ R11 ⎢R T TRT = ⎢ 21 ⎢ R31 ⎢ ⎣⎢ R41
R12
R13
R22 R32
R23 R33
R42
R43
R14 ⎤ R24 ⎥⎥ , R34 ⎥ ⎥ R44 ⎦⎥
maka persamaan (III.6) dapat ditulis sebagai ⎡ R11 ⎢ T ⎢ R12 ⎢ T ⎢ R31 ⎢ T ⎣ R14
R12
R13
R22
R23 + K11
T R23 + K11
R33
T + K 21 R24
T T + K12 R34
⎤ ⎥ T R24 + K 21 ⎥ ⎥ < 0, R34 + K12 ⎥ T ⎥ R44 + K 22 + K 22 ⎦ R14
(III.9)
dengan Kij sembarang karena K sembarang. Secara khusus, jika diberikan sembarang matriks Kij , maka matriks
(U1
U2
)
+⎛K 11
⎜⎜ ⎝ K 21
T K12 ⎞ ⎛ V1 ⎜ ⎟ K 22 ⎟⎠ ⎜⎝ V2T
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
+
(II.10)
menyelesaikan persamaan (III.8). Sehingga masalah diatas tereduksi menjadi mencari kondisi pada matriks Rij yang menjamin feasibility (III.9) untuk suatu Kij . Dengan komplemen Schur, persamaan (III.9) ekivalen dengan
20
∏
⎡ R11 ⎢ T = ⎢ R12 ⎢ T ⎣⎢ R31
R12
⎤ ⎥ R23 + K11 ⎥ < 0 , ⎥ R33 ⎦⎥ R13
R22 T + K11 R23
⎡ R14 ⎤ ⎢ T T ⎥ − ⎢ R24 + K 21 R44 + K 22 + K 22 ⎥ ⎢R + K ⎥ 12 ⎥⎦ ⎢⎣ 34
T
⎡ R14 ⎤ −1 ⎢ T ⎥ ⎢ R24 + K 21 ⎥ < 0 . ⎢R + K ⎥ 12 ⎥⎦ ⎢⎣ 34
∏
(III.11)
(III.12)
Jika diberikan K11, K12 , dan K 21 , maka dapat dicari K 22 sedemikian hingga (III.12) dipenuhi. Sehingga persamaan (III.3) feasible jika dan hanya jika persamaan (III.11) feasible untuk suatu K11 . Persamaan (II.11) ekivalen dengan I 0 0⎤ ⎡ ⎢ T −1 ⎥ ⎢ − R12 R11 I 0 ⎥ ⎢ T −1 ⎥ ⎢⎣ − R13 R11 0 I ⎥⎦
∏
−1 ⎡ I − R11 R12 ⎢ I ⎢0 ⎢0 0 ⎢⎣
−1 R13 ⎤ − R11 ⎥ 0 ⎥<0, ⎥ I ⎥⎦
yaitu ⎡ R11 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣⎢ 0
0 T −1 R22 − R12 R11 R12
K11 + Λ 32
⎤ ⎥ T + ΛT32 ⎥ < 0 , K11 ⎥ T −1 R33 − R13 R11 R13 ⎦⎥ 0
(III.13)
T T −1 − K13 K11 K12 . Karena K11 sembarang maka (III.13) feasible dengan Λ32 = K 23
jika dan hanya jika R11 < 0 , ⎧ ⎪ T −1 ⎨ R22 − R12 R11 R12 < 0 , ⎪ T −1 ⎩ R33 − R13 R11 R13 < 0 ,
(III.14)
atau dengan komplemen Schur ekivalen dengan ⎡ R11 ⎢ T ⎣⎢ R12
R12 ⎤ ⎥<0, R22 ⎦⎥
⎡ R11 ⎢ T ⎣⎢ R13
R13 ⎤ ⎥ < 0. R33 ⎦⎥
(III.15)
Dengan mengalikan (III.15) dari kiri dengan U ⊥T dan V⊥T dan dari kanan dengan U ⊥ dan V⊥ , maka kondisi (III.15) ekivalen dengan (III.4) .
21
Lemma berikutnya adalah Bounded Real Lemma yang mengubah kendala pada sebuah sistem LTI yang berbentuk norm H ∞ ke dalam bentuk kendala yang berupa LMI yang ekivalen [1,13,20,21].
Lemma III.2 (Bounded Real Lemma) Diberikan sistem LTI dengan fungsi
transfer G ( s ) = D + C ( sI − A )
−1
B . Maka, sistem stabil dan G ( s )
∞
< γ jika dan
hanya jika terdapat matriks X = X T > 0 , sedemikian sehingga ⎡ AT X + XA XB ⎢ ⎢ BT X −γ I ⎢ C D ⎢ ⎣
CT ⎤ ⎥ DT ⎥ < 0 . ⎥ −γ I ⎥ ⎦
(III.16)
Bukti :
(⇒) : Akan dibuktikan bahwa G ( s )
∞
< γ ekivalen dengan R = γ 2 I − DT D > 0 dan
terdapat X sebagai solusi definit positif dari ketaksamaan aljabar Riccati
(
)(
AT X + XA + XB + C T D γ 2 I − DT D
) ( B T X + DT C ) + C T C < 0 . −1
(III.17)
Didefinisikan kuantitas-kuantitas berikut : R = γ 2 I − DT D , AN = A + BR −1DT C , BN = BR
−1
2
(III.18)
,
(
C N = I + DR −1DT
) 2 C. 1
Diberikan ε > 0 cukup kecil sedemikian sehingga
φε = γ 2 I − Gε~ ( s ) Gε ( s ) > 0 ,
(III.19)
dengan ⎡ A ⎢ Gε = ⎢ C ⎢ εI ⎣
B⎤ ⎥ D⎥ . 0 ⎥⎦
(III.20)
22
Karena φε > 0, maka Gε ( s )
∞
< γ . Representasi ruang keadaan dari φε adalah
A ⎡ ⎢ T φε = ⎢ −C C − ε I ⎢ T ⎢⎣ D D
−B
⎤ ⎥ C D ⎥. ⎥ γ 2 I − DT D ⎥⎦
0 −A
T
T
BT
(III.21)
Dengan realisasi φε diatas, maka matriks Hamiltonian HN
⎡ AN =⎢ ⎢⎣ −C TN C N − ε I
T⎤ BN BN ⎥ T ⎥ − AN ⎦
(III.22)
tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner. Lebih lanjut, pasangan matriks
( AN , BN )
terstabilkan karena terdapat matriks FN = − R
sehingga
AN + BN FN = AN − BN R
terstabilkan, maka
−1
2 DT C
=A
H N ∈ dom ( Ric ) . Misalkan
−1
stabil.
2 DT C
sedemikian
Karena
( AN , BN )
X = Ric ( H N ) , maka X
memenuhi persamaan aljabar Riccati T T T AN X + XAN + XBN BN X + CN CN + ε I = 0 .
Karena ε > 0 , maka T AN X + XAN + XBN BTN X + C TN C N < 0 ,
(III.23)
atau
(
)(
AT X + XA + XB + C T D γ 2 I − DT D
) ( BT X + DT C ) + CT C < 0 . −1
Dengan komplemen Schur, persamaan diatas ekivalen dengan ⎡ AT X + XA XB ⎢ ⎢ BT X −γ I ⎢ C D ⎢ ⎣ ⎛ T Karena A stabil dan pasangan ⎜ AN , ⎡C N ⎣ ⎝
CT ⎤ ⎥ DT ⎥ < 0 . ⎥ −γ I ⎥ ⎦ T
⎞
ε I ⎤ ⎟ terobservasi, maka X > 0 . ⎦ ⎠
( ⇐) : Misalkan terdapat X > 0 sebagai solusi dari ketaksamaan aljabar Riccati (III.17). Misalkan matriks Q > 0 sedemikian sehingga
23
(
)(
AT X + XA + XB + C T D γ 2 I − DT D ⎡A B⎤ Misalkan G ( s ) = ⎢ ⎥ ⎣C D ⎦
) ( BT X + DT C ) + CT C + Q = 0 . −1
(III.24)
dan φ ( s ) = I − G ~ ( s ) G ( s ) . Dengan menggunakan
transformasi similaritas ⎡ I T =⎢ ⎣− X
0⎤ I ⎥⎦
(III.25)
pada φ ( s ) , maka didapat A ⎡ ⎢ φ ( s ) = I − G~ ( s ) G ( s ) = ⎢ LT L ⎢ T T ⎣⎢ D C + B X
−B
⎤ ⎥ XB + C D ⎥ , ⎥ R ⎦⎥
0 −A
T
BT
T
(III.26)
> 0.
(III.27)
dengan
(
) (
)
L = ⎡⎢ XB + C T D R −1 DT C + BT X + Q ⎤⎥ ⎣ ⎦
1
2
Definisikan B ⎡A ⎢ M= −1 T T ⎢ L −L X B + C D ⎣
(
)
⎤ ⎥, ⎥ ⎦
(III.28)
maka didapat
(
) (
)
φ ( s ) = M ~ ( s ) M ( s ) + R − DT C + BT X L−2 XB + C T D .
(III.29)
Dengan menggunakan matrix inversion formula didapat
(
) (
)
R − DT C + BT X L−2 XB + C T D > 0 ,
sehingga φ ( s ) > 0 yang ekivalen dengan G ( s )
∞
(III.30)
< γ . Karena X > 0 dan
( XB + CT D )(γ 2 I − DT D ) ( BT X + DT C ) + CT C + Q > 0 , −1
maka dengan menggunakan terema kestabilan Lyapunov didapat A stabil.
Bounded Real Lemma untuk sistem LTI diatas dapat diperluas ke sistem LPV
yang stabil kuadratik [18]. Dalam kasus ini kestabilan sistem hanya menjadi syarat cukup saja. Hal ini diberikan dalam lemma berikut.
24
Lemma III.3
(Generalized Bounded Real Lemma)
Diberikan himpunan
kompak ℘⊂ ℜ s dan sistem LPV x& ( t ) = A ( ρ ( t ) ) x ( t ) + B ( ρ ( t ) ) u ( t ) , y ( t ) = C ( ρ ( t ) ) x ( t ) + D ( ρ ( t ) ) u ( t ) , untuk setiap ρ ∈ F℘. n×n
Jika terdapat fungsi kontinu W : ℜ s →
(II.3)
sedemikian sehingga W > 0 dan
⎡ AT ( ρ ( t ) ) W + WA ( ρ ( t ) ) WB ( ρ ( t ) ) C T ( ρ ( t ) ) ⎤ ⎢ ⎥ T T ⎢ −γ I B ( ρ ( t ) )W D ( ρ ( t ) )⎥ < 0 ⎢ ⎥ ⎢ C ( ρ (t )) D ( ρ (t )) −γ I ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥
(III.31)
untuk setiap ρ ∈℘ , maka sistem LPV (II.3) stabil kuadratik dan terdapat skalar γ sedemikian sehingga Tα ( ρ )
∞
<γ .
Lemma III.4 [12,20] Diberikan X ∈
n×n
, Y ∈ n×n dengan X = X T > 0 dan
Y = Y T > 0 . Misalkan k bilangan bulat positif , maka terdapat matriks X12 ∈
n×k
⎡ X , ⎢ T ⎣⎢ X12
X12 ⎤ ⎡ X ⎥ > 0 dan ⎢ T X 2 ⎦⎥ ⎢⎣ X12
X12 ⎤ ⎥ X 2 ⎦⎥
−1
⎡Y *⎤ =⎢ ⎥ ⎣ * *⎦
(III.32)
jika dan hanya jika ⎡X ⎢I ⎣ n
In ⎤ ≥0 Y ⎥⎦
⎡X dan rank ⎢ ⎣ In
In ⎤ ≤ n+k . Y ⎥⎦
(III.33)
Tanda * menotasikan elemen yang tidak diperhatikan.
Bukti :
( ⇐) : ⎡X Dengan komplemen Schur, ⎢ ⎣ In
terdapat matriks X12 ∈
n×k
In ⎤ ≥ 0 ekivalen dengan X − Y −1 ≥ 0 . Sehingga Y ⎥⎦
T sedemikian sehingga =X − Y −1 = X12 X12 .
Dengan mendefinisikan X 2 := I k , maka didapat
25
X2 =
⎡ X ⎢ T ⎢⎣ X12
X 2T ,
X12 ⎤ ⎡ X ⎥ > 0, dan ⎢ T X 2 ⎥⎦ ⎢⎣ X12
X12 ⎤ ⎥ X 2 ⎥⎦
−1
⎡Y *⎤ =⎢ ⎥. ⎣ * *⎦
(⇒) : Dengan matrix inversion formula didapat
(
)
T 1 T −1 Y = X −1 + X −1 X12 X 2 − X12 X X 2 X12 X ,
(III.34)
maka
(
)
T 1 T −1 ⎤ Y −1 = ⎡⎢ X −1 + X −1 X12 X 2 − X12 X X 2 X12 X ⎥ ⎣ ⎦
−1
atau Y
−1
(
⎡ = ⎢ X −1 − − X −1 X12 ⎣
)( X 2 −
) (
−1 T 1 X12 X X2
T −1 X12 X
)
−1
⎤ ⎥ . ⎦
Dengan matrix inversion formula didapat
(
)(
) (
) (
) ( X12T X −1 ) X
T 1 T −1 Y −1 = X + X − X −1 X12 ⎡⎢ X 2 − X12 X X 2 − − X12 X X X −1 X12 ⎤⎥ ⎣ ⎦
(
)
T 1 T −1 X X 2 + X12 X X12 ⎤⎥ =X − X12 ⎡⎢ X 2 − X12 ⎣ ⎦
−1
−1
T X12
T =X − X12 X 2−1 X12 .
(III.36)
Karena Y > 0 , maka Y −1 > 0 , sehingga T Y −1 =X − X12 X 2−1 X12 ≥0
(III.37)
yang berakibat ⎡X ⎢I ⎣ n
In ⎤ ≥0 . Y ⎥⎦
(III.38)
Di lain pihak
(
)
(
)
T rank X − Y −1 = rank X12 X 2−1 X12 ≤k,
sehingga ⎡X rank ⎢ ⎣ In
In ⎤ ≤ n+k. Y ⎥⎦
(III.39)
26
III.3 Reduksi Orde Model Sistem LPV
Berikut ini disajikan teorema yang memberikan syarat cukup eksistensi reduksi orde model pada sistem LPV beserta bentuk model tereduksinya [17].
Teorema III.1 Diberikan sistem LPV berorde n yang stabil kuadratik
x& ( t ) = A ( ρ ( t ) ) x ( t ) + B ( ρ ( t ) ) u ( t ) , y ( t ) = C ( ρ ( t ) ) x ( t ) + D ( ρ ( t ) ) u ( t ) , x ( 0 ) = x0
(II.27)
dan γ > 0 . Terdapat model tereduksi berorde ( k < n ) dari sistem (II.27) yaitu x& r ( t ) = Ar ( ρ ( t ) ) x r ( t ) + B r ( ρ ( t ) ) u ( t ) , y
r
( t ) = C ( ρ ( t ) ) x ( t ) + D ( ρ ( t ) ) u ( t ) , x ( 0 ) = x0 r
r
sedemikian sehingga Tα ( ) − Tαr ( simetri X , Y ∈
n×n
)
∞
r
(III.1)
< γ jika terdapat matriks definit positif dan
sedemikian sehingga ⎡ AiT X + XAi ⎢ ⎢⎣ BiT X
⎡ AiT Y + YAi ⎢ Ci ⎣⎢ ⎡X ⎢I ⎣ n
XBi ⎤ ⎥<0 −γ I ⎥⎦
CiT ⎤ ⎥<0 −γ I ⎦⎥
In ⎤ ≥0, Y ⎥⎦
⎡X rank ⎢ ⎣ In
In ⎤ ≤ n+k. Y ⎥⎦
i = 1,..., L ,
i = 1,..., L ,
(III.40)
(III.41)
(III.42)
(III.43)
Jika (III.40) – (III.43) dipenuhi, maka salah satu solusi feasible dari masalah reduksi orde model diberikan oleh : Air = N −1MN −T − N −1 Ai N , Bir = − N −1YBi , Cir = −Ci N −T , Dir = Di .
(III.44)
27
Bukti:
Untuk sembarang fungsi kontiu α ,
Tα ( ) − Tα
r
L
( ) = ∑ αi ( i =1
L
⎡ Ai ⎢ )⎢ 0 ⎢ ⎢⎣Ci
= ∑ αi ( i =1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ Di − Dir ⎥⎦
0
Bi
Air −Cir
Bir
⎧ ⎛ ⎡ Ai ) ⎪⎨ ⎡⎣Ci -Cir ⎤⎦ ⎜⎜ sI − ⎢ ⎢⎣ 0 ⎪ ⎝ ⎩
(III.45)
0 ⎤⎞ ⎥⎟ Air ⎥⎦ ⎟⎠
−1
⎫ ⎡ Bi ⎤ ⎪ r ⎢ r ⎥ + ⎡⎣ Di − Di ⎤⎦ ⎬ . ⎢⎣ Bi ⎥⎦ ⎪ ⎭
Dari Bounded Real Lemma yang diperumum, Tα ( ) − Tαr (
)
∞
< γ jika terdapat
n+ k × n+ k matriks W ∈ ( ) ( ) , W > 0 sedemikian sehingga
⎡ AT ( ρ ( t ) ) W + WA ( ρ ( t ) ) WB ( ρ ( t ) ) C T ( ρ ( t ) ) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ BT ( ρ ( t ) ) W DT ( ρ ( t ) ) ⎥ < 0 . −γ I ⎢ ⎥ ⎢ C ( ρ (t )) D ( ρ (t )) −γ I ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦
Ketaksamaan matriks di atas dapat ditulis sebagai R ( ρ ) + UK ( ρ ) V T + VK T ( ρ ) U T < 0 untuk semua ρ , L
L
i =1
i =1
dengan R ( ρ ) = ∑ ρi Ri , K ( ρ ) = ∑ ρi Li dan Ri , U , V , dan Li sebagai ⎡ ⎡ AT 0 ⎤ ⎡A ⎢⎢ i ⎥W +W ⎢ i ⎢ ⎢⎣ 0 0 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 ⎢ ⎡ BiT 0⎤ W Ri = ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ 0 Ci ⎢ ⎢ ⎢⎣
⎡ ⎡0 ⎤ 0 ⎤ ⎢W ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎣I ⎦ 0 ⎥ U =⎢ 0 0 ⎥, ⎢ ⎥ −I ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎡0 ⎢I V =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
⎡ Bi ⎤ C T ⎤ 0⎤ ⎥ W⎢ ⎥ i ⎥ 0 ⎦⎥ ⎣0⎦ 0 ⎥ ⎥ -γ I DiT ⎥ , ⎥ Di − γ I ⎥ ⎥ ⎥⎦
0⎤ 0 ⎥⎥ , I⎥ ⎥ 0⎦
⎡ Air Li = ⎢ ⎢⎣Cir
Bir ⎤ ⎥. Dir ⎥⎦
(III.46)
28
Ketaksamaan matriks (III.46) dipenuhi jika dan hanya jika Ri + ULiViT + VLTi U T < 0 i = 1,...., L .
(III.47)
Berdasarkan Lemma III.1, ketaksamaan matriks (III.47) ekivalen dengan U ⊥T RiU ⊥ < 0, dan V⊥T RiV⊥ < 0
i = 1,..., L ,
(III.48)
dengan ⎡[ I 0]W −1 0 0 ⎤ U ⊥T = ⎢ ⎥, I 0 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 0
⎡ I 0 0 0⎤ V⊥T = ⎢ ⎥. ⎣0 0 0 I ⎦
Kemudian berdasarkan Lemma III.4, dapat didefinisikan ⎡Y *⎤ W =⎢ ⎥ ⎣ * *⎦
⎡ X −1 *⎤ W -1 = ⎢ ⎥ *⎥⎦ ⎣⎢ *
dengan
yang ekivalen dengan ⎡Y ⎢ ⎣⎢ I n
In ⎤ ⎥≥0 X −1 ⎦⎥
⎡Y dan rank ⎢ ⎣⎢ I n
In ⎤ ⎥ ≤ n+k X −1 ⎦⎥
In ⎤ ≥0 Y ⎥⎦
⎡X dan rank ⎢ ⎣ In
In ⎤ ≤ n+k , Y ⎥⎦
atau ⎡X ⎢I ⎣ n
sehingga (III.42) dan (III.43) dipenuhi. Dengan memanfaatkan komplemen Schur dan matrix inversion formula, ketaksamaan matriks (III.48)
ekivalen dengan
ketaksamaan matriks (III.40) dan (III.41). Untuk
membuktikan
⎡Y W =⎢ T ⎣⎢ N
bentuk
model
tereduksi
N⎤ T ⎥ , dengan NN = Y − X ≥ 0, N ∈ I ⎦⎥
n×k
(III.44),
pilih
matriks
matriks dengan rank
kolom penuh m ≤ k dan I adalah matriks identitas ukuran k × k . Maka, berdasarkan persamaan (III.5) didapat bentuk model tereduksi ⎡ N −1MN T − N −1 AiT N Li = ⎢ ⎢⎣ −Ci N −T
− N −1YBi ⎤ ⎥, Di ⎥⎦
(III.49)
dengan M = AiT Y + YAi . Kestabilan kuadratik dari model yang tereduksi Li akan dibahas dalam bab selanjutnya.
29
Dalam teorema reduksi orde model sistem LPV di atas, kendala (III.40) – (III.42) berupa kendala konveks, sedangkan kendala (III.43) non konveks. Hal ini menyebabkan masalah mencari pasangan matriks definit positif dan simetri X,Y yang memenuhi kendala (III.40) – (III.43) menjadi masalah feasibility yang non konveks. Penyelesaian dari masalah ini akan dibahas dalam bab selanjutnya.
