BAB II PENGENDALI DIGITAL
Pada bab ini akan dibahas tentang dasar-dasar pengendali PID. Selanjutnya dibahas tentang penurunan persamaan diskrit pengendali PID yang menjadi dasar perancangan pengendali digital. Pada bagian akhir akan dibahas mengenai realisasi pengendali digital mengunakan model direct programming[2].
II.1 Teori Pengendali PID Sistem kendali merupakan hubungan antara komponen yang membentuk suatu konfigurasi sistem, dimana kendalian (plant) yang merupakan sistem fisis, akan menghasilkan tanggapan sistem yang diharapkan. Gambar 2.1 memperlihatkan sistem kendali dengan elemen umpan balik yang berfungsi untuk mengamati keluaran yang terjadi untuk dibandingkan dengan masukan yang diinginkan. Sistem ini disebut sebagai sistem kendali umpan balik atau sistem kendali lup tertutup.
masukan
Pengendali
Kendalian
keluaran
Sensor
Gambar 2.1. Sistem kendali lup tertutup.
Sistem kendali yang digunakan di industri adalah sistem kendali otomatis yang merupakan sistem kendali lup tertutup. Pengendali otomatis berfungsi untuk membandingkan nilai sebenarnya dari keluaran sistem keseluruhan dengan masukannya, menentukan penyimpangan dan menghasilkan sinyal kendali yang akan mengurangi penyimpangan sehingga menjadi nol atau sekecil mungkin. Proses pengendali otomatis yang menghasilkan sinyal kendali disebut aksi kendali.
5
6
Pengendali otomatis dapat diklasifikasikan sesuai dengan aksi pengendaliannya, antara lain yaitu Pengendali proporsional (P), Pengendali proporsional plus integral (PI), Pengendali proposional plus derivatif (PD), dan Pengendali proporsional plus integral plus derivatif (PID). Masing-masing pengendali tersebut memiliki algoritma yang menjadi dasar dalam perancangan pengendali digital. 1. Pengendali Proporsional[3] Untuk pengendali proporsional, hubungan antara keluaran pengendali u(t) dengan sinyal galat aktuasi e(t) dan penguatan proporsional Kp adalah u (t ) = Kp.e(t )
... (2.1)
Fungsi alih dari pengendali proporsional adalah U (s) = Kp E (s)
... (2.2)
Dimana Kp adalah penguatan proporsional. Kekurangan pengendali ini adalah timbulnya galat offset bila ada perubahan beban. Dengan demikian, sistem yang menggunakan pengendali ini harus dapat di reset secara manual dan sebaiknya perubahan beban tidak terlalu besar. Contoh implementasi pengendali ini adalah amplifier dengan penguatan linier yang dapat diatur.
E(s)
Kp
U(s)
Gambar 2.2 Diagram blok pengendali Proporsional[3]. 2. Pengendali Proporsional plus Integral[3] Pengendali PI merupakan kombinasi atau penggabungan keuntungan dari aksi proporsional (mempercepat respon transien) dan aksi integral (menghilangkan galat keadaan tunak). Pengendali proporsional plus integral didefinisikan dengan persamaan berikut:
7
t
u (t ) = Kp.e(t ) +
Kp e(t ).dt Ti ∫0
... (2.3)
Sehingga fungsi alihnya adalah sebagai berikut:
U (s) 1 = Kp ⋅ 1 + E (s) Ti ⋅ s
... (2.4)
dimana Ti menyatakan waktu integral. Kp dan Ti dapat ditentukan nilainya. Waktu integral mengatur aksi kendali integral, sedangkan Kp mempengaruhi aksi kendali baik proporsional maupun integral. Kebalikan dari waktu integral Ti disebut laju reset. Laju reset adalah banyaknya perulangan dari aksi pengendalian proporsional per menit.
E(s)
U(s) Kp(1+ Ti/s)
e(t)
u(t) Aksi kendali PI
1
Hanya proporsional
Kp 0
(a)
(b)
t
Ti
(c)
t
Gambar 2.3 (a) Diagram blok pengendali Proporsional plus Integral; (b) masukan funsi unit step; (c) keluaran pengendali[3]. Pengendali ini dapat digunakan untuk sistem dengan perubahan beban besar yang tak terlalu cepat (perlu waktu integrasi). Selain itu juga, pengendali PI dapat digunakan untuk menghilangkan offset akibat adanya gangguan torsi pada kendali proporsional. 3. Pengendali Proporsional plus Derivatif[3] Kendali derivatif selalu digunakan bersama-sama dengan aksi proporsional atau proporsional plus integral. Bentuk persamaan dari pengendali proporsional plus derivatif adalah sebagai berikut :
u (t ) = Kp.e(t ) + Kp.Td
de(t ) dt
Sehingga fungsi alihnya adalah :
... (2.5)
8
U (s) = Kp ⋅ (1 + Td ⋅ s ) E ( s)
... (2.6)
Aksi kendali derivatif sering disebut laju kendali (rate control), karena besar keluaran pengendali sebanding dengan laju perubahan sinyal galat aktuasi. Waktu derivatif Td adalah selang waktu bertambah majunya respon aksi kendali proporsional yang disebabkan oleh laju aksi (rate action).
Aksi derivatif menyebabkan pengendali memiliki karakter anticipatory (tanggapan terhadap perubahan lebih cepat) sehingga dapat mengatasi perubahan beban seketika, tetapi sekaligus memiliki kekurangan dalam hal memperkuat derau. Aksi kendali derivatif cenderung memperbesar kestabilan sistem. Sehingga pengendali PD dapat digunakan pada sistem dengan beban inersia.
E(s)
Aksi u(t) kendali PD Td
U(s) Kp(1+Td.s)
Hanya proporsional
(a)
0
(b)
t
Ti
(c)
t
Gambar 2.4 (a) Diagram blok pengendali Proporsional plus Derivatif; (b) masukan funsi unit ramp; (c) keluaran pengendali[3]. 4. Pengendali Proporsional plus Integral plus Derivatif[3] Gabungan aksi kendali proporsional, aksi kendali integral dan aksi kendali derivatif membentuk aksi kendali proporsional plus integral plus derivatif. Pengendali ini praktis dapat digunakan untuk semua kondisi proses. Dengan adanya komponen integral, maka galat offset pada bentuk proporsional dapat dihilangkan, disisi lain pengendali ini dapat menekan kecenderungan osilasi. Bentuk persamaannya adalah sebagai berikut : t
Kp de(t ) u (t ) = Kp.e(t ) + e(t ).dt + Kp.Td ∫ Ti 0 dt
... (2.7)
Sedangkan bentuk fungsi alihnya adalah U (s) 1 = Kp1 + + Td .s E (s) Ti.s
... (2.8)
9
E(s)
U(s)
u(t)
e(t)
Aksi kendali PD Hanya proporsional
Kp(1+1/Ti.s+Td.s)
(a)
Aksi kendali PID
0
(b)
t
Ti
(c)
t
Gambar 2.5 (a) Diagram blok pengendali Proporsional plus Integral plus Derivatif; (b) masukan funsi unit ramp; (c) keluaran pengendali[3]. II. 2 Sistem Kendali Digital Operasi untuk mengubah sinyal waktu kontinyu menjadi data waktu diskrit disebut sebagai sampling atau diskritisasi. Operasi kebalikannya yaitu operasi yang mengubah data waktu diskrit menjadi sinyal waktu kontinyu, disebut sebagai datahold.[2] Gambar 2.6 memperlihatkan diagram blok dari sistem kendali digital. Komponen sample-and-hold (S/H) dan analog-to-digital (A/D) converter berfungsi untuk mengubah sinyal waktu diskrit menjadi urutan angka dalam bilangan biner atau melakukan proses sampling. Sedangkan digital-to-analog (D/A) converter berfungsi untuk mengubah sinyal digital menjadi sinyal analog atau melakukan proses decoding.
+
-
S/H and A/D converter
Digital Controller
D/A converter
Hold Circuit
Actuator
Plant
Sensor
Gambar 2.6 Diagram blok sistem kendali digital.
Karakteristik respon transien dari sistem kendali waktu diskrit bergantung pada waktu sampling T. Meningkatkan periode waktu sampling dapat membuat sistem kendali waktu diskrit menjadi kurang stabil bahkan menjadi tidak stabil. Sebaliknya, dengan memberikan periode waktu sampling yang sangat pendek menyebabkan nilai kritis dari penguatan K untuk kestabilan menjadi lebih besar. Faktanya bahwa memberikan periode sampling yang semakin pendek membuat sistem tersebut bersifat seperti sistem waktu kontinyu[2].
10
II.3 Diskritisasi Persamaan Pengendali PID Pemaparan sebelumnya menjelaskan tentang karakteristik pengendali PID dalam sistem waktu kontinyu. Untuk dapat diimplementasikan pada perangkat digital, harus dilakukan pendekatan ke dalam sistem waktu diskrit. Penurunan persamaan matematis dari waktu kontinyu ke waktu diskrit dapat dilakukan pada masing-masing bagian proporsional, integral dan derivatif.
1. Persamaan Diskrit Pengendali P Dari persamaan (2.2) diketahui bahwa fungsi alih dari pengendali P adalah G P ( s) = K p Sehingga akan diperoleh fungsi alih diskrit dari pengendali proporsional yaitu GP ( z) = K P
... (2.9)
Untuk keperluan dalam perancangan, persamaan di atas dapat ditulis menjadi G P ( z ) = const1 dimana const1 = K P = K PROP1
... (2.10) ... (2.11)
2. Persamaan Diskrit Pengendali PI Pengendali PI diperoleh dari penggabungan bagian proporsional dan bagian integral seperti pada persamaan (2.4). Penurunan bentuk diskrit bagian integralnya dapat dilakukan dengan pendekatan metode trapezoidal[2][6]. t 1 u PI (t ) = K P e(t ) + ∫ e(t )dt Ti 0 Sehingga diperoleh T e(0) + e(T ) e(T ) + e(2T ) u PI (kT ) = K P e(kT ) + + + ..... Ti 2 2 e((k − 1)T ) + e(kT ) + 2 Persamaan (2.13) dapat disederhanakan menjadi
T k e((h − 1)T ) + e(hT ) u PI (kT ) = K P e(kT ) + ∑ Ti h =1 2
... (2.12)
... (2.13)
... (2.14)
11
Dengan menggunakan transformasi-z maka akan diperoleh 1 T T U PI ( z ) = K P 1 − ⋅ E( z) + ⋅ −1 2Ti Ti 1 − z
... (2.15)
Persamaan (2.15) dapat disederhanakan menjadi K U PI ( z ) = K PROP 2 + INT−1 ⋅ E ( z ) 1− z
... (2.16)
dengan K PROP 2 = K P − K INT =
K K PT = K P − INT 2Ti 2
K PT Ti
... (2.17) ... (2.18)
Persamaan (2.14) dapat juga ditulis sebagai G PI ( z ) =
( K PROP 2 + K INT ) − K PROP 2 ⋅ z −1 1 − z −1
... (2.19)
Untuk keperluan dalam perancangan persamaan (2.19) dinyatakan sebagai G PI ( z ) =
const1 + const 2 ⋅ z −1 1 − z −1
... (2.20)
dengan const1 = K PROP 2 + K INT
... (2.21)
const 2 = − K PROP 2
... (2.22)
3. Persamaan Diskrit Pengendali PD Dari persamaan (2.5) diketahui bahwa bentuk persamaan pengendali PD adalah de(t ) u PD (t ) = K P e(t ) + Td dt
... (2.23)
Untuk bagian derivatif dari pengendali PD, penurunan persamaan diskritnya dilakukan dengan pendekatan bentuk perbedaan antara dua titik[2][6]. Sehingga diperoleh
Td [e(kT ) − e((k − 1)T )] u PD (kT ) = K P e(kT ) + T Dengan transformasi-z, persamaan (2.24) diubah menjadi
... (2.24)
12
Td U PD ( z ) = K P 1 + (1 − z −1 ) ⋅ E ( z ) T
... (2.25)
Bentuk tersebut dapat disederhanakan menjadi
[
]
U PD ( z ) = K PROP1 + K DER (1 − z −1 ) ⋅ E ( z )
... (2.26)
dengan K PROP1 = K P K DER =
... (2.27)
K P Td T
... (2.28)
Persamaan (2.26) dapat juga dinyatakan sebagai G PD ( z ) = ( K PROP1 + K DER ) − K DER ⋅ z −1
... (2.29)
Untuk keperluan dalam perancangan, persamaan (2.29) dapat ditulis menjadi G PD ( z ) = const1 + const 2 ⋅ z −1
... (2.30)
dengan const1 = K PROP1 + K DER
... (2.31)
const 2 = − K DER
... (2.32)
4. Persamaan Diskrit Pengendali PID Bentuk kontinyu dari persamaan pengendali PID dapat diturunkan dari persamaan (2.7), t 1 de(t ) u PID (t ) = K P e(t ) + ∫ e(t )dt + Td Ti 0 dt
... (2.33)
Seperti pada persamaan pengendali PI dan pengendali PD, penurunan diskrit bagian integralnya dapat dilakukan dengan pendekatan metode trapezoidal. Sedangkan bagian derivatifnya dilakukan dengan pendekatan bentuk perbedaan antara dua titik. Sehingga diperoleh T k e((h − 1)T ) + e(hT ) u PID (kT ) = K P e(kT ) + ∑ Ti h =1 2
+
Td [e(kT ) − e((k − 1)T )] T
Transformasi-z dari persamaan (2.34) adalah
... (2.34)
13
1 Td T T + ⋅ + (1 − z −1 ) ⋅ E ( z ) U PID ( z ) = K P 1 − −1 T 2Ti Ti 1 − z
... (2.35)
Bentuk sederhananya yaitu K U PID ( z ) = K PROP 2 + INT−1 + K DER (1 − z −1 ) ⋅ E ( z ) 1− z
... (2.36)
dengan K PROP 2 = K P −
K K PT = K P − INT 2Ti 2
... (2.37)
K INT =
K PT Ti
... (2.38)
K DER =
K P Td T
... (2.39)
Fungsi alih diskrit dari pengendali PID adalah ( K PROP 2 + K INT + K DER ) − ( K PROP 2 + 2 ⋅ K DER ) ⋅ z −1 + K DER ⋅ z −2 G PID ( z ) = 1 − z −1 ... (2.40) Persamaan (2.40) dapat juga ditulis menjadi G PID ( z ) =
const1 + const 2 ⋅ z −1 + const 3 ⋅ z −2 1 − z −1
... (2.41)
dengan const1 = K PROP 2 + K INT + K DER
... (2.42)
const 2 = −( K PROP 2 + 2 ⋅ K DER )
... (2.43)
const 3 = K DER
... (2.44)
II.4 Realisasi Pengendali Digital pada Perangkat Keras Realisasi dari pulsa fungsi alih berarti menentukan rancangan secara fisik untuk ketepatan kombinasi dari operasi aritmatika dan operasi penyimpanan.[2] Elemenelemen yang digunakan untuk merealisasikannya antara lain adalah elemen delay, adder dan multiplier. Model yang dapat digunakan yaitu direct programming, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.7. Direct programming berarti bahwa realisasi dari fungsi alih pengendali digital dimana pembilang dan penyebutnya dipisahkan
14
menggunakan elemen delay. Fungsi alih z-1 merepresentasikan satu delay dalam satu unit waktu[2].
const1
×
e(k)
+
u(k)
const2
z-1
×
z-1
const3
×
z-1
Gambar 2.7 Model Direct Programming dari pengendali digital.
Model lain yang dapat digunakan adalah standard programming. Standard programming merupakan metode yang menggunakan jumlah minimum dari elemen delay.[2] Ini berarti bahwa jumlah elemen delay dari standard programming lebih sedikit daripada model direct programming, namun memerlukan penambahan elemen adder. Gambar 2.8 memperlihatkan diagram blok dari model standard programming.
b0
b1
b2
bm
X(z)
+-
Z-1
Z-1
Z-1
Z-1
a1
a2
am
an
Gambar 2.8 Model Standard Programming[2].
+ +
Y(z)
15
Pemilihan model direct programming dalam perancangan pengendali digital karena model tersebut lebih tepat untuk mengimplementasikan persamaan dari pengendali digital. Perancangan pengendali digital didasarkan pada persamaan diskrit empat tipe pengendali. Dari persamaan (2.11), persamaan (2.20), persamaan (2.30) dan persamaan (2.41), dapat dibuat matriks konstanta pengendali seperti pada Tabel 2.1. Keempat tipe pengendali tersebut memiliki beberapa kesamaan dalam penggunaan elemen delay, multiplier dan adder. Meskipun juga ada perbedaan dalam penggunaan elemen delay umpan balik antara pengendali P dan PD dengan pengendali PI dan pengendali PID. Namun dalam perancangan perangkat keras pengendali digital, hal tersebut dapat diatasi dengan menggunakan algoritma pemilih bentuk pengendali.
Tabel 2.1 Matriks konstanta dari 4 bentuk pengendali. Konstanta Pengendali const1 const 2
P K PROP1 -
const 3
-
Jenis Pengendali PD PI K PROP1 + K DER K PROP 2 + K INT − K DER -
− K PROP 2 -
PID K PROP 2 + K INT + K DER − ( K PROP 2 + 2 ⋅ K DER ) K DER
dengan, K PROP1 = K P ; K PROP 2 = K P − K INT =
K PT ; Ti
K DER =
K P Td T
K INT ; 2
Persamaan-persamaan di atas menjadi dasar dalam perancangan perangkat pengendali digital yang akan diimplementasikan pada FPGA.
