Bab II Pemodelan
Bab ini berisi tentang penyusunan model untuk menjelaskan proses penyebaran konsentrasi oksigen di jaringan. Penyusunan model ini meliputi tinjauan fisis pembuluh kapiler, pemodelan daerah kapiler-jaringan, penurunan persamaan difusi beserta syarat batasnya, serta pemaparan tentang kinetika laju konsumsi oksigen yang memenuhi prinsip Michaelis-Menten.
II.1
Pembuluh Kapiler
Pembuluh kapiler merupakan pembuluh darah yang berukuran paling kecil dari sistem sirkulasi darah dan membentuk jejaring yang kompleks. Pembuluh kapiler beserta pembuluh arteri dan vena dapat dilihat pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1: Pembuluh Darah. (Sumber: http://www.wikipedia.com) Dinding kapiler hanya tersusun dari sebuah lapisan sel, yaitu endothelium. Lapisan ini sangatlah tipis, sehingga molekul-molekul seperti oksigen, karbon dioksida, dan air dapat melalui dinding ini dan memasuki jaringan dengan cara difusi.
Kapiler mempunyai diameter 5 − 20µm, dan panjang rata-rata 750µm. Diameter kapiler yang sempit menyebabkan sel darah merah dalam plasma dekat ke dinding kapiler. Hal tersebut mendorong terjadinya difusi oksigen dari sel darah merah ke jaringan, ataupun karbon dioksida dari jaringan ke darah.
6
Gambar 2.2: Pembuluh Kapiler. (Sumber: http://people.eku.edu/ritchisong/RITCHISO/301notes1.htm)
II.2
Model Kapiler-Jaringan
Untuk representasi daerah kapiler-jaringan, digunakan model silinder Krogh. Model silinder Krogh ini memperkenalkan konsep pengulangan struktur satuan sebagai representasi dari daerah kapiler-jaringan. Susunan silinder Krogh dapat dilihat pada Gambar 2.3. Sebagai akibat dari prinsip pengulangan struktur satuan, maka setiap kapiler bertanggungjawab untuk menyediakan nutrisi bagi jaringan yang melingkupi kapiler tersebut. Tentu saja ini adalah suatu penyederhanaan dari keadaan yang sebenarnya, dimana setiap bagian dari jaringan dapat disuplai oleh kapiler-kapiler lain yang tidak berada didekatnya, meskipun kapiler yang terdekatlah yang mendominasi suplai nutrisi tersebut. kapiler ujung vena
ujung arteri
jaringan
Gambar 2.3: Model Silinder Krogh. Dengan menggunakan model ini dibuat beberapa asumsi: 1. Diasumsikan silinder Krogh merupakan model yang tepat secara geometri, meskipun pada daerah yang lain, seperti daerah percabangan, kapiler tidak memiliki struktur geometri yang sederhana. 2. Jaringan yang menyelubungi kapiler sebenarnya terdiri dari material yang berbeda dan reaksi kimia yang terjadi di dalam sel bertempat pada
7 lokasi-lokasi tertentu. Pada model ini, diasumsikan reaksi kimia yang terjadi di jaringan terdistribusi secara kontinu. 3. Diasumsikan silinder kapiler-jaringan, mempunyai bentuk yang simetri terhadap sumbu. 4. Pada dinding luar silinder, material yang masuk ke sebuah silinder, diasumsikan sama dengan material yang keluar dari silinder tersebut, sehingga laju perpindahan material pada dinding luar jaringan adalah nol.
II.3
Penurunan Persamaan Difusi
Proses perpindahan material di kapiler dan jaringan terjadi secara difusi. Difusi dapat terjadi ke berbagai arah, antara lain arah radial, aksial, dan angular. Pada pembahasan ini diasumsikan difusi terjadi hanya dalam arah radial dan aksial. Dimisalkan r˜ menunjukkan posisi dalam arah radial, z˜ posisi dalam arah aksial.
Perhatikan Gambar 2.4. Misalkan J menyatakan fluks oksigen yang disebabkan oleh proses difusi. Banyaknya molekul oksigen yang mengalir pada titik z˜ tegak lurus permukaan r˜dθd˜ r (per satuan waktu) adalah J r˜dθd˜ r|z˜. Sedangkan banyaknya molekul oksigen yang keluar dari area tersebut pada posisi z˜ + d˜ z adalah J r˜dθd˜ r |z˜+d˜z . Begitu juga untuk arah radial, dimana banyaknya molekul oksigen yang melalui titik r˜ dan r˜+d˜ r, tegak lurus bidang r˜dθd˜ z masing-masing adalah J r˜dθd˜ z |r˜ dan J(˜ r + d˜ r)dθd˜ z |r˜+d˜r . J ~r +
dr~
J ~z +
d ~r
J ~z
~ r
dθ
d ~z
Gambar 2.4: Difusi.
d~z
8 Banyaknya molekul oksigen yang termuat dalam volume dV = r˜dθd˜ z d˜ r adalah sebanyak konsentrasi oksigen kali volume tersebut, atau c˜ × dV . Di dalam satuan volume jaringan, terjadi proses metabolisme dan mengkonsumsi oksigen dengan laju g(˜ c).
Berdasarkan hukum kekekalan massa, yang menyatakan bahwa perubahan jumlah molekul terhadap waktu (t˜) adalah sama dengan laju difusi yang melewati batas-batas dijumlahkan dengan reaksi kimia yang terjadi di dalam jaringan satuan, maka: ∂(˜ cdV ) = J r˜dθd˜ r|z˜ − J r˜dθd˜ r |z˜+d˜z + J r˜dθd˜ z |r˜ − J(˜ r + d˜ r )dθd˜ z |r˜+d˜r − g(˜ c)dV. ∂ t˜ (2.1) Dengan membagi persamaan (2.1) oleh dV , maka J|z˜ − J|z˜+d˜z r˜J|r˜ − (˜ r + d˜ r )J|r˜+d˜r ∂˜ c = + − g(˜ c) d˜ z r˜d˜ r ∂ t˜ ∂J ∂(˜ r J) = − − − g(˜ c). ∂ z˜ r˜∂˜ r
(2.2) (2.3)
Berdasarkan Hukum Fick, yang menyatakan bahwa jumlah molekul oksigen yang melalui suatu satuan luas dalam tiap satuan waktu berbanding lurus dengan laju perubahan konsentasi, atau: J = −Dj
d˜ c , d˜ r
(2.4)
dimana Dj adalah koefisien difusi dengan indeks j menunjukkan daerah jaringan, maka persamaan (2.3) menjadi: d˜ c d˜ c r Dj d˜ ∂(Dj d˜ ) 1 ∂(˜ ) ∂˜ c z r + − g(˜ c). = ∂ z˜ r˜ ∂˜ r ∂ t˜
Dengan mengasumsikan Dj tidak bergantung pada r˜, z˜, dan c˜, maka diperoleh: ∂˜ c c ∂ 2 c˜ ∂ 2 c˜ Dj ∂˜ + Dj 2 − g(˜ c) = Dj 2 + ∂z˜ r˜ ∂˜ r ∂˜ r ∂ t˜ c ∂ 2 c˜ ∂ 2 c˜ 1 ∂˜ + + 2 − g(˜ c). = Dj ∂ z˜2 r˜ ∂˜ r ∂˜ r
(2.5) (2.6)
9 II.4
Persamaan Michaelis-Menten
Berdasarkan Middleman [4], konsumsi oksigen g(˜ c) di jaringan mengikuti prinsip kinetika Michaelis-Menten, yaitu: g(˜ c) =
A˜ c , B + c˜
(2.7)
dimana A adalah koefisien kesetimbangan reaksi, dan B merupakan konstanta Michaelis. Berdasarkan (2.7), jika nilai c˜ cukup besar maka laju konsumsi oksigen di jaringan adalah konstan, yaitu g(˜ c) → A. Sedangkan untuk nilai c˜ mendekati nol, laju konsumsi oksigen di jaringan bersifat linier terhadap konsentrasi.
Secara fisis, parameter A menggambarkan kecepatan maksimum senyawa mengurai terhadap enzim yang bertindak sebagai katalis. Nilai A dipengaruhi oleh temperatur, pH, dan kekuatan ion. Jika zat yang berdifusi, di jaringan tidak bereaksi (pasif) maka A = 0. Parameter B merepresentasikan koefisien kesetimbangan reaksi pengikatan oksigen dengan enzim. Berdasarkan Middleman, dalam keadaan istirahat, nilai A dan B untuk konsumsi oksigen oleh sel-sel di otak berturut-turut adalah 5 × 10−4 ml O2 /ml-sec dan 2.5 × 10−6 ml O2 /ml. II.5
Syarat Batas
Daerah kapiler-jaringan digambarkan pada Gambar 2.5. Dimisalkan a adalah jari-jari dinding kapiler, dan b adalah jari-jari dinding luar jaringan.
Jaringan
r=b (Dinding jaringan)
Kapiler
r=a (Dinding kapiler)
Gambar 2.5: Penampang Kapiler-Jaringan. Darah merupakan cairan (plasma) yang heterogen, yang terdiri dari sel darah merah, sel darah putih dan platelets. Dalam hal ini, diasumsikan bahwa darah
10 merupakan cairan yang homogen, sehingga difusi terjadi secara kontinu. Ratarata koefisien difusi darah dinotasikan dengan Db . Fluks di dinding kapiler diasumsikan kontinu. Db
∂˜ c ∂˜ c = Dj ∂˜ r ∂˜ r
pada r˜ = a.
(2.8)
Dikarenakan aliran darah di pembuluh kapiler bersifat fluktuasi, maka nilai konsentrasi oksigen di dinding kapiler (˜ r = a) merupakan suatu fungsi dari waktu. c˜(a, t˜) = f (t˜). Asumsi simetri terhadap sumbu kapiler, mengakibatkan perubahan konsentrasi secara radial akan bernilai nol pada r˜ = 0. Dengan kata lain: ∂˜ c =0 ∂˜ r
pada r˜ = 0.
Kondisi tidak ada aliran yang menembus dinding jaringan, dapat dituliskan: ∂˜ c =0 ∂˜ r
pada r˜ = b.
(2.9)
