BAB II LANDASAN TEORI

BAB II : LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa teori matematika keuangan dan statistika yang mendukung dalam penurunan formula Lookback Options pada Bab III dan pembuatan program pada Bab IV. Teori-teori yang akan dibahas berupa asset, dinamika harga saham, distribusi normal dan lognormal, teorema limit pusat, random walk dan gerak Brown, gerak Brown Geometrik, model harga saham, lemma Ito, formula BlackScholes, derivatives, opsi, lookback options, dan metode binomial. Teori-teori yang telah disebutkan sebelumnya nantinya tidak akan disinggung lagi pada bab-bab selanjutnya namun akan langsung diterapkan dalam analisis maupun komputasinya.

2.1

Asset Asset adalah objek keuangan (finansial) yang nilainya sekarang diketahui dan dapat berubah di masa datang, misalnya saham, komoditas, dan mata uang. Harga dari asset-asset ini berfluktuasi dan terkadang mengalami fluktuasi yang sangat besar. Jika seseorang dapat mengantisipasi fluktuasi harga ini maka orang tersebut dapat menghasilkan uang dengan sangat cepat. Adapun yang dimaksud dengan asset dalam tugas akhir ini adalah saham, khususnya saham yang tidak memberikan dividen.

Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)

5


2.2

Dinamika Harga Saham Pergerakan harga saham dikatakan mengikuti suatu proses stokastik bila nilainya berubah setiap saat dalam ketidakteraturan. Proses stokastik merupakan barisan peubah acak X t dengan t sebagai indeks parameter atas suatu himpunan indeks Τ (Dalam kasus ini, parameter t merepresentasikan waktu). Untuk kemudahan, kita akan gunakan notasi X ( t ) dibandingkan X t . Jika himpunan indeks Τ diskrit maka proses stokastik

{ X ( t ) , t ∈ Τ}

disebut proses stokastik

diskrit sedangkan bila Τ kontinu maka disebut sebagai proses stokastik kontinu. Pada kenyataannya, harga saham berubah hanya pada saat-saat tertentu (diskrit) selama pasar saham dibuka. Untuk kemudahan, asumsikan set indeks Τ adalah kontinu.

Proses Markov adalah suatu proses stokastik, diberikan nilai X s maka nilai dari

X t , t > s hanya bergantung terhadap X s dan bukannya terhadap X u , u < s . Misalkan harga saham mengikuti Proses Markov maka hanya harga saham saat inilah yang relevan digunakan untuk menaksir harga saham di masa datang. Proses Markov ini sesuai dengan keadaan pasar saham yang mengasumsikan bahwa harga saham saat ini sudah mengandung informasi-informasi dari masa lampau dan suatu hal yang tidak relevan untuk menaksir harga saham di masa mendatang dengan menggunakan pola lintasan harga-harga saham masa lampau.

2.3

Distribusi Normal dan Lognormal Fungsi padat peluang dari suatu peubah acak yang berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ 2 adalah ⎛ 1 ⎛ x − μ ⎞2 ⎞ 1 f ( x) = exp ⎜ − ⎜ ⎜ 2 ⎝ σ ⎟⎠ ⎟⎟ σ 2π ⎝ ⎠


6


Jika peubah acak normal tersebut memiliki nilai rata-ratanya adalah 0 dan variansinya adalah 1 maka disebut sebagai peubah acak normal standar. Fungsi padat peluang dan fungsi distribusi dari peubah acak normal standar berturutturut dinyatakan oleh n ( x ) dan N ( x ) , yakni

n ( x) =

⎛ x2 ⎞ 1 exp ⎜ − ⎟ , 2π ⎝ 2 ⎠

1 N ( x) = 2π

⎛ t2 ⎞ ∫−∞ exp ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ dt. x

Jika x berdistribusi normal dengan rata-rata μ x dan variansi σ x2 , maka z = e x dikatakan berdistribusi lognormal. Fungsi padat peluang lognormal adalah

g (z) =

1 xσ x

⎛ 1 ⎛ ln z − μ ⎞2 ⎞ x exp ⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2⎝ σx ⎠ ⎟ 2π ⎝ ⎠

dan nilai rata-rata dan variansinya berturut dinyatakan oleh μ z dan σ x 2 , yakni ⎛

μ z = exp ⎜ μ x + ⎝

σ x2 ⎞

⎟, 2 ⎠

σ z2 = exp ( 2μ x + σ x2 ) ⎡⎣ exp (σ x2 ) − 1⎤⎦ .

2.4

Teorema Limit Pusat

Teorema Limit Pusat menyatakan bahwa sejumlah besar dari peubah acak yang saling bebas dan memiliki distribusi peluang yang sama akan mendekati peubah acak normal.

Untuk lebih jelasnya, misalkan X1 , X 2 ,... adalah barisan dari peubah acak yang identik dan saling bebas dengan rata-rata dan variansinya masing-masing adalah

μ dan σ 2 dan misalkan n

Sn = ∑ X i . i =1


7


Teorema. “ Untuk nilai n yang sangat besar, Sn akan menghampiri peubah

acak normal dengan rata-rata nμ dan variansi nσ 2 . Hasilnya, untuk setiap x sembarang diperoleh ⎧ S − nμ ⎫ P⎨ n ≤ x ⎬ ≈ Φ(x ) ⎩ σ n ⎭

dan hampiran yang diperoleh menjadi lebih akurat seiring dengan bertambah besarnya nilai n. “

2.5

Random Walk dan Gerak Brown

Sesuai dengan namanya, random walk berarti gerak yang random (acak) dan biasanya di dalam keuangan digunakan untuk mendeskripsikan pergerakan dari harga saham. Harga saham dikatakan mengikuti random walk yang dikatakan sebagai gerak Brown karena keacakannya. Berikut akan diterangkan mengenai random walk satu dimensi.

Misalkan terdapat partikel pada titik pusat sumbu-x. Si partikel hanya dapat melompat ke kiri atau ke kanan sejauh jarak yang sama, yakni δ . Definisikan

xi adalah peubah acak posisi partikel yang bernilai δ atau −δ ketika partikel bergerak ke kanan atau ke kiri pada saat ke-i. Asumsikan bahwa peluang dari lompatan ke kanan dan ke kiri tidak pernah berubah atau dengan kata lain, selalu sama untuk setiap saat. Tuliskan peluangnya sebagai

Pr ( xi = δ ) = p,

Pr ( xi = −δ ) = q,

dengan p + q = 1 , p dan q saling bebas terhadap i. Tiap lompatan saling bebas sehingga peubah acak xi saling bebas juga. Definisikan peubah acak

X n = x1 + x2 + ... + xn , yang menyatakan posisi si partikel pada saat langkah ke–n. Nilai ekspektasi dari

xi adalah E ( xi ) = δ p − δ q = ( p − q ) δ , i = 1, 2,..., n, Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)

8


dan karena xi saling bebas maka kita peroleh ⎛ n ⎞ n E ( X n ) = E ⎜ ∑ xi ⎟ = ∑ E ( xi ) = n ( p − q ) δ . ⎝ i =1 ⎠ i =1

Variansi dari xi adalah 2 2 2 var ( xi ) = ⎡δ 2 p + ( −δ ) q ⎤ − ⎡⎣ E ( xi ) ⎤⎦ = δ 2 − ( p − q ) δ 2 = 4 pqδ 2 , ⎣ ⎦

sehingga

var ( X n ) = 4 pqδ 2 n .

Dengan mengambil jarak pindah sekecil mungkin dari random walk di atas maka dapat dihasilkan gerak Brown satu dimensi. Gerak Brown pertama kali diamati oleh seorang ahli botani, Robert Brown, pada tahun 1827. Beliau mendeskripsikan adanya gerak tak sewajarnya oleh suatu partikel yang terdispersi di dalam zat cair atau gas. Penjelasan mengenai gerak ini pertama kali dikemukakan oleh Albert Einstein pada tahun 1905. Gerak Brown pertama kali dikenalkan oleh matematikawan Perancis, Bachelier, pada tahun 1900 yang menggunakannya dalam disertasi doktornya untuk memodelkan pergerakan harga saham dan komoditas.

Definisi. Proses Stokastik

{ X ( t ) , t ≥ 0}

disebut Gerak Brown dengan

koefisien drift μ dan parameter variansi σ 2 apabila: 1. Setiap inkremen X ( t + s ) − X ( s ) berdistribusi normal dengan rataan μt dan variansi σ 2t ; μ dan σ bernilai konstan. 2. Untuk setiap t1 < t2 < ... < tn , inkremen X ( t2 ) − X ( t1 ) ,..., X ( tn ) − X ( tn −1 ) adalah peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi seperti yang tertera pada poin (a). { X ( t ) , t ≥ 0} memiliki inkremen stasioner dan saling bebas. 3. X ( 0 ) = 0 dan lintasan dari X ( t ) adalah kontinu.


9


2.6

Gerak Brown Geometrik

Gerak Brown dan gerak Brown Geometrik sama-sama memegang prinsip bahwa harga saham masa mendatang hanya bergantung pada harga saham saat ini. Pada gerak Brown, selisih harga sahamlah yang berdistribusi normal sedangkan pada gerak Brown Geometrik logaritma dari rasio harga sahamlah yang berdistribusi normal. (Ross, 1997) Misalkan X ( t ) adalah gerak Brown dengan parameter drift μ ≥ 0 dan parameter variansi σ 2 . Proses stokastik Y ( t ) = e X (t ) ,

t≥0

disebut gerak Brown Geometrik dengan rata-rata dan variansi untuk Y ( t ) berturut-turut dinyatakan oleh ⎛ σ 2t ⎞ E (Y ( t ) | Y ( 0 ) = y0 ) = y 0 exp ⎜ μt + ⎟ 2 ⎠ ⎝ var (Y ( t ) | Y ( 0 ) = y0 ) = y02 exp 2μ t + σ 2t ⎡⎣ exp σ 2t − 1⎤⎦

(

)

( )

Kita katakan bahwa Y ( t ) berdistribusi lognormal dengan rata-rata dan variansi seperti di atas. Fungsi padat peluang dari Y ( t ) adalah

⎛ ( ln y − μt )2 ⎞ 1 ⎟, g ( y) = exp ⎜ − ⎜ ⎟ 2σ 2t yσ 2π t ⎝ ⎠

2.7

y>0

Model Harga Asset

Model diskrit merupakan model harga saham yang sederhana namun mempunyai tingkat kepercayaan yang cukup tinggi. Pada model diskrit, selang waktu [ 0, t ] dibagi dalam n subselang seragam dengan lebar δ t =

t . Misal n

S (t i ) adalah harga asset pada saat t i = iδ t .


10


Model S ( ti +1 ) = S ( ti ) + μ δ t S ( ti ) + σ δ t Yi S ( ti )

dengan μ > 0, σ ≥ 0, dan Y0 , Y1 , Y2 ,...iid ~ N (0,1) .

Dengan rekursif diperoleh n −1

(

)

S ( t ) = S0 ∏ 1 + μ δ t + σ δ t Yi , i =0

⎛ S ( t ) ⎞ n −1 ln ⎜ ⎟ = ∑ ln 1 + μ δ t + σ δ t Yi ⎝ S0 ⎠ i =0

(

)

. Untuk δ t → 0 dan ln (1 + x ) ≈ x −

x2 kita peroleh 2

⎛ S ( t ) ⎞ n −1 ⎛ 1 2 2⎞ ln ⎜ ⎟ ≈ ∑ ⎜ μ δ t + σ δ t Yi − σ δ t Yi ⎟ . S 2 ⎠ ⎝ 0 ⎠ i =0 ⎝

Selanjutnya, ⎡⎛ 1 1 ⎞⎤ E ⎢⎜ μ δ t + σ δ t Yi − σ 2 δ t Yi 2 ⎟ ⎥ = μ δ t − σ 2 δ t Yi 2 , 2 2 ⎠⎦ ⎣⎝ ⎡⎛ 1 ⎞⎤ Var ⎢⎜ μ δ t + σ δ t Yi − σ 2 δ t Yi 2 ⎟ ⎥ = σ 2 δ t + ο (δ t ) , 2 ⎠⎦ ⎣⎝

dan Teorema Limit Pusat membawa kita kepada perolehan ⎛ S (t ) ⎞ ⎛ ⎞ 1 ⎟⎟ ~ N ⎜⎜ ⎛⎜ μ − σ 2 ⎞⎟t , σ 2t ⎟⎟ . ln⎜⎜ 2 ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ S0 ⎠

Berdasarkan perolehan di atas, formulasi harga asset pada saat t

S ( t ) = S0 e

1 2⎞ ⎛ ⎜ μ − σ ⎟t +σ t Z 2 ⎠ ⎝

dengan Z ~ N (0,1) .


11


Perhatikan bahwa S ( t ) dapat dituliskan dalam bentuk eksponensial dengan

1 2⎞ ⎛ ⎜ μ − σ ⎟ t + σ t Z adalah peubah acak normal, sehingga S (t ) berdistribusi 2 ⎠ ⎝ lognormal dengan E ⎡⎣ S ( t ) ⎤⎦ = S0 e μ t ,

(

)

Var ⎡⎣ S ( t ) ⎤⎦ = S0 2 e 2 μ t eσ t − 1 .

2.8

2

Derivatives

Derivatives adalah suatu asset yang harganya bergantung pada harga suatu asset

lainnya (biasa disebut underlying asset). Dengan derivatives, para investor dapat memilih cara mereka dalam menjajaki pasar asset dengan cara berspekulasi,

berharap

mendapatkan

keuntungan

besar

dengan

hanya

menanamkan investasi kecil ataupun melakukan hedging dengan harapan mengurangi risiko yang sebelumnya telah mereka miliki.

2.9

Opsi

Opsi adalah salah satu derivatives yang banyak diperdagangkan dan menjadi favorit para investor. Dua jenis opsi yang paling sering dijumpai adalah call dan put. Call adalah opsi untuk membeli sedangkan put adalah opsi untuk menjual.

Sebuah call option memberikan hak, bukan kewajiban, kepada pemiliknya untuk membeli sebuah saham dari writer dengan harga yang telah disepakati (disebut strike price atau exercise price), dan hak tersebut berakhir pada waktu yang telah ditentukan (disebut maturity atau expiration date). Sebuah put option memberikan hak, bukan kewajiban, kepada pemiliknya untuk menjual sebuah saham kepada writer dengan harga yang telah ditentukan (disebut strike price atau exercise price), dan hak tersebut berakhir pada waktu yang telah ditentukan (disebut maturity atau expiration date).


12


Opsi yang dapat di-exercise pada setiap saat sebelum ataupun pada saat expiration date dikenal sebagai American options sedangkan opsi yang hanya

dapat di-exercise pada saat expiration date-nya dikenal sebagai European options. Masing-masing European dan American option memiliki dua tipe

yakni call dan put.

Pada saat maturity time T, setiap opsi baik European maupun American akan memberikan suatu nilai ekstrinsik, yakni payoff. Payoff dapat diartikan sebagai keuntungan yang diperoleh oleh si pemilik opsi tersebut. Berikut ini adalah contoh payoff untuk European call option dan European put option.

1. Pada saat T, sebuah European call option dengan strike price K dan maturity time T mempunyai payoff sebesar payoff = maks (S (T ) − K ,0 )

2. Pada saat T, sebuah European put option dengan strike price K dan maturity time T mempunyai payoff sebesar payoff = maks (K − S (T ),0 )

2.10 Lemma Itô

Misalkan X ( t ) adalah proses stokastik yang didefinisikan oleh

dX ( t ) = a ( X , t ) dt + b ( X , t ) dZ ( t ) dengan dZ adalah proses Wiener. Jika u adalah fungsi dari X ( t ) dan t maka berlaku 2 ⎛ ∂u ∂u 1 ∂u 2 ∂ u ⎞ du = ⎜ + a ( X , t ) dt + b ( X , t ) dZ ( t ) . + b( X ,t) 2 ⎟ ∂X 2 ∂X ⎠ ∂X ⎝ ∂t


13


2.11 Formula Black-Scholes

Untuk dapat menurunkan formula Black-Scholes maka terdapat beberapa asumsi yang harus dipatuhi, yakni: 1. Transaksi dapat terjadi setiap saat dan tidak dikenai biaya tambahan; 2. Suku bunga diketahui dan nilainya konstan; 3. Asset tidak memberikan dividen; 4. Harga saham berdistribusi lognormal dengan rata-rata dan variansi yang konstan; 5. Jumlah asset yang dibeli bisa dalam bentuk pecahan; 6. Short selling diijinkan; 7. Tidak ada peluang terjadinya arbitrage.

Misalkan kita ingin menurunkan bentuk PDP Black-Scholes untuk call Eropa dengan C adalah harga European call option dan perubahan harga saham diberikan oleh persamaan dS = μ S dt + σ S dZ .

Dengan Lemma Itô, kita peroleh bentuk PDP Black-Scholes untuk European call option adalah ⎛ ∂C ∂C 1 2 2 ∂ 2C ⎞ ∂C dC = ⎜ dt + σ S dZ . + μS + σ S 2 ⎟ ∂S 2 ∂S ⎠ ∂S ⎝ ∂t

2.12 Lookback Options

Lookback options adalah salah satu jenis opsi yang nilai payoff-nya bergantung

pada perjalanan harga saham pada suatu periode dan bukan hanya bergantung pada harga saham akhir periode saja. Opsi dengan sifat seperti ini sering disebut sebagai path dependent options. Beberapa contoh lain dari path dependent options adalah Asian options dan Barrier options. Salah satu hal yang

membedakan ketiga jenis opsi ini adalah pada saat penentuan nilai payoff-nya. Sebagai contoh, Asian options bergantung pada nilai rata-rata harga saham,


14


Barrier options bergantung pada nilai batas (barrier), dan Lookback options

bergantung pada nilai maksimum atau minimum harga saham.

2.13 Metode Binomial

Metode Binomial berangkat dari suatu model diskrit pergerakan harga saham yang sederhana. Selang waktu [ 0,T ] yakni maturity time dibagi menjadi N sub selang yang sama panjang dengan titik-titik bagi 0 = t0 < t1 < ... < t N = T dengan ti = iΔt ( i = 0,1,..., N ) , Δt =

T dan Si = S ( ti ) adalah harga saham pada saat ti . N

Asumsi : 1. Dalam selang waktu Δt , harga saham dapat naik atau turun menjadi S → S u atau S → S d dengan 0 < d < 1 < u

2. Peluang harga saham naik P ( naik ) = p

Su p

Harga saham naik dengan faktor kenaikan u dengan peluang p

(1-p)

Harga saham turun dengan faktor penurunan d dengan peluang (1-p)

S

Sd Δt

Gambar 1 Skema pergerakan harga saham pada metode binomial

3. Ekspektasi return harga saham besarnya sama dengan risk-free rate r sehingga untuk harga saham S yang bergerak secara acak dari Si pada saat ti menjadi Si +1 pada saat ti +1 . Ini berarti E ( Si +1 ) = Si e r Δt


15


Dari asumsi (3) kita peroleh

E ( return ) = r Δt , ⎛S −S ⎞ E ⎜ i +1 i ⎟ = r Δt. ⎝ Si ⎠

Dari asumsi (1) dan (2) diperoleh E ( Si +1 ) = p Si u + (1 − p ) Si d

sehingga e r Δt = p u + (1 − p ) d ,

p=

e r Δt − d . u−d

(2.1)

Perhatikan persamaan (2.1), karena 0 ≤ p ≤ 1 maka d ≤ e r Δt ≤ u .

Dari model kontinu kita miliki

(

)

E Si +12 = Si 2 e

(

)

( 2 r +σ )Δt 2

,

(

Var ( Si +1 ) = E Si +12 − ( E ( Si +1 ) ) = Si 2 e 2 r Δt eσ 2

2

Δt

)

−1 ,

dan dari model diskrit kita punyai Var ( Si +1 ) = p ( Si u ) + (1 − p )( Si d ) − Si 2 ( p u + (1 − p ) d ) . 2

2

2

Dengan menyamakan kedua variansi (diskrit dan kontinu) maka kita dapatkan

e2 r Δt +σ

2

Δt

= p u 2 + (1 − p ) d 2

(2.2)

Persamaan (2.1) dan (2.2) memberikan 2 hubungan untuk u, d, dan p. Persamaan ketiga dapat kita pilih. Persamaan ketiga yang sering digunakan adalah ud = 1 atau p = 1/ 2 . Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)

16


Untuk p = 1/ 2 solusinya adalah u = eσ

2

Δt

(1 +

eσ

2

Δt

)

d = eσ

−1 ,

2

Δt

(1 −

eσ

2

Δt

)

−1 ,

dan untuk ud = 1 solusinya adalah

β=

(

)

1 − r Δt ( r +σ 2 )Δt e +e , 2

u = β + β 2 − 1, d = β − β 2 − 1, p=

e r Δt − d . u−d

Pada solusi ud = 1 , nilai u dan d tersebut dapat dihampiri dengan nilai u dan d

(

pada metode Cox, Ross, dan Rubenstein yakni u = exp σ Δt

(

)

dan

)

d = exp −σ Δt . Hampiran ini dapat ditunjukkan dengan mudah.

Pertama-tama, kita hampiri nilai exp ( x ) dengan exp ( x ) ≈ 1 + x , sehingga exp ( − r Δt ) ≈ 1 − r Δt ,

(

)

exp r + σ 2 Δt ≈ 1 + r Δt + σ 2 Δt.

Selanjutnya dapat pula kita hampiri,

β≈

(

)

1 1 2 + σ 2 Δt = 1 + σ 2 Δt 2 2 2 β ≈ 1 + σ Δt

( β − 1) ≈ σ 2 Δt yang membawa kita kepada perolehan

(

)

1 u = β + β 2 − 1 ≈ 1 + σ 2 Δt + σ Δt = 1 + σ Δt = exp σ Δt . 2


17


Setelah itu, harga saham dihitung untuk setiap titik bagi ( ti ) yakni S ji = S 0 u j d i − j

dengan S ji menyatakan harga saham pada saat ti dengan telah terjadi kenaikan harga saham sebesar j kali serta penurunan harga saham sebesar (i-j) kali (untuk

i = 0,1,..., N dan j = 0,1,..., i ).

Proses mundur S0u3

S3,3 S0u2

S2,2

S0u

S0

S 2,3

S0u

S1,1

(N+1) titik

S0

S1,2 S0d

S0d

S1,3

S0,1 S0d2

S0,2 S0d3

S0,3

t=0

t=1

t=2

t=3

t=N

Gambar 2 Skema perjalanan harga saham untuk setiap titik bagi t = i

Proses dilanjutkan dengan mencari nilai payoff

untuk semua nilai j yang

mungkin pada saat expiration date (t = N). Adapun pada saat ti selalu terdapat i+1 kemungkinan sehingga pada saat expiration date terdapat (N+1)


18


kemungkinan.

Sehingga

V jM = maks {S jM − K , 0}

untuk

opsi

call

dan

V jM = maks { K − S jM , 0} untuk opsi put (untuk j = 0,1,..., N ).

Metode Binomial selanjutnya bekerja secara mundur (dalam waktu) untuk memperoleh nilai opsi pada saat t = 0. Untuk tiap titik ti berlaku V ji = e −rÄt ( pV j +1i +1 + (1 − p)V j i +1 ) Perhatikan bahwa persamaan tersebut hanya berlaku untuk European call ataupun put. Untuk American options, masih perlu adanya pengujian dikarenakan American options mengijinkan terjadinya early exercise. Sehingga untuk American options berlaku

{

(

V ji = maks payoff *, e − rÄt pV j +1i +1 + (1 − p)V j i +1

)}

payoff * = maks {S ji − K , 0} untuk call payoff * = maks { K − S ji , 0} untuk put

Perlu diingat pula bahwa kita akan menghitung V ji secara mundur sehingga nilai i dan j yang digunakan adalah i = N − 1, N − 2,..., 0 dan j = 0,1,..., i


19

BAB II LANDASAN TEORI

Recommend Documents