BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI

A. Matriks 1.

Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1:

9 6 − 3 8  5 3 8 4   6 − 4 − 5 12 Bilangan-bilangan yang terdapat dalam suatu matriks disebut elemen matriks. Elemen- elemen mendatar membentuk baris dan elemen- elemen vertikal membentuk kolom. Banyaknya baris dan kolom suatu matriks menyatakan ukuran matriks tersebut. Apabila dalam suatu matriks terdapat m baris dan n kolom maka ukuran matriks tersebut adalah m x n. Notasi indeks rangkap digunakan untuk menyatakan elemen suatu matriks. Simbol a ij menyatakan elemen yang muncul pada baris ke-i dan kolom ke-j, dimana 1 ≤ i ≤ m dan 1 ≤ j ≤ n . Simbol i dinamakan indeks baris sedangkan simbol j dinamakan indeks kolom. Sebuah matriks A mxn dituliskan sebagai berikut :

4

Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014

 a 11 a 12 a a 22 A =  21  ... ...  a m1 a m2

... a 1n  ... a 2n  ... ...   ... a mn 

2. Operasi pada Matriks 1) Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Definisi II.A.2 Misalkan A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah A+B adalah matriks C yaitu matriks yang diperoleh dengan menambahkan elemen-elemen B dengan elemen-elemen A yang berpadanan, dan selisih A-B adalah matriks D yaitu matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen A dengan elemen-elemen B yang berpadanan.

Matriks-matriks berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan. Dalam notasi matriks, apabila A= [a ij ] dan B= [b ij ] mempunyai ukuran yang sama maka A + B = C dimana �𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 � + �𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 � A-B=D

dimana �𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 � − �𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 �

2) Perkalian Matriks dengan Skalar Definisi II.A.3 Misalkan A adalah sebarang matriks dan c adalah sebuah skalar,maka hasil kali skalar c dengan matriks A adalah


matriks B yaitu matriks yang diperoleh dengan mengalikan c dengan setiap elemen A.

Dalam notasi matriks, apabila A=[ a ij ] maka : cA = B dimana

[b ij ] = [ca ij ] . Contoh II.A.3 1 A = �3 0

2 4� 1

4 B=� 2

3 � 1

1 2 4 maka A × B = �3 4� × � 2 0 1 8 5 = �20 13� 2 1

3 � 1

3) Perkalian Matriks dengan Matriks Definisi II.A.4 Misalkan A adalah sebuah matriks berukuran m x n dan B adalah sebuah matriks berukuran n x r, maka hasil kali A dan B adalah matriks C berukuran m x r yang elemen-elemennya didefinisikan sebagai berikut: untuk mencari elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks C caranya adalah dengan memilih baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kemudian mengalikan elemen-elemen yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan menjumlahkan hasil kalinya.


Dalam notasi matriks, apabila A= [a ij ] dan B= [b ij ] maka n

A x B = C, dimana [c ij ] = ∑ a ik b kj

i = 1,......, m

j = 1,...., r .

k =1

4) Perpangkatan Matriks Definisi II.A.5 Misalkan A adalah suatu matriks persegi orde n maka pangkat dari A didefinisikan sebagai berikut: 𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴 𝐴𝐴, 𝐴𝐴3 = 𝐴𝐴2 𝐴𝐴, . . . , 𝐴𝐴𝑛𝑛 +1 = 𝐴𝐴𝑛𝑛 𝐴𝐴, . . . dan 𝐴𝐴0 = 𝐼𝐼

Contoh II.A.5:

 1 2 2 3 Misalkan A adalah matriks   maka hitunglah 𝐴𝐴 dan 𝐴𝐴 . − 3 4   Penyelesaian :

 1 2 A=   − 3 4 maka 𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴 𝐴𝐴 =�

=�

1 2 1 2 �� −3 4 −3 4

−5 10 � −15 10

dan 𝐴𝐴3 = 𝐴𝐴2 𝐴𝐴

−5 =� −15 −35 =� −45

10 1 2 �� 10 −3 4 30 � 10


3. Macam- Macam Matriks 1) Matriks Persegi Definisi II.A.6 Matriks persegi adalah suatu matriks dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom (m = n). Disebut juga matriks persegi berordo n. Contoh II.A.6 :

5 − 6 a) Matriks A=   adalah matriks persegi orde 2. 1 − 2  7 1 − 2 b) Matriks B=  9 1 0  adalah matriks persegi orde 3. − 2 5 5  Pada matriks persegi elemen-elemen yang terletak pada garis penghubung a 11 dengan a nn dinamakan diagonal utama. 2) Matriks Identitas Definisi II.A.7 Matriks identitas adalah suatu matriks persegi dimana elemen-elemennya 1 pada diagonal utamanya dan 0 pada tempat-tempat lain diluar diagonal utama. Matriks tersebut dinyatakan dengan simbol I. Contoh II.A.7 :

1 0 0 I = 0 1 0 0 0 1


3) Matriks Diagonal Definisi II.A.8 Matriks diagonal adalah suatu matriks persegi dimana semua elemen di luar diagonal utamanya mempunyai nilai nol dan paling tidak satu elemen pada diagonal utamanya tidak sama dengan nol. Biasanya diberi simbol D. Contoh II.A.8 :

1 0 1)   0 2  1 0 0 2) 0 2 0 0 0 3 4) Matriks Transpose Definisi II.A.9 Jika A = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 � berukuran 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 maka transpose dari A adalah

matriks 𝐴𝐴𝑇𝑇 berukuran 𝑛𝑛 × 𝑚𝑚 dengan 𝐴𝐴𝑇𝑇 = �𝑎𝑎𝑗𝑗𝑗𝑗 � .

Contoh II.A.9 :

1 2 1 4 1) Matriks A = �4 5� maka 𝐴𝐴𝑇𝑇 = � 2 5 8 9

1 3 2) Matriks B = � 7 6

3 8 0 1

5 4 9 8

8 � 9

1 6 3 2 � maka 𝐵𝐵 𝑇𝑇 = � 5 2 6 3

3 8 4 2

7 0 9 2

6 1 � 8 3


5) Matriks Nilpoten Definisi II.A.10 Jika N adalah matriks persegi dan berlaku 𝑁𝑁 𝑞𝑞 = 0 untuk q

bilangan bulat positif maka N disebut matriks nilpoten. Contoh II.A.10 0 3 4 0 0 N = �0 0 6� kemudian 𝑁𝑁 2 = �0 0 0 0 0 0 0

18 0 0 0 � dan 𝑁𝑁 3 = �0 0 0 0 0

Maka matriks N disebut matriks nilpoten dengan q = 3.

0 0� 0

B. Determinan Matriks, Invers Matriks dan Rank Matriks 1. Determinan Matriks Determinan matriks merupakan suatu fungsi dengan aturan det (A) = ∑ ± 𝑎𝑎1𝑗𝑗 1 𝑎𝑎2𝑗𝑗 2 … 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 dengan

A adalah matriks persegi

berukuran 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛. Definisi II.B.1

Jika A matriks persegi, maka minor elemen 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 dinyatakan oleh

𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖 dan didefinisikan menjadi determinan sub matriks yang tetap

setelah baris ke i dan kolom ke j dihilangkan dari A. Bilangan (−1)𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖 dinyatakan oleh 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖 dan dinamakan kofaktor elemen

𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 .


Contoh II.B.1 3 1 A = �2 5 1 4

−4 6� 8

minor elemen 𝑎𝑎11 adalah 𝑀𝑀11 , yaitu 3 1 −4 5 𝑀𝑀11 = �2 5 6 � = � 4 1 4 8

6 � = 16 8

kofaktor elemen 𝑎𝑎11 adalah 𝐶𝐶11 , yaitu

𝐶𝐶11 = (−1)1+1 𝑀𝑀11 = (−1)2 (16) = 16

Definisi II.B.2

Determinan matriks persegi A yang berukuran n × n dapat dihitung dengan mengalikan elemen-elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kali yang dihasilkan, maka det (A) = 𝑎𝑎1𝑗𝑗 𝐶𝐶1𝑗𝑗 + 𝑎𝑎2𝑗𝑗 𝐶𝐶2𝑗𝑗 + . . . . + 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛 , untuk 1 ≤ j ≤ n (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j) dan

det (A) = 𝑎𝑎𝑖𝑖1 𝐶𝐶𝑖𝑖1 + 𝑎𝑎𝑖𝑖2 𝐶𝐶𝑖𝑖2 + . . . . + 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖 , untuk 1 ≤ i ≤ n (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i)

Misalkan terdapat matriks A berordo 3 x 3 , yaitu : 𝑎𝑎11 A = �𝑎𝑎21 𝑎𝑎31

𝑎𝑎12 𝑎𝑎22 𝑎𝑎32

𝑎𝑎13 𝑎𝑎23 � 𝑎𝑎33


Dengan menggunakan definisi determinan ditunjukkan bahwa det (A) = 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 𝑎𝑎33 + 𝑎𝑎12 𝑎𝑎23 𝑎𝑎31 + 𝑎𝑎13 𝑎𝑎21 𝑎𝑎32 − 𝑎𝑎13 𝑎𝑎22 𝑎𝑎31 − 𝑎𝑎12 𝑎𝑎21 𝑎𝑎33 − 𝑎𝑎11 𝑎𝑎23 𝑎𝑎32

= 𝑎𝑎11 (𝑎𝑎22 𝑎𝑎33 − 𝑎𝑎23 𝑎𝑎32 ) + 𝑎𝑎21 (𝑎𝑎13 𝑎𝑎32 − 𝑎𝑎12 𝑎𝑎33 ) + 𝑎𝑎31 (𝑎𝑎12 𝑎𝑎23 − 𝑎𝑎13 𝑎𝑎22 )

Pernyataan yang ada dalam tanda kurung di atas tidak lain berturut-turut adalah 𝐶𝐶11 , 𝐶𝐶21 , 𝐶𝐶31 sehingga det(A) = 𝑎𝑎11 𝐶𝐶11 + 𝑎𝑎21 𝐶𝐶21 + 𝑎𝑎31 𝐶𝐶31 .

Persamaan ini memperlihatkan bahwa determinan A dapat dihitung dengan mengalikan elemen-elemen dalam kolom pertama A dengan

kofaktor-kofaktorya dan menambahkan hasil kalinya. Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A. Contoh II.B.2 : Tentukan determinan matriks berikut :

a)

b)

1 2 3  A = 3 1 4 2 6 7  1 2 B=� 3 2

Penyelesaian :

a)

2 1 2 4

3 0 1 0

4 3 � 0 1

1 2 3  A = 3 1 4 2 6 7 

det(A) = 𝑎𝑎11 𝐶𝐶11 + 𝑎𝑎21 𝐶𝐶21 + 𝑎𝑎31 𝐶𝐶31




𝐶𝐶11 = (−1)1+1 𝑀𝑀11

1 4 = (−1)2 � � 6 7

= (−1)2 (−17) 

= −17

𝐶𝐶21 = (−1)2+1 𝑀𝑀21 2 = (−1)3 � 6

3 � 7

= (−1)3 (−4) 

=4

𝐶𝐶31 = (−1)3+1 𝑀𝑀31 2 = (−1)4 � 1

= (−1)4 (5)

3 � 4

=5

maka det(A) = 𝑎𝑎11 𝐶𝐶11 + 𝑎𝑎21 𝐶𝐶21 + 𝑎𝑎31 𝐶𝐶31 = 1 (−17) + 3 (4) + 2 (5) =5

b)

1 2 B=� 3 2

2 1 2 4

3 0 1 0

4 3 � 0 1

det(B) = 𝑎𝑎11 𝐶𝐶11 + 𝑎𝑎12 𝐶𝐶12 + 𝑎𝑎13 𝐶𝐶13 + 𝑎𝑎14 𝐶𝐶14




𝐶𝐶11 = (−1)1+1 𝑀𝑀11

1 0 3 = (−1) �2 1 0� 4 0 1 2

= (−1)2 (−11) 

= −11

𝐶𝐶12 = (−1)1+2 𝑀𝑀12 2 = (−1) �3 2 3

0 3 1 0� 0 1

= (−1)3 (−4)



=4

𝐶𝐶13 = (−1)1+3 𝑀𝑀13 2 = (−1) �3 2 4

1 3 2 0� 4 1

= (−1)4 (25)



= 25

𝐶𝐶14 = (−1)1+4 𝑀𝑀14 2 = (−1)5 �3 2

1 0 2 1� 4 0

= (−1)5 (−6) =6

maka det(B) = 𝑎𝑎11 𝐶𝐶11 + 𝑎𝑎12 𝐶𝐶12 + 𝑎𝑎13 𝐶𝐶13 + 𝑎𝑎14 𝐶𝐶14 = 1 (−11) + 2 (4) + 3 (25) + 4 (6) = 96


2. Invers Matriks Definisi II.B.3 Jika A adalah suatu matriks persegi dengan n baris dan n kolom serta 𝐼𝐼𝑛𝑛 adalah matriks identitas berukuran n × n maka terdapat

matriks persegi 𝐴𝐴−1 sehingga berlaku A𝐴𝐴−1 = 𝐴𝐴−1 A = I, maka 𝐴𝐴−1 disebut invers matriks A.

Teorema II.B.1

Jika P adalah matriks nonsingular (det (P) ≠ 0), maka 1

𝑃𝑃−1 = det (𝑃𝑃) adj (P)

dengan adj (P) adalah transpose dari kofaktor matriks P. Contoh Teorema II.B.1 1 A=� 1

2 � 3

1

𝐴𝐴−1 = det (𝐴𝐴) adj (A) det(𝐴𝐴) = 3 – 2 = 1 Adj (A) = � 1

𝐴𝐴−1 = 1 �

3 −2 � −1 1

3 −2 3 −2 �=� � −1 1 −1 1


3. Rank Matriks Definisi II.B.4 Jika matriks A paling sedikit terdapat satu minor determinan yang tidak sama dengan nol dan ternyata terdiri dari r baris, akan tetapi untuk minor yang determinannya sama dengan nol apabila minor matriksnya terdiri dari (r+1) baris, maka matriks A dikatakan mempunyai

rank

sebesar

r.

Biasanya

diberi

simbol

rank(A) = r(A).

Untuk mempermudah di dalam mencari nilai rank suatu matriks, dapat menggunakan transformasi elementer yang menunjukkan kepada baris dan kolom dari matriks yang bersangkutan. Besarnya nilai rank suatu matriks dapat dilihat secara langsung dengan cara melihat determinan yang tidak sama dengan nol dari minor matriks dengan jumlah baris dan kolom tertentu. Jumlah baris (kolom) itulah yang menunjukkan besarnya nilai rank atau banyaknya baris yang masih mengandung elemen tidak sama dengan nol setelah transformasi elementer baik terhadap baris maupun kolom.


Contoh II.B.4 1 2 3 A = �2 3 4� maka rank (A) adalah : 3 5 7

1 2 3 A = �2 3 4� −2𝑏𝑏1 3 5 7 −3𝑏𝑏1 1 2 3 𝐴𝐴2 = �0 −1 −2� 0 0 0

1 2 3 𝐴𝐴1 = �0 −1 −2� 0 −1 −2 −𝑏𝑏2

Maka nilai rank (A) adalah 2.

C. Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Persamaan Karakteristik Definisi II.C.1 Jika A adalah matriks n x n maka vektor taknol x di dalam R n dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x yaitu Ax = λx untuk suatu skalar. Skalar λ dinamakan nilai eigen dari A dan x dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ . Contoh :

1  3 0  Vektor x =   adalah vektor eigen dari A =   yang bersesuaian  2 8 − 1

3 0  1 3 dengan nilai eigen λ = 3 karena Ax =   2 = 6 = 3x . − 8 1      Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n maka dituliskan kembali 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝜆𝜆 𝑥𝑥 sebagai 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝜆𝜆 𝐼𝐼 𝑥𝑥 atau secara ekuivalen (𝐴𝐴 − 𝜆𝜆 𝐼𝐼)𝑥𝑥 = 0. Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan

taknol dari persamaan (𝐴𝐴 − 𝜆𝜆 𝐼𝐼)𝑥𝑥 = 0. Dan persamaan ini akan mempunyai


pemecahan taknol jika dan hanya jika det( A − λI) = 0 . Ini dinamakan persamaan karakteristik A, skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A. Bila diperluas, maka det( A − λI) adalah polinom λ yang dinamakan polinom karakteristik dari A. Jika A adalah matriks n x n, maka polinom karakteristik A harus memenuhi n dan koefisien λ n adalah 1. Jadi, polinom karakteristik dari matriks n x n mempunyai bentuk det(A - λΙ) = λ n + c1 λ n −1 + ... + c n . Contoh II.C.1 :

 3 2 Diketahui matriks A =   maka tentukan nilai eigen matriks A. − 1 0 Penyelesaian : det (𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝜆𝜆) = 0 ⇔ det ��

3 2 1 � − 𝜆𝜆 � −1 0 0

3 2 ⇔ �� − −1 0 3 − 𝜆𝜆 ⇔� −1

�

0 �� = 0 1

𝜆𝜆 0 �� = 0 0 𝜆𝜆

2 �=0 −𝜆𝜆

⇔(3 − 𝜆𝜆) (−𝜆𝜆) – (−2) = 0 ⇔ 𝜆𝜆2 − 3𝜆𝜆 + 2 = 0

Jadi persamaan karakteristik dari A adalah λ 2 − 3λ + 2 = 0 .

Penyelesaian persamaan ini adalah λ = 1 dan λ = 2 . Selanjutnya disebut nilai-nilai eigen dari A.


D. Ruang Eigen Suatu Matriks Dan Basisnya Definisi II.D.1 Vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vektor taknol dalam ruang pemecahan dari (λI-A)x = 0. Selanjutnya ruang pemecahan ini dikatakan sebagai ruang eigen dari A yang bersesuaian dengan λ .

Contoh :

 3 − 2 0 Carilah vektor eigen matriks berikut A = − 2 3 0  0 0 5 Pemecahan : Ax = λx

(λI - A)x = 0 det(λI - A) = 0

0  λ - 3 − 2  det  − 2 λ - 3 0  = 0  0 0 λ - 5 ⇔ (λ − 3)((λ − 3)(λ − 5) − 0 ) − (−2)((−2)(λ − 5) − 0 ) + 0((−2)0 − 0(λ − 3) ) = 0 2 ⇔ (λ − 3)(λ − 8λ + 15) + 2(−2λ + 10) + 0 = 0

3 2 2 ⇔ λ − 3λ − 8λ + 24λ + 15λ − 45 − 4λ + 20 = 0

⇔ λ 3 − 11λ 2 + 35λ - 25 = 0

⇔ (λ - 1)(λ - 5)(λ - 5) = 0


Persamaan karakterisrik dari A adalah (λ − 1)(λ − 5) 2 = 0 sehingga nilai-nilai eigen dari A adalah λ = 1 dan λ = 5 . Jadi diperoleh dua ruang eigen dari A.

 x1  x =  x 2  adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ jika dan hanya  x 3  jika x adalah ruang pemecahan tak trivial dari (λI-A)x = 0, yaitu:

0   x1  0  λ - 3 − 2  − 2 λ - 3 0   x  = 0    2     0 0 λ - 5  x 3  0 Jika λ = 5 maka menjadi 2 −2 ⇔ �−2 2 0 0

0 0 𝑥𝑥1 0� �𝑥𝑥2 � = �0� 0 0 𝑥𝑥3

2 −2 0 �−2 2 0� 𝑏𝑏2 + 𝑏𝑏1 0 0 0

2 ⇔ �0 0

−2 0 𝑥𝑥1 0 0 0� �𝑥𝑥2 � = �0� 0 0 𝑥𝑥3 0

2 −2 0 �0 0 0 � 0 0 0

 2𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 + 0𝑥𝑥3 = 0 2𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 = 0

2𝑥𝑥1 = 2𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2

Diambil x 1 = s maka x 2 = s dan x 3 = t . Jadi vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan

λ = 5 adalah

vektor-vektor taknol yang berbentuk:


 s   s  0 1 0 x =  s  =  s  + 0 = s 1 + t 0  t  0  t  0 1 0  1   Karena 1 dan 0 adalah vektor-vektor bebas linier, maka vektor1 0 vektor tersebut akan membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = 5 . Banyakya vektor dalam basis disebut dimensi. Kemudian untuk λ = 1 caranya sama seperti mencari vektor eigen pada λ = 5 . E. Matriks – Matriks Serupa Matriks A serupa (similar) dengan matriks T jika terdapat suatu matriks nonsingular P sehingga A = 𝑃𝑃−1 T P. Teorema II.E.1

Diberikan matriks T dan A yang berukuran n x n. Jika T serupa dengan A, maka kedua matriks mempunyai persamaan karakteristik yang sama dan oleh sebab itu keduanya mempunyai nilai-nilai eigen yang sama. Contoh II.E.I : 4 −4 −11 3 −12 −42 T=� −2 12 37 −1 7 20

11 42 � −34 −17

3 0 A=� 0 0

1 3 0 0

0 1 3 0

0 0 � 0 3

Dari matriks T didapat persamaan karakteristikya det(T− 𝜆𝜆𝜆𝜆) =

(𝜆𝜆 − 3)4 sehingga nilai eigen dari T adalah 𝜆𝜆 = 3. Jika didefinisikan

A = 𝑃𝑃−1 𝑇𝑇 𝑃𝑃, maka nilai eigen A akan menjadi sama dengan nilai eigen T.


Dimana P adalah matriks nonsingular dan 𝑃𝑃−1 adalah invers matriks nonsingular. A = 𝑃𝑃−1 𝑇𝑇 𝑃𝑃

−4 −2.22 0.85 0.33 0 4 −0.33 0.11 0 0 3 −12 =� �� 0 −0.33 −1 1 −2 12 7 2 −0.33 −1 0 −1 3 0 =� 0 0

1 3 0 0

0 1 3 0

0 0 � 0 3

−11 11 −3 −42 42 −9 �� 37 −34 6 20 −17 3

11 42 −34 −20

0 −1 0 −3 � 0 1 1 0

Maka nilai eigen matriks A adalah 𝜆𝜆 = 3.

F. Matriks Bentuk Kanonik Jordan Definisi II.F.1

Jika A adalah matriks persegi berukuran n × n, maka matriks bentuk Kanonik Jordan dari A adalah suatu matriks persegi dimana 𝐵𝐵1 0 𝑃𝑃−1 𝐴𝐴 𝑃𝑃 = J = � ⋮ 0

0 𝐵𝐵2 ⋮ 0

… 0 … 0 � dengan P adalah matriks ⋱ ⋮ … 𝐵𝐵𝑘𝑘

nonsingular dan untuk setiap 𝐵𝐵𝑖𝑖 , i = 1, 2, . . . , k adalah blok Jordan. Blok Jordan adalah suatu matriks yang berbentuk 𝜆𝜆 𝐼𝐼1 𝐼𝐼1

𝑥𝑥 1

adalah matriks identitas berukuran 1 × 1.

𝑥𝑥 1

dengan

Definisi II.F.2 Jika A adalah matriks persegi berukuran n × n dan det(𝜆𝜆𝜆𝜆 − 𝐴𝐴) = (𝜆𝜆 − 𝑟𝑟1 )𝑚𝑚 1 (𝜆𝜆 − 𝑟𝑟2 )𝑚𝑚 2 . . . (𝜆𝜆 − 𝑟𝑟𝑘𝑘 )𝑚𝑚 𝑘𝑘 , dimana 𝑟𝑟1 , 𝑟𝑟2 , . . . , 𝑟𝑟𝑘𝑘 adalah

akar berbeda dari polinom karakteristik A. Jika A serupa dengan


𝐵𝐵1 0 matriks � ⋮ 0

𝜆𝜆 ⎡0 ⎢ berbentuk ⎢ ⋮ ⎢0 ⎣0

0 𝐵𝐵2 ⋮ 0

1 𝜆𝜆 ⋮ 0 0

… 0 … 0 � dengan ⋱ ⋮ … 𝐵𝐵𝑘𝑘 0 1 ⋮ 0 0

Kanonik Jordan dari A.

⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯

𝐵𝐵𝑖𝑖 adalah blok Jordan yang

0 0 0 0⎤ ⎥ ⋮ ⋮ ⎥ maka disebut matriks bentuk 𝜆𝜆 1⎥ 0 𝜆𝜆 ⎦

Diberikan A adalah matriks persegi n × n dan B adalah matriks persegi n × n, maka matriks B serupa dengan matriks A jika terdapat matriks nonsingular P sehingga B = P-1 A P . T : 𝑅𝑅 𝑛𝑛 → 𝑅𝑅 𝑛𝑛 adalah operator matriks A yang didefinisikan oleh T(𝑥𝑥) = A(𝑥𝑥) dengan A adalah matriks berukuran

n x n, maka T dinamakan operator yang dibangun oleh A. T : V → W adalah transformasi linear dimana V dan W adalah ruang vektor tidak nol dengan dimensi yang terbatas dari V ke W. Jika A adalah matriks dari T dengan basis 𝛼𝛼 dari V (A = [𝑇𝑇]𝛼𝛼𝛼𝛼 ) dan B adalah matriks dari T dengan basis 𝛽𝛽

yang berbeda dari W (B = [𝑇𝑇]𝛽𝛽 ).

Hubungan antara operator dan matriks yaitu, misal diberikan operator

linear T : V → V dan 𝛼𝛼 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 , . . . , 𝑒𝑒𝑛𝑛 } adalah basis untuk V sedangkan

𝛽𝛽 = {𝑓𝑓1 , 𝑓𝑓2 , . . . , 𝑓𝑓𝑛𝑛 } adalah basis yan lain untuk V. Diberikan 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 yang direlasikan oleh T(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦, karena 𝑥𝑥 ∈ V maka 𝑥𝑥 dapat dinyatakan dengan

𝑥𝑥 = 𝑐𝑐1 𝑒𝑒1 + 𝑐𝑐2 𝑒𝑒2 + . . . + 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑛𝑛 atau 𝑥𝑥 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑖𝑖 dan 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑1 𝑓𝑓1 + 𝑑𝑑2 𝑓𝑓2 +

. . . + 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑓𝑓𝑛𝑛 atau 𝑦𝑦 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑓𝑓𝑖𝑖


Dengan demikian koordinat kolom dari 𝑥𝑥 yang relative terhadap basis

𝛼𝛼 adalah [𝑥𝑥]𝛼𝛼 = (𝑐𝑐1 , 𝑐𝑐2 , . . . , 𝑐𝑐𝑛𝑛 )T dan koordinat kolom dari 𝑦𝑦 adalah [𝑦𝑦]𝛽𝛽 = (𝑑𝑑1 , 𝑑𝑑2 , . . . , 𝑑𝑑𝑛𝑛 )T sehingga T(𝑒𝑒𝑗𝑗 ) = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑓𝑓𝑖𝑖

, 𝑗𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑛𝑛.

Ekuivalen dengan [T(𝑒𝑒𝑗𝑗 )]𝛽𝛽 = (𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑎𝑎2𝑗𝑗 , . . . , 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 )T = 𝐴𝐴𝑗𝑗 dengan A = |𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 | = [𝐴𝐴1 , 𝐴𝐴2 , . . . , 𝐴𝐴𝑛𝑛 ].

Definisi II.F.3 Matriks [T(𝑒𝑒𝑗𝑗 )]𝛽𝛽 = (𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑎𝑎2𝑗𝑗 , . . . , 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 )T = 𝐴𝐴𝑗𝑗 dengan A = |𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 | = [𝐴𝐴1 , 𝐴𝐴2 , . . . , 𝐴𝐴𝑛𝑛 ] maka matriks A dinamakan matriks standar T yang 𝛽𝛽

relative terhadap basis 𝛼𝛼 dan 𝛽𝛽 dinotasikan dengan A = [T] = [T]𝛼𝛼 . Jika V = W dan 𝛼𝛼 = 𝛽𝛽 maka matriks A= [T]𝛼𝛼𝛼𝛼 .

Jika T : 𝑅𝑅 𝑛𝑛 → 𝑅𝑅 𝑛𝑛 adalah operator matriks T(X) = AX. Kemudian 𝛼𝛼

adalah basis standar untuk 𝑅𝑅 𝑛𝑛 dan diketahui bahwa [𝑇𝑇]𝛼𝛼𝛼𝛼 = A. Jika P adalah matriks nonsingular yang merupakan perubahan basis dari 𝛼𝛼 ke basis 𝛽𝛽 𝛽𝛽

maka diperoleh P-1 A P = P-1 [𝑇𝑇]𝛼𝛼𝛼𝛼 P = [𝑇𝑇]𝛽𝛽 = B.


G. Matriks Eksponensial Definisi II.G.1 Jika A adalah matriks n x n, maka matriks eksponensial dari A dinotasikan dengan 𝑒𝑒 𝐴𝐴 atau exp (A) yang merupakan matriks n x n

dengan deret pangkat yang didefinisikan : 𝑒𝑒 𝐴𝐴 = I + A +

𝐴𝐴𝑘𝑘

= ∑∞ 𝑘𝑘=0 𝑘𝑘!

𝐴𝐴2 2!

+... +

𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑘𝑘!

+....

Dengan I adalah matriks identitas berukuran n x n.

Sesuai dengan deret maclaurin maka deret tersebut konvergen untuk setiap nilai A sehingga matriks eksponensial dari A selalu terdefinisi.


BAB II LANDASAN TEORI

Recommend Documents