4
BAB II LANDASAN TEORI Teori yang ditulis dalam bab ini merupakan beberapa landasan yang digunakan untuk menganalisis sebaran besarnya klaim yang berekor kurus (thin tailed) dan yang berekor gemuk (fat tailed) untuk menentukan besarnya premi.
2.1. Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan tepat tetapi bisa diketahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak.
Definisi 1 (Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω. (Grimmett dan Stirzaker 2001)
Definisi 2 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. (Grimmett dan Stirzaker 2001)
Definisi 3 (Medan- ) Medan-
adalah himpunan
yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari
Ω yang memenuhi syarat-syarat berikut: a.
. maka
b. Jika c. Jika
,
,…
. maka
. (Grimmett dan Stirzaker 2001)
Definisi 4 (Ukuran peluang) Ukuran peluang P pada ruang ukuran Ω, memenuhi:
adalah fungsi P
0,1 yang
5
a. P
0, P Ω
b. Jika
,
1.
, … adalah himpunan anggota-anggota , untuk setiap , dengan
yang saling lepas, yaitu
maka: P
P
. (Grimmett dan Stirzaker 2001)
Tripel Ω, , P disebut dengan ruang peluang.
Definisi 5 (Kejadian saling bebas) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika: P Secara umum, himpunan kejadian
P ;
P
P
.
dikatakan saling bebas jika: P
.
untuk setiap himpunan bagian J dari I. (Grimmett dan Stirzaker 2001)
2.2. Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 6 (Peubah acak) Misalkan Ω adalah ruang contoh pada sebuah percobaan acak. Fungsi bernilai real Ω
adalah peubah acak jika untuk setiap interval Ι
,
Ω:
Ω
I
adalah sebuah kejadian. (Ghahramani 2005) Definisi 7 (Fungsi sebaran) Jika X adalah peubah acak maka fungsi F yang terdefinisi dalam P
sebagai
disebut fungsi sebaran (distribution function) dari X . (Ghahramani 2005)
6
Definisi 8 (Peubah acak diskret) Peubah acak X disebut peubah acak diskret jika himpunan semua kemungkinan ,
nilai
, … dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. (Grimmett dan Stirzaker 2001)
Teorema 2.1 (Sifat-sifat fungsi sebaran peubah acak diskret) Misalkan X adalah peubah acak diskret dan F adalah fungsi sebarannya. Maka F memenuhi sifat: (i)
F fungsi takturun, jika
ii
lim
iii
lim
(iv)
maka
.
1. 0. ,
F adalah kontinu kanan, untuk setiap adalah
suatu
barisan
menurun
maka lim
pada
. Jika yang
konvergen
ke-t,
.
Bukti: lihat Ghahramani 2005 halaman 144. Definisi 9 (Fungsi massa peluang peubah acak diskret) Fungsi massa peluang p pada peubah acak diskret X dengan himpunan nilai yang mungkin
,
,
, … adalah suatu fungsi dari
(i)
0, jik
(ii)
P
iii
∉
,
,
dan
ke
yang memenuhi:
,… . 0,
1,2,3, … .
1. (Ghahramani 2005)
Definisi 10 (Peubah acak kontinu) Peubah acak X dikatakan kontinu jika terdapat fungsi sebaran
P
dapat dinyatakan sebagai: ,
sehingga fungsi
7
dengan
:
0, ∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi
disebut fungsi
kepekatan peluang (probability density function) dari X. (Grimmett dan Stirzaker 2001)
Teorema 2.2 (Hubungan fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang pada peubah acak kontinu) Jika f adalah fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X yang kontinu dengan fungsi sebaran F, maka f harus memenuhi: 1.
i .
ii
0.
iii P iv P
P
P
P
. Bukti: lihat Ghahramani 2005 halaman 232.
Definisi 11 (Sebaran Poisson) Suatu peubah acak X dikatakan menyebar Poisson dengan parameter λ, jika memiliki fungsi kerapatan peluang: ;λ dengan λ
,
!
0,1,2, …
0. (Hogg et al. 2005)
Definisi 12 (Sebaran eksponensial) Suatu peubah acak X dikatakan menyebar eksponensial dengan parameter , jika X memiliki fungsi kepekatan peluang: ;
,
0 dan
0. (Ghahramani 2005)
8
Definsi 13 (Sebaran Beta) Suatu peubah acak X dikatakan menyebar beta dengan parameter
,
, jika
memiliki fungsi kepekatan peluang: 1
; ,
,
,
0,
0
dengan , ,
.
1
adalah sebuah fungsi yang kaitannya dengan fungsi gamma sebagai
berikut: Γ Γ
,
Γ
. (Ghahramani 2005)
Definsi 14 (Sebaran Gamma) Suatu peubah acak X dikatakan menyebar gamma dengan parameter
,
, jika
memiliki fungsi kepekatan peluang: ; ,
Γ
,
0,
0
dengan sebuah fungsi yang digunakan dalam sebaran gamma adalah fungsi gamma yang didefinisikan sebagai berikut: Γ
. (Ghahramani 2005)
2.3. Momen dan Momen Pusat
Definisi 15 (Momen) (i) Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang momen ke-k dari X didefinisikan sebagai: ,
1,2, …
, maka
9
asalkan jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka momen ke-k dari peubah acak X tidak ada. (ii) Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
, maka
momen ke-k dari X didefinisikan sebagai:
asalkan integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka momen ke-k dari peubah acak X tidak ada. (Ross 2007) Momen pertama dari suatu peubah acak X disebut nilai harapan (expected value) dari X, dan dilambangkan dengan E(X).
Definisi 16 (Momen pusat) Momen pusat ke-k dari suatu peubah acak X didefinisikan sebagai momen ke-k dari peubah acak
, yaitu
. (Ross 2007)
Momen pusat pertama adalah nol. Momen pusat ke-2 dari X disebut ragam (variance) dari X, dan dinotasikan dengan
atau
.
Definisi 17 (Fungsi pembangkit momen) Fungsi pembangkit momen (moment generating function) dari suatu peubah acak X didefinisikan sebagai: 2.1 untuk t
sehingga nilai harapan di atas ada. (Ross 2007)
Teorema 2.3 (Sifat dari fungsi pembangkit momen) ∞, maka momen ke-k dari peubah acak
Jika fungsi pembangkit momen
X dapat diperoleh dengan cara menentukan turunan ke-k dari fungsi pembangkit momen
untuk nilai t = 0. Jadi, 0
.
10
Bukti: Dengan menggunakan fungsi pembangkit momen pada persamaan (2.1), yaitu: .
2.2
Turunan pertama dari persamaan (2.2), yaitu:
2.3 dengan mengambil t = 0 maka persamaan (2.3), diperoleh: 0
.
2.4
Turunan kedua dari persamaan (2.2), yaitu: 2.5 subsitusi persamaan (2.3) ke persamaan (2.5), diperoleh:
2.6 dengan mengambil t = 0 maka persamaan (2.6), diperoleh: 0
.
2.7
Secara umum untuk turunan ke-k dari persamaan (2.2), yaitu:
2.8 dengan mengambil t = 0 maka persamaan (2.6), menjadi: 0
.
11
2.4. Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak
Definisi 18 (Nilai harapan peubah acak diskret) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan himpunan nilai yang mungkin adalah A. Jika
adalah fungsi massa peluang dari X, maka nilai harapan
(expected value) dari peubah acak X didefinisikan sebagai:
dan
dikatakan ada jika ∑
konvergen mutlak. (Ghahramani 2005)
Definisi 19 (Simpangan baku dan ragam peubah acak diskret) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan himpunan nilai yang mungkin adalah A,
adalah fungsi massa peluang dari X dan
harapan dari X, maka
dan
adalah nilai
masing-masing adalah simpangan baku
(standard deviation) dan ragam (variance) dari X dan didefinisikan sebagai:
dan . (Ghahramani 2005)
Definisi 20 (Nilai harapan pada peubah acak kontinu) Jika X adalah peubah acak kontinu dengan f sebagai fungsi kepekatan peluang, maka nilai harapan dari X didefinisikan sebagai: . (Ghahramani 2005)
12
Definisi 21 (Simpangan baku dan ragam dari peubah acak kontinu) Jika X adalah peubah acak kontinu,
maka
dan
masing-
masing adalah simpangan baku dan ragam dari X yang didefinisikan sebagai:
dan . (Ghahramani 2005)
2.5. Fungsi Utilitas (Utility Function) Menurut Dickson (2005) fungsi utilitas yang dinotasikan dengan U(w) adalah sebuah fungsi yang nilainya terukur dengan w adalah nilai kekayaan.
Definisi 22 (Fungsi utilitas eksponensial (Exponential Utility Function)) Misalkan w adalah nilai kekayaan. Fungsi kekayaan eksponensial didefinisikan sebagai: ,
0 dan s
0
2.9
dengan 0
2.10
dan "
0
2.11 (Bowers et al. 1997)
Teorema 2.4 (Prinsip kesetimbangan (Zero Utility Principle)) Misalkan U(w) adalah fungsi utilitas dengan
0 dan "
0. X
adalah besarnya klaim. Fungsi prinsip kesetimbangan dari besarnya premi minimum P adalah: 2.12 (Dickson 2005) Bukti: lihat Dickson halaman 42.
13
2.6. Ukuran Risiko
Definisi 23 (Risiko absolut yang dihindari (Absolute Risk Aversion)) 0 dan "
Misalkan U(w) adalah fungsi utilitas dengan
0 . Dan w
ada adalah nilai kekayaan. Risiko absolut yang dihindari dinotasikan sebagai
,
didefinisikan sebagai: "
. (Arrow 1971)
Definisi 24 (Risiko relatif yang dihindari (Relative Risk Aversion)) 0 dan "
Misalkan U(w) adalah fungsi utilitas dengan
0 . Dan w ,
ada adalah nilai kekayaan. Risiko relatif yang dihindari dinotasikan sebagai didefinisikan sebagai: "
. (Arrow 1971)
2.7. Akumulasi Klaim Tahunan
Definisi 25 (Akumulasi klaim tahunan (Annual Aggregate Klaim)) Misalkan
adalah besarnya klaim ke-i, yang merupakan peubah acak kontinu
yang saling bebas dan identik untuk bebas dari
1, dan N adalah banyaknya klaim yang
. Akumulasi klaim tahunan didefinisikan sebagai: .
2.13 (Bowers et al. 1997)
Dalam aplikasi asuransi,
diasumsikan mengikuti sebaran Poisson
atau
sebaran binomial negatif. Untuk menentukan fungsi pembangkit momen dari akumulasi klaim
∑
adalah sebagai berikut: . .
|
.
2.14
14
.
Dengan
∑
|
|
∑
|
2.15
saling bebas, sehingga persamaan (2.15) menjadi
karena ∑
∑
|
…
2.16
dan memiliki sebaran yang identik sehingga persamaan (2.16) menjadi: .
|
dari Definisi 17 di ketahui bahwa
adalah fungsi pembangkit
momen dari X sehingga: .
|
. ∑
Jadi fungsi pembangkit momen dari
adalah: 2.17
E
.
2.8. Statistik Tataan (Order Statistics) Definisi 26 (Statistik Tataan (Order Statistics)) Misalkan
,
,…,
adalah peubah acak kontinu yang saling bebas dan
sebarannya identik. Fungsi sebaran dan fungsi kepekatannya dinotasikan dengan F dan f. Misalkan
adalah nilai yang paling kecil pada
,
,…,
1
. Maka
adalah statistik tataan dari
,…,
,
adalah nilai yang paling kecil ketiga,
adalah nilai yang paling kecil kedua, dan secara umum
,
adalah nilai yang paling kecil ke- k pada disebut statistik tataan ke k, dan ,
,…,
,
,…,
. (Ghahramani 2005)
15
Teorema 2.5 (Hubungan fungsi sebaran dan fungsi kepekatan pada statistik tataan) Misalkan ,
,…,
,
,…,
adalah statistik tataan dari peubah acak kontinu
yang yang saling bebas dan sebarannya identik dengan fungsi
sebaran dan fungsi kepekatan dinotasikan dengan F dan f. Maka fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang dari 1
dan
adalah
∞
∞
∞
∞.
, yaitu:
,
dan ! 1 !
!
dengan k = 1, 2, 3, …n Bukti: Lihat Ghahramani 2005, hal 388.
1
,
