BAB II LANDASAN TEORI

11

BAB II LANDASAN TEORI Antrian terdapat di mana mana, misalnya pembeli yang menunggu giliran, para penonton film yang antri untuk membeli karcis, para mahasiswa yang menunggu giliran pendaftaran dan lain sebagainya. Sebuah problem antrian terjadi, apabila orang-orang atau obyek-obyek datang pada suatu tempat untuk dilayani tetapi kemudian menghadapi keterlambatan di sebabkan oleh karena mekanisme pelayanan mengalami kesibukan (Winardi, 1999). Problem antrian terdapat pada seluruh sistem “managerial” pada sebuah konsepsi arus (flow) dan sistem managerial pada dasarnya merupakan suatu sistem arus bertahap (sequential flow system ) yang mencakupi input, proses, output, di mana setiap fase merupakan output dari fase yang mendahului dan input dari fase yang lain (Winardi, 1999). 2.1. Pengertian Antrian (Queue) Kata antrian dalam bahasa inggris ialah queueing atau waiting line. Dalam kehidupan manusia terutama mereka yang hidup di kota tak akan terlepas dari kegiatan antrian. Kegiatan antrian timbul karena jumlah fasilitas pelayanan jasa lebih sedikit dibandingkan

dengan jumlah orang yang memerlukan

pelayanan bersangkutan (Taha, 1996). Orang terpaksa melakukan antian untuk memnuhi kebutuhan. Misalnya mobil antri membeli bahan bakar minyak (BBM), orang antri untuk membeli tiket pesawat, orang antri membeli karcis kereta api, dan sebagainya. Jadi, kegiatan antrian merupakan bagian dari berbagai aspek kehidupan manusia yang bertujuan memenuhi kebutuhannya.

12

Masalah yang berkaitan dengan antri adalah waktu menunggu dan panjang antrian. Khususnya masalah waktu menunggu tentunya harus jangan sampai terlalu lama, agar tidak boros waktu dan melelahkan. Sedangkan masalah panjang antrian berkaitan dengan tempat (space) untuk menunggu. Masalah ini hanya dapat di pecahkan dengan model antrian (Taha, 2001). Teori antrian di kenal dalam dunia ilmiah sebagai queueing theory atau waiting line theory, yaitu teori yang membahas tentang seluk beluk antri yang dilakukan oleh orang atau benda atas kehendak manusia. Di sadari atau tidak nampaknya masalah antrian merupakan bagian yang tidak dapat di hindari dari kehidupan manusia masa kini. Mendengar kata antri, berarti akan terbayang orang berdiri berderet dalam satu barisan. Atau mobil berderet dalam satu barisan dan memanjang. Lalu kita berfikir alangkah kita lelah atau kesalnya menunggu. Dikarenakan factor kelelahah menunggu itulah maka para pakar mencoba mengutak-atik masalah antrian dengan matematika. Untuk apa? Tentu saja untuk “kesejahteraan” kita semua, dalam arti bagaimana cara agar factor kelelahan menunggu dapat dikurangi (Taha,2001). Sebagai ilustrasi mari kita Perhatikan antrian calon pembeli di sebuah warung. Pada jam jam tertentu pembeli yang datang sangat sedikit dan dapat langsung di layani. Namun pada jam jam makan, calon calon pembeli akan berdatangan dan akan membentuk antrian. Setiap kali ada calon pembeli yang dating (menambah elemen), maka ia harus menempati posisi palingbelakang dalam barisan antrian yang ada. Petugas warung hanya akan melayani calon pembeli yang paling depan dari antrian. Jika sudah di layani, maka pembli tadi akan

meninggalkan

antrian

(mengurangi

elemen),

dan

orang-orang

belakangnya akan bergerak maju. Yang berada paling depan dalam antrian itu.

di

13

Pada kasus di atas penambahan elemen hanya dapat di lakukan di ujung belakang antrian, sedangkan penghapusan elemenhanya dapat di lakukan di ujung depan antrian. Keadaan tersebut biasa di sebut Queue (antrian) atau FIFO – First In First Out (Iskandar, 2005) Perhatikan beberapa situasi berikut ini: 

Kendaraan berhenti berderet deret menunggu di traffic light



Pesawat menunggu lepas landas di bandara



Mesin rusak antri untuk di perbaiki di sebuah bengkel



Surat antri untuk di ketik oleh sekertaris



Program menunggu di proses oleh computer digital Apa yang ada dalam situasi tersebut adalah fenomena menunggu. Suka

atau tidak suka, menunggu adalah bagian dari kehidupan kita sehari hari. Fenomena menunggu merupakan hasil dari keacakan dalam operasional pelayanan fasilitas. Secara umum, kedatangan customer dan waktu pelayanan tidak di ketahui untuk waktu selanjutnya. Sebaiknya fasilitas operasional dapat di atur sehingga dapat mengurangi antrian (Purwirosentono, 2003). 2.2. Disiplin Antrian Antrian adalah berdiri berderet dalam suatu barisan memanjang dari depan ke belakang (Purnomo, 2003). Dalam hal ini disiplin yang harus di taati oleh para peserta antri tersebut adalah bahwa orang yang datang lebih dulu akan memperoleh pelayanan lebih dahulu. Artinya, yang belakangan datang tidak boleh menyerobot dan mendahului yang didepannya. Itulah sebabnya di dalam teori antrian berlaku suatu disiplin first come, first served, artinya yang dating lebih dahulu, harus lebih dahulu menerima pelayanan. Pelanggaran terhadap disiplin dapat merusak sistem yang disepakati. Artinya teori antrian hanya

14

berjalan baik apabila disiplin tersebut dilaksanakan oleh seluruh peserta dalam sistem. 2.3. Tujuan Dasar Teori Antrian Tujuan kita mempelajari bab ini adalah untuk mengetahui beberapa parameter yang mempengaruhi kinerja dari sistem antrian. Sebagai contoh, ukuran kinerja adalah beberapa lama kostumer harus menunggu sebelum di layani. Ukuran yang lain adalah persentase waktu fasilitas pelayanan tidak di gunakan atau menganggur karena tidak ada kostumer. Ukuran ini menyatakan tingkat kegunaan fasilitas layanan. Secara intuitif kita dapat melihat bahwa semakin lama waktu tunggu costumer maka semakin kecil pula waktu menganggur fasilitas pelayanan yang tersis, begitu juga sebaliknya (Winardi, 1999). Pelopor penyusun teori antrian adalah A.K. Erlang, seorang insinyur Denmark pada tahun 1909. Ia bekerja di sebuah perusahaan telepon dan melakukan percobaan yang melibatkan flukuasi permintaan sambungan telepon serta pengaruhnya pada peralatan telepon switching. Sebelum perang dunia II studi awal sdah berkembang di lingkungan antrian yang lebih umum Pada bab ini akan di pelajari model model antrian yang pada dasarnya merupakan aplikasi dari teori probabilitas dan proses stokastik. Tujuan utama pemecahan model adalah untuk menentukan karakteristik karakteristik yang mengukur kinerja sistem sehingga sistem optimal.

pelayanan dapat bekerja secara

15

2.4. Sifat Dasar Antrian Dalam teori antrian selain mengikuti disiplin “yang dating lebih dahulu, memperoleh pelayanan lebih dahulpu” dengan pola atau bentuk antrean seperti diterangkan di atas (Prawirosentono, 2003), secara umum antrian di pengaruhi beberapa sifat dasar berikut: 1. Pola kedatangan (the arrival patern) 2. Pola pelayanan (the service pattern) 3. Intensitas lalu lintas atau kegunaan (the traffic intensity or utilization) 4. Jumlah jalur pelayanan (the number of service channel ) 5. Disiplin antrian (the queue discipline) 2.4.1. Pola Kedatangan Orang , kapal, atau pesawat terbang harus antri untuk menerima suatu pelayanan, datangnya bias dengan berbagai cara dan bentuk. Mereka datang secara berkelompok dalam jumlah besar atau kecil bahkan sendiri-sendiri. Demikian pula, keadaan datangnya bisa teratur atau tidak teratur, dalam arti interval waktu kedatangannya secara sembarang ataupun tetap. Dalam hal ini pola kedatangan (arivvalarrival patern atau arrival rate) dalam suatu antrian sangat bervariasi dan berbeda satu sama lain (Taha, 1996). Untuk pola kedatangan random maka bentuk distribusi poisson. Tingkat kedatangan dalam satuan waktu dinyatakan dalam lamda ( ), dan menurut statistik dapat dibuktikan bahwa tingkat kedatangan mengikuti distribusi poisson rata-rata jarak antara (interval kedatangan ) yaitu 1/ 2.4.2. Pola Pelayanan Simbol abjad Yunani lain yang digunakan untuk rata-rata tingkat pelayanan dalam model antrian adalah µ (myu) yang merupakan lamanya

16

pelayanan dalam satuan waktu (Stalling, 1998). Tingkat pelayanan mengikuti suatu distribusi eksponensial. Jika rata-rata pelayanan µ maka penyebaran (distribusi) waktu pelayanan mengikuti suatu distribusi eksponensial yang negatif, dengan waktu pelayanan adalah 1/µ (satu per myu). Mengingat pola kedatangan mengikuti distribusi poisson, namun distribusi pola pelayanan tidak jelas sehingga untuk menyederhanakan pemecahan masalah dianggap saja pola pelayanan mengikuti distribusi eksponensial. Secara umum, kondisi atau asaumsi yang berlaku untuk model antrian adalah: a. Tingkat kedatangan menurut distribusi poisson (poisson arrival rate) b. Waktu

pelayanan

diasumsikan

mengikuti

distribusi

eksponensial

(eksponential service time) c. Disiplin, yang dating lebih dahulu harus memperoleh pelayanan lebih dahulu. d. Tingkat rata-rata pelayanan µ lebih besar daripada rata-rata tingkat kedatangan

atau µ > .

2.5. Sitem Antrian Suatu antrean merupakan formasi baris baris penungguan dari pelanggan (satuan) yang memerlukan pelayanan dari satu atau lebih pelayanan dari satu atau lebih fasilitas pelayanan (Aminudin, 2005). Peristiwa antrian merupakan fenomena yang bias terjadi bila kebutuhan akan pelayanan melebihi kemampuan (fasilitas) pelayanan, sehingga pelanggan yang tiba tidak dapat segera mendapatkan pelayanan dan membentuk suatu formasi baris baris penungguan. Untuk mengurangi antrian dan mencegah timbulnya antrian, maka sering kali di lakukan penambahan fasilitas pelayanan, yang menjadi permasalahan dengan melakukan penambahan fasilitas maka di perlukan biaya yang lebih

17

besar, dan hal itu akan mengurangi keuntungan. Sebaliknya atrian yang panjang juga akan menimbulkan biaya, baik berupah biaya sosial, kehilangan pelanggan ataupun pengangguran pekerja. Dengan demikian, yang menjadi tujuan utama teori antrian adalah mengusahakan keseimbangannya antara pelayanan dengan ongkos yang di sebabkan oleh adanya waktu menunggu tersebut. Proses yang terjadi pada model antrean dapat di gambarkan sebagai berikut. Proses kedatangan

masuk

Fasilitas pelayanan

keluar

populasi

Gambar 2. Komponen Utama dalam Sistem Antrian Sumber : Aminudin, 2005.

Pada gambar di atas, unit-unit (langganan) dari sumber input memerlukan Pelayanan yang terlibat dalam suatu antrian. Dalam waktu waktu tertentu antrin ini ini di pilih untuk mendapatkan pelayanan. Pemilihan di dasarkan pada aturan yang di sebut dengan disiplin pelayanan. Untuk melakukan pelayanan ini di perlukan suatu mekanisme pelayanan tertentu. Setelah mendapatkan pelayanan, unit unit (langgan) meninggalkan sistem antrian. Dari uraian di atas terdapat tiga faktor dalam sebuah sistem antrian, yaitu 1. Kedatangan/masukan sistem 2. Proses Antrian 3. fasilitas pelayanan

18

2.5.1. Kedatangan/Masukan Sistem Ukuran populasi kedatangan (calling population) dapat terbatas (finite) atau tak terbatas (infinite). Banyak kasus antrian mengasumsikan adanya ukuran populasi yang tak terbatas jumlahnya, sebagai contoh, mobil yang memasuki gerbang tol, orang yang belanja di suatu pasar, atau nasabah yang datang melakukan transaksi di suatu bank. Baik mobil, orang yang belanja, maupun nasabah bank, tidak terbatas jumlahnya, siapapun pengendara mobil bis masuk ke tol tersebut, setiap orang juga dapat berbelanja di pasar, maupun menjadi nasabah di suatu bank (Aminudin, 2005). Di sisi lain, populasi bisa terbatas jumlahnya, misalnya jumlah kendaraan yang di miliki suatu kantor yang secara periodik mendapat perawatan, atau mesin-mesin dalam suatu pabrik yang di jadwalkan secara berkala mendapat perawatan anggota. Atau kelas yang sudah tertentu jumlah mahasiswanya merupakan contoh lain dari calling population yang terbatas (Stalling, 1998). Subyek populasi kedatangan bisa tiba pada fasilitas pelayanan dalam beberapa pola tertentu, bisa juga secara acak, kita harus tahu probabilitas melalui waktu antar kedatangan. Analisis riset operasi telah mendapati bahwa kedatangan acak paling cocok di uraikan menurut distribusi poisson. tentu saja tidak semua kedatangan memiliki distribusi ini dan kita perlu memastikan terlebih dahulu sebelum kita menggunakannya (Stalling, 1988). Bagaimana

mengetahui

kedatangan

berdistribusi

poisson

dalam

kehidupan sehari hari. Berikut ini syarat syarat kedatangan berdistribusi poisson: 1. Pastikan bahwa proses kedatangan bersifat acak, jika hal ini terpenuhi maka

kemunkinan

kedatangan poisson.

besar

pola

kedatangan

mengikuti

distribusi

19

2. Rata-rata jumlah kedatangan per interval waktu sudah di ketahui dari pengamatan sebelumnya. 3. Bila kita bagi interval waktu ke dalam interval yang lebih kecil, maka pernyataan-pernyataan ini harus di penuhi: 

Probabilitas tepat satu kedatangan adalah sangat kecil dan konstan



Probabilitas dua kedatangan atau lebih selama interval waktu tersebut angkanya sangat kecil sekali, sehingga bias di katakana sama dengan nol



Jumlah kedatangan pada interval waktu tersebut tidak tergantung pada kedatangan di interval waktu sebelum dan sesudahnya

Pernyataan pernyataan tersebut menggeneralisir kondisi kondisi itu dan menggunakannya dalam proses lain yang di perlukan pihak manajemen. Bila proses tersebut pada kondisi yang sama, maka distribusi poisson bisa di terapkan untuk menggambarkannya. Probabilitas tepat terjadinya x kedatangan dalam distribusi poisson dapat diketahui dengan menggunakan rumus :

P(X)=

!

.....( 1 )

Di mana: = rata-rata jumlah terjadinya x per interval waktu x = variable acak diskrit yang menyatakan banyaknya kedatangan per interval waktu.

20

Jika pola kedatangan mengikuti distribusi poisson maka waktu antar kedatangan atau intervarrival time adalah acak dan mengikuti distribusi eksponensial. Ada tiga hal istilah yang bisa digunakan dalam antrian untuk menggambarkan tingkah laku pemanggilan populasi 

Tidak mengikuti (range), yakni bila seseorang bergabung dalam antrian dan kemudian meninggalkannya



Menolafk (balking), berarti serta merta tidak mau bergabung



Merebut (bulk), menunjukan kondisi di mana kedatangan terjadi secara bersama sama ketika memasuki sistem seorang berebut menyerobot ke depen Terlepas dari apakah anda setuju atau tidak, banyak model antrian

mengamsumsikan bahwa subyek pemanggilan atau kedatangan cenderung sabar dan bersedia menunggu. 2.5.1.1. Distribusi Poisson Kita dapat menghitung distribusi probabilitas binomial untuk percobaan dengan probabilitas sukses (p) kurang dari 0,05. Namun perhitungan tersebut akan sangat tidak efektif dan akurat (khususnya untuk niliai n yang sangat besar, misalnya 100 atau lebih). Oleh sebab itu, dikembangkan satu bentuk distribusi binomal

yang

mampu

mengkalkulasikan

distribusi

probabilitas

dengan

kemungkinan sukses (p) sangat kecildan jumlah eksperimen (n) sangat besar, yang disebut distribusi poisson ( Supianto. J, 2001). Karena distribusi poisson biasanya melibatkan jumlah n yang besar, dengan p kecil, distribusi ini biasanya digunakan untuk menghitung nilai probabilitas suatu kejadian dalam suatu selang waktu dan daerah tertentu.

21

Misalnya banyaknya dering telpon dalam satu jam di suatu kantor, banyaknya kesalahan ketik dalam suatu halaman laporan dan sebagainya.. Rumus untuk menyelesaikan distribusi poisson adalah sebagai berikut.

Dimana

( )=

!

= rata-rata distribusi = 0, 1, 2, 3, . . . (menuju tak hingga) e = konstanta 2,71828

.....(2)

2.5.1.2. Karakteristik dan Proses Distribusi Poisson Untuk lebih jelasnya, marilah kita lihat pada contoh distribusi kendaraan yang melalui jalan bebas hambatan jagorawi pada waktu jam-jam sibuk seperti: 1. Rata-rata hitung kendaraan yang lewat pada jam-jam sibuk dapat diketahui dari data lalu lintas terdahulu. 2. Kalau jam-jam sibuk bagi dalam detik, maka kita akan peroleh: a. Kemungkinan secara tepat sebuah kendaraan akan lewat setiap satu detik, dan begitu seterusnya selang satu detik. b. Kemungkinan dua atau lebih kendaraan akan lewat setiap satu detik (jumlah ini kecil sekali) sehingga kita anggap sebagai nilai nol. c. Banyaknya kendaraan yang lewat pada suatu detik tertentu tidak ada hubungannya dengan banyaknya kendaraan yang lewat pada setiap detik saat jam jam sibuk. d. Banyaknya kendaraan yang lewat pada suatu detik tidak tergantung terhadap banyaknya kendaraan yang lewat pada detik yang lain.

22

Apabila

= rata-rata distribusi = E(X) = np =

.

.

= 2 (secara

rata-rata dapat diharapkan dua orang pembaca yang menanyakan keadaan mobil), maka setelah dilakukan perhitungan, kita akan memperoleh tabel berikut Tabel 2. distribusi poisson

X 0

p(0) = 0, 1352

1

p(1) = 0,2707

2

p(2) = 0,2707

3

p(3) = 0,1804

4

p(4) = 0,0902

5

p(5) = 0,0361

6

p(6) = 0,0120

7

p(7) = 0,0034

8

p(8) = 0,0009

9

p(9)= 0,0002

( )=

!

Sumber : Supianto. J, 2001. Distribusi poisson juga dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari x “sukses” dan n eksperimen, yang terjadi dalam satuan luas tertentu, satuan isi tertentu, satuan interval waktu tertentu, atau satuan panjang tertentu, misalnya sebagai berikut. a) Banyaknya bakteri dalam satu tetes air b) Banyaknya rumah terbakar dari 10.000 rumah yang asuransikaan selama bulan januari. c) Banyaknya kecelakaan mobil yang terjadi di depan istana merdeka selama minggu pertama bulan agustus d) Banyaknya pengguna telepon per menit

23

e) Banyaknya kesalahan ketik per halaman laporan tahunan, dan f) 2.5.1.3.

Banyaknya pesanan yang masuk per minggu.

Distribusi Poisson pada Fasilitas Pelayanan

Berdasarkan contoh di atas, ternyata distribusi poisson sangat erat kaitannya dengan variable acak/sembarang (random variable) apabila X (huruf besar) dianggap mewakili suatu variable sembarang dan merupakan bilangan bulat, maka kejadian x (huruf kecil) dalam distribusi poisson dapat dihitung sebagai berikut.

P(X = x) =

( )=

!

,

= 0, 1, 2, … .....( 3 )

= rata-rata hitung suatu kejadian dengan selang waktu tertentu, e = bilangan napier = 2,7182 P(X = x) =

( )

= probabilitas terjadinya suatu kejadian (peristiwa)

x! = x factorial = x(x – 1)(x – 2) . . . .1. Pola kedatangan pada suatu fasilitas pelayanan dapat teratur maupun tidak teratur (acak). Mesin yang di-overhaul

(diperiksa secara teliti) bias di

jadwalkan secara teratur bergantian setiap 3 jam, atau mahasiswa dapat menggunakan fasilitas computer secara bergantian setiap 1 jam. Pola kedatangan di sebut acak jika mereka tidak tergantung satu sama lain, misalnya orang yang masuk ke kantor pos untuk suatu urusan, atau pelanggan yang memasuki suatu restaurant (Suprianto. J, 2001). Dalam masalah antrian, jumlah kedatangan perunit waktu dapat diestimasi dengan suatu distribusi probabilitas yang di sebut distribusi poisson. Untuk setiap tingkat rata-rata kedatangan

24

Distribusi poisson dengan

= 2 dan

= 4. Dapat dilihat bila rata-rata

tingkat kedatangan pelanggan 2 orang per jam, probabilitas tidak adanya pelanggan yang datang setiap jam acak ialah 14% probabilitas 1 pelanggan yang dating 27%, 2 pelanggan datang 27%, dan kemungkinan terdapat lebih dari 9 pelanggan yang datang adalah nol. Sementara, dengan

= 4, probabilitas tidak

ada pelanggan yang datang ialah 2%.satu pelanggan datang ialah 2%, 1 pelanggan datang 15%, dan seterusnya. 2.5.1.4. Distribusi Poisson pada Kedatangan Saluran Tunggal Distribusi poisson untuk kedatangan n buah( mobil) selama interval waktu T, di mana

adalah kemungkinan satu kedatangan dinyatakan sebagai berikut

f( , ,

(

)=

) .

!

(

)

.....( 4 )

Bila interval waktu T adalah 1, maka bentuk distribusi poisson menjadi

f( , ) =

.

.....( 5 )

!

Sebaliknya kalau ditinjau persoalan pelayanan, bila µ adalah kemungkinan selesainya satu pelayanan (mobil) maka rumus poisson untuk pelayanan adalah sebagai berikut:

g( , μ, ) =

(

) .

!

(

)

.....( 6 )

Dalam hal ini, kemungkinan pelayanan pada satu satuan yang dilayani pada waktu T untuk distribusi eksponal adalah:

25

g ( , μ) = μ

.....( 7 )

Distribusi waktu pelayanan yang berbentuk fungsi eksponsial dapat di buktikan dengan pemakaiannya pada tes statistik dari data yang dikumpulkan.

2..5.1.5. Kedatangan pada Saluran Tunggal dengan Pelayanan Eksponsial Dalam masalah ini, unit pelayanan adalah tunggal dan dengan input yang mempunyai kedatangan poisson. Di sini masih ada juga asumsi, bahwa laju kecepatan pelayanan yang eksponsial tidak terpengaruh oleh banyaknya yang akan dilayani mempunyai rata-rata , laju kecepatan pelayanan dinyatakan dengan µ di mana notasi notasi yang akan digunakan ditetapkan sebagai berikut: n

= jumlah yang perlu dilayani pada saat T ( ) = kemungkinana adanya n satuan yang perlu dilayani dalam sistem pada saat t.

∆t

= kemungkinan adanya satu satuan yang memasuki sistem untuk dilayani pada saat t.

1- ∆ t = kemungkinan tidak adanya yang memasuki sistem pada saat t. Kemungkinan adanya n satuan dalam sistem pada saat + ∆t dapat diturunkan sebagai berikut:

1. Ada n satuan dalam sistem, tidak ada yang datang antara interval t dan t + ∆t, tidak ada yang selesai diservis pada interval yang bersangkutan.

2. Ada n + 1 satuan dalam sistem pada saat t, tidak ada yang datang tetapi selesai satu dilayani antara interval t + ∆t

3. Ada n – 1 satuan dalam sistem pada saat t, tiba satu satuan dan tidak ada yang selesai pada interval t + ∆t.

26

4. Ada n satuan dalam sistem pada saat t, tiba satu satuan tapi selesai pula satu satuan antara interval t + ∆t.

2.5.2. Proses Antrian

Proses antrian merupakan kombinasi dari sifat sifat sistem antrian, di mana tingkah laku dari sistem dapat di jelaskan sebagai berikut. Sumber input adalah jumlah total unit yang akan melakukan pelayanan, di mana sumber ini bersifat terbatas atau tidak terbatas. Proses masukan adalah proses pembentukan suatu antrian sebagai akibat kedatangan jumlah unit h Proses antrian secara umum di kategorikan menjadi empat struktur dasar menurut fasilitas pelayanan (Winardi, 1999). 

Single channel single phase



Single channel multiple phase



Multiple channel single phase



Multiple channel multiple phase Jumlah saluran dalam proses antrian menyatakan jumlah fasilitas

pelayanan (server) secara paralel untuk melayani konsumen yang datang. Di lain pihak jumlah tahapan (phase) menyatakan banyaknya tahapan pelayanan yang harus dilalui sampai pelayanan selesai atau lengkap. Contoh untuk single channel single phase adalah sebuah kantor pos yang hanya mepunyai satu loket pelayanan dengan satu jalur antrian. Kantor pos yang mempunyai beberapa loket dengan satu jalur antrian merupakan contoh dari multiple channel single phase (Taha, 2001).

27



Single Channel, Single Phase

Jalur antrian

server

Gambar 3. antrian tunggal pelayanan tunggal (single channel single phase) Sumber : Taha, 2001.

Fasilitas layanan tunggal (single-channel facility), yaitu hanya terdapat satu server. Contoh sistem ini ialah anjungan tunai mandiri (ATM) bank, yang hanya bisa di operasikan secara bergantian. Contoh lain ialah kantor pos keliling yang dilayani oleh seorang petugas, atau loket karcis tunggal dalam suatu bioskop. 

Single Channel, Multiple Phase

Jalur antrian

server

Gambar 4. antrian tunggal, pelayanan ganda sejajar (single channel multiple phase) Sumber : Taha, 2001.

Fasilitas layanan lebih dari satu (multi-channel facility), terdapat beberapa server, parallel, dan identik, baik dalam satu jalur (seperti di bank) atau dalam beberapa jalur (seperti di stasiun pompa bensin atau pasar swalayan).

28



Multiple Channel, Singel Phase

Jalur antrian Server Gambar 5. antrian tunggal, pelayanan ganda (multiple channel single phase) Sumber : Taha, 2001.

Fasilitas pelayanan ganda (multiple chanel-fasility), pelayanan ganda menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurut (dalam fase-fase) contoh : tempat pencuncian, tukang cat mobil dan proses produksi manufacture seperti perakitan kendaraan. 

Multiple Channel, Multiple Phase

Jalur antrian server Gambar 6.. antrian ganda, pelayanan ganda (multiple channel, multiple phase) Sumber : Taha, 2001.

Fasilitas antrian ganda dan pelayanan ganda (multiple phase chnnelfasility), sistem ini memiliki beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap,

29

sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada waktu yang bersamaan. Pada umumnya jaringan ini terlalu kompleks, sehingga lebih mudah dianalisis dengan model simulasi. Contoh registrasi para mahasiswa di universitas, pelayanan kepada pasien di rumah sakit dari pembayaran,

diagnosa

penyembuhan sampai pembayaran. 2.5.2.1. Model Antrian 

Antrian Server Tunggal Sistem antrian yang paling sederhana pada gambar 3. elemen utama

sistem tersebut adalah sebuah server, yang menyediakan beberapa layanan kepada item item dari populasi tiba di sistem untuk di layani. Bila server sedang idle, maka item akan di layani dengan segera. Sedangkan bila sedang tidak idle, maka item yang tiba akan bergabung dengan antrian tunggu. Bila server telah selesai melayani sebuah item, maka item akan segera meninggalkan server. Sedangkan bila terdapat item yang sedan menunggu di dalam antrian, maka satu item akan segera di kirim ke server. Bila kita mengamsumsi bahwa kapasitas antrian tidak terbatas, maka tidak ada item yang hilang dari sistem. Item-item itu hanya akan di delay kan saja sampai dapat di layani. Di bawah kondisi seperti ini, laju keberangkatan akan sama dengan laju kedatangan. Dengan semakin bertambahnya laju kedatangan, yang merupakan laju lalu lintas yang melintasi sistem, maka utilitaspun akan meningkat dan akan terjadi kemacetan antrian akan menjadi semakin panjang. Maka yang akan memperlama waktu tunggu (Iskandar, 2005). Akan tetapi, antrian akan semakin membesar di saat sistem mendekati jenuh, membesar tanpa batas pada saat

= 1. Peritmbangan-pertimbangan

praktis, misalnya persyaratan waktu respons atau ukuran buffer, biasanya akan

30

membatasi laju input server tunggal sebesar 70-90% dari nilai teoritas maksimum. Untuk melanjutkannya, kita perlu membuat beberapa asumsi terhadap model

Populasi Item Umumnya, kita mengumsikan populasi tak terhingga. Ini artinya bahwa laju kedatangan tidak di pengaruhi oleh hilangnya populasi. Bila populasi terhingga, maka populasi yang tersedia untuk kedatangan akan berkurang sebesar jumlah item yang saat itu berada di dalam sistem, hal ini umumnuya akan mengurangi laju kedatangan secara proporsional. 

Ukuran Antrian Umumnya, kita mengamsumsi ukuran antrian yang tak terhingga. Jadi antrian tunggu dapat membesar dapat membesar tanpa batas. Di dalam antrian terhingga. Umumnya hal ini tidak akan menimbulkan perbedaan terhadap analisis.



Disiplin Pengiriman Pada saat server berada dalam keadaan bebas, dan bila terdapat dari satuitem yang sedang menunggu, maka harus di buat keputusan tentang item mana yang berikutnya akan di kirim. Pendekatan yang paling sederhana adalah first-in-first-out, disiplin ini adalah sebuah disiplin yang biasanya di implikasikan bila istilah antrian digunakan. Kemungkinan lainnya adalah last-in-last-out. Untuk memudahkan pembedaan antara model antrian satu dengan yang

lain, DG kendall telah mengembangkan suatu sistem notasi tunjukan dalam tabel 3.

seperti yang di

31

Tabel 3. Notasi yang di gunakan dalam sistem antrian Item

Nilai

Notasi

Proses kedatangan

Poisson

M

Konstan

D

Eksponensial

M

Konstan

D

Jumlah server

Satu atau lebih

S

Aturan antrian

Sesuai

Proses pelayanan

urutan FCFS

kedatangan

Panjang antrian

Ukuran popolasi kedatangan

Jumlah kedatangan

Ada aturan prioritas

PRI

Tidak terbatas

∞

Terbatas

N

Tidak terbatas

∞

Terbatas

N

Rata-rata per periode waktu

Jumlah item

Rata-rata per periode µ waktu

Sumber: Supianto, J, 2001.

Notasi model antrian biasanya terdiri dari dua set di pisahkan dengan spasi, dengan urutan:

a/b/c d/e/f Di mana: a = proses kedatangan b = proses pelayanan

32

c = jumlah server d = aturan antrian e = panjang antrian f = ukuran populasi kedatangan. Asumsi yang di pergunakan : 1) Kedatangan di asumsikan mengikuti distribusi probabilitas poisson dan berasal dari populasi yang tak terbatas 2) Kedatangan pelanggan satu dan lain tidak saling tergantung, tetapi ratarata kedatangan tidak mengalami perubahan dengan waktu 3) Waktu layanan mengikuti distribusi probabilitas eksponensial negative 4) Waktu layanan bervariasi antara satu dengan yang lain, tetapi tidak saling tergantung 5) Rata-rata tingkat pelayanan lebih besar daripada rata-rata tingkat kedatangan 6) Pelayanan di dasarkan pada aturan FIFO Tidak ada balking maupun reneging Persamaan antrian: 

Rata-rata jumlah pelanggan atau unit dalam sistem, yaitu jumlah dalam antrian di tambah jumlah yang sedang di layani



=

.....( 8 )

Rata-rata waktu yang digunakan oleh pelanggan dalam sistem, yaitu waktu yang di habiskan selama menunggu di tambah waktu pelayanan

=

......( 9 )

33



Rata-rata jumlah pelanggan antrian

= 

.....( 10 )

(

)

....( 11 )

Faktor utilisasi yang dihabiskan pelanggan menunggu dalam antrian

= 

)

Rata-rata yang dihabiskan pelanggan menunggu dalam antrian

= 

(

.....( 12 )

Persentase waktu kosong, yaitu probabilitas tidak ada orang dalam system

P 

1−

Probabilitas jumlah orang dalam sistem lebih besar dari k

=



.....( 13 )

.....( 14 )

Model Antrian Jalur Ganda Model antrian ini menunjukan suatu generalisai model sederhana, yang

semuanya berbagi – pakai sebuah antrian. Bila sebuah item tiba dan sedikitnya ada sebuah server tersebut. Diasumsikan semua server identik. Jadi, jika terdapat lebih dari satu server dapat digunakan, maka tidak aka nada perbedaan

34

bila sever manapun yang di pilih untuk item tersebut. Bila semua server sibuk, maka antrian akan mulai terbentuk. Begitu satu server bebas, maka sebuah item akan segera dikirimkan dari antrian yang menggunakan disiplin pengiriman dan kitadapat mengambil Np sebagai utilitas sistem secara keseluruhan, suku terakhir ini sering disebut sebagai intensitas lalulintas µ. Jadi utilitas teoritis maksimum adalah N X 100%. Karakteristik penting yang umumnya di pilih antrian ganda berkaitan dengan karakteristik untuk antrian server tunggal. Yaitu, kita mengamsumsikan suatu populasi tak terhingga, dengan sebuah antrian tak terhingga yang dibagi – pakai oleh semua sever. Bila tidak di tentukan sebelumnya, maka disiplin pengiriman yang digunakan adalah FIFO. Bagi kasus multiserver, bila server di asumsikan sebagai identik, maka pemilihan server tertentu untuk penantian sebuah item tidak memiliki efek terhadap waktu pelayanan (Dimiyati, 1999). Berikut adalah rumus rumus untuk model antrian jalur ganda. Persamaan antrian: 

Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem (untuk Sµ > )

=



1

λ λ n! μ

1 λ + S! = μ

Sμ Sμ − λ

Rata-rata jumlah pelanggan atau unit dalam sistem

=(

)!(

)

+

......(16 )

… . . ( 15)

35



Rata-rata waktu yang di habiskan dalam antrian atau di layani (dalam sistem)

W=( 

)!(

+ =

)

.....( 17 )

Rata-rata jumlah pelanggan atau unit dalam antrian menunggu untuk dilayani

= 

−

.....( 18 )

Rata-rata waktu pelanggan atau unit di habiskan dalam antrian menunggu untuk di layani

= 

−

=

.....( 19 )

Model Antrian Pelayanan Konstan Beberapa sistem layanan memiliki waktu layanan yang tetap ( konstan),

seperti misalnya cuci mobil otomatis atau komedi putar. Karena tingkat layanan yang konstan maka nilai model

sebelumnya

,

yang

, dan W selalu lebih kecil di bandingkan modelmemiliki

waktu

layanan

bervariasi.

Dalam

kenyataannya, rata-rata panjang antrian dan waktu tunggu menjadi separuhnya. Rumus-rumus untuk model waktu layanan yang konstan. 

Rata-rata panjang antrian

=

(

)

.....( 20 )

36



Rata-rata waktu tunggu dalam antrian

= 

(

)

.....( 21 )

Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian

L= 2.5.3.

+

.....( 22)

Fasilitas Pelayanan

Karakteristik lain dalam sistem antrian ialah aturan pelayanan. Pada umumnya dalam suatu antrian berlaku sistem first-in-first-out (FIFO). Pelanggan yang lebin dulu mengantri akan mendapat layana lebih dulu. Namun bisa saja hal ini tidak berlaku, misalnya dalam suatu pasar swalayan terdapat jalur khusus untuk mereka yang berbelanja kurang dari 10 item, atau dalam rumah sakit, pertolongan prioritas dapat di berikan kepada pasien yang berada dalam suatu situasi darurat (Purnomo, 2003). 2.5.3.1. Karakteristik Fasilitas Pelayanan Fasilitas pelayanan dapat di bedakan dalam dua karakteristik yaitu konfigurasi fasilitas layanan dan pola waktu layanan. Sistem layanan biasanya dikelompokan dalam jumlah jalur (channel ). Atau jumlah pemberi pemberi layanan (server), dan jumlah tahapan (phase, jumlah pelanggan berhenti untuk menerima suatu layanan) yang harus di lakukan (Purnomo, 2003).

37

2.5.3.2. Disiplin Pelayanan Kebiasaan ataupun kebijakan dalam suatu sistem antrian dimana para pelanggan dipilih untuk dapat dilayani oleh server, disebut disiplin pelayanan. Ada 3 (tiga) bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan dalam praktek, yaitu 

First Come First-served (FCFS) Disiplin pelayanan FCFS yang biasa juga disebut FIFO adalah pelayanan yang mengutamakan pelayanan pada pelanggan yang tiba terlebih dahulu. Pelayanan ini paling banyak digunakan sebab asumsi ini digunakan bila pada disiplin pelayanan tanpa keterangan dan dapat digunakan baik itu pada pelayanan dengan single server maupun multi server.



Last Come First-served (LCFS) Disiplin pelayanan LCFS yang biasa juga disebut LIFO adalah pelayanan yang melayani pelanggan yang tiba terakhir pertama dilayani server. Pelayanan ini sangat jarang digunakan karenan pelayanan ini diberlakukan pada barang yang sangat sensitif dan utama misalnya bahan pangan, ikan segar dan lain sebagainya.



Service In Random Order (SIRO) Disiplin pelayanan SIRO biasa juga disebut disiplin pelayanan random atau pelayanan secara acak. Pelayanan ini sangat jarang digunakan karena sistem yang diberikan tidak menjanjikan bahwa pelayanan dapat dilakukan tepat waktu. Ketiga disiplin pelayanan ini adalah paling kita kenal dalam model antrian

dan paling sering digunakan, tapi tidak menutup kemungkinan dalam suatu sistem pelayanan disiplin pelayanan tidak digunakan, contoh paling jelas yaitu

38

pada sistem antrian pada ruang operasi rumah sakit, mereka selalu mendahulukan yang gawat artinya ketiga disiplin tersebut tidak dapat diterapkan, disiplin pelayanan itu biasa disebut Priority Service artinya pelayanan diutamakan kepada pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih tinggi. Rumus teori antrian memberikan informasi yang berguna untuk memdesain dan menganalisa sistem tempat tunggu. Distribusi dari waktu menunggu dan waktu menunggu rata-rata dari pelanggan yang datang, penting untuk memperkirakan cukup atau tidak keseluruhan dari sistem dalam fungsinya untuk dapat melayani pelanggan (Purnomo, 2003). Ada beberapa kriteria antrian yang harus ditentukan untuk memperkirakan kinerja, yaitu : 1. Distribusi jarak antara kedatangan pelanggan yang mungkin saja merata (dengan jarak kedatangan kostan) atau dengan mengikuti pola kedatangan poisson atau acak atau pola lainnya. 2. Distribusi waktu pelayanan 3. Jumlak server pelayanan 4. Disiplin antrian yang akan menentukan urutan dimana satuan pelanggan yang tiba akan dilayani. Dalam model transportasi biasanya berlaku First Come First Served (FCFS).

39

2.5.3.3. Hubungan Pelayanan dengan Tingkah Laku Biaya Hubungan

antara elemen

yang

terlibat

dalam

persoalan antian

gambarkan kita tunjukan hubungan antara tngkat pelayanan yang di berikan dan biaya waktu menunggu. Nampak bahwa tingkat pelayanan yang di berikan dan biaya waktu menunggu akan berkurang (Dimiyati, 1999). hubungan antara tingkat pelayanan dan biaya pengadaan pelayanan meningkat maka biaya pengadaan pelayanan juga meningkat. Penggabungan dua biaya input dalam keputusan antrian. Di sini biaya waktu yang di butuhkan untuk menunggu telah di tambahkan pada biaya pengadaan pelayanan sehingga membentuk total biaya yang di harapkan untuk operasi fasilitas yang bersangkutan. Tujuannya adalah hendak meminimumkan total biaya pengadaan fasilitas dan waktu tunggu pelayanan tersebut. Meskipun secara konseptual Nampak sederhana, kemungkinan pola kedatangan dan pelayanan ternyata begitu banyak sehingga sebenarnya persoalan ini cukup rumit. Misalkan kita mengetahui biaya tunggu (waiting cost) yang melekat pada seorang individu menganggur dalam sistem pelayanan sebesar Cw dan rata-rata individu yang menunggu dalam suatu sistem sebesar n1 maka total biaya tunggu yang diharapkan per periode waktu adalah :

E(Cw) = n x Cw .....( 23 ) 1

Diketahui biaya menunggu (mencakupi biaya menganggurnya para karyawan, kehilangan penjualan, kehilangan kepercayaan dalam manajemen) adalah $2 per jam. Bila jumlah rata-rata individu dalam sistem ada lima orang, maka total biaya tunggu yang di harapkan sebesar:

40

E(

)

=

= 5(2) = $10 /jam Walaupun biaya menunggu bisa dikurangi dengan menambahkan fasilitas pelayanan, tetapi di sisi lain biaya penyediaan pelayanan akan naik juga. Dengan asumsi biaya penambahan fasilitas pelayanan adalah linier ( ) dan

jumlah fasilitas pelayanan adalah “s” maka dapat dihitung total biaya pelayanan yang di harapkan per periode adalah

E( )

.....( 24 )

Bila biaya per periode waktu per fasilitas pelayanan adalah $12 per jam dan jumlah fasilitas pelayanan adalah 3 unit, maka total biaya pelayanan yang di harapkan adalah sebesar: E( )

=

s x

=

3(12)

=

$36/jam

Jika kedua biaya di atas digabungkan maka akan di peroleh total biaya yang di harapkan per periode waktu yaitu:

E( ) = E(

) + E(C) .....( 25 )

Sehingga untuk kasus di atas total biaya yang diharapkan adalah sebesar $36 per jam. Parameter

hanya valid untuk sistem dengan 3 fasilitas saja, bila

ada penambahan atau pengurangan maka perlu dihitung kembali

yang baru.

41