Bab II Landasan Teori
Bab ini menyajikan kajian sistem dan teori-teori yang akan mendasari dan digunakan dalam mencari bentuk model tereduksi. Beberapa hal yang akan dikaji dalam bab ini adalah sistem LPV dan beberapa teori dasar yang berkaitan dengan kestabilan sistem dan kinerja sistem. Selanjutnya disajikan teori ketaksamaan matriks linear yang mempunyai peran penting sebagai jalan untuk mencari bentuk model tereduksi. Di akhir bab dikaji metode pemotongan setimbang yang diperumum untuk sistem LPV.
II.1
Sistem Linear Parameter Varying (LPV)
Berikut ini diberikan representasi dari sistem LPV dengan laju variasi parameter tak terbatas (LPV system with unbounded parameter variation rates).
Definisi II.1. Himpunan Variasi Parameter Diberikan ℜ s adalah ruang vektor atas lapangan
. ℘⊂ ℜ s adalah himpunan
kompak. Himpunan variasi parameter F℘ menotasikan himpunan dari semua fungsi kontinu bagian demi bagian dari
+ (waktu)
ke ℘ dengan sejumlah hingga
diskontinuitas dalam suatu interval :
F℘ = { ρ :
+
→℘ ρ min ≤ ρi ≤ ρ max , i = 1, 2,..., s} .
(II.1)
Definisi II.2. Sistem LPV
Diberikan fungsi-fungsi kontinu berikut : A : ℜs →
n×n
B : ℜs →
n×m
C :ℜ →
p×n
D : ℜs →
p×m
s
, , , .
(II.2)
6
Himpunan kompak
℘⊂ ℜ s bersama sama dengan fungsi kontinu A,B,C,D
merepresentasikan sistem LPV berorde n dengan realisasi ruang keadaan sebagai berikut : x& ( t ) = A ( ρ ( t ) ) x ( t ) + B ( ρ ( t ) ) u ( t ) , y ( t ) = C ( ρ ( t ) ) x ( t ) + D ( ρ ( t ) ) u ( t ) , untuk setiap ρ ∈ F℘.
(II.3)
Realisasi ruang keadaan dari sistem LPV (II.3) dinotasikan sebagai (untuk menyingkat penulisan, ketergantungan parameter ρ terhadap t tidak ditulis)
( F℘, A ( ρ ) , B ( ρ ) , C ( ρ ) , D ( ρ ) ) . Berikut diberikan contoh ketergantungan parameter dari data ruang keadaan pada sistem LPV (II.3) [15].
Contoh : Misalkan A ( t ) , B ( t ) adalah data ruang keadaan dari sistem LPV dengan ⎡ω 2 ( t ) / M ( t ) ⎡ 0 ⎤ 1 ⎤ A ( t ) := ⎢ ⎥ , B (t ) = ⎢ ⎥. ⎢⎣ cos (θ ( t ) ) 1 + E ( t ) ⎥⎦ ⎣ M ( t )⎦
(II.4)
Asumsikan bahwa semua fungsi bernilai skalar adalah terbatas, dan didefinisikan
ρ1 ( t ) := ω 2 ( t ) ∈ ⎡ω 2 , ω 2 ⎤ , 0 < ω 2 < ω 2 < ∞ , ⎣
⎦
ρ 2 ( t ) := M ( t ) ∈ ⎡⎣ M , M ⎤⎦ , 0 < M < M < ∞ , ρ3 ( t ) := 1 + E ( t ) ∈ ⎡⎣1 + E ,1 + E ⎤⎦ , 0 < E < E < ∞ ,
ρ 4 ( t ) := cos (θ ( t ) ) ∈ [ -1,1] ,
dengan ω 2 , ω 2 masing-masing adalah batas bawah dan batas atas dari ω 2 ( t ) .
M , M masing-masing adalah batas bawah dan batas atas dari M ( t ) . E , E masing-masing adalah batas bawah dan batas atas dari E ( t ) .
7
⎡ ρ1 ⎤ ⎢ρ ⎥ Maka, ρ = ⎢ 2 ⎥ ∈℘⊂ ⎢ ρ3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ ρ 4 ⎦⎥
4
, dengan ℘ didefinisikan oleh batas-batas dari ρ1
sampai ρ 4 . A dan B dari sistem (II.4) menjadi 1 ⎤ ⎡ ρ ( t ) / ρ2 ( t ) ⎡ 1 ⎤ A ( ρ ( t ) ) := ⎢ 1 ⎥ , B ( ρ ( t ) ) := ⎢ ρ t ⎥ . ρ3 ( t ) ⎦ ⎣ 2 ( )⎦ ⎣ ρ4 ( t )
Berikut ini diberikan konsep kestabilan sistem LPV dengan laju variasi parameter n×n
tak terbatas. Diberikan fungsi kontinu A : ℜ s →
. Pandang sistem LPV tanpa
masukan x& ( t ) = A ( ρ ( t ) ) x ( t ) ,
dengan
ρ ∈ F℘ . Fungsi Lyapunov kuadratik bernilai skalar V :
(II.5) n
→
didefinisikan sebagai V ( x ) := xT Px ,
dengan P ∈
n×n
, P > 0 . Turunan dari fungsi Lyapunov kuadratik V ( x )
diberikan oleh dV ( x ( t ) ) dt
= xT ⎡ AT ( ρ ( t ) ) P + PA ( ρ ( t ) ) ⎤ x ( t ) , ⎣ ⎦
(II.6)
untuk setiap ρ ∈ F℘ , sepanjang variasi parameter dari sistem (II.5).
Definisi II.3. Kestabilan kuadratik suatu fungsi
Fungsi A dikatakan stabil kuadratik atas ℘ jika terdapat matriks real P > 0 sedemikian sehingga AT ( ρ ( t ) ) P + PA ( ρ ( t ) ) < 0,
untuk setiap ρ ∈ F℘ .
(II.7)
Definisi II.4. Kestabilan kuadratik sistem LPV
(
Sistem LPV dengan realisasi ruang keadaan F℘, A ( ρ ) , B ( ρ ) , C ( ρ ) , D ( ρ ) dikatakan stabil kuadratik jika A stabil kuadratik.
)
8
Definisi tersebut mengindikasikan bahwa sistem LPV dengan realisasi ruang keadaan
( F℘, A ( ρ ) , B ( ρ ) , C ( ρ ) , D ( ρ ) )
adalah stabil kuadratik [8] jika dan
hanya jika terdapat P > 0 dan Q > 0 sehingga memenuhi kataksamaan
A ( ρ ( t ) ) P + PAT ( ρ ( t ) ) + B ( ρ ( t ) ) B ( ρ ( t ) ) < 0 ,
(II.8)
AT ( ρ ( t ) ) Q + QA ( ρ ( t ) ) + C T ( ρ ( t ) ) B ( ρ ( t ) ) < 0 ,
(II.9)
T
untuk setiap ρ ∈ F℘ .
Definisi II.5.
(
)
Diberikan realisasi ruang keadaan F℘, A ( ρ ) , B ( ρ ) , C ( ρ ) , D ( ρ ) . Sistem LPV (II.3) dikatakan terstabilkan secara kuadratik jika terdapat fungsi matriks kontinu F : ℜs →
m×n
dan matriks konstan real definit positif P, sehingga untuk setiap
ρ ∈ F℘
( A ( ρ (t )) + B ( ρ (t )) F ( ρ (t )))
T
(
)
P + P A ( ρ ( t ) ) + B ( ρ ( t ) ) F ( ρ ( t ) ) < 0 . (II.10)
Definisi II.6
(
)
Diberikan realisasi ruang keadaan F℘, A ( ρ ) , B ( ρ ) , C ( ρ ) , D ( ρ ) . Sistem LPV (II.3) dikatakan terdeteksi secara kuadratik jika terdapat fungsi matriks kontinu L : ℜs →
n× p
dan matriks konstan real definit positif P, sehingga untuk setiap
ρ ∈ F℘
( A ( ρ (t )) + L ( ρ (t )) C ( ρ (t )))
T
II.2
(
)
P + P A ( ρ ( t ) ) + L ( ρ ( t ) ) C ( ρ ( t ) ) < 0 . (II.11)
Sistem LPV Politopik
Matriks politop didefinisikan sebagai konveks hull dari sejumlah berhingga matriks-matriks Ni berdimensi sama seperti berikut L ⎧⎪ L ⎫⎪ Co { Ni i = 1..L} := ⎨∑ α i Ni ∀α i ≥ 0, ∑ α i = 1⎬ . i =1 ⎩⎪ i =1 ⎭⎪
(II.12)
9
Bila vektor parameter ρ ( t ) diambil nilainya di dalam box dari ℜs dengan sudut-
} ( L = 2s ) , dengan kata lain
{
ρ ( t ) nilainya didalam politop
sudut ρvi i = 1...L
dengan verteks-verteks ρv1 ,..., ρvL , maka dapat ditulis
{
}
ρ ( t ) := Co ρv ,..., ρv , untuk setiap t ≥ 0 . 1
L
Sistem LPV disebut politopik bila dapat direpresentasikan oleh matriks ruang keadaan A ( ρ ( t ) ) , B ( ρ ( t ) ) , C ( ρ ( t ) ) , dan D ( ρ ( t ) ) dengan vektor parameter bervariasi
di
dalam
suatu
A ( ) , B ( ) , C ( ) , dan D (
)
politop
tetap
dan
ketergantungan
dari
pada ρ adalah afin. Jadi matriks ruang keadaan dari
sistem LPV politopik dapat direpresentasikan dalam bentuk ⎡ A ( ρ (t )) B ( ρ (t )) ⎤ ⎪⎧ ⎡ Ai ⎢ ⎥ ∈ Co ⎨ ⎢ ⎩⎪ ⎣Ci ⎣⎢C ( ρ ( t ) ) D ( ρ ( t ) ) ⎦⎥
Bi ⎤ ⎡A ⎪⎫ ⎪⎧ L i = 1,..., L ⎬ := ⎨∑ α i ⎢ i ⎥ Di ⎦ ⎭⎪ ⎩⎪ i =1 ⎣Ci
Bi ⎤ ∀α i ≥ 0, Di ⎦⎥
L
⎪⎫
i =1
⎭⎪
∑ αi = 1⎬ . (II.13)
⎡ A ( ρ (t )) B ( ρ (t )) ⎤ Penulisan diatas dapat diartikan bahwa ⎢ ⎥ adalah kombinasi ⎣⎢C ( ρ ( t ) ) D ( ρ ( t ) ) ⎦⎥
⎡A konveks dari matriks-matriks sistem LTI ⎢ i ⎣Ci
Bi ⎤ , i = 1...L . Di ⎥⎦
Fungsi transfer dari sistem LPV politop (II.13) dapat ditulis sebagai L
Tα ( ) = ∑ α i ( i =1
)
{
Ci ( sI − Ai )
−1
}
Bi + Di , ∀α i ≥ 0,
L
∑ αi = 1.
(II.14)
i =1
II.3 Ketaksamaan Matriks Linear (Linear Matrix Inequality / LMI)
Ketaksamaan matriks linear (linear matrix inequality / LMI) adalah ketaksamaan matriks dalam bentuk n
F ( x ) = F0 + ∑ xi Fi < 0 , i =1
(II.15)
10
dengan
F0 , F1,..., Fn adalah matriks real simetrik yang diberikan, x ∈
n
,
x = ( x1, x2 ,..., xn ) adalah vektor variabel yang biasa disebut sebagai variabel
keputusan. Tanda “<” menunjukkan definit negatif, yaitu nilai eigen terbesar dari F ( x ) adalah negatif. Sedangkan tanda sebaliknya menunjukkan definit positif.
Selain LMI dalam bentuk (II.15), terdapat pula nonstrict LMI, yaitu LMI dalam bentuk F ( x) ≤ 0 .
(II.16)
⎧ F1 ( x ) < 0 ⎪ : ⎪ , ⎨ : ⎪ ⎪ Fm ( x ) < 0 ⎩
(II.17)
Untuk sistem LMI seperti dibawah ini
LMI tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk LMI tunggal F ( x ) = diag ( F1 ( x ) ,..., Fm ( x ) ) < 0 .
(II.18)
Himpunan semua solusi feasible dari LMI (II.15) adalah konveks, yaitu
{x F ( x ) < 0} konveks. Yang dimaksud dengan solusi feasible adalah himpunan semua vektor x yang memenuhi semua kendala yang diberikan. Misalkan x1 dan x2 adalah dua solusi dari suatu masalah LMI yang memenuhi F ( x1 ) < 0 dan F ( x2 ) < 0 , maka suatu kombinasi konveks x = (1 − α ) x1 + α x2
dengan 0 ≤ α ≤ 1 memenuhi F ( x ) = F ( (1 − α ) x1 + α x2 ) = (1 − α ) F ( x1 ) + α F ( x2 ) < 0 .
(II.19)
Sebuah LMI dapat mempresentasikan berbagai macam kendala konveks dalam x, diantaranya adalah ketaksamaan Lyapunov dan ketaksamaan matriks kuadratik konveks dalam masalah teori kontrol. Dalam berbagai aplikasi kontrol, LMI lebih sering tampak tidak dalam bentuk kanonik (II.15), tetapi dalam bentuk L ( X1,..., X n ) < R ( X1,..., X n ) ,
(II.20)
dengan L ( ⋅) dan R ( ⋅) adalah fungsi afin dari suatu variabel matriks X1,..., X n . Jadi variabel dari LMI (II.20) adalah matriks-matriks X1,..., X n . Contoh sederhana dari bentuk di atas adalah ketaksamaan Lyapunov
11
AT X + XA < 0 , dengan X adalah variabel matriks yang belum diketahui nilainya. Bentuk dasar LMI (II.15) dapat diperluas ke LMI yang bergantung parameter sebagai berikut n
F ( x, ρ ) = F0 ( ρ ) + ∑ xi Fi ( ρ ) < 0 ,
(II.21)
i =1
dengan ρ := [ ρ1,..., ρ s ] adalah parameter, ρ ∈ F℘ . T
Beberapa masalah standar LMI yang penting adalah 1. Masalah feasibility yaitu mendapatkan solusi x feasible sedemikian sehingga F ( x, ρ ) < 0 , untuk setiap ρ ∈ F℘ . Contoh: masalah kestabilan dari sistem dinamik x& ( t ) = A ( ρ ( t ) ) x ( t ) ekuivalen dengan masalah feasibility yaitu mencari matriks Lyapunov P = PT sedemikian sehingga AT ( ρ ( t ) ) P + PA ( ρ ( t ) ) < 0 , P > 0.
2. Masalah linear objective minimization yaitu meminimisasi sebuah fungsi linear x terhadap kendala LMI berikut
{
}
min cT x : F ( x, ρ ) < 0 , untuk setiap ρ ∈ F℘ .
Lemma II.1 Komplemen Schur
Pandang matriks blok terpartisi sebagai berikut ⎡ M11 ( ρ ) M12 ( ρ ) ⎤ M (ρ) = ⎢ T ⎥. ⎢⎣ M12 ( ρ ) M 22 ( ρ ) ⎥⎦ M ( ρ ) adalah definit negatif jika dan hanya jika M 22 ( ρ ) < 0 dan −1 T M11 ( ρ ) − M12 ( ρ ) M 22 ( ρ ) M12 ( ρ ) < 0 , untuk setiap ρ ∈ F℘ .
12
II.4
Reformulasi Masalah Optimisasi ke dalam Bentuk LMI
Ketaksamaan matriks nonlinear (konveks) dapat direformulasi kedalam bentuk LMI dengan menggunakan komplemen Schur, yaitu LMI ⎡ Q ( x) ⎢ T ⎢⎣ S ( x )
S ( x)⎤ ⎥ > 0, R ( x ) ⎥⎦
(II.22)
dengan Q ( x ) = Q ( x ) , R ( x ) = R ( x ) , dan S ( x ) secara afin bergantung pada T
T
x, ekuivalen dengan R ( x ) > 0,
Q ( x) − S ( x) R ( x)
−1
S ( x) > 0 . T
(II.23)
Jadi himpunan ketaksamaan matriks nonlinear (II.23) dapat direformulasikan kedalam bentuk LMI (II.22).
Sebagai contoh, kendala berbentuk norm matriks (nilai singular maksimum) n×q
Z ( x ) < 1 , dengan Z ( x ) ∈
dan
bergantung secara afin pada x, dapat
direpresentasikan dalam bentuk LMI ⎡ I Z ( x )⎤ ⎢ ⎥ > 0. I ⎦ ⎣Z ( x)
(II.24)
Hal ini dikarenakan Z ( x ) < 1 ekuivalen dengan I − ZZ T > 0 . Kendala c ( x) P ( x) T
dengan c ( x ) ∈
n
−1
c ( x ) < 1, P ( x ) > 0 , n×n
dan P ( x ) = P ( x ) ∈ T
bergantung secara afin pada x,
dapat diekspresikan dalam bentuk LMI ⎡ P ( x) ⎢ T ⎢⎣ c ( x )
c ( x )⎤ ⎥ >0. 1 ⎥⎦
(II.25)
Lebih umum, kendala
S ( x) P ( x) T
−1
dengan P ( x ) = P ( x ) ∈ T
(
S ( x ) < 1 := Tr S ( x ) P ( x ) n×n
dan S ( x ) ∈
T
n× p
−1
)
S ( x ) < 1, P ( x ) > 0 ,
bergantung secara afin pada x,
diformulasikan dalam bentuk LMI (dalam x dan Z) dengan mendefinisikan variabel baru Z = Z T ∈
p× p
,
13
T ⎡ Z S ( x) ⎤ ⎢ ⎥ >0. ⎢⎣ S ( x ) P ( x ) ⎥⎦
Z := Tr ( Z ) < 1,
II.5
(II.26)
Metode Pemotongan Setimbang yang Diperumum (Generalized Balanced Truncation Method)
Diberikan sistem LPV politopik yang stabil kuadratik x& ( t ) = A ( ρ ( t ) ) x ( t ) + B ( ρ ( t ) ) u ( t ) ,
(II.27)
y ( t ) = C ( ρ ( t ) ) x ( t ) + D ( ρ ( t ) ) u ( t ) , x ( 0 ) = x0 , yang berkembang pada politop konveks ⎧⎪ ⎡ A Ω = Co ⎨ ⎢ i ⎪⎩ ⎣Ci
Karena
⎫⎪ ⎪⎧ L Bi ⎤ ⎡A i = 1,..., L ⎬ = ⎨∑ α i ⎢ i ⎥ Di ⎦ ⎪⎭ ⎪⎩ i =1 ⎣Ci
Bi ⎤ ∀α i ≥ 0, Di ⎥⎦
L
⎪⎫
i =1
⎭⎪
∑ αi = 1⎬ .
(II.28)
sistem (II.27) stabil kuadratik, maka terdapat matriks P, Q ∈
n×n
sedemikian sehingga
P, Q > 0 ,
(II.29)
PAiT + AiT P + Bi BiT < 0,
i = 1,..., L ,
(II.30)
AiT Q + QAi + Ci CiT < 0,
i = 1,..., L .
(II.31)
Untuk kendala-kendala (II.29)-(II.31) diatas, terdapat matriks non singular T sedemikian sehingga ⎡ˆ ⎤ ˆ = ⎢ ∑1 0 ⎥ , Q T −1 = ∑ ˆ ⎥ ⎢⎣ 0 ∑ 2⎦
( ) ( )
TPT T = T −1
T
ˆ = diag (σˆ ,..., σˆ ) , ∑ ˆ = diag (σˆ ,..., σˆ ) , dengan ∑ 1 1 k 2 k +1 n dan σˆ1 > σˆ 2 > ... > σˆ k > σˆ k +1 > ... > σˆ n > 0 . Transformasi sistem LPV (II.27) – (II.28) menggunakan matriks transformasi non singular T, yaitu Aˆi = TAiT −1,
Bˆi = TBi ,
Cˆi = CiT −1 ,
menghasilkan politop konveks Ωbal yang ekuivalen dengan politop konveks Ω
14
⎧⎪ ⎡ Aˆ Ωbal = Co ⎨ ⎢ i ⎪⎩ ⎢⎣Cˆi
⎫⎪ ⎧⎪ L ⎡ Aˆi Bˆi ⎤ ⎥ i = 1,..., L ⎬ = ⎨∑ α i ⎢ Dˆ i ⎥⎦ ⎪⎭ ⎪⎩ i =1 ⎢⎣Cˆi
Bˆi ⎤ ⎥ ∀α i ≥ 0, Dˆ i ⎥⎦
L
⎫⎪
i =1
⎪⎭
∑ αi = 1⎬ . (II.32)
Lebih lanjut, dalam politop konveks Ωbal berlaku ⎡ˆ ⎤ ˆ = ⎢ ∑1 0 ⎥ > 0 , ∑ ˆ ⎥ ⎢⎣ 0 ∑ 2⎦
σˆ j ,
(II.33)
ˆ Aˆ T + Aˆ T ∑ ˆ + Bˆ Bˆ T < 0, ∑ i i i i
i = 1,..., L ,
(II.34)
ˆ +∑ ˆ Aˆ T + Cˆ Cˆ T < 0, AˆiT ∑ i i i
i = 1,..., L .
(II.35)
j = 1,.., n disebut nilai singular Hankel yang diperumum dari sistem LPV
politopik (II.27)-(II.28), dan merupakan perumuman dari konsep nilai singular Hankel dari sistem LTI. Demikian juga ruang keadaan Ωbal disebut realisasi setimbang yang diperumum. Sebagaimana dalam sistem LTI, nilai singular Hankel yang diperumum dan realisasi setimbang yang diperumum tunggal.
ˆ dan ∑ ˆ menjadi Partisi Aˆi , Bˆi , dan Cˆi menyesuaikan dengan ∑ 1 2 ⎡ Aˆ ˆA = ⎢ i11 i ⎢ Aˆi ⎣ 21
Aˆi12 ⎤ ⎥ ˆA ⎥ i22 ⎦
⎡ Bˆ ⎤ Bˆi = ⎢ 1 ⎥ ˆ ⎣⎢ B2 ⎦⎥
Cˆi = ⎡⎣Cˆ1 Cˆ 2 ⎤⎦ ,
ˆ yang data ruang keadaannya model tereduksi didapat dengan mengabaikan ∑ 2 bersesuaian dengan (II.33) – (II.35), sehingga didapat politop r Ωbal
⎧ ⎡ Aˆi ⎪ = Co ⎨ ⎢ 11 ⎪⎩ ⎢⎣ Cˆi1 ⎧L ⎡ Aˆi ⎪ = ⎨∑ α i ⎢ 11 ⎪⎩ i =1 ⎢⎣ Cˆi1
⎫ Bˆi1 ⎤ ⎥ i = 1,..., L ⎪⎬ Dˆ i ⎥⎦ ⎪⎭ Bˆi1 ⎤ ⎥ ∀α i ≥ 0, Dˆ i ⎥⎦
⎫ ⎪ 1 α = ∑ i ⎬. i =1 ⎭⎪
(II.36)
L
r adalah sistem Sistem LPV (II.36) berorde k yang dilambangkan dengan Ωbal r melambangkan politop yang stabil kuadratik dan setimbang. Notasi r pada Ωbal
tereduksi.
15
Setelah disajikan kajian tentang sistem dan teori-teori yang akan mendasari dan digunakan dalam membahas reduksi orde model sistem LPV, maka pada bab selanjutnya akan dibahas reduksi orde model untuk sistem LPV yang merupakan inti dari pembahasan dalam tesis ini.
