BAB II LANDASAN TEORI

BAB II : LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa teori dasar yang kelak akan digunakan dalam penurunan formula penentuan harga Asian Option, baik secara analitik pada Bab III maupun secara numerik pada Bab IV.

2.1

Aset dan Derivative Aset adalah suatu objek keuangan yang nilainya pada saat sekarang diketahui dan dapat berubah pada saat yang akan datang. Fenomena ketidakpastian nilainya di masa depan ini menyebabkan banyak investor yang ingin berinvestasi dalam jual-beli aset, misalnya saham, obligasi, atau suatu komoditas publik. Karena nilai aset yang berubah-ubah, terdapat investor mengurangi resiko yang mungkin dia tanggung, sehingga muncullah istilah hedging, yakni strategi yang dilakukan investor agar resiko yang dialami dalam melakukan transaksi tidak terlalu besar. Terdapat suatu objek keuangan yang biasa dipakai dalam melakukan hedging, yaitu derivative. Derivative adalah suatu objek keuangan yang nilainya bergantung pada nilai suatu aset (biasa disebut underlying asset bagi derivative tersebut) pada suatu selang waktu tertentu. Dengan menjual atau membeli suatu derivative, maka investor mampu membuat strategi yang bisa meminimalisir

Penentuan Harga Opsi Asia Riswan Harapan (10103024)

5


kemungkinan kerugian yang akan didapatkan. Salah satu contoh derivative yang paling diminati adalah option..

2.2

Options Option adalah objek keuangan yang berupa surat kontrak di mana pihak pembeli (holder) “berjanji” kepada penjual (writer) untuk membeli (jika berbentuk opsi call)/menjual (jika berbentuk opsi put) suatu aset dengan suatu harga tertentu (yang disebut strike price) pada waktu yang telah disepakati sebelumnya (disebut exercise time atau maturity time). Jika holder menggunakan haknya (untuk membeli atau menjual aset sesuai perjanjian pada opsi), maka holder disebut meng-exercise opsi tersebut. Masalah yang menarik saat membicarakan derivative, terutama option, adalah bagaimana menentukan harga yang pantas dibayar oleh holder kepada writer saat holder membeli sebuah option dari writer. Contoh yang paling umum saat membicarakan opsi adalah vanilla option, yang berdasarkan tipe exercise-nya terbagi menjadi dua tipe yakni European Option dan American Option, dan masing-masing memiliki dua tipe, yaitu call dan put. European Option adalah opsi yang hanya bisa di-exercise pada saat maturity time, di mana hasil exercise tersebut (yang akan menjadi payoff bagi holder) bergantung pada harga aset pada saat maturity time tersebut. American Option adalah opsi yang bisa di-exercise oleh holder kapanpun juga (selama belum mencapai maturity time), dan payoff yang diterima oleh holder bergantung pada harga aset saat opsi tersebut diexercise. Terdapat contoh lain dari option, yakni suatu jenis opsi yang disebut path-dependent option. Opsi jenis inilah yang akan dibahas lebih lanjut.

2.3

Path Dependent Option Path Dependent Option adalah opsi yang payoff-nya bergantung pada pergerakan harga underlying asset-nya selama seluruh atau sebagian “waktu hidup” opsi tersebut. Jadi payoff yang diterima holder tidak hanya bergantung pada suatu harga aset pada satu waktu tertentu saja, seperti yang


6


terjadi pada vanilla option. Secara umum, terdapat 3 jenis opsi jenis path dependent ini, yaitu barrier option, lookback option, dan Asian option. Pada tugas akhir ini, hanya Asian option yang akan dibahas.

2.4 Distribusi Normal dan Lognormal Pada tugas akhir ini, distribusi normal (dan juga lognormal) memegang peranan penting dalam formulasi harga sebuah opsi. Suatu peubah acak X dikatakan mengikuti distribusi normal, dengan rata-rata μ dan variansi σ 2 , jika fungsi padat peluangnya berupa

⎛ ( x − μ )2 ⎞ 1 ⎟ f ( x) = exp ⎜ − ⎜ 2σ 2 ⎟ σ 2π ⎝ ⎠

(2.1)

dan fungsi distribusinya berupa

1 F ( x) = 2π

⎛ ( x − μ )2 ⎞ ∫−∞ exp ⎜⎜ − 2σ 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠ x

(2.2)

Selain itu, perlu diketahui pula bahwa jumlah dari sejumlah N peubah acak normal yang saling bebas X i , i = 1, 2,…, N juga berdistribusi normal. Dan N

jika Y = ∑ X i , maka Y berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi i =1

masing-masing: N

E (Y ) = ∑ E ( X i ), dan

(2.3)

i =1

N

Var (Y ) = ∑ Var ( X i )

(2.4)

i =1

Misalkan Z = e X , di mana X merupakan peubah acak normal dengan ratarata μ dan variansi σ 2 . Maka Z dikatakan mengikuti distribusi lognormal, yang fungsi padat peluangnya berbentuk:

g ( z) =


1 zσ z

⎛ ( ln z − μ z )2 ⎞ ⎟ exp ⎜ − ⎟ ⎜ 2σ 2 2π ⎝ ⎠

(2.5)

7


di mana μ z dan σ z2 dinyatakan sebagai berikut:

σ z2 = exp ( 2μ x + σ x2 ) ⎡⎣exp (σ x2 ) − 1⎤⎦ . ⎛

μ z = exp ⎜ μ x + ⎝

σ x2 ⎞

⎟ 2 ⎠

σ z2 = exp ( 2μ x + σ x2 ) ⎡⎣exp (σ x2 ) − 1⎤⎦ . 2.5

(2.6) (2.7) (2.8)

Gerak Brown Gerak Brown atau Wiener Process didefinisikan sebagai suatu proses

{W ( t ) ; t ≥ 0} yang memiliki sifat-sifat berikut: 1. W ( 0 ) = 0 2. W ( t ) kontinu 3. Setiap increment W ( t + s ) − W ( t ) saling bebas dan berdistribusi normal dengan rata-rata μt dan variansi σ t2 . Sebagai catatan, jika μt = 0 dan σ t2 = 1 , maka Gerak Brown di atas disebut sebagai Gerak Brown Standar

2.6

Gerak Brown Geometrik Misalkan W ( t ) merupakan suatu Gerak Brown dengan parameter μt dan

σ t2 . Maka suatu proses Y ( t ) yang didefinisikan: Y ( t ) = eW ( t ) , t ≥ 0 , merupakan suatu Gerak Brown Geometrik. Y ( t ) ini berdistribusi lognormal dengan rata-rata: ⎛ σ 2t ⎞ E (Y ( t ) | Y ( 0 ) = y0 ) = y 0 exp ⎜ μ t + ⎟ 2 ⎠ ⎝

(2.9)

var (Y ( t ) | Y ( 0 ) = y0 ) = y02 exp ( 2μt + σ 2t ) ⎡⎣exp (σ 2t ) − 1⎤⎦

(2.10)

dan variansi :


8


2.7

Teorema Limit Pusat Misalkan X1 , X 2 ,…, X n adalah barisan dari peubah-peubah acak yang identik dan saling bebas dengan rata-rata dan variansinya masing-masing adalah μ dan σ 2 . Misalkan terdapat peubah acak Sn , di mana n

Sn = ∑ X i

(2.11)

i =1

Teorema Limit Pusat menyatakan: “ Untuk nilai n yang sangat besar, Sn akan menghampiri peubah acak normal dengan rata-rata nμ dan variansi nσ 2 . Hasilnya, untuk setiap x sembarang diperoleh ⎧ S − nμ ⎫ P⎨ n ≤ x⎬ ≈ N ( x) ⎩ σ n ⎭

(2.12)

dan hampiran yang diperoleh menjadi lebih akurat seiring dengan bertambah besarnya nilai n. “ Sebagai catatan, N ( x ) yang dimaksud pada teorema di atas adalah fungsi distribusi pada peubah acak normal standar Z (rata-ratanya 0 dan variansinya 1) , yakni

N ( x) = P ( Z ≤ x) 2.8

(2.13)

Model Pergerakan Harga Aset Model yang pertama-tama digunakan untuk memodelkan pergerakan harga aset pada tugas akhir ini adalah model diskrit. Pada model diskrit, selang waktu [ 0,T ] dibagi dalam n subselang yang panjangnya seragam dengan lebar selang δ t =

T . Misalkan S (t i ) adalah harga aset pada saat t i = iδ t . n

Model : S ( ti +1 ) = S ( ti ) + μδ t S ( ti ) + σ δ t Yi. S ( ti )

(2.14)

dengan μ > 0, σ ≥ 0, dan Y0 , Y1 , Y2 ,...iid ~ N (0,1)


9


Dengan menggunakan cara rekursif diperoleh : n −1

(

S ( t ) = S0 ∏ 1 + μδ t + σ δ t Yi i =0

)

⎛ S ( t ) ⎞ n −1 ln ⎜ ⎟ = ∑ ln 1 + μδ t + σ δ t Yi ⎝ S0 ⎠ i =0

(

Jika δ t → 0 dan mengingat bahwa ln (1 + x ) ≈ x −

(2.15)

)

(2.16)

x2 maka diperoleh : 2

⎛ S ( t ) ⎞ n −1 ⎛ 1 2 2⎞ ln ⎜ ⎟ ≈ ∑ ⎜ μδ t + σ δ t Yi − σ δ tYi ⎟ 2 ⎠ ⎝ S0 ⎠ i =0 ⎝

(2.17)

⎡⎛ 1 1 ⎞⎤ E ⎢⎜ μδ t + σ δ t Yi − σ 2δ tYi 2 ⎟ ⎥ = μδ t − σ 2δ tYi 2 2 2 ⎠⎦ ⎣⎝

(2.18)

⎡⎛ 1 ⎞⎤ Var ⎢⎜ μδ t + σ δ t Yi − σ 2δ tYi 2 ⎟ ⎥ = σ 2δ t + O (δ t ) 2 ⎠⎦ ⎣⎝

(2.19)

Selanjutnya,

dan dengan menggunakan Teorema Limit Pusat maka diperoleh : ⎛ S (t ) ⎞ ⎛⎛ 1 2⎞ 2 ⎞ ln ⎜ ⎟ ~ N ⎜ ⎜ μ − σ ⎟ t,σ t ⎟ 2 ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ S0 ⎠

(2.20)

sehingga formulasi harga aset pada saat t adalah: 1 2⎞ ⎛ ⎜ μ − σ ⎟t +σ t . Z 2 ⎠

S ( t ) = S0 .e⎝

(2.21)

dengan Z ~ N ( 0,1) Karena

S (t )

dapat

dituliskan

dalam

bentuk

eksponensial

dari

1 2⎞ ⎛ ⎜ μ − σ ⎟ t + σ t .Z yang adalah peubah acak normal, maka dapat 2 ⎠ ⎝ disimpulkan bahwa S (t ) berdistribusi lognormal dengan rata-rata dan variansi: E ⎡⎣ S ( t ) ⎤⎦ = S0 .e μ t

(

(2.22)

)

Var ⎣⎡ S ( t ) ⎦⎤ = S0 2 .e 2 μ t . eσ t − 1


2

(2.23)

10


Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa harga saham berdistribusi lognormal dengan rataan dan variansi seperti tertera di atas.

2.9

Lemma Ito

Misalkan u ( X ( t ) ) merupakan suatu fungsi kontinu dengan turunan parsialnya yang juga kontinu. Misalkan dX ( t ) didefinisikan oleh:

dX ( t ) = a ( X , t ) dt + b ( X , t ) dZ ( t )

(2.24)

di mana dZ ( t ) adalah suatu gerak Brown standar Misalkan terdapat suatu proses stokastik Y ( t ) di mana Y ( t ) = u ( X ( t ) , t ) . Jika kita lakukan ekspansi deret Taylor terhadap ΔY, maka didapat: ΔY =

1 ⎛ ∂ 2u ∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u 2 ⎞ 2 X X t 2 ΔX + Δt + ⎜ Δ + Δ Δ + Δt ⎟ + O ( t ) ∂X ∂t ∂X ∂t ∂t 2 2 ⎝ ∂X 2 ⎠

(2.25)

dengan O ( t ) adalah suku-suku dengan orde lebih tinggi dari Δt catat bahwa : ΔX 2 = b ( X , t ) x Δt + O ( Δ t ) 2

(2.26)

dengan x = peubah acak normal standar

sehingga suku-suku yang memuat ΔX 2 tidak dapat diabaikan. Dalam diferensial limit ΔX → 0 dan Δt → 0 , suku ΔX Δt dan Δt 2 tidak berperan, sehingga dapat diabaikan, dan persamaan (2.25) menjadi: 2 ∂u ∂u 1 2 ∂ u dt + dX + b ( X , t ) dt ∂t ∂X ∂X 2 2 (2.27) 2 ⎛ ∂u ∂u 1 ∂u 2 ∂ u ⎞ = ⎜ + a( X ,t) + b( X ,t) dZ ( t ) ⎟ dt + b ( X , t ) ∂X 2 ∂X 2 ⎠ ∂X ⎝ ∂t

dY ( t ) =

2.10 Formula Black-Scholes

Black-Scholes formula adalah suatu model matematika yang cukup populer di bidang matematika keuangan, terutama dalam hal pembuatan formula penentuan harga opsi. Model Black-Scholes ini berlaku pada keadaan di bawah sejumlah asumsi, yakni: Penentuan Harga Opsi Asia Riswan Harapan (10103024)

11


(a)

Transaksi dapat terjadi setiap saat dan tidak ada biaya tambahan yang dikenai pada transaksi tersebut (misal biaya transaksi atau pajak)

(b)

Tidak ada peluang terjadinya arbitrage (keadaan tanpa ada peluang merugi)

(c)

Terbukanya kesempatan untuk melakukan short selling (yakni meminjam sejumlah aset dan menjualnya untuk mendapatkan uang tunai, dan setelah beberapa waktu membeli kembali aset tersebut dan mengembalikannya).

(d)

Peminjaman atau penabungan uang tunai dari/ke bank dimungkinkan dengan suku bunga yang nilainya konstan

(e)

Tidak ada pembagian dividen pada penjualan aset

(f)

Harga saham berdistribusi lognormal dengan rata-rata dan variansi yang konstan

(g)

Jumlah aset yang dibeli bisa dalam bentuk pecahan

Misalkan C adalah harga sebuah opsi call Eropa. Perubahan harga saham diberikan oleh persamaan: dS = μ S dt + σ S dB

(2.28)

Dengan memanfaatkan Lemma Ito, kita peroleh bentuk persamaan diferensial stokastik untuk call Eropa berikut:

⎛ ∂C ∂C 1 2 2 ∂ 2C ⎞ ∂C dC = ⎜ dt + σ S dB + μS + σ S 2 ⎟ ∂S 2 ∂S ⎠ ∂S ⎝ ∂t 0 < S < ∞, dan τ > ∞

(2.29)

di mana persamaan (2.29) tersebut dinamakan Black-Scholes formula, dengan syarat awal:

c ( S , 0 ) = max {S − K , 0}

(2.30)

C ( 0,τ ) = 0

(2.31)

dan syarat batas:

jika S → ∞, maka C ( S ,τ )

S − Ke− rτ

(2.32)

dengan K adalah strike price-nya. Penentuan Harga Opsi Asia Riswan Harapan (10103024)

12

BAB II LANDASAN TEORI

Recommend Documents