BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI Bab ini berisi definisi-definisi dan sifat-sifat yang penting yang berhubungan dengan modul. Hal-hal tersebut diperlukan dalam pembahasan mengenai modul injektif pada Bab III.

2.1.

Modul

Mata kuliah Aljabar Linier membahas ruang vektor atas lapangan, sedangkan lapangan adalah gelanggang pembagian komutatif yang setiap unsur tak nolnya merupakan unit, yaitu memiliki balikan terhadap operasi perkalian. Ruang vektor atas lapangan diperumum menjadi modul atas gelanggang. Definisi 2.1. Himpunan M dikatakan modul kanan atas gelanggang R , jika dipenuhi 1.

( M , + ) adalah grup abel,

2.

terdapat pemetaan M × R → M ,

( m, r ) 6 mr ,

untuk setiap m ∈ M ,

r ∈ R yang memenuhi sifat-sifat berikut

•

( x + y ) a = xa + ya ,

•

x ( a + b ) = xa + xb , dan

•

x ( ab ) = ( xa ) b ,

untuk setiap x, y ∈ M , a, b ∈ R .

4

BAB II LANDASAN TEORI

Demikian pula dengan modul kiri, hanya saja aksi pada modul M oleh gelanggang R yang berlaku adalah M × R → M , dengan ( m, r ) 6 rm , untuk setiap m ∈ M , r ∈ R , sehingga sifat-sifat berikut terpenuhi

•

a ( x + y ) = ax + ay ,

•

( a + b ) x = ax + bx , dan

•

( ab ) x = a ( bx ) ,

untuk setiap x, y ∈ M , a, b ∈ R .

Jika R adalah gelanggang komutatif, maka M adalah modul kiri sekaligus modul kanan atas R . Modul M yang sekaligus modul kanan dan kiri atas gelanggang komutatif R dapat disebut M modul atas R .

Contoh 2.2.

Berikut ini adalah contoh-contoh modul

1.

\ m×n modul kanan atas \ n×n ,

2.

\ m×n modul kiri atas \ m×m ,

3.

\ n×n modul kanan atas \ n×n ,

4.

\ n×n modul kiri atas \ n×n , dan

5.

\ modul atas ] n .

Pada contoh 2.2.1, \ m×n hanya dapat menjadi modul kanan atas \ n×n dan tidak dapat menjadi modul kiri atas \ n×n . Hal tersebut disebabkan tidak terdefinisinya perkalian matriks yang berukuran n × n dengan matriks berukuran m × n . Demikian halnya dengan contoh 2.2.2, tidak terdefinisinya perkalian matriks antara matriks berukuran m × n dan m × m mengakibatkan \ m×n tidak dapat menjadi modul kanan atas \ m×m .

5

BAB II LANDASAN TEORI

Pada contoh 2.2.3 dan 2.2.4, terlihat bahwa \ n×n adalah modul kanan atas \ n×n juga modul kiri atas \ n×n . Namun, sebagai gelanggang, \ n×n tidak komutatif, maka modul kiri dan modul kanan atas \ n×n bukanlah modul yang sama, sehingga \ n×n tidak dapat disebut sebagai modul atas \ n×n . Dalam contoh tersebut juga terlihat bahwa suatu gelanggang R secara otomatis berperan sebagai modul kiri dan kanan atas dirinya sendiri. Pada contoh 2.2.5, jelas bahwa ] n merupakan gelanggang komutatif, sehingga modul kiri atas ] n sama dengan modul kanan atas ] n . Salah satu modul atas ] n adalah \ , dengan fungsi \ × ] n → \ , ( r , a ) 6 r ( a mod n ) , untuk setiap r ∈ \ dan a ∈ ] n . Selanjutnya, hal-hal yang berlaku pada modul kanan juga berlaku pada modul kiri dan sebaliknya, hal-hal yang berlaku pada modul kiri juga berlaku pada modul kanan. Definisi 2.3. Misalkan M modul kanan atas gelanggang R . Sebarang subgrup aditif N ⊆ M adalah submodul dari M jika N bersifat tertutup terhadap perkalian dengan R , yaitu nr ∈ N , untuk setiap n ∈ N dan r ∈ R . Submodul dinotasikan N ≤ M . Sebagai contoh, ] merupakan submodul dari \ atas ] n .

2.2.

Annihilator

Penjelasan mengenai annihilator dibutuhkan pada bab selanjutnya, terutama subbab 3.2, yaitu Divisibility. Definisi 2.4. Misalkan M modul kanan atas R dan Y ⊆ M . Definisikan

{

}

himpunan Y ⊥ = r ∈ R⏐∀y ∈ Y , yr = 0 ⊆ R . Himpunan Y ⊥ disebut annihilator dari Y.

Proposisi 2.5. Himpunan Y ⊥ yang merupakan annihilator dari Y adalah ideal kanan dari gelanggang R .

6

BAB II LANDASAN TEORI

Bukti. Untuk menunjukkan bahwa Y ⊥ ideal kanan dari R , pertama-tama harus ditunjukkan bahwa (Y ⊥ , + ) merupakan subgrup dari

( R, + ) .

Pandang 0 ∈ R .

Ambil sebarang y ∈ Y , maka y 0 = 0 . Maka 0 ∈ Y ┴ dan Y ┴ ≠ ∅ . Kemudian, ambil sebarang a, b ∈ Y ⊥ dan y ∈ Y , maka ya = 0 dan yb = 0 , sehingga

y ( a − b ) = ya + y ( −b ) = ya − yb = 0 − 0 = 0 . Dengan demikian a − b ∈ Y ⊥ ⊆ R , untuk setiap a, b ∈ Y ⊥ . Karena Y ┴ ≠ ∅ dan a − b ∈ Y ⊥ ⊆ R , untuk setiap a, b ∈ Y ⊥ , maka sebarang

(Y

⊥

, + ) subgrup dari

a ∈Y ⊥ ,

r∈R,

dan

( R, + ) .

Selanjutnya, ambil kembali

y ∈Y ,

ya = 0 .

maka

Karena

y ( ar ) = ( ya ) r = 0r = 0 , maka ar ∈ Y ⊥ , untuk setiap a ∈ Y ⊥ dan r ∈ R . Karena

(Y

⊥

, + ) subgrup dari ( R, + ) dan ar ∈ Y ⊥ , untuk setiap a ∈ Y ⊥ dan r ∈ R , maka

Y ⊥ ideal kanan dari R .

{

}

Jika m ∈ M , maka m ⊥ didefinisikan sebagai m ⊥ = r ∈ R⏐mr = 0 . Selain itu, jika

{

}

a ∈ R , maka a ⊥ didefinisikan sebagai a ⊥ = r ∈ R⏐ar = 0 .

2.3.

Kali dan Tambah Langsung

Subbab ini akan menerangkan beberapa hal mengenai kali langsung dan tambah langsung. Definisi 2.6. Misalkan I adalah himpunan indeks. Misalkan pula untuk setiap

i ∈ I , M i modul atas gelanggang R . Kali langsung

∏ {M ⏐i ∈ I } i

{

atau

didefinisikan sebagai himpunan dari semua fungsi α : I → ∪ M i⏐i ∈ I

}

∏M

i

dengan

α (i ) ∈ M i .

7

BAB II LANDASAN TEORI

{

Definisi 2.7. Tambah langsung ⊕ M i⏐i ∈ I

}

atau ⊕ M i didefinisikan sebagai

submodul dari kali langsung, dinotasikan ⊕ M i ⊆ ∏ M i , yang beranggotakan setiap x = ( xi ) ∈ ∏ M i yang memiliki sebanyak hingga komponen tak nol. Pemetaan jk : M k → ∏ M i dimana jk ( m ) = ( 0,..., 0, m, 0,...0 ) dengan komponen ke-k adalah m ∈ M k , disebut pemetaan inklusi. Selain pemetaan inklusi, terdapat pemetaan π k : ∏ M i → M k , yaitu π k ⎡⎣( xi )i∈I ⎤⎦ = xk , disebut pemetaan proyeksi. Kedua pemetaan tersebut memenuhi jkπ k = 1 = π k jk .

2.4.

Perluasan Fungsi

Dalam subbab ini akan didefinisikan perluasan fungsi yang akan dipakai dalam definisi modul injektif. Selanjutnya, gelanggang yang akan dibahas adalah gelanggang komutatif. Definisi 2.8. Misalkan A ⊆ B dan f : A → C pemetaan. Pemetaan g : B → C merupakan perluasan dari f di B jika f (a ) = g (a ) , untuk setiap a ∈ A .

2.5.

Lemma Zorn

Subbab ini tidak akan berisi pembuktian dari Lemma Zorn, tetapi hanya isi dari Lemma Zorn tersebut.

Lemma 2.9. Misalkan X adalah himpunan terurut parsial yang memenuhi 1.

X ≠∅,

2.

setiap subhimpunan terurut total dari X memiliki batas atas, dan

3.

batas atas tersebut adalah anggota dari X ,

maka X memiliki elemen maksimal.

8

BAB II LANDASAN TEORI

2.6.

Gelanggang dan Ideal

Dalam subbab ini hanya akan dibahas definisi dari beberapa macam gelanggang dan ideal yang akan digunakan pada Bab III. Definisi 2.10. Gelanggang R dikatakan daerah integral jika tidak memuat pembagi nol, yaitu jika 0 ≠ a, 0 ≠ b ∈ R , maka ab ≠ 0 . Definisi 2.11. Misalkan ideal I ⊆ R . Ideal I disebut ideal utama jika dibangun oleh satu elemen R , yaitu I = aR , untuk suatu a ∈ R . Definisi 2.12. Misalkan R gelanggang. Gelanggang R disebut gelanggang ideal utama jika semua idealnya adalah ideal utama. Definisi 2.13. Gelanggang R disebut daerah ideal utama, jika R gelanggang ideal utama dan R daerah integral.

2.7.

Grup Divisible dan Grup Injektif.

Subbab ini berisi definisi dan dari grup divisible dan grup injektif dan kaitan antara keduanya. Definisi 2.14. Dalam teori grup, suatu grup abel G dikatakan grup divisible jika untuk sebarang bilangan bulat positif n dan sebarang g ∈ G , terdapat y ∈ G , sehingga ny = g .

Contoh dari grup divisible adalah grup aditif bilangan rasional karena untuk setiap g ∈ _ dan n ∈ ] + , terdapat y =

g g ∈ _ , sedemikian sehingga ny = n = g . n n

9

BAB II LANDASAN TEORI

Definisi 2.15. Suatu grup Q dikatakan injektif jika untuk sebarang grup X dan Y , juga sebarang monomorfisma f : X → Y dan homomorfisma g : X → Q ,

terdapat homomorfisma h : Y → Q , sedemikian sehingga hf = g .

X g

Y

f

h

Q

Proposisi 2.16. Dalam teori grup, untuk setiap grup abel G berlaku

G divisible ⇔ G injektif

Oleh karena itu, grup divisible disebut juga sebagai grup injektif.

10