BAB II LANDASAN TEORI
Salah
satu
instrumen derivatif
yang mempunyai
potensi
untuk
dikembangkan adalah opsi. Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak, salah satu pihak (sebagai pembeli) mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan pula, pada atau sebelum waktu yang ditentukan. Pemegang opsi tidak diwajibkan untuk menggunakan haknya atau akan menggunakan haknya jika perubahan dari harga aset yang mendasarinya akan menghasilkan keuntungan baik dengan menjual atau membeli aset yang mendasari tersebut. Hull (2006) memaparkan ada beberapa aset yang mendasari opsi. Lalu menerangkan pula tentang nilai opsi, tipe opsi, keuntungan opsi, dan faktor-faktor yang memengaruhi harga opsi. Seperti yang tertuliskan pada sub bab 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, dan 2.5 berikut ini.
2.1 Aset yang Mendasari Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang mendasari, antara lain opsi indeks (index option), opsi valuta asing (foreign currency option), opsi berjangka (future option), dan opsi saham (stock option). Opsi indeks adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari adalah indeks pasar saham. Opsi valuta asing adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari adalah mata uang asing dengan kurs tertentu. Opsi berjangka adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari adalah kontrak berjangka, dan opsi saham adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah saham. Tulisan ini akan membahas tentang opsi saham.
2.2 Nilai Opsi Nilai opsi terdiri dari nilai intrinsik opsi dan nilai waktu. Dimana, nilai intrinsik opsi adalah nilai ekonomis, menggambarkan keuntungan investor jika opsi dieksekusi dengan segera. Jika nilai ekonomis dari eksekusi opsi tidak positif, maka nilai intrinsiknya adalah nol. Untuk opsi call, nilai intrinsiknya akan positif jika harga saham yang terjadi (ST) lebih besar dari pada harga eksekusi
20
(harga yang ditetapkan pada saat jatuh tempo). Untuk opsi put nilai intrinsiknya akan positif jika harga saham yang terjadi pada waktu
(ST) kurang dari harga
eksekusi (K). Sedangkan nilai waktu adalah selisih antara nilai intrinsik dengan harga opsi. Harga atau premi suatu opsi adalah nilai yang wajar dari suatu opsi yang ditentukan oleh pasar kompetitif yang dibayarkan oleh pembeli opsi pada saat kontrak dibuka.
2.3 Tipe Opsi Terdapat dua tipe kontrak opsi, yaitu opsi call dan opsi put. Suatu opsi call memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi (strike price, exercise price) sampai waktu jatuh tempo. Opsi put sendiri memberikan hak kepada pemegang opsi untuk untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi sampai waktu jatuh tempo. Dalam kontrak opsi call tersebut ada empat hal utama, yaitu :
Harga aset yang mendasari yang akan dibeli.
Jumlah aset yang mendasari yang akan dibeli.
Harga eksekusi aset yang mendasari.
Tanggal berakhirnya hak membeli, atau disebut expiration date.
Pada kontrak opsi put empat hal tersebut identik dengan yang tertuang dalam opsi call. Transaksi opsi akan terkait dengan pelaksanaan hak. Berdasarkan waktu pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Misalkan harga saham awal (pada saat disetujui kontrak) adalah S, waktu jatuh tempo T dan harga eksekusi adalah K, serta c = c(S,t) menyatakan harga opsi call Eropa pada saat t, dan p = p(S,t) menyatakan harga opsi put Eropa pada saat t. Nilai intrinsik dari opsi call Eropa pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu
payoff
atau
penerimaan
bagi
pemegang
kontrak
opsi
yaitu
c = maks (ST – K,0).
21
Jika ST > K, opsi dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang opsi akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan menjual saham dengan harga ST yang lebih besar dari K, dan akan mendapatkan hasil sejumlah ST – K. Jika ST = K opsi call dikatakan dalam keadaan at the money. Sedangkan apabila ST < K opsi call dikatakan dalam keadaan out of the money. Kondisi payoff dari opsi put Eropa adalah p = maks (K – ST, 0). Jika ST > K, opsi tidak bernilai sehingga pemegang opsi tidak menggunakan haknya. Opsi put akan dieksekusi pada saat ST < K sehingga pemegang opsi memperoleh hasil sebesar K – ST. Hubungan antara harga opsi call Eropa dengan put Eropa yang dikenal dengan put-call-parity, dapat dinyatakan sebagai berikut : +
=
dengan r menyatakan suku bunga bebas risiko.
+ ,
Apabila C = C(S,t) menyatakan harga opsi call Amerika dan P = P(S,t) menyatakan harga opsi put Amerika, maka payoff pada waktu maturity untuk opsi call adalah :
sedangkan untuk opsi put
= maks(
–
, 0),
= maks( –
, 0).
2.4 Keuntungan Opsi Dengan melaksanakan perdagangan opsi, akan dapat diperoleh beberapa manfaat seperti berikut ini :
Menejemen risiko: penerbit opsi put atas suatu aset yang mendasari dapat melakukan hedging, yaitu berinvestasi pada suatu aset untuk mengurangi risiko portofolio keseluruhan. Hal ini dilakukan bila harga aset yang mendasarinya turun drastis secara tiba-tiba, sehingga dapat menghindari risiko kerugian.
Memberikan waktu yang fleksibel: untuk opsi tipe Amerika, maka pemegang opsi call maupun opsi put dapat menentukan apakah akan melaksanakan haknya atau tidak hingga masa jatuh tempo berakhir.
Menyediakan sarana spekulasi: para investor dapat memperoleh keuntungan jika dapat menentukan dengan tepat kapan membeli opsi put atau call. Apabila
22
diperkirakan harga naik maka akan membeli opsi call, dan sebaliknya bila harga cenderung turun maka akan membeli opsi put.
Penambahan pendapatan: perusahaan yang menerbitkan saham akan memperoleh tambahan pemasukan apabila menerbitkan opsi warrant, yaitu berupa premi dari opsi tersebut.
2.5 Faktor-Faktor yang Memengaruhi Harga Opsi Harga Opsi sendiri dipengaruhi oleh berbagai faktor diantaranya adalah harga aset yang mendasari dan harga eksekusi, waktu jatuh tempo, volatilitas, dan suku bunga bebas risiko.
Harga Aset yang Mendasari dan Harga Eksekusi Jika suatu opsi call dieksekusi pada waktu di masa yang akan datang,
pembayarannya sebesar selisih antara harga aset yang mendasari dan harga eksekusi. Suatu opsi call akan menjadi lebih bernilai jika harga aset yang mendasari meningkat dan kurang bernilai jika harga eksekusi meningkat. Sementara pada opsi put, pembayaran atas eksekusi hak adalah sebesar selisih antara harga eksekusi dan harga aset yang mendasarinya.
Waktu Jatuh Tempo Untuk opsi Amerika, dari kedua macam opsi call maupun opsi put menjadi
lebih berharga jika waktu jatuh temponya semakin lama. Sementara tipe Eropa nilai terhadap opsi baik call maupun put tidak terpengaruh dengan jatuh tempo, hal ini berkenaan dengan waktu eksekusi haknya.
Volatilitas Volatilitas atas aset yang mendasari adalah sebuah ukuran tingkat
ketidakpastian mengenai pergerakan aset yang mendasari tersebut di masa mendatang. Jika volatilitas semakin meningkat maka akan semakin meningkat pula peluang aset yang mendasari untuk mengalami peningkatan atau penurunan terhadap suatu opsi.
Suku Bunga Bebas Risiko Suku bunga bebas risiko memengaruhi harga suatu opsi. Jika tingkat suku
bunga dalam perekonomian mengalami kenaikan dan memengaruhi harapan kenaikan harga aset yang mendasari (dalam hal ini saham). Dengan
23
mengasumsikan bahwa semua peubah tetap, maka harga opsi put akan menurun jika suku bunga bebas risiko mengalami peningkatan. Begitu pula sebaliknya, harga opsi call akan selalu meningkat seiring dengan peningkatan suku bunga bebas risiko.
2.6 Persamaan Black-Scholes Fisher Black dan Myron Scholes pada tahun 1973 dalam merumuskan nilai opsi call Eropa mendasarkan pada beberapa asumsi berikut ini :
Harga dari aset yang mendasari mengikuti proses Wiener dengan μ dan σ konstan;
Tidak ada biaya transaksi dan pajak;
Tidak ada pembayaran deviden pada saham;
Tidak terdapat peluang arbitrase, yaitu suatu peluang untuk memperoleh keuntungan tanpa risiko;
Short selling diijinkan;
Suku bunga bebas risiko r adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh tempo. Untuk
memodelkan
Persamaan
Black-Scholes
didefinisikan
atau
ditentukan beberapa istilah berikut :
Definisi 1 (Proses Stokastik) Proses stokastik
= { ( ), ∈
} adalah suatu himpunan dari peubah
acak. Untuk setiap t pada himpunan indeks H, X(t) adalah suatu peubah acak dan t sering diinterpretasikan waktu. [Ross 1996]
Definisi 2 (Gerak Brown) Proses stokastik 1. X(0) = 0.
= { ( ), ∈
} disebut proses gerak Brown jika :
2. Untuk 0 < t1 < t2 < . . . < tn peubah acak X(ti) – X(ti-1), i = 1, 2, 3, ..., n saling bebas.
24
3. Untuk setiap t > 0, X(t) berdistribusi normal dengan rataan 0 dan variansi σ2t. [Ross 1996]
Definisi 3 (Gerak Brown Geometris) Jika { ( ), > 0} adalah gerak Brown, maka proses stokastik { ( ), ≥ 0} yang ( )
didefinisikan ( ) =
disebut gerak Brown Geometris.
[Ross 1996]
Definisi 4 (Proses Wiener) Proses Wiener adalah Gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1. [Niwiga 2005]
Definisi 5 (Proses Wiener Umum) Proses Wiener Umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut : dX(t) = adt + bdW(t).
(2.1)
adt disebut komponen deterministik dan bdW(t) menyatakan komponen stokastik, serta W(t) adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyatakan rataan dan standar deviasi dari X.
[Hull 2006]
Definisi 6 (Proses Itô) Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Secara aljabar proses Itô dapat dinyatakan sebagai berikut : dX(t) = a(X(t),t)dt + b(X(t),t)dW(t).
(2.2) [Hull 2006]
Lema Itô Misalkan proses X(t) memenuhi (2.2) dan fungsi ( ) = ( ( ), ) adalah
kontinu serta turunan
( ( ), ),
( ( ), ),
( ( ), ) memenuhi persamaan berikut :
( ( ), ) kontinu, maka
( )=
25
( )=( +
dengan =
,
=
persamaan (2.2).
,
=
+
)
+
( )
(2.3)
( ) adalah proses Wiener sama seperti
, dan
mengikuti proses Itô, dengan drift rate +
dan variance rate
+ ( )
1 2
.
[Hull 2006]
Definisi 8 (Model Harga Saham) Jika S harga saham pada waktu t, μ adalah parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan σ volatilitas harga saham, maka model dari perubahan harga saham, yaitu : ( )=
( )
+
( )
( ).
(2.4) [Hull 2006]
Berdasarkan ketentuan-ketentuan di atas akan diturunkan persamaan Black-Scholes. Misalnya
( ) mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan
(2.1). Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi (2.2). Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga saham S. Diasumsikan bahwa tidak terjadi pembayaran dividen pada saham. Misalnya ( ) adalah harga saham pada waktu t. Mengingat proses Itô, perubahan ( ) akan memiliki nilai harapan drif rate µ . Parameter µ menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan µ ( )
disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah
( )
( ),dengan
menyatakan volatilitas harga saham. Dengan demikian model dari harga saham adalah berbentuk (2.4). Dengan (2.4) ini, dapat diterapkan Lemma Itô untuk suatu fungsi ( , ),
yaitu nilai opsi dengan harga saham S pada waktu t, sehingga diperoleh: =
+
+
+
( ).
(2.5)
26
Untuk
menghilangkan
proses
Wiener
dipilih
sebuah
portofolio
yang
diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli satu opsi dan menjual
saham. Misalnya π adalah nilai portofolio yang
dimaksud, maka =
−
=
−
.
(2.6)
Perubahan portofolio pada selang waktu dt didefinisikan sebagai .
(2.7)
Dengan menyubstitusikan (2.4) dan (2.5) ke dalam (2.7) diperoleh =
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1)
+
.
(2.8)
Tingkat pengembalian (return) dari investasi sebesar π pada saham takberisiko akan memiliki pertumbuhan sebesar rπdt dalam selang waktu dt, dengan r adalah suku bunga bebas risiko. Agar tidak terdapat peluang arbitrase, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari (2.8), yaitu : =
+
.
(2.9)
=0
(2.10)
Substitusi (2.6) ke dalam (2.9), menghasilkan −
+
=
+
+
−
Persamaan (2.10) ini dikenal sebagai persamaan Black-Scholes-Merton.
2.7 Formulasi Harga Black-Scholes Hull (2006) menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi analitik persamaan Black-Scholes, yang merupakan harga opsi dan disebut formula Black-Scholes, adalah dengan menggunakan pendekatan penilaian risiko netral. Untuk sebuah opsi call Eropa, nilai harapan payoff dari opsi call pada saat jatuh tempo adalah [maks(
− , 0)]
(2.11)
27
Didefinisikan (
) adalah fungsi kepekatan peluang dari ∞
− , 0)] = ∫ (
[maks(
= ln , maka
Misalkan diperoleh
=
+0− =
= ,
= − , dan
−
Oleh karena µ dan σ konstan maka rataan
−
dan varian
Berdasarkan (2.3),
− ) (
+
+
.
( ).
= ln
, maka )
.
(2.12)
= 0. Berdasarkan Lemma Itô
( )
mengikuti gerak Brown dengan
merupakan tingkat keuntungan (return) dari harga
saham. Bentuk keuntungan dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat deterministik adalah µdt. Sebagai contoh dari keuntungan yang bersifat deterministik adalah keuntungan dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga saham dapat dikatakan sebagai tingkat suku bunga r, sehingga konstanta µ dapat diganti dengan r. Karena
= ln
berubah dari 0 sampai dengan T dan
mengikuti gerak Brown, maka ln −
= ln
dan variansi
= ln
berdistribusi normal dengan rataan
.
= 0 nilai
Misalkan pada waktu
, maka pada selang waktu
= ln
dan pada waktu T nilai
= 0 sampai dengan T, (ln
− ln
)
adalah berdistribusi normal dengan rataan dan variansi di atas, sehingga diperoleh: (ln
atau dapat dituliskan ln Dengan demikian ln dan standar deviasi
ln
− ln
)~
−
, √
,
.
berdistribusi normal dengan ~
ln
+
−
, √
= ln
+
−
,
, berdistribusi normal dengan rataan (2.13)
= √ . 28
Selanjutnya didefinisikan pula sebuah peubah =
√
dengan .
(2.14)
Substitusi m dari (2.13) ke dalam (2.14) diperoleh =
maka peubah
√
(ln
)−
− ln
−
√
,
juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1,
dan fungsi kepekatan peluang dari
dinyatakan dengan ℎ( ), yaitu
ℎ( ) =
/
√
.
(2.15)
(Bukti berdasarkan Buchanan 2006 dapat dilihat pada Lampiran 2) Persamaan (2.14) diubah menjadi √
=
.
(2.16)
Perubahan batas integral pada sisi kanan dari (2.12), dari integral menurut menjadi integral menurut , adalah sebagai berikut: Jika Jika
= ∞, maka =
maka
= ∞.
=
√
=
sehingga
.
√
Dengan menggunakan (2.15), (2.16), dan perubahan batas integral serta misalkan
= √ , maka (2.12) menjadi: ∞
[maks(
− , 0)] =
(
− )ℎ( )
∞
∞
ℎ( )
= ∞
∞
= ∞
=
∞
1
= (
1
( (
√2 √2
/
√2
1
ℎ( )
−
ℎ( )
−
∞ )/
ℎ( )
−
∞ )
)/
−
ℎ( )
29
∞
=
( (
√2
∞ /
=
∞
1
/
) )/
ℎ( )
− ∞
ℎ( − )
ℎ( )
−
sehingga (2.12) dapat dinyatakan dengan [maks(
Jika
− , 0)] = ∫
∞
/
ℎ( − )
−
∫
∞
ℎ( )
.
(2.17)
( ) didefinisikan sebagai suatu fungsi berdistribusi normal
kumulatif, maka ∫ Peubah
∞
/
ℎ( − )
/ /
1 − [(ln
[(− ln
+
−
)/ − ]
)/ + ] .
pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku pertama di atas = √ , maka diperoleh
disubstitusi dengan (2.13) dan ∞ /
ℎ( − ) =
/
=
/
=
/
= dengan
=
=
= ln( / ) +
− ln
/
(
+
+ ln
+
ln( / ) +
−
ln( / ) + ),
+
−
2
+
/ √ + √ √
/ √
/ √
/ √ .
30
Dengan alasan yang serupa seperti di atas, maka ∫
∞
ℎ( )
=
1−
=
.
(2.18)
Dengan menyubstitusikan m dan s pada (2.13) ke dalam (2.18) diperoleh ∫
∞
ℎ( )
=
− ln
=
(
=
= ln( / ) +
dengan
−
sehingga (2.12) menjadi [maks(
− , 0)] =
/
=
(
=
+ ln
+
ln( / ) +
−
−
),
/ √
/ √
̒ / √ ,
(
)−
(
/
)−
(
(
).
)
)−
(
)
(2.19)
Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call Eropa yang dilambangkan dengan c adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai [maks(
=
− , 0)].
(2.20)
Dengan substitusi (2.19) ke dalam (2.20) diperoleh formula Black-Scholes untuk opsi call Eropa tanpa membayarkan deviden pada saat kontrak opsi dibuat, yaitu =
(
)−
(
),
(2.21)
dan dengan put-call-parity diperoleh harga opsi put Eropa (−
=
dengan = ln( / ) + =
√
+
=
)−
(−
),
/ √ dan
− √ .
31
2.8 Solusi Persamaan Black-Scholes Berdasarkan Hull (2006) berikut ini akan ditunjukkan bahwa ( , ) pada
(2.21) merupakan solusi dari (2.10). yaitu akan dihasilkan −
= 0 dengan menentukan turunan-turunan (2.21) terhadap − . Turunan
serta peubah T diganti dengan
=( =
Dari persamaan adalah
√
/ )
√
dan
sehingga
=
−
2√ −
)
)
′(
=
(
−
′(
=
=
.
−
)
−
)
(
)−
(
′(
=− ′(
)=
)
)
(
−
′(
(
)
(Bukti dapat dilihat pada lampiran 3) Turunan parsial (2.21) terhadap =
(
)+
(
−
√
dan
berturut turut
,
(2.23)
Substitusi (2.23) ke dalam (2.24) diperoleh
dengan
(2.22)
√ − ,
Turunan parsial (2.21) terhadap adalah ′(
.
√
− √ − , turunan terhadap =−
dan
+
terhadap S adalah
=
−
=
+
)
(
)−
(
)
)
)
( (
′(
).
′(
)
) (2.24)
),
(2.25)
.
(2.26)
adalah ′(
)
−
(
)
′(
)
.
(2.27)
32
Substitusi (2.23) dan (2.26) ke dalam (2.27) diperoleh =
(
)+
′(
)
(
=
=
′(
)+
.
)
′(
′(
−
)
)
′(
−
)
=
(
)
(2.28) (2.29)
Substitusi (2.22) ke dalam (2.29) diperoleh ′(
=
Peubah
)
√
.
(2.30)
pada (2.10) diubah dengan +
maka menjadi
+
−
= 0.
(2.31)
Substitusi (2.21), (2.25), (2.27), dan (2.30) ke dalam (2.31) didapat +
+
=− +
′(
= − + −
)
′(
(
(
√
−
)
)+ )
Sehingga terbukti bahwa
√
(
(
− (
(
− [
)+ +
)
) + − (
(
)− )
+
)+
′(
(
)
(
(
)
+
√
) = 0. −
)
(
)]
′(
)
√
= 0.
2.9 Ketaksamaan Black-Scholes untuk Opsi Amerika Persamaan (2.4) menyatakan bahwa model perubahan harga saham adalah ( )=
( )
+
( )
( ). Seperti halnya pada penurunan persamaan
Black-Scholes, dibentuk suatu portofolio dengan membeli sebuah opsi Amerika dan menjual sejumlah saham, maka diperoleh:
Dengan memilih
=
=
−
.
dan analogi (2.8), maka nilai portofolio berubah menjadi =
+
.
Pada persamaan Black-Scholes untuk opsi Eropa argumentasinya adalah dibentuk suatu persamaan dengan return tak berisiko, agar tidak terjadi peluang arbitrase. Namun ketika opsi pada portofolio itu opsi Amerika, diperoleh 33
pendapatan tidak lebih banyak dari suku bunga bebas risiko portofolio itu, sehingga ≤
=
−
.
Alasannya adalah pemegang opsi Amerika mengontrol kapan dia akan mengeksekusi. Jika eksekusinya tidak optimal, maka nilai perubahan portofolio akan kurang dari return tanpa risiko, sehingga didapat pertidaksamaan: +
atau
≤ +
−
+
,
−
≤ 0.
(2.32)
Pertidaksamaan (2.32) adalah merupakan ketaksamaan Black-Scholes opsi Amerika. Pertidaksamaan (2.32) dapat dinyatakan sebagai berikut : + +
+ +
− −
<0
(2.33)
= 0.
(2.34)
Dengan adanya ketaksamaan tersebut, maka diberikan nilai batas untuk menentukan nilai opsi put Amerika.
2.10 Masalah Nilai Batas Bebas Opsi Put Amerika Kondisi batas bawah untuk opsi put Amerika adalah ( , ) ≥ ( − ) , ∀( , ).
Hal ini dengan alasan sebagai berikut: jika 0 =
=
(2.35) −
seseorang dapat
membeli opsi put P, dan segera mengeksekusinya, yaitu dengan membeli S dan menjualnya sebesar K. Dengan demikian ia memperoleh pendapatan tidak berisiko sebesar
− −
> 0. Oleh karena Black-Scholes dengan asumsi tidak
terjadi kesempatan arbitrase, maka (2.35) adalah kendala yang benar untuk opsi put Amerika. Misalkan
( ) menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi
akan optimal apabila dieksekusi lebih awal dan 0 < maka opsi akan dieksekusi, namun jika
demikian (2.35) dapat dinyatakan dengan:
( )<
( )<
. Jika
≤
( )
opsi tidak dieksekusi. Dengan
34
( , )
= − >( − )
; ≤ ( ) ; > ( )
(2.36)
( ) tidak diketahui posisinya, penyelesaian terhadap
Oleh karena
( , ) ini
disebut masalah nilai batas bebas (free buondary-value problem), sehingga ketika <
( )<
nilai ( , ) =
− , serta
nilai opsi put Amerika memenuhi: + Pada saat
+
( , )=
harus memenuhi (2.33) sehingga
−
<0
− .
( , ) > ( − ) , serta
( ) < , nilai
(2.37)
harus memenuhi (2.34),
sehingga nilai opsi put Amerika memenuhi: +
+
−
=0
( , )>( − ) .
(2.38)
Dengan demikian masalah nilai batas bebas dari opsi put Amerika adalah sebagai berikut: Untuk
Untuk
<
( )
>
( )
Syarat batas Syarat akhir
Untuk harga saham
+ ᶤ
+
( , )=
+
+
lim lim
−
<0
−
=0
− .
( , )>( − ) . →
→
( , )=0 ( , )=
dan
( ( ), ) = ( − ( )) .
(2.39) [Pauly 2004]
menuju tak hingga, nilai intrinsiknya memenuhi: lim maks{0, →∞
− }=0
Sehingga dalam kondisi ini investor lebih memilih menjual kontrak opsi. Karena tidak diperbolehkannya tindakan arbitrase, maka untuk harga saham
yang
semakin besar, nilai opsi put Amerika harus sama dengan nilai intrinsiknya. Karena nilai intrinsic menuju nol pada saat
menuju tak hingga. Maka, nilai opsi
put harus memenuhi: lim ( , ) = 0 →∞
35
Kemudian jika bernilai
= 0, maka nilai intrinsiknya maks{0,
− } akan
. Sehingga dalam kondisi ini investor akan mengeksekusi kontrak opsi.
Agar tindakan arbitrase tidak terjadi, maka nilai opsi put harus sama dengan nilai intrinsiknya, sehingga nilai opsi put adalah:
2.11 Martingale
(0, ) =
.
Misalkan proses stokastik ( ) dengan ∈ [0, ] didefinisikan pada ruang
probabilitas (Ω, , ).
Misalkan { ( ), ∈ [0, ∞]}
informasi yang disebut filtrasi. Jika nilai
menyatakan kumpulan
( ) termasuk dalam himpunan ( )
untuk ∀ ≥ 0, maka dapat dikatakan bahwa
( ) adalah
( )−
.
Dengan kata lain, nilai ( ) akan diketahui dengan diberikan himpunan informasi ( ).
Definisi 9. (Martingale) Proses stokastik { ( ), ∈ [0, ∞]} dikatakan martingale yang berdasarkan
filtrasi ( ) dan peluang , jika untuk ∀ ≥ 0, i.
( ) diketahui, dengan diberikan filtrasi ).
ii. iii.
( ) ( ( ) adalah
( )−
| ( )| < ∞
[ ( )] = [ ( )| ( )] = ( ) untuk ∀ < , dengan peluang 1.
[Neftci 2000]
36
