BAB II LANDASAN TEORI 2.1
Fungsi Densitas
Definisi 2.1 (Walpole & Myers, 1989) Fungsi peluang peubah acak kontinu
( ) adalah fungsi kepadatan
, yang biasanya disebut fungsi densitas,yang
didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real , bila: ( ) ≥ 0, untuk semua
1. 2.
<
3.
Contoh 2.1:
<
= 1
∈
=
(2.1)
Misalkan peubah acak X mempunyai fungsi densitas
=
buktikan bahwa fungsi tersebut adalah fungsi densitas dan hitung
,−1 <
0<
< 2
< 1 =
Jawab = 1
= =
= = =
0<
2
]
= −
−1
= 1
< 1 =
] =
2.2 Fungsi Kumulatif Definisi 2.2 (Walpole & Myers, 1989) Distribusi peluang kumulatif F(x) suatu peubah acak kontinu x dengan fungsi densitas f(x) diberikan:
II-1
=
=
=
(2.2)
Akibat persamaan diatas,maka: <
<
=
dan
=
−
( )/
( )
(2.3)
2.3 Fungsi Kuantil Definisi 2.3: Misalkan F fungsi distribusi dari suatu distribusi probabilitas pada himpunan bilangan real R jika sehingga .
notasi
=
∈ (0,1) maka terdapat dengan tunggal
∈
maka disebut kuantil- dari F.Kuantil- dari F digunakan
Fungsi kuantil dari F didefinisikan sebagai:
= inf { ∣ ( ) ≥
}
∈ (0,1) artinya
dengan
(2.4) dengan ( ) ≥
adalah nilai terkecil dari
=
Misalkan x mempunyai distribusi F dan fungsi distribusi dari dapat dinyatakan sebagai: =
−
∈ ,
+
> 0
.
, maka (2.5)
Fungsi kuantil juga didefinisikan sebagai invers dari kumulatif. 2.4
Statistik Berurut Secara umum, misalkan
,
,…,
bebas dengan fungsi distribusi kumulatif variabel acak yang terurut
yaitu
dimana :
=
( )
=
,
,
,…,
,…,
(
(
,
,…,
Fungsi densitas peluang untuk
varibel acak kontinu yang saling ( ) dan fungsi densitas dimana
( )
≤
( )
≤ ⋯≤
. Notasi ( ).
)
)
dapat ditentukan dengan
. Karena
adalah maksimum dari
menggunakan metode fungsi distribusi kumulatif. Pertama kali kita akan menentukan fungsi densitas dari
II-2
,
,…,
, maka peritiwa (
terjadi, untuk setiap = 1,2, … , , ≤
=
(
≤
,
adalah saling bebas dan
Karena
≤
) akan terjadi jika dan hanya jika (
≤
≤
,…,
(2.6)
∶
≤
≤
)
=
menyatakan bahwa funsi distribusi kumulatif dari
=
Misal
≤
=
[ ( )]
=
( )
menentukan fungsi densitas untuk
Karna
=
( )
peristiwa
( )
≤
= 1−
adalah minimum dari ( )
>
= 1− = 1−
Misal
( )
(
≤
= 1[1 −
> >
= 1−
,
,
>
( )]
(
,…,
>
[1 −
( )]
>
)
,…,
, maka hal ini menyatakan bahwa
≤
>
>
)
… ( ( ),
)
>
)
≤
= 1−
terjadi untuk ( ) untuk
=
(2.9)
dengan menurunkan fungsi densitas
Definisi 2.4 (Walpole & Myers, 1989) Fungsi peluang peubah acak kontinu
(2.7)
(2.8)
( )
2.5 Distribusi Peluang
= ( ( )
sebagai berikut :
(
( ) adalah fungsi densitas =
≤
dengan cara yang sama kita akan dapat
( )
kumulatif akan di peroleh :
adalah sebagai berikut:
…
saling bebas dan
1,2, … , , kita lihat bahwa : =
≤
= 1,2, … , , hal ini
) terjadi jika dan hanya jika peristiwa
= 1,2, … , . Karena
≤
)
(2.10)
( ) adalah fungsi kepadatan
, yang didefinisikan pada himpunan semua
bilangan real , bila : 1. ( ) ≥ 0, untuk semua 2.
= 1
∈
II-3
3.
2.6
<
<
=
(2.11)
Metode L-Moment ,
Misalkan
,…,
adalah observasi dari n sampel acak dengan fungsi kuantil
populasi kontinu dan memiliki fungsi kumulatif dan Sederetan sebagai
≤
:
:
adalah statistik berurut. L-Moment ke-r ditulis
bagi populasi, didefinisikan sebagai: ∑
=
dengan
− 1
(− 1)
=
:
!
!
, = 1,2, …
1−
!
juga dapat tulis dalam notasi
:
∑
=
:
dengan
didefinisikan sebagai:
=
dengan
:
(2.12)
merupakan variabel acak bagi statistik berurut ke-( − ) dari
:
observasi dan
atau
≤ ⋯≤
:
( ).
(2.13)
:
−1
(2.14)
(2.15) adalah fungsi kuantil. Dengan menggantikan persamaan (2.15) ke
dalam persamaan (2.12), L-momen dalam notasi kombinasi linier gabungan linear , boleh ditulis sebagai: = ∑
−1
Empat L-momen rata
=
= 6
= 2 = 20
−
− 6
− 30
(2.16) , variasi
+
+ 12
, skewness
dan kurtosis
ialah
−
II-4
dan rasio L-momen diperoleh sebagai berikut: =
L-koefisien variasi (LCV), L-koefisien skewness (LCS),
=
L-koefisien kurtosis (LCK),
=
Persamaan (2.12) hingga (2.19) adalah L-momen untuk populasi. Sedangkan ,
Untuk sampel, misalkan
,…,
adalah observasi dari n sampel acak. L-
momen sampel dapat ditulis sebagai berikut: = ∑
−1
dengan estimasi
=
; = 0,1, … , − 1
sebagai berikut : …
∑
:
…
Empat estimasi untuk L-momen untuk sampel dalam bentuk
, dapat ditulis
sebagai berikut :
=
∑
=
∑
=
∑
=
:
:
∑
: :
dan seterusnya, empat L-moment sampel dlm bentuk
=
= 6
= 2 = 20
−
− 6
− 30
+
rasio L-momen sampel
+ 12
−
adalah estimasi bagi
dapat ditulis sebagai
. Adalah sebagai berikut:
II-5
̂=
L-koefisien variasi (LCV),
L-koefisien kepencongan (LCS), ̂ = L-koefisien kurtosis (LCK), ̂ =
2.7 L-Moment untuk Generalized Pareto Distribusi generalized pareto memiliki fungsi peluang densitas sebagai berikut: [
=
]
dan memiliki fungsi kuantil sebagai berikut: =
+
1−
=
+
Selanjutnya kita akan menentukan
=
=
=
+
+
−
(1 −
−
(1 −
) .
untuk distribusi generalized pareto: −
)
(1 −
.
)
(2.17)
misalkan: = 1−
⇒
= 1−
= −
Kemudian, (1 −
)
= −∑
= −
(− 1)
(1 −
)
= −
= ∑
(− 1)
∑
(− 1)
.
(2.18)
Subsitusikan persamaan (2.17) ke persamaan (2.18), maka didapatkan:
=
+
−
∑
(− 1)
.
(2.19)
II-6
,
Sekarang untuk
=
+
=
+
=
−
+
−
=
=
+
:
Selanjutnya untuk = = =
)
:
Kemudian untuk
(
+
+
−
−
(
+
= 2
= 2
−
=
(
=
+
+
=
+
−
+ +
Selanjutnya untuk = 6
− 6
−
,
−
)
+
2
(− 1) 2 − 0
−
1 1
)
∑
−
−
)
1 − 0
∶ (
)
+
=
(
= =
)
(
Kemudian untuk
(
+
2 + 1
2 2
)
∶
II-7
= 6
= 2 +
+ (
= =
=
+
)
−
∑
+
−
=
+
−
=
=
= =
Jadi untuk
+
/
= 20
= 20 = 5 +
=
(
)(
)
3 − 0
/
)
+
+ 12 (
+
−
(
−
)
− )
−
( )
+
(
( )
3
3 + 1
+
(
ℎ
− 30
)
(
−
(
12
)
− 3 −
(− 1)
−
+
)
(
(
= =
(
− 6
)
+
(
)
+
)
+
3 3
3 − 2
−
+
)
:
+
− 30
− 10 −
+
+ + 6 +
=
II-8
=
=
/
=
/
(
)
2.8 Hujan Ekstrim Definisi 2.5: Hujan ekstrim adalah hujan maksimum pertahun. Data hujan maksimum pertahun diambil dari data hujan harian. Untuk mendapatkan data hujan maksimum pertahun atau data hujan ekstrim tersebut yaitu dengan melihat data yang paling maksimum pada data hujan harian pertahun.
II-9
