BAB II LANDASAN TEORI Bab II dalam penelitian ini terdiri atas analisis regresi, deret Fourier, FDA,
estimasi parameter pada analisis data dan estimasi parameter pada roughness penalty. 2.1
Analisis Regresi Analisis regresi digunakan untuk mempelajari hubungan antara dua buah
variabel atau lebih. Satu diantaranya adalah variabel terikat (dependent varieble) dan yang lainnya adalah variabel bebas (independent variable). Dalam banyak model, variabel terikat biasanya disimbolkan Y, sedangkan variabel bebas disimbolkan X (Supangat, 2007).
2.1.1 Analisis Regresi Sederhana Regresi linear sederhana adalah hubungan secara linear antara satu variabel independen ( ) dengan variabel dependen ( ). Metode analisis statistik yang mempelajari pola hubungan antara dua atau lebih variabel, analisis tersebut digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel independen dan variabel dependen. Regresi linear sederhana dapat dianalisis karena didasari oleh hubungan fungsional atau hubungan sebab akibat variabel bebas (X) terhadap variabel terikat (Y). Rumus regresi linear sederhana adalah sebagai berikut :
Keterangan :
=
+
(2.1)
: variabel yang di pengaruhi oleh variabel lain (variabel tidak bebas). : konstanta.
: koofisien regresi. : variabel yang di pengaruhi variabel lain yaitu
(variabel bebas).
II-1
2.1.2 Analisis Regresi Linear Berganda Analisis regresi berganda merupakan pengembangan dari analisis regresi linier sederhana terhadap aplikasi yang mencakup dua variabel prediktor atau lebih untuk menduga nilai variabel dependen (Sugito, 2010). Bentuk umum model regresi linier berganda dengan
variabel bebas adalah seperti pada persamaan
berikut : = 2.2
+
+
+⋯
+
(2.2)
Metode Kuadrat Terkecil Metode kuadrat terkecil merupakan suatu metode yang paling banyak
digunakan untuk menduga parameter-parameter regresi. Model regresi linier berganda juga digunakan
metode
kuadrat
terkecil (MKT) untuk
menduga
parameter. Biasanya penduga kuadrat terkecil diperoleh dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat (Sembiring,2003). Misalkan model yang akan diestimasi adalah parameter dari persamaan dengan n pengamatan, maka diperoleh : =
=
=
+
+
+
+ ⋯+
+
+
+
+⋯+
+
⋮
+
+ ⋯+
(2.3)
+
Persaman-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks : =
+
(2.4)
Apabila persamaan dinyatakan dalam bentuk matrik akan menjadi :
⋮
1 1 = ⋮ 1
⋮
… ⋯ ⋮ … ⋮ …
⋮
+ ⋮
(2.5)
Mendapatkan penaksir-penaksir MKT bagi , maka dengan asumsi ditentukan dua vektor ( dan ̂ ) sebagai berikut :
II-2
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⋮ ⎥ ⎣ ⎦
dan
⋮
Persamaan hasil estimasi dari persamaan dapat ditulis sebagai : =
+
=
atau
−
Tujuan MKT adalah meminimumkan jumlah kuadrat galat dari kesalahan maka : =
+
+⋯+ …
=[ =
=
=(
=(
−
−
−
]
−
)( − −
⋮ =
)
+
)
adalah skalar maka matrik transposenya adalah :
Jadi,
= =
Menaksir parameter
−2
maka SSE harus diminimumkan terhadap =
−2
(2.6)
+ maka :
+
II-3
∂
=
∂β
−2
−2
+
−2
=0
+2
=0
−
=0
−
=0
=
sehingga, =( 2.3
) (
)
(2.7)
Deret Fourier Sub bab ini akan dibahas pernyataan deret dari suatu fungsi periodik. Jenis
fungsi ini menarik karena sering muncul dalam berbagai persoalan fisika, seperti getaran mekanik, arus listrik bolak balik (AC), gelombang bunyi, gelombang elektromagnetik, hantaran panas dan sebagainya. Sama halnya pada uraian deret Taylor, fungsi-fungsi periodik yang rumit dapat dianalisa secara sederhana yang dibangun oleh fungsi
( ) dan
( ). Uraian deret fungsi periodik ini disebut
uraian deret Fourier. Penamaan ini untuk menghargai jasa matematikawan perancis Joseph Fourier, yang pertama kali merumuskan deret ini dalam sebuah makalah mengenai hantaran panas yang dilaporkannya kepada akademi ilmu pengetahuan Perancis pada Tahun 1807 (Humi dkk, 1992).
2.3.1 Fungsi Periodik Jika untuk semua dengan
sebuah fungsi
≠ 0, maka fungsi
( ) terdefinisi dan
( )= ( + )
dikatakan fungsi periodik dengan periode
(Humi and Miller, 1992) . Fungsi-fungsi fungsi periodik dengan periode 2π.
( ) = sin
dan
( ) = cos
adalah
Contoh 2.1 : Buktikan bahwa ( ) =
(
) adalah fungsi periodik dengan periode
.
II-4
Penyelesaian : (
( )= ( )=
( ) = sin
Jadi, terbukti bahwa ( ) = 2.4
(
)
(
+2 ) +
2
) fungsi periodik dengan periode
.
Fungsi Analisis Data Metode statistik untuk menganalisis data dijelaskan dengan istilah "fungsi
data analisis (FDA)" oleh Ramsay dan Dalzell (1991). Secara umum fungsi analisis data adalah analisis data dalam bentuk grafik. Fungsi dasar yang dapat ditulis sebagai berikut : ( )
( )
=
(2.7)
Keterangan : ( )
: fungsi yang dipengaruhi fungsi dasar ke k dan waktu t. : koefisien fungsi dasar.
( ) : fungsi dasar ke k yang diketahui pada sebarang waktu t. : bilangan dasar yang digunakan
Dua fungsi dasar yang sering digunakan adalah Fourier dan B-spline. Asas Fourier digunakan untuk data yang berperiodik sedangkan B-spline digunakan untuk data yang tidak berperiodik. Data harga bahan pokok adalah data yang digolongkan pada data yang berperiodik. Oleh sebab itu, fungsi dasar Fourier adalah fungsi yang paling tepat digunakan untuk penelitian ini. Fungsi Dasar Fourier dapat dikembangkan seperti berikut : ( )=
+
sin
+
dengan fungsi dasarnya adalah dan parameter
cos
+ ⋯+
( ) = 1,
( ) = sin
+
,
cos
(2.8)
( ) = cos
= 2 ⁄ . Fungsi Dasar Fourier selalu mempunyai bilangan dasar
yang ganjil, yaitu fungsi konstanta ditambah dengan fungsi dasar sinus dan
II-5
kosinus. Koefisien dasar Fourier ( ) dapat ditentukan dengan menggunakan MKT,yaitu :
dengan dasar
=(
)
(2.9)
adalah vektor dari koefisien ( ) yang ditulis sebagai berikut : 1 X= ⋮ 1
2.5
sedangkan matrik X merupakan nilai
⋮
⋮
… … …
⋮
⋮
Estimasi Parameter pada Fungsi Basis Fourier Mengestimasi parameter
pada FDA yaitu dengan meminimunkan jumlah
kuadrat galat atau sum square error (SSE) (Ramsay, 2005). ( )=
( )
(2.10)
− ( )
(2.11)
maka jumlah kuadrat galatnya adalah
atau
=
( )
=
−
= ( −
) ( −
Bentuk persamaan 2.12 dapat dituliskan dalam bentuk matriks yaitu :
=( Karena
=(
−
−
)( − −
)
)
+
(2.12)
)
adalah skalar maka matrik transpose nya adalah :
=
=
−2
SSE =
−2
Untuk menaksir parameter
+
maka SSE harus diminimumkan terhadap
maka :
+
II-6
∂
∂β
(SSE) =
−2
−2
+
+2
−2
=0
−
=0
−
=0
=
sehingga, =( 2.6
) (
).
Estimasi Parameter pada Roughness Penalty Pemulusan merupakan salah satu metode yang digunakan dalam analisis
data. Tujuan dari pemulusan adalah untuk memperkecil keragaman dari data yang tidak memiliki pengaruh sehingga ciri-ciri dari data akan tampak lebih jelas. Pemulusan telah menjadi teknik umum di dalam metode-metode analisis data yang digunakan untuk menduga fungsi (Ramsay, 2005). Untuk mengestimasi parameter
diperoleh dengan meminimumkan fungsi
penalty sum square error (PENSSE), .yaitu − ( )
=
( )
+
′′ (
( )
)
(2.13)
Bagian ( ) merupakan jumlah kuadrat sisaan atau fungsi jarak antara data dan
dugaan, sedangkan bagian ( ) merupakan roughness penalty, yaitu ukuran kemulusan dan λ adalah parameter pemulus.
karena
maka
( )
=
− ( )
+
=
− ( )
+
=(
) (
′′ (
) ( )
)
II-7
− ( )
=
− ( )
=
(
+ (
+
) ( ) (
) )
Nilai dari roughness penalty, yaitu : = ∫(
) (
= =
−
=( ∂
∂β
−2
=
(PENSSE) =
−
−
− (
−
Sehingga estimasinya menjadi
0 ∆= ⋮ 0
⋮
−
+
−
+
+
+
+
−2
−2
=∆ ∆
)
−2
(
dengan
− ( )
−
=
)
+
+
−
−
=0
+
=0
−
)=0
= (
+
⋮
… … …
)=
+
)
(2.14)
⋮
⋮
II-8
Agar menemukan nilai terbaik dalam menentukan parameter
, yang umum
digunakan adalah Generalized Cross-Validation (GCV) yaitu :
dengan
( ) = ( ) = ,
= (
−
( ) ,
+
− )
( ) (2.15)
II-9
