BAB II LANDASAN TEORI Berikut ini adalah beberapa definisi dan teorema yang menjadi landasan dalam penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan kesetimbangannya pada portfolio heterogen.
2.1 Percobaan Acak, Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak) Dalam suatu percobaan seringkali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak. (Hogg et al. 2005) Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω. (Grimmett dan Stirzaker 2001) Definisi 3 (Medan-σ) Medan-σ adalah suatu himpunan
ℱ yang anggotanya terdiri atas himpunan
bagian dari ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi berikut: 1. Ø 𝜖 ℱ.
2. Jika 𝐴 𝜖 ℱ, maka 𝐴𝑐 𝜖 ℱ .
3. Jika 𝐴1 ,𝐴2 , … 𝜖 ℱ , maka ⋃∞ 𝑖=1 𝐴𝑖 𝜖 ℱ.
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
Definisi 4 (Ukuran Peluang) Misalkan ℱ adalah medan- σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang P adalah suatu fungsi P : ℱ → [0,1] pada (Ω, ℱ ) yang memenuhi: 1. P(Ø) = 0 , P(Ω) = 1
2. Jika 𝐴1 ,𝐴2 , … 𝜖 ℱ adalah himpunan yang saling lepas yaitu 𝐴𝑖 ⋂ 𝐴𝑗 = Ø ∞ untuk setiap pasangan i ≠ j , maka P (⋃∞ 𝑖=1 𝐴𝑖 ) = ∑𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 ).
(Grimmett dan Stirzaker 2001)
6
2.2
Peubah Acak dan Sebarannya
Definisi 5 (Peubah Acak) Misalkan ℱ adalah medan-𝜎 dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X : Ω → ℝ x 𝜖 ℝ.
dengan sifat {𝜔 𝜖 Ω ∶ 𝑋(𝜔) ≤ 𝑥} 𝜖 ℱ untuk setiap (Grimmett dan Stirzaker 2001)
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital misalnya X,Y, atau Z, sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, atau z.
Definisi 6 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari ℝ.
Catatan: Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung, jika C terdiri atas bilangan bulat terhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif. (Grimmett dan Stirzaker 2001) Definisi 7 (Fungsi Sebaran) Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah fungsi 𝐹: ℝ → [0, 1] yang
dinyatakan sebagai 𝐹𝑋 (𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥).
(Grimmett dan Stirzaker 2001)
Definisi 8 (Fungsi Kerapatan Peluang) Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret 𝑋 adalah fungsi 𝑝: ℝ → [0,1], yaitu 𝑝𝑋 (𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥).
(Grimmett dan Stirzaker 2001)
Definisi 9 (Sebaran Bernoulli) Peubah acak diskret X
disebut menyebar Bernoulli dengan parameter 𝑝,
0 < 𝑝 < 1, jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh: 𝑥 1−𝑥 𝑝𝑋 (𝑥) = �𝑝 (1 − 𝑝) 0
, 𝑥 = 0,1 , 𝑥 selainnya
(Ghahramani 2005)
7
Definisi 10 (Sebaran Normal) Peubah acak 𝑋 dikatakan peubah acak normal, dengan parameter 𝜇 dan 𝜎 2 jika
fungsi kepekatan peluang bagi 𝑋 adalah: 𝑓(𝑥; 𝜇, 𝜎 2 ) =
2.3
1
𝜎√2𝜋
2 ⁄2 𝜎 2
𝑒 −(𝑥−𝜇)
,
−∞<𝑥 <∞
(Ross 1996)
Nilai Harapan
Definisi 11 (Nilai Harapan) Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi peluang 𝑝𝑋 (𝑥), maka nilai harapan dari X, yang dinotasikan dengan 𝐸(𝑋) adalah
𝐸(𝑋) = � 𝑥 𝑝𝑋 (𝑥), 𝑥
asalkan jumlah tersebut konvergen mutlak.
(Hogg et al. 2005) Teorema 2.1 (Sifat-sifat Nilai Harapan) Misalkan 𝑋 dan 𝑌 peubah acak dengan nilai harapan berturut-turut 𝐸(𝑋) dan
𝐸(𝑌) maka berlaku:
1. Jika 𝑋 ≥ 0, maka 𝐸(𝑋) ≥ 0.
2. Jika 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ maka 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏𝐸(𝑌).
3. Jika X adalah peubah acak konstan, dengan 𝑃(𝑋 = 𝑐) = 1 untuk 𝑐 suatu konstanta, maka 𝐸(𝑋) = 𝑐.
4. Jika 𝑋 dan 𝑌 adalah bebas stokastik maka 𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌). Bukti pada lampiran 1. 2.4
Simpangan Baku dan Ragam dari Peubah Acak Diskret
Definisi 12 (Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Diskret) Misalkan 𝑋 adalah peubah acak diskret dengan 𝐸(𝑋) = 𝜇 adalah nilai harapan dari
𝑋, dengan fungsi sebaran 𝐹𝑋 (𝑋), maka 𝑉𝑎𝑟(𝑋) dan 𝜎𝑋 masing-masing adalah
ragam 𝑋 dan simpangan baku didefinisikan sebagai
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2 ] = �(𝑋 − 𝜇)2 𝐹𝑋 (𝑥) dan 𝜎𝑋 = �𝐸[(𝑋 − 𝜇)2 ] 𝑥
(Ghahramani 2005)
8
2.5
Teorema Limit Pusat
Teorema 2.2 (Teorema Limit Pusat) Misalkan 𝑋1 , 𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛 adalah suatu barisan peubah acak yang menyebar bebas
stokastik, masing-masing dengan rataan 𝜇 dan ragam 𝜎 2 . Jika 𝑍𝑛 =
(𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 ) − 𝑛𝜇 𝜎√𝑛
𝑑
maka 𝑍𝑛 konvergen ke sebaran normal baku, dan ditulis 𝑍𝑛 �⎯⎯� Normal (0,1) untuk
𝑛 → ∞, atau
lim 𝑃(𝑍𝑛 ≤ 𝑥) =
𝑛→∞
1
√2𝜋
𝑥
� 𝑒 −𝑦 −∞
2 /2
𝑑𝑦.
(Ross 1996) Bukti pada lampiran 2.
2.6
Model Risiko Individu Jangka Pendek
Dalam perhitungan asuransi, misalkan peubah acak kerugian dari tiap risiko dilambangkan dengan 𝑆. Model risiko individu jangka pendek didefinisikan: dimana 𝑋𝑖
𝑆 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛
menyatakan besarnya kerugian tertanggung dari unit ke-𝑖, dan 𝑛
adalah banyaknya unit risiko tertanggung, dan dikatakan jangka pendek karena tidak mempertimbangkan perubahan nilai uang. (Bowers et al. 1997) 2.7
Model Peubah Acak Klaim Individu Pada suatu produk asuransi jiwa dalam satu jangka pembayaran, misalkan
peserta membayar sebesar 𝑏, peluang klaim dari peserta sebesar 𝑞. Peubah acak klaim (𝑋) dengan fungsi massa peluang
1−𝑞 (𝑥) 𝑓𝑋 = 𝑃(𝑋 = 𝑥) = � 𝑞 0
dan fungsi sebaran peluangnya
,𝑥 = 0 ,𝑥 = 𝑏 , selainnya
9
0 𝐹𝑋 (𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = �1 − 𝑞 1
Dari fungsi massa peluang didapat:
, 𝑥 < 0, ,0 ≤ 𝑥 < 𝑏, , 𝑥 ≥ 𝑏.
𝐸(𝑋) = 𝑏𝑞
𝐸(𝑋 2 ) = 𝑏 2 𝑞
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑏 2 𝑞(1 − 𝑞).
Peubah acak 𝑋 juga dapat ditulis dalam
𝑋 = 𝐼𝐵,
dimana 𝑋 adalah peubah acak klaim dalam satu periode tertentu, 𝐵 menyatakan
peubah acak klaim total dalam satu periode tersebut, dan 𝐼 adalah peubah acak indikator dimana 𝐼 = 1 jika terjadi klaim dan 𝐼 = 0 jika tidak terjadi klaim. 𝐸(𝑋) dan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) dapat diperoleh dengan menggunakan pendekatan 𝐸(𝑋) = 𝐸�𝐸(𝑋|𝐼)�,
selanjutnya
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑉𝑎𝑟�𝐸(𝑋|𝐼)� + 𝐸�𝑉𝑎𝑟(𝑋|𝐼)�, 𝜇 = 𝐸[𝐵|𝐼 = 1],
dan didapat
𝜎 2 = 𝑉𝑎𝑟(𝐵|𝐼 = 1), 𝐸[𝑋] = 𝜇𝑞,
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜇 2 𝑞(1 − 𝑞) + 𝜎 2 𝑞.
(Bowers et al. 1997)
10
2.8
Himpunan dan Fungsi Konveks
Definisi 13 (Himpunan Konveks) Himpunan ∁ ⊂ ℝ𝑛 dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap
𝑥 dan 𝑦 di ∁, maka ruas garis yang menghubungkan 𝑥 dan 𝑦 juga terletak di ∁.
(Peressini et al. 1988)
Definisi 14 (Fungsi Konveks) Fungsi 𝑓 dikatakan fungsi konveks pada selang 𝐼 jika dan hanya jika 𝑓(𝜆𝑥1 + (1 − 𝜆)𝑥2 ) ≤ 𝜆𝑓(𝑥1 ) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑥2 )
untuk setiap 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 dan untuk setiap 0 ≤ 𝜆 ≤ 1.
Jika yang berlaku
Untuk 𝑥1 ≠ 𝑥2
𝑓(𝜆𝑥1 + (1 − 𝜆)𝑥2 ) < 𝜆𝑓(𝑥1 ) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑥2 ).
(strictly conveks).
dan 0 < 𝜆 < 1 maka 𝑓 dikatakan fungsi konveks sempurna (Peressini et al. 1988)
Definisi 15 (Ruang Metrik) Misalkan 𝑴 adalah himpunan sembarang. Fungsi 𝑑: 𝑴 × 𝑴 → ℝ disebut metrik untuk 𝑴 jika memenuhi sifat:
1. 𝑑(𝒙, 𝒚) > 0, ∀𝒙, 𝒚 ∈ 𝑴, 𝒙 ≠ 𝒚. 2. 𝑑(𝒙, 𝒚) = 0 ↔ 𝒙 = 𝒚.
3. 𝑑(𝒙, 𝒚) = 𝑑(𝒚, 𝒙), ∀𝒙, 𝒚 ∈ 𝑴.
4. 𝑑(𝒙, 𝒚) ≤ 𝑑(𝒙, 𝒛) + 𝑑(𝒛, 𝒚), ∀𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑴.
Jika 𝑑 adalah metrik untuk 𝑴 maka (𝑴, 𝑑) disebut ruang metrik.
(Golberg 1976)
11
2.9
Kekontinuan Suatu Fungsi dan Sifat-sifatnya
Definisi 16 (Fungsi Kontinu) Misalkan (𝑿, 𝑑) dan (𝒀, 𝜌) adalah ruang metrik. Fungsi 𝑓: 𝑿 → 𝒀 dikatakan
kontinu di 𝒙𝒐 ∈ 𝑿 jika dan hanya jika untuk setiap 𝜀 > 0, ada 𝛿 > 0 sedemikian
rupa sehingga 𝜌�𝑓(𝒙), 𝑓(𝒙𝒐 )� < 𝜀, bila 𝑑(𝒙, 𝒙𝒐 ) < 𝛿.
Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu pada 𝑿 jika dan hanya jika 𝑓 kontinu disetiap titik pada 𝑿. 2.10
(Golberg 1976)
Himpunan Kompak dan Sifat-sifatnya
Definisi 17 (Selimut Buka) Misalkan (𝑴, 𝑑) adalah ruang metrik dan 𝑨 ⊂ 𝑴. Suatu koleksi himpunan buka
{𝑮𝛼 } di 𝑴 dikatakan selimut buka pada 𝑨 jika 𝑨 ⊆ ⋃𝛼 𝑮𝛼. .
(Golberg 1976)
Definisi 18 (Himpunan Kompak) Misalkan (𝑴, 𝑑) adalah ruang metrik dan 𝑨 ⊂ 𝑴. Himpunan 𝑨 dikatakan kompak jika untuk setiap selimut buka {𝑮𝛼 } di 𝑨 terdapat 𝛼1 , 𝛼2 , ⋯ , 𝛼𝑛 berhingga
sedemikian rupa sehingga:
𝑛
𝑨 ⊆ � 𝑮𝛼𝑖 𝑖=1
2.11
(Golberg 1976)
Fungsi Banyak Variabel
Notasi variabel untuk fungsi peubah banyak dituliskan sebagai 𝐱 dengan 𝑥1 𝑥𝟐 𝐱 = � ⋮ � = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ𝑛 𝑥𝑛
dan huruf lain, misalkan y, z menyatakan hal yang serupa. Fungsi dari n variabel 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 dituliskan dengan 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑓(𝐱).
12
Gradien dan Matriks Hessian Misalkan fungsi 𝑓(𝐱) = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) mempunyai turunan parsial orde
pertama dan orde kedua yang kontinu, maka gradien fungsi f adalah 𝜕𝑓(𝐱) ⎛ 𝜕𝑥1 ⎞ ⎜𝜕𝑓(𝐱)⎟ ∇𝑓(𝐱) = ⎜ 𝜕𝑥2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ 𝜕𝑓(𝐱) ⎝ 𝜕𝑥𝑛 ⎠
dan matriks Hessian dari fungsi 𝑓(𝐱) adalah 𝜕 2 𝑓(𝐱) ⎡ 2 ⎢ 𝜕𝑥1 ⎢ 𝜕 2 𝑓(𝐱) 𝑯𝑓(𝐱) = ⎢ 𝜕𝑥2 𝜕𝑥1 ⎢ ⎢ 2⋯ ⎢ 𝜕 𝑓(𝐱) ⎣𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥1
Karena 𝑓(𝐱) fungsi kontinu, maka
𝜕 2 𝑓(𝐱) 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕 2 𝑓(𝐱) 𝜕𝑥22 ⋯ 𝜕 2 𝑓(𝐱) 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥2
⋯ ⋯ ⋱
⋯
𝜕 2 𝑓(𝐱) ⎤ 𝜕𝑥1 𝜕𝑥𝑛 ⎥ 𝜕 2 𝑓(𝐱) ⎥ 𝜕𝑥2 𝜕𝑥𝑛 ⎥ ⎥ ⋯ ⎥ 𝜕 2 𝑓(𝐱) ⎥ 𝜕𝑥𝑛2 ⎦
𝜕 2 𝑓(𝐱) 𝜕 2 𝑓(𝐱) = 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑖
matriks Hessian 𝑯𝑓(𝐱) merupakan matriks simetrik. 2.12
(Peressini et al. 1988)
Matriks Definit dan Pengoptimuman
Definisi 19 (Minor Utama) Misalkan 𝑨 matriks simetrik berukuran 𝑛 × 𝑛. Minor utama ke-𝑘 dari 𝑨,
dilambangkan dengan ∆𝑘 , adalah determinan dari anak matriks 𝑨 yang diperoleh
dengan menghilangkan (𝑛 − 𝑘) baris terakhir dan (𝑛 − 𝑘) kolom terakhir dari matriks 𝑨.
(Peressini et al. 1988)
13
Teorema 2.3 (Matriks Definit) Misalkan 𝑨 matriks simetrik berukuran 𝑛 × 𝑛, dan misalkan ∆𝑘 adalah minor
utama ke-𝑘 dari 𝑨 untuk 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, maka
1. 𝑨 definit positif jika dan hanya jika ∆𝑘 > 0 untuk 𝑘 = 1, ⋯ , 𝑛.
2. 𝑨 definit negatif jika dan hanya jika (−1)𝑘 ∆𝑘 > 0, untuk 𝑘 = 1, ⋯ , 𝑛.
Bukti: lihat Peressini et al. 1988 halaman 17.
Teorema 2.4 (Minimum/Maksimum Lokal) Misalkan 𝑓(𝐱) fungsi yang mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu di 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 . Misalkan 𝐱 ∗ titik interior (bukan titik batas) dari 𝐷 dan 𝐱 ∗
titik kritis dari fungsi 𝑓. Misalkan 𝑯𝑓(𝐱) adalah matriks Hessian dari fungsi 𝑓(𝐱). Maka 𝐱 ∗ adalah
1. Minimum lokal untuk 𝑓(𝐱) jika 𝑯𝑓(𝐱 ∗ ) definit positif.
2. Maksimum lokal untuk 𝑓(𝐱) jika 𝑯𝑓(𝐱 ∗ ) definit negatif.
Bukti: lihat Peressini et al. 1988 halaman 22.
2.13
Pengoptimuman Taklinear Berkendala Suatu permasalahan optimasi disebut taklinear jika fungsi tujuan dan
kendalanya mempunyai bentuk taklinear pada salah satu atau keduanya. Optimasi merupakan masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik, maksimum, minimum dan memberikan cara penentuan solusi yang memuaskan. Bentuk
umum
pengoptimuman
ini
adalah
masalah
(𝑃)
untuk
memaksimumkan atau meminimumkan 𝑓(𝐱) dengan kendala 𝑔𝑗 (𝐱). Misalkan
𝐱 ∈ ∁ ⊂ ℝ𝑛 dan 𝑓(𝐱), 𝑔𝑗 (𝐱) merupakan fungsi-fungsi yang mempunyai turunan pertama yang kontinu. Fungsi 𝑓(𝐱) adalah fungsi tujuan dan 𝑔𝑗 (𝐱) ≤ 0, 𝑗 =
1, … , 𝑚, adalah fungsi kendala. Daerah penyelesaian dari fungsi kendala untuk masalah (𝑃) disebut daerah fisibel, dan titik 𝐱 ∈ ∁ yang terdapat dalam daerah tersebut disebut titik fisibel.
Definisi 20 (Titik Reguler) Titik fisibel 𝐱 ∗ dinamakan titik regular untuk masalah (𝑃), jika himpunan vektor �∇𝑔𝑗 (𝐱 ∗ )|𝑗 ∈ 𝐽(𝐱 ∗ )�
14
adalah bebas linier dengan 𝐽(𝐱 ∗ ) = �𝑗�1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝, 𝑔𝑗 (𝐱 ∗ ) = 0� (Peressini et al. 1988) Teorema 2.5 (Kondisi Karush-Kuhn-Tucker) Misalkan 𝐱 ∗ adalah titik reguler untuk masalah (𝑃). Jika 𝐱 ∗ adalah
minimum lokal untuk masalah (𝑃), maka terdapat 𝜆∗ ∈ ℝ𝑝 sehingga: 1. ∇𝑓(𝐱 ∗ ) + ∑𝑝𝑗=1 𝜆𝑗∗ ∇𝑔𝑗 (𝐱 ∗ ) = 0,
2. 𝜆𝑗∗ 𝑔𝑗 (𝐱 ∗ ) = 0, untuk 𝑗 = 𝑚, … , 𝑝 3. 𝜆𝑗∗ ≥ 0, untuk 𝑗 = 𝑚, … , 𝑝
Catatan:
1. Fungsi 𝐿 = 𝑓(𝐱) + 𝜆𝑔(𝐱) disebut fungsi Lagrange dan 𝜆∗ ini disebut Pengali Lagrange.
2. Tiga syarat di atas dapat menjadi syarat cukup jika fungsi 𝑓 dan fungsi 𝑔𝑗 merupakan fungsi konveks.
Bukti: lihat Peressini et al. 1988 halaman 186. 2.14
Kesetimbangan
Definisi 21 (Kesetimbangan) Kesetimbangan didefinisikan sebagai suatu konstelasi (keadaan) peubah-peubah tertentu yang saling terkait sedemikian rupa sehingga tidak ada kecenderungan dalam dirinya perubahan dalam model yang dibangun oleh peubah-peubah tersebut. (Henderson dan Quandt 1980)
