BAB II LANDASAN TEORI

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1. Konsep Dasar Analisis Runtun Waktu

Pada bagian ini akan dikemukakan beberapa definisi yang menyangkut pengertian dan konsep dasar analisis runtun waktu.

Definisi 1

Runtun waktu adalah himpunan observasi terurut dalam waktu atau dalam dimensi lain. (Zanzawi S, 1987 : 2.2) Dalam pembahasan ini runtun waktu dinotasikan dengan 𝑍𝑡 , jika t ∈ A dengan A

bilangan asli, maka 𝑍𝑡 adalah berupa runtun waktu diskrit sedangkan jika t ∈ ℜ

dengan ℜ bilangan real, maka 𝑍𝑡 adalah runtun waktu kontinu. Jika runtun waktu

didasarkan terhadap sejarah nilai observasi itu diperoleh, maka runtun waktu dapat dibedakan antara runtun waktu deterministik dan stokastik.

Definisi 2

Runtun waktu deterministik adalah runtun waktu dengan nilai observasi yang akan datang dapat diramalkan secara pasti berdasarkan observasi lampau. (Zanzawi S, 1987 : 2.2)

Definisi 3

Runtun waktu stokastik adalah runtun waktu dengan nilai observasi yang akan datang bersifat probabilistik, berdasarkan observasi yang lampau. (Zanzawi S, 1987 : 2.2)

15 Universitas Sumatera Utara

2.1.1.

Stasioner dan Takstasioner

Himpunan observasi dari runtun waktu stokastik yang telah didapat tidak akan diperoleh kembali dengan mengadakan proses stokastik yang lain, sebab runtun waktu stokastik merupakan suatu realisa dari suatu proses statistik (stokastik), sehingga untuk sebarang 𝑍𝑡 dapat dipandang sebagai suatu realisa dari suatu variabel random 𝑍𝑡

yang mempunyai distribusi dengan fungsi densitas probabilitas (fdp) tertentu, sebut 𝑝(𝑍𝑡 ). Setiap himpunan 𝑍𝑡 , misalnya {𝑍𝑡 , 𝑍𝑡 ,…, 𝑍𝑡 }mempunyai fungsi densitas

probabilitas (fdp) bersama 𝑝{𝑍𝑡 , 𝑍𝑡 , … , 𝑍𝑡 } sehingga dari uraian diatas dapat diturunkan definisi proses stasioner dan proses tak stasioner.

Definisi 4 Jika suatu proses stokastik yang mempunyai fungsi kepadatan peluang (fkp) bersama 𝑝�𝑍𝑡+𝑛1 , 𝑍𝑡+𝑛2 , 𝑍𝑡+𝑛3 , … , 𝑍𝑡+𝑛𝑘 � yang independen terhadap t, sebarang bilangan bulat

k dan sebarang pilihan n1, n2, . . ., nk dengan sifat bahwa struktur probabilistiknya tidak berubah dengan berubahnya waktu, maka proses seperti ini dinamakan stasioner. Jika tidak demikian dinamakan tidak stasioner.(Zanzawi S, 1987: 2.4) Jika hal tersebut berlaku tetapi dengan pembatasan m≤ p, dimana p bilangan

bulat positip, maka stasioneritas itu kita namakan stasioneritas tingkat p. Selanjutnya jika runtun waktu 𝑍𝑡 stasioner, maka nilai tengah (mean), variansi, dan covarian

runtun waktu tersebut tidak dipengaruhi oleh berubahnya waktu pengamatan, sehingga: Nilai tengah Variansi Covarians

: 𝜇𝑧 = 𝐸(𝑍𝑡 ) = 𝐸(𝑍𝑡+𝑛 )

: 𝜎𝑧2 = 𝐸 (𝑍𝑡 − 𝜇𝑧 )2 = (𝑍𝑡+𝑛 − 𝜇𝑧 )2

: 𝛾𝑘 = 𝐸(𝑍𝑡 − 𝜇𝑧 )(𝑍𝑡+𝑘 − 𝜇𝑧 )

untuk t, m, k sebarang.

= 𝐸 (𝑍𝑡+𝑚 − 𝜇𝑧 )(𝑍𝑡+𝑚+𝑘 − 𝜇𝑧 )

Dengan kata lain : jika 𝑍𝑡 stasioner maka distribusi probabilitas pada sebarang waktu 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑚 harus memiliki distribusi yang sama pada waktu 𝑡1+𝑘 , 𝑡2+𝑘 , … , 𝑡𝑚+𝑘 , 16 Universitas Sumatera Utara

dengan k sebarang pergeseran sepanjang sumbu waktu. Untuk m = 1, maka 𝑝(𝑍𝑡 ) =

𝑝(𝑍𝑡+𝑘 ), sehingga distribusi marginal tidak bergantung waktu, yang menyebabkan 𝐸(𝑍𝑡 ) = 𝜇 dan 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡 ) = 𝛾0 .

Untuk proses normal (Gaussian) yang didefinisikan dengan sifat bahwa fungsi densitas probabilitas (fdp) yang berkaitan dengan sebarang waktu adalah normal multivariate dimana stasioneritasnya hanya memerlukan stasioner tingkat dua, sehingga biasanya cukup puas dengan stasioner tingkat dua yang disebut dengan stasioner lemah dengan mengharapkan asumsi normal berlaku.

Mengingat definisi 4 diatas, maka runtun waktu dapat dikelompokan menjadi dua yaitu : 1. Runtun waktu stasioner 2. Runtun waktu tak stasioner. Untuk runtun waktu tak stasioner dibedakan menjadi dua yaitu runtun waktu tak stasioner homogen dan runtun waktu tak stasioner (tak homogen). Berdasarkan uraian ini maka dapat diturunkan definisi di bawah ini.

Definisi 5 Runtun waktu tak stasioner yang homogen adalah selisih (perubahan) nilai-nilai yang berurutan stasioner. (Zanzawi S, 1987: 4.2) Berdasarkan definisi 5, maka dapat dikatakan bahwa runtun waktu tak stasioner homogen adalah runtun waktu yang mempunyai selisih derajat tertentunya adalah stasioner. Dalam skripsi ini runtun waktu yang homogen yang akan menjadi objek penelitian.

2.1.2. Fungsi Autokovariansi

Telah diperoleh bahwa dalam proses stasioner lemah mean proses itu menyebabkan 𝐸[𝑍𝑡 ] = 𝜇, variansi proses itu 𝑉(𝑍𝑡 ) = 𝛾0 𝑐𝑜𝑣(𝑍𝑡 , 𝑍𝑡+𝑘 ) = 𝛾𝑘 , dengan μ dan γk untuk

semua k adalah konstan. Dalam hal ini μ adalah mean proses itu dan γk adalah 17 Universitas Sumatera Utara

autokovarian pada lag k. Pada proses stasioner lemah variansinya adalah konstan, yaitu : 𝑉(𝑍𝑡 ) = 𝜎𝑧2 = 𝛾0

Juga untuk semua bilangan bulat k 𝛾−𝑘 = 𝛾𝑘 , dan juga karena : 𝐶𝑜𝑣 (𝑍𝑡 , 𝑍𝑡+𝑘 ) = 𝑐𝑜𝑣(𝑍𝑡+𝑘 , 𝑍𝑡 ) = 𝑐𝑜𝑣(𝑍𝑡 , 𝑍𝑡+𝑘 ) = 𝛾𝑘

(2.1)

Sehingga yang perlu ditentukan adalah kγ untuk semua k ≥ 0. Definisi 6 Himpunan { γk :k=0,1,2,3,...} disebut fungsi autokovariansi. (Zanzawi S,1987:2.5)

Definisi 7

Autokorelasi pada lag k ditulis dengan : 𝜌=

Cov(Zt ,Zt−k )

1 {𝑉(𝑍𝑡),𝑉(𝑍𝑡−𝑘 )}2

=

𝛾𝑘

1 (𝛾0 ,𝛾0 )2

=

γk

(2.3)

γ0

(Zanzawi S, 1987: 2.5)

Definisi 8

(fak).

Himpunan {𝜌𝑘 : 𝑘 = 0, 1, 2, … } dengan 𝜌0 = 1 disebut fungsi autokorelasi

2.1.3. Autokorelasi Dari suatu runtun waktu yang stasioner 𝑍1 , 𝑍2 , … , 𝑍𝑚 mean μ dan fungsi autokovariansi { γk : k=0,1,2,...}dapat diestimasi dengan menggunakan statistik :

1 𝜇̂ = 𝑍̅ = ∑𝑛𝑡=1 Zt 𝑛

1 𝛾� = 𝐶𝑘 = ∑𝑛𝑡=1(𝑍𝑡 − 𝑍̅)(𝑍𝑡−𝑘 − 𝑍̅) untuk k = 0, 1, 2 𝑛


Untuk mendapatkan harga estimasi yang cukup baik biasanya diperlukan n > 50 dan harga 𝐶𝑘 yang dibutuhkan sekitar k < n/4. Nilai 𝜌𝑘 diestimasi dengan

𝜌�𝑘 = 𝑟𝑘 =

𝐶𝑘 𝐶0

(2.2)

Untuk proses normal yang stasioner, rumus Bartlett menyatakan bahwa dengan menganggap 𝜌𝑘 = 0 untuk semua k > 0 diperoleh :

𝐶𝑜𝑣 (𝑟𝑘 , 𝑟𝑘−1 ) ≈

1

𝑛

∑𝑘𝑖=𝑘+𝑠 𝜌𝑖 𝜌𝑖−𝑠

dengan mengambil s = 0, maka untuk k > K 1

𝑉(𝑟𝑘 ) ≈ ∑𝑘𝑖=−𝑘 𝜌𝑖2

(2.3)

𝑁

Untuk N yang sangat besar jika 𝜌𝑘 = 0 maka 𝑟𝑘 mendekati distribusi normal. Dalam prakteknya 𝜌𝑖 dapat diganti dengan 𝑟𝑖 sehingga menjadi: 1

𝑉(𝑟𝑘 ) ≈ ∑𝑘𝑖=−𝑘 𝜌𝑖2 𝑁

1

2 2 2 = (𝑟−𝑘 + 𝑟−𝑘+1 + ⋯ + 𝑟−𝑘+𝑘=0 + 𝑟12 + 𝑟22 + ⋯ + 𝑟𝑘2 ) 𝑁

dengan 𝜌0 = 𝑟0 = 1

𝛾0 𝛾0

= 1, maka diperoleh

= �1 + 2 ∑𝑘𝑖=1 𝑟𝑖2 � 𝑁

1

Jadi 𝑉(𝑟𝑘 ) ≈ �1 + 2 ∑𝑘𝑖=1 𝑟𝑖2 �

(2.4)

𝑁

Sedangkan akar positif adalah sesuatu standar 𝑟𝑘 untuk lag besar, sehingga 𝑆𝐸(𝑟𝑘 ) ≈ �𝑉(𝑟𝑘 )

2.1.4. Autokorelasi Parsial Fungsi Autokorelasi Parsial (fakp) dinotasikan dengan {𝜙𝑘𝑘 : 𝑘 = 1, 2, … , }, yakni

himpunan autokorelasi parsial untuk lag k didefenisikan sebagai berikut : 𝜙𝑘𝑘 =

∗ �𝜌−𝑘 �

(2.5)

𝜌−𝑘

dengan 𝜌−𝑘 : matriks autokorelasi k x k dan 𝜌𝑘∗ : matriks autokorelasi dengan kolom 𝜌1 ⎡𝜌2 ⎤ ⎢.⎥ terakhir diganti dengan ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢.⎥ ⎣𝜌3 ⎦ 19 Universitas Sumatera Utara

nilai estimasi 𝜙�𝑘𝑘 diperoleh dengan mengganti 𝜌𝑖 dengan 𝑟𝑖 .

Untuk lag yang cukup besar dimana fungsi autokorelasi parsial (fakp) menjadi sangat kecil nilainya hingga mendekati nol (𝑟𝑖 = 0) dari persamaan (2.3) maka diperoleh persamaan:

𝑉𝑎𝑟 �𝜙�𝑘𝑘 � ≈

1

𝑁

Untuk N besar 𝜙�𝑘𝑘 dianggap mendekati distribusi normal. 2.1.5. Metode Box – Jenkins Analisis runtun waktu 𝑍𝑡 yang dikembangkan menurut metode Box – Jenkins

menggunakan dua operator, yaitu operator backshift B dan operator differensi ∇.

Operator backshift B didefenisikan sebagai: 𝐵𝑍𝑡 = 𝑍𝑡−1

Sedangkan operator differensi ∇ didefenisikan sebagai: ∇𝑍𝑡 = 𝑍𝑡 − 𝑍𝑡−1

Sehingga kedua operator mempunyai hubungan: ∇𝑍𝑡 = 𝑍𝑡 − 𝑍𝑡−1 = 𝑍𝑡 − 𝐵𝑍𝑡

= (1 − 𝐵)𝑍𝑡 , jadi ∇= (1 − 𝐵)

Adapun model proses stokastik yang sering digunakan adalah bentuk: 𝜑(𝐵)𝑍𝑡 = 𝜃(𝐵)𝑎𝑡

(2.6)

Dengan 𝜑(𝐵) dan 𝜃(𝐵) adalah polinomial dan {𝑎𝑡 : 𝑡 = 1, 2, 3, … } adalah barisan variabel random independen dan distribusi normal dan dengan 𝐸 [𝑎𝑡 ] = 0,

𝑣𝑎𝑟 [𝑎𝑡 ] = 𝐸, [𝑎𝑡2 ] = 𝜎 2 serta 𝐶𝑜𝑣 (𝑎𝑡 , 𝑎𝑡−𝑘 ) = 0; {𝑎𝑡 : 𝑡 = 1, 2, 3, … } merupakan

suatu runtun getaran yang dibangkitkan oleh proses white noise (gerakan random). Persamaan (2.6) dapat ditulis dengan bentuk: 𝜃(𝐵)

𝑍𝑡 = 𝜙(𝐵) 𝑎𝑡 , atau 𝑍𝑡 = 𝛹 (𝐵)𝑎𝑡

𝜃(𝐵)

Dengan 𝛹(𝐵)𝑎𝑡 = 𝜙(𝐵) 𝑎𝑡 , dengan demikian 𝑍𝑡 dapat dipandang sebagai runtun yang dihasilkan dengan melewatkan proses white noise (gerakan random) {𝑎𝑡 } melalui 20 Universitas Sumatera Utara

kombinasi linier (filter linier) dengan fungsi transfer 𝛹 (𝐵). Kondisi ini menunjukkan operasi linier filter yang mempresentasikan runtun waktu sebagai hasil dari linier filter jumlah tertimbang dari observasi sebelumnya, yakni: 𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝑎𝑡 + 𝛹1 𝑎𝑡−1 + 𝛹2 𝑎𝑡−2 + 𝛹3 𝑎3 + ⋯ 𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝛹 (𝐵)𝑎𝑡

(2.7)

Dengan 𝛹(𝐵) = 1 + 𝑍𝑡 = 𝛹1 (𝐵) + 𝛹2 (𝐵) + 𝛹3 (𝐵) + ⋯

adalah operator linier yang mentransformasikan 𝑎𝑡 ke 𝑍𝑡 merupakan fungsi transfer atau filter.

Atau dapat ditulis dalam bentuk: 𝑍𝑡 − 𝜇 = 𝑎𝑡 + 𝛹1 𝑎𝑡−1 + 𝛹2 𝑎𝑡−2 + 𝛹3 𝑎𝑡−3 + ⋯ 𝑍𝑡̅ = 𝑎𝑡 + ∑∞ 𝑗=1 𝛹𝑗 𝑎𝑡−𝑗

(2.8)

dengan 𝑍𝑡̅ = 𝑍𝑡 − 𝜇.

Bentuk ini merupakan devisa proses itu dari titik referensi, atau meannya jika proses itu stasioner. Barisan itu biasanya disebut proses white noise atau random shocks.

Selanjutnya dari persamaan tersebut diperoleh: 𝐸(𝑍𝑡 ) = 𝜇

2 𝛾0 = 𝑉(𝑍𝑡 ) = 𝐸(𝑍𝑡 − 𝜇 )2 = 𝜎 2 ∑∞ 𝑗=0 𝛹 𝑗

(2.9)

dengan menggunakan nilai 𝐸�𝑎𝑡−𝑖 , 𝑎𝑡−𝑗 � 𝛾𝑘 = (𝑍𝑡 − 𝜇 )(𝑍𝑡−𝑘 )

(2.10)

= 𝐸(𝑎𝑡 + 𝛹1 𝑎𝑡−1 + 𝛹2 𝑎𝑡−2 + ⋯ + 𝛹𝑘 𝑎𝑡−𝑘 + 𝛹𝑘−1 𝑎𝑡−𝑘−1 )(𝑎𝑡−𝑘 + 𝛹1 𝑎𝑡−𝑘−1 +. . . ) = 𝜎 2 (1. 𝛹𝑘 + 𝛹1 𝛹𝑘+2 + ⋯ )

= 𝜎 2 ∑∞ 𝑗=0 𝛹𝑗 𝛹𝑗+𝑘

Sehingga persamaan autokorelasi pada lag k dapat ditulis dalam bentuk: 𝜌𝑘

∑∞ 𝑗=0 𝛹𝑗 𝛹𝑗+𝑘 2 ∑∞ 𝑗=0 𝛹𝑗

=

𝛾𝑘

(2.11)

𝛾0

Jika jumlah bobot 𝛹𝑗 tak hingga, maka diasumsikan bahwa bobot itu konvergen secara

absolute atau �𝛹𝑗 � < ∞, sebagai contoh jika 𝛹1 = −𝜙 𝑑𝑎𝑛 𝛹𝑗 = 0 untuk j > 1. Maka proses white noise dapat ditulis menjadi: 𝑍𝑡 − 𝜇 = 𝑎𝑡 − 𝜙𝑎𝑡−1

(2.12)

Secara umum untuk 𝛹𝑗 = −𝜙𝑗 maka persamaan white-noise menjadi: 21 Universitas Sumatera Utara

𝑍𝑡 − 𝜇 = 𝑎𝑡 + 𝜙𝑎𝑡−1 + 𝜙 2 𝑎𝑡−2 + ⋯

= 𝑎𝑡 + 𝜙(𝑎𝑡−1 + 𝜙𝑎𝑡−2 + 𝜙 2 𝑎𝑡−2 + ⋯ ) = 𝜙(𝑍𝑡−1 − 𝜇 ) + 𝑎𝑡

Model ini dalam runtun waktu dikenal dengan model autoregresif tingkat (orde) satu, selanjutnya untuk memenuhi keadaan stasioner maka |𝜙| < 1. 2.2. Model Runtun Waktu

Model Runtun waktu dapat dikelompokan menjadi dua yaitu: 1. Kelompk runtun waktu stasioner, 2. Kelompok runtun waktu tak stasioner (nonstasioner). Kelompok runtun waktu pertama meliputi proses autoregresif, untuk orde p ditulis AR (p), moving average untuk orde q ditulis MA (q), dan model campuran autoregresifmoving average, jika masing-masing berorde p dan q maka model ini ditulis ARMA (p, q). Sedangkan kelompok kedua merupakan kelompok runtun waktu yang banyak dijumpai dalam praktek, dalam hal ini runtun waktu nonstasioner yang mempunyai selisih (derajat tertentu) nilai-nilai yang berurutan dari runtun aslinya 𝑍𝑡 yaitu

𝑍𝑡 − 𝑍𝑡−1 = 𝑊𝑡 adalah stasioner. Dalam proses ini 𝑍𝑡 dipandang sebagai integrasi

runtun 𝑊𝑡 , yang dikenal dengan autoregresive integrated moving average proses

(ARIMA), sehingga ketentuan yang berlaku pada model ARMA berlaku pula pada model ARIMA. Suatu runtun waktu nonstasioner setelah diambil selisih ke-d menjadi stasioner yang mempunyai model AR (p) dan model MA (q) ditulis dengan ARIMA (p, d, q).

Kedua kelompok model runtun waktu tersebut, dapat dipandang sebagai model ARIMA, dengan melihat nilai p, q dan tingkat selisih d (nilai untuk d model stasioner adalah 0). Sehingga untuk model stasioner AR (p) dapat ditulis ARIMA (p, 0, 0), model stasioner MA (q) dapat ditulis ARIMA (0, 0, q) dan model stasioner ARMA (p, q) dapat ditulis ARIMA(p, 0, q) uraian untuk masing-masing kelompok model runtun waktu dibahas pada bagian berikut ini.

2.2.1. Model Runtun Waktu Stasioner 22 Universitas Sumatera Utara

2.2.1.1 Proses-proses Autoregresif 2.2.1.1.1 Proses auotoregresif Orde 1[AR(1)]

Model AR(1) telah dikemukakan pada bagian (2.7), oleh karena itu pembahasan pada bagian ini mengacu model (2.12) yang dapat ditulis dalam bentuk 𝑍�𝑡 − ∅�𝑍�𝑡−1 � = 𝑎𝑡 dengan 𝑍�𝑡 = 𝑍𝑡 − 𝜇

(2.13)

𝑍𝑡 = ∅𝑍𝑡−1 + 𝑎𝑡

(2.14)

Jika operator Backshift B diterapkan pada model (2.13) maka dapat ditulis menjadi: = ∅�∅𝑍�𝑡−2 + 𝑎𝑡−1 � + 𝑎𝑡

= ∅2 𝑍�𝑡−2 + ∅𝑎𝑎𝑡−1 + 𝑎𝑡

�𝑍𝑡−3 + 𝑎𝑡−2 � + ∅𝑎𝑡−1 + 𝑎𝑡 = ∅2 �∅ = ∅3 𝑍�𝑡−3 + ∅2 𝑎𝑡−2 + ∅𝑡−1 + 𝑎𝑡

Sehingga diperoleh bentuk

𝑍�𝑡 = 𝑎𝑡 + ∅𝑎𝑡−1 + ∅2 𝑎𝑡−2 + ∅3 𝑎𝑡−3 + ∅4 𝑎𝑡−4 + ⋯

(2.15)

Jika operator B diterapkan pada persamaan (2.15) maka diperoleh bentuk 𝑍�𝑡 = (1 + ∅1 𝐵𝑎𝑡−1 + ∅2 𝐵2 𝑎𝑡−2 + ∅3 𝐵3 𝑎𝑡−3 + ∅4 𝐵4 𝑎𝑡−4 + ⋯ )𝑎𝑡 = (1 − ∅𝐵)−1 𝑎𝑡

dengan (1 − ∅𝐵)−1 = (1 + ∅𝐵 + ∅2 𝐵2 + ∅3 𝐵3 + ⋯ )

dalam pernyataan ini harus dicatat bahwa |∅| < 1 yang merupakan syarat stasioner.

Selanjutnya untuk memudahkan penulis diambil 𝜇 = 0 sehingga 𝑍�𝑡 = 𝑍𝑡 dan 𝑍�𝑡−1 = 𝑍𝑡−1 , dengan demikian persamaan (2.14) dapat ditulis menjadi 𝑍𝑡 = ∅𝑍𝑡−1 + 𝑎𝑡

(2.16)

2.2.1.1.2 Proses Autoregresif Order 2[AR (2)]

Model AR(2) dapat diperoleh dengan cara yang sama dengan model AR(1) dari persamaan (2.9), sehingga diperoleh: 𝑍 = ∅𝑎𝑡−1 + ∅2 𝑎𝑡−2 + 𝑎𝑡

(2.17)

dengan menggunakan operator backshift B. Bentuk persamaan (2.17) dapat ditulis dalam bentuk: (1 − ∅𝑡 𝐵 − ∅2 𝐵2 )𝑍𝑡 = 𝑎𝑡

(2.18) 23 Universitas Sumatera Utara

2.2.1.1.3 Proses Autoregresif Order p[AR (p)] Bentuk AR(p) diperoleh cara yang sama pada AR(1) dan AR(2), sehingga model autoregresif tingkat p adalah: 𝑍𝑡 = ∅1 𝑍𝑡−1 + ∅2 𝑍𝑡−2 + ⋯ + ∅𝑝 𝑎𝑡−𝑝 + 𝑎𝑡

Terlihat bahwa model AR(p) dapat dipandang sebagai data 𝑍𝑡 yang diregresikan pada p nilai 𝑍𝑡 yang lalu, dalam hal ini pengamatan yang lalu yaitu 𝑍1 , 𝑍2 , … , 𝑍𝑡−𝑝.

Jika operator backshift B diterapkan pada proses ini maka model (2.18) dapat ditulis dalam bentuk:

�1 − ∅1 𝐵 − ∅2 𝐵2 − ⋯ − ∅𝑝 𝐵𝑝 �𝑍𝑡 = 𝑎𝑡 atau ∅(𝐵)𝑍𝑡 = 𝑎𝑡

dengan ∅(𝐵) = 1 − ∅1 − ∅2 𝐵2 − ⋯ − ∅𝑝 𝐵𝑝 2.2.1.2 Autokorelasi Proses-proses Autoregresif 2.2.1.2.1 Autokorelasi Proses-proses AR(1) Dalam penelitian ini akan dibahas dua cara untuk mencari autokorelasi dengan menggunakan pendekatan yang berbeda. Cara pertama adalah cara penggunaan langsung (2.9) dan (2.10) dengan 𝛹𝑖 = 𝜙 𝑗

sehingga diperoleh 2 𝛾0 = 𝜎 2 ∑∞ 𝑖=0 𝛹𝑗

2𝑗 = 𝜎 2 ∑∞ 𝑗=0 𝜙

= 𝜎 2 (1 + 𝜎 2 + 𝜙 4 + ⋯ )

= 𝜎2 �

=

𝜎2

1

1−𝜙2

1−𝜙2

�

Dengan |𝜙| < 1

2 𝛾𝑘 = 𝜎 2 ∑∞ 𝑖=0 𝛹𝑗 𝛹𝑗+𝑘

𝑗 𝑗+𝑘 ; k = 0, 1, 2, ... = 𝜎 2 ∑∞ 𝑗=0 𝜙 𝜙


= 𝜎 2 (1 + 𝜙 2 + 𝜙 4 + ⋯ )𝜙 𝑘 𝜎 2 𝜙𝑘

= 1−𝜙2

dengan |𝜙| < 1

Sehingga fungsi autokorelasinya adalah:

𝜌𝑘 =

𝛾𝑘 𝛾0

=

𝜎 2 𝜙𝑘

1−𝜙2

.

�1−𝜙2 � 𝜎2

= 𝜙 𝑘 dengan k = 0, 1, 2, ... Cara kedua merupakan cara dengan pendekatan yang dapat digunakan secara

umum untuk proses yang lain. Cara ini diperoleh dari persamaan (2.16) 𝑍𝑡 = 𝜙𝑍𝑡−1 +

𝑎𝑡 yaitu dengan mengganti 𝑍𝑡−𝑘 pada persamaan (2.16) kemudian mengambil harga harapannya (Box-Jenkins : 1976), maka diperoleh:

𝐸(𝑍𝑡 , 𝑍𝑡−𝑘 ) = 𝜙𝐸 (𝑍𝑡−1 , 𝑍𝑡−𝑘 ) + 𝐸(𝑎𝑡 𝑍𝑡−𝑘 )

𝛾𝑘 = 𝜙𝛾𝑘−1 + 𝐸(𝑎𝑡 𝑍𝑡−𝑘 )

dengan 𝐸 (𝑎𝑡 𝑍𝑡−𝑘 ) = 𝐸{𝑎𝑡 (𝑎𝑡 + 𝜙𝑎𝑡−1 + 𝜙 2 𝑎𝑡−2 + ⋯ )} karena untuk nilai

k = 0 𝐸 (𝑎𝑡 𝑍𝑡−𝑘 ) = 𝐸{𝑎𝑡 (𝑎𝑡 + 𝜙𝑎𝑡−1 + 𝜙 2 𝑎𝑡−2 + ⋯ )} = 𝜎 2 dan

𝑘 > 0𝐸(𝑎𝑡 𝑍𝑡−𝑘 ) = 𝐸{𝑎𝑡 (𝑎𝑡 + 𝜙𝑎𝑡−1 + 𝜙 2 𝑎𝑡−2 + ⋯ )} = 0

Maka diperoleh

𝛾0 = 𝜙𝛾𝑘−1 + 𝜍 2 = 𝜙𝛾1 + 𝜎 2

𝛾𝑘 = 𝜙𝛾𝑘−1 dengan k = 1, 2, 3, ... 2.2.1.2.2 Autokorelasi Proses AR(2)

Autokorelasi pada proses AR(2) diperoleh dengan menggunakan pendekatan cara kedua pada AR(1), yaitu: Persamaan pada (2.17) dikalikan dengan 𝑍𝑡−𝑘 kemudian diambil harga harapannya,

sehingga diperoleh:

𝐸(𝑎𝑡 𝑍𝑡−𝑘 ) = 𝜙1 𝐸(𝑍𝑖−1 𝑍𝑡−𝑘 ) + 𝜙2 𝐸 (𝑍𝑡−2 𝑍𝑡−𝑘 ) + 𝐸(𝑎𝑡 𝑍𝑡−𝑘 ) Atau 𝛾𝑘 = 𝜙1 𝛾𝑘−1 + 𝜙2 𝛾𝑘−2 + 𝐸 (𝑎𝑡 𝑍𝑡−𝑘 )

dengan 𝑍𝑡−𝑘 bergantung terhadap 𝑎𝑡−𝑘 , 𝑎𝑡−𝑘−1 , … sehingga diperoleh:


𝜎 2 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 = 0 𝐸(𝑎𝑡 𝑍𝑡−𝑘 ) = � 0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 = 1, 2

𝛾0 = 𝜙1 𝛾𝑘−1 + 𝜙2 𝛾𝑘−2 + 𝜎 2

= 𝜙1 𝛾1 + 𝜙2 𝛾2 + 𝜎 2 untuk k = 0

𝛾𝑘 = 𝜙1 𝛾𝑘−1 + 𝜙2 𝛾𝑘−2 untuk k > 0

(2.20)

dan autokorelasinya adalah:

𝜌𝑘 =

𝛾𝑘 𝛾0

=

𝜙1 𝛾𝑘−1 +𝜙2 𝛾𝑘−2 𝛾0

= 𝜙1 𝜌𝑘−1 + 𝜙2 𝜌𝑘−2

= 𝜙1

𝛾𝑘−1 𝛾0

+ 𝜙2

𝛾𝑘−2 𝛾0

(2.21)

Bentuk persamaan diferensinya dari persamaan (2.21) adalah: (1 − 𝜙1 𝐵 − 𝜙2 𝐵2 )𝜌𝑘 = 0

Untuk k = 1, bentuk (2.21) menjadi: 𝜌1 = 𝜙1 𝜌0 + 𝜙2 𝜌−1 = 𝜙1 + 𝜙2 𝜌1 sehingga 𝜌1 − 𝜙2 𝜌−1 = 𝜙1

𝜌1 (1 − 𝜙2 ) = 𝜙1 maka 𝜌1 =

𝜙1

1−𝜙2

untuk k = 2, persamaan (2.21) menjadi:

𝜌2 = 𝜙1 𝜌10 + 𝜙2 𝜌−0 = 𝜙1 𝜌1 + 𝜙2 = 𝜙1 � =

𝜙12

𝜙1

1−𝜙2

1−𝜙2

� + 𝜙2

+ 𝜙2

Untuk lag k yang lain, digunakan persamaan (2.20) dalam menghitung 𝜌𝑘 secara

rekursif (berulang), dengan langkah sebagai berikut: 𝛾0 = 𝜙1 𝛾0

𝛾1 𝛾0

+ 𝜙2 𝛾0

𝛾2 𝛾0

+ 𝜎2

𝛾0 (1 − 𝜙1 𝜌1 − 𝜙2 𝛾2 ) = 𝜎 2

(2.22)

dengan subsitusi 𝜌1 dan 𝜌2 pada persamaan (2.22), maka diperoleh variansi untuk 𝑍𝑡

sebagai berikut: 𝜙

𝜙2

𝛾0 �1 − 𝜙1 1−𝜙1 − 𝜙2 �1−𝜙1 � + 𝜙2 � = 𝜎 2 𝜙2

1

𝜙 𝜙2

2

2 1 𝛾0 �1 − 1−𝜙1 − 1−𝜙 + 𝜙22 � = 𝜎 2

𝛾0 �

1

2

1−𝜙2 −𝜙12 −𝜙2 𝜙12 𝜙22 (1−𝜙2 ) 1−𝜙2

�1−𝜙12 �𝜎 2

𝜎𝑧2 = 𝛾0 = �(1+𝜙

� = 𝜎2

2 2 1 )(1−𝜙2 ) −𝜙1

�

supaya setiap faktor dalam penyebut positif haruslah: −1 < 𝜙2 ; 𝜙1 + 𝜙2 < 1; −𝜙1 + 𝜙2 < 1


yang memberikan daerah stasioner, ini berarti 𝜙2 < 1 2.21.2.3 Autokorelasi Proses AR(p)

Autokorelasi untuk AR(p) sejalan dengan proses AR sederhana dengan cara kedua, yaitu dengan mengalikan persamaan (2.18) dengan 𝑍𝑡−𝑘 dan selanjutnya harapannya, maka diperoleh:

𝐸(𝑍𝑡 𝑍𝑡−𝑘 ) = 𝜙1 𝐸 (𝑍𝑡−1 𝑍𝑡−𝑘 ) + 𝜙2 𝐸(𝑍𝑡−2 𝑍𝑡−𝑘 ) + ⋯ + 𝜙𝑝 𝐸�𝑍𝑡−𝑝 𝑍𝑡−𝑘 � +

𝐸(𝑎𝑡 𝑍𝑡−𝑘 )

𝛾𝑘 = 𝜙1 𝛾𝑘−1 + 𝜙2 𝛾𝑘−2 + ⋯ + 𝜙𝑝 𝛾𝑘−𝑝 + 𝐸 (𝑎𝑡 𝑍𝑡−𝑘 )

karena untuk k = 0 nilai 𝐸(𝑎𝑡 𝑍𝑡−𝑘 ) = 𝜎 2 , k > 0 nilai 𝐸 (𝑎𝑡 𝑍𝑡−𝑘 ) = 0, maka diperoleh

𝛾0 = 𝜙1 𝛾1 + 𝜙2 𝛾2 + ⋯ + 𝜙𝑝 𝛾𝑝 + 𝜎 2 𝛾𝑘 = 𝜙1 𝛾1 + 𝜙2 𝛾𝑘−2 + ⋯ + 𝜙𝑝 𝛾𝑘−𝑝

(2.23)

dari persamaan pertama (2.23) dengan cara yang sama pada proses autoregresif tingkat dua, maka diperoleh: 𝛾0 = 1−𝜙

𝜎2

1 𝜌1 −𝜙2 𝜌2 −⋯−𝜙𝑝 𝜌𝑝

Autokerelasi diperoleh dari kedua persamaan (2.23) yaitu: 𝛾𝑘 𝛾0

= 𝜌𝑘 = 𝜙1 𝜌𝑘−1 + 𝜙2 𝜌𝑘−2 + ⋯ + 𝜙𝑝𝜌𝑘−𝑝 untuk k > 0

(2.24)

Dengan p persamaan pertama dari persamaan (2.24) dikenal sebagai persamaan Yule Walker yaitu: 𝑘 = 1: 𝜌1 = 𝜙1 + 𝜌2 𝜙2 + ⋯ + 𝜌𝑝−1 𝜙𝑝

𝑘 = 2: 𝜌2 = 𝜌1 𝜙1 + 𝜙2 + ⋯ + 𝜌𝑝−2 𝜙𝑝

(2.25)

𝑘 = 𝑝: 𝜌𝑝 = 𝜌𝑝−1 𝜙1 + 𝜌𝑘−2 𝜙2 + ⋯ + 𝜙𝑝 Bentuk matriks dari persamaan (2.25) adalah : 𝜌 = 𝑃𝜙 dengan 𝜌 =

�𝜌1 , 𝜌2 , … , 𝜌𝑝�𝜙 = �𝜙1 , 𝜙2 , … , 𝜙𝑝� 1 𝜌1 𝑃=� ⋮ 𝜌𝑝−2

𝜌1 𝜌2 𝛬 𝜌𝑝−1 𝜌1 𝜌𝑝−2 1 � ⋮ ⋮ ⋮ 𝜌𝑝−2 𝜌𝑝−3 1 27 Universitas Sumatera Utara

Parameter autoregresif 𝜙 dapat dinyatakan sebagai fungsi p autokorelasi dengan

menyelesaikan sistem persamaan (2.25) yaitu: 𝜙 = 𝑃−1 𝜌

Untuk model AR(1) persamaan Yule Walker diberikan dengan 𝜌1 = 𝜙 sedangkan

untuk model AR(2) persamaan Yule Walker diberikan dengan: 𝜌1 = 𝜙1 + 𝜌1 𝜙2

𝜌2 = 𝜌1 𝜙1 + 𝜙2

yang dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut: 𝜌1 1 �𝜌 � = � 𝜌1 2

𝜌1 𝜙1 �� 1 𝜙2

dari bentuk matriks ini diperoleh: 𝜙1 =

𝜌1 (1−𝜌2 ) 1−𝜌1

dan 𝜙2 =

𝜌2 −𝜌12 1−𝜌12

dengan 𝜌1 = 𝑟1 dan 𝜌2 = 𝑟2 diperoleh harga estimasi awal untuk 𝜙�1 dan 𝜙�2 ,

sedangkan untuk menentukan jenis model diantara model yang berbeda, diperlukan pembahasan tentang fungsi autokorelasi parsial.

2.2.1.3 Autokorelasi Parsial Proses Autoregresif Autokorelasi parsial pada lag k dapat dipandang sebagai koefisien regresi 𝜙𝑘𝑘 dalam bentuk 𝑍𝑘 = 𝜙𝑘1 𝑍𝑡−1 + 𝜙𝑘2 𝑍𝑡−2 + ⋯ + 𝜙𝑘𝑘 𝑍𝑡−𝑘 + 𝑎𝑘 .

Bentuk ini mengukur korelasi antara 𝑍𝑘 dan 𝑍𝑡−𝑘 sesudah penyesuaian dibuat untuk

variabel tengah 𝑍𝑡−1 , 𝑍𝑡−2 , … , 𝑍𝑡−𝑘+1 . Autokorelasi parsial pada lag 1 diberikan oleh koefisien regresi parsial dalam bentuk: 𝑍𝑡 = 𝜙11 𝑍𝑡−1 + 𝑎𝑡 Persamaan Yule Walker untuk model AR(1), memberikan 𝜙11 = 𝜌1 , hal ini

karena tidak variabel tengah antara 𝑍𝑡−1 dan 𝑍𝑡 .

Autokorelasi parsial pada lag 2 diberikan oleh koefisien regresi parsial 𝜙22 dalam bentuk:

𝑍𝑡 = 𝜙11 𝑍𝑡−1 + 𝜙22 𝑍𝑡−2 + 𝑎𝑡

Dari persamaan Tule Walker untuk model AR(2) diperoleh: 28 Universitas Sumatera Utara

𝜌1 = 𝜙11 + 𝜌1 𝜙22

𝜌2 = 𝜌1 𝜙11 + 𝜙22

Koefisien 𝜙22 dapat dinyatakan sebagai: 𝜙22 =

�𝜌2 −𝜌12 � �1−𝜌12 �

Secara umum, autokorelasi parsial lag k (𝜙𝑘𝑘 ) diperoleh dari persamaan Yule Walker, yang dalam notasi matriks adalah sebagai berikut: 1 𝜌1 𝜌1 𝜌2 � �=� ⋮ ⋮ 𝜌𝑘 𝜌𝑝−1

𝜌1 𝜌2 𝛬 𝜌𝑝−1 𝜙1 𝜌𝑝−2 1 1 𝜙 � � 2� ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝜌𝑝−2 𝜌𝑝−3 𝜙𝑘 1

Autokorelasi parsial 𝜙𝑘𝑘 sebagai fungsi autokorelasi parsial. Untuk mendapatkan 𝜙𝑘𝑘 , maka:

𝜙𝑘𝑘 =

1 𝜌1 𝜌 1 1 � ⋮ ⋮ 𝜌 𝜌𝑘−1 𝑘−2 1 𝜌1 𝜌 1 1 � ⋮ ⋮ 𝜌 𝜌𝑘−1 𝑘−2

𝜌𝑘−2 𝜌1 𝜌𝑘−3 𝜌2 � ⋮ ⋮ 𝜌1 𝜌𝑘 𝜌𝑘−2 𝜌𝑘−1 𝜌𝑘−3 𝜌𝑘−2 � ⋮ ⋮ 𝜌1 1

Beberapa bentuk fungsi autokorelasi parsial proses autoregresif adalah sebagai berikut: 𝐴𝑅(1): 𝜙11 = 𝜌1 ; 𝜙𝑘𝑘 = 0, untuk k > 1 𝐴𝑅(2): 𝜙11 = 𝜌1 ; 𝜙22 =

�𝜌2 −𝜌12 � �1−𝜌12 �

; 𝜙𝑘𝑘 = 0, untuk k > p

Sifat-sifat fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial dapat digunakan untuk menentukan jenis proses autoregresif.

2.2.1.4 Proses Moving Average Order q[MA(q)] Proses moving average tingkat q dikontruksikan dari model (2.9) dengan 𝛹𝑗 =

𝜃𝑗 dan 𝛹𝑗 = 0 untuk 𝑗 > 𝑞, sehinggga model MA(q) adalah: 𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝜃1 𝑎𝑡−1 + 𝜃2 𝑎𝑡−2 + ⋯ + 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞 + 𝑎𝑡

(2.26)

dengan 𝑎𝑡 ~𝑁(0, 𝜎22 )

apabila operator Backshift diterapkan pada persamaan (2.26), maka diperoleh: 𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝜃1 𝑎𝑡−1 + 𝜃2 𝑎𝑡−2 + ⋯ + 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞 + 𝑎𝑡 29 Universitas Sumatera Utara

𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝜃𝑎 (𝐵)𝑎𝑡

dengan 𝜃(𝐵) = �1 + 𝜃1 𝐵 + 𝜃2 𝐵2 + ⋯ + 𝜃𝑞 𝐵𝑞 �

Fungsi autokorelasi MA(q) diperoleh dengan menggunakan cara kedua seperti

pada proses autoregresif order p, yaitu dengan mengalikan kedua sisi persamaan (2.26) dengan 𝑍𝑡−𝑘 , kemudian mengambil nilai harapannya. Sehingga diperoleh

fungsi autokovariansinya sebagai berikut:

𝛾𝑘 = �−𝜃𝑘 + 𝜃1 𝜃𝑘+1 + 𝜃2 𝜃𝑘+2 + ⋯ + 𝜃𝑞−𝑘 𝜃𝑞 �𝜎 2

(2.27)

Untuk k = 0, maka

𝛾0 = �1 + 𝜃12 + 𝜃22 + ⋯ + 𝜃𝑞2 �𝜎 2

𝜌𝑘 =

𝛾𝑘 𝛾0

−𝜃𝑘 +𝜃1 𝜃𝑘+1 +𝜃2 𝜃𝑘+2 +⋯+𝜃𝑞−𝑘 𝜃𝑞

=�

1+𝜃12 +𝜃22 +⋯+𝜃𝑞2 0;𝑘>𝑞

;1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑞

(2.28)

Estimasi awal dari parameter-parameter diperoleh dengan mensubsitusikan nilai autokorelasi empirik 𝑟𝑘 untuk 𝜌𝑘 pada persamaan (2.28) dan menyelesaikannya.

Fungsi autokorelasi untuk model MA(1) diperoleh dari persamaan (2.28), dengan q = 1, sehingga diperoleh: 𝜃

𝜌1 = � 1+𝜃1 2 ; 𝑘 = 1

(2.29)

1

0;𝑘≥2

Estimasi awal dari 𝜃1 diperoleh dengan cara mengganti 𝜌1 dan 𝑟1 pada persamaan

(2.29) dan menyelesaikannya, dengan syarat �𝜃�1 � < 1.

Fungsi autokorelasi untuk model MA(2) diperoleh dari persamaan (2.28), dengan q = 2 sehingga diperoleh 𝜌1 =

−𝜃1 (1−𝜃2 )

(2.30)

1+𝜃12 +𝜃22 −𝜃

2 𝜌2 = 1+𝜃2 +𝜃 2 1

2

𝜌𝑘 = 0; 𝑘 ≥ 3

Estimasi awal dari 𝜃1 dan 𝜃2 diperoleh dengan cara mengganti 𝜌1 dan 𝜌2 berturutturut dengan 𝑟1 dan 𝑟2 pada persamaan (2.30).


2.3. Model Runtun Waktu Nonstasioner

Pembentukan model yang tepat dalam runtun waktu, pada umumnya menggunakan asumsi kestasioneran, sehingga jika terdapat kasus ketidakstasioneran, maka data tersebut harus distasionerkan terlebih dahulu sebelum melangkah lebih lanjut pada pembentukan model runtun waktu.

Bentuk visual dari plot runtun waktu seringkali cukup meyakinkan bahwa suatu runtun waktu stasioner atau tidak stasioner, akan tetapi lebih meyakinkan lagi dengan membuat plot nilai-nilai autokorelasi tersebut turun sampai nol dengan cepat, sesudah lag kedua atau ketiga, maka data tersebut dapat dikatakan stasioner. Sedangkan jika nilai-nilai autokorelasinya turun sampai nol dengan lambat atau berbeda secara signifikan dari nol, maka data tersebut tidak stasioner.

Menurut Box-Jenkins (1976), bahwa runtun waktu yang tidak stasioner dapat diubah menjadi runtun waktu yang stasioner dengan melakukan deferensi berturutturut, yaitu dengan melihat barisan ∆𝑍𝑡 , ∇𝑍𝑡 , ... dengan ∇ adalah operator diferensi,

yang mempunyai nilai (1 – B) atau (∇= −𝐵).

2.3.1. Proses Autoregressive Inteagrated Moving Average (model ARIMA) Berdasarkan uraian didepan telah dikemukakan bahwa runtun waktu 𝑍𝑡 yang takstasioner, dapat diubah manjadi stasioner dengan melakukan diferensi 𝑊𝑡 = ∇ Zt =

(1 − B)𝑍𝑡 . Karena 𝑊𝑡 merupakan runtun yang stasioner, maka dapat menggunakan

model ARMA untuk menggambarkan 𝑊𝑡 . Selanjutnya jika didefinisikan :

W =Z–Z t

t

t-1

Maka proses umum model ARMA (p,q) dapat ditulis dalam bentuk: 𝑊𝑡 = ∅1 𝑊𝑡−1 + ∅2 𝑊𝑡−2 + ⋯ + ∅𝑝 𝑊𝑡−𝑝 + 𝜃1 𝑎𝑡−1 + ⋯ + 𝜃𝑝 𝑎𝑡−𝑝 + 𝑎𝑡

Dengan substitusi dua persamaan tersebut, setelah dijabarkan akhirnya diperoleh: 𝑍𝑡 = 𝑊𝑡 + 𝑊𝑡−1 + 𝑊𝑡−2 + ⋯ 31 Universitas Sumatera Utara

Ini berarti bahwa Z dapat dipandang sebagai integrasi runtun waktu W , t

t

sehingga proses ARMA (p, q) dipandang sebagai integrated autoregressive-moving average proses disingkat ARIMA. Dengan demikian proses ARIMA (p, d, q) untuk {Z} merupakan proses ARIMA (p, q) untuk {W }, maka teori runtun waktu stasioner t

berlaku pula untuk W . t

Selanjutnya proses ARIMA yang tidak mempunyai bagian autoregresif (AR) ditulis sebagai integrated moving average ditulis sebagai ARIMA (0, d, q). Sedangkan proses ARIMA yang tidak mempunyai bagian moving average ditulis ARIMA (p, d, 0) atau autoregresif integrated [ARI(p, d, 0)].

2.3.2. Proses ARIMA (p, d, 0)

Bentuk umum proses ARIMA (p, d, 0) adalah : Ф(𝐵){(1 − 𝐵)𝑑 𝑍𝑡 − 𝜇 } = 𝑎𝑡 dengan 𝑑 ≥ 0

2

dengan a (t = ....., -1, 0, 1, 2......) variabel random independen terhadap N (0, σ ), B t

menyatakan

operator

Backshift

sehingga

a

∅(𝐵) = �1 − ∅1 𝐵 − ∅2 𝐵2 − ⋯ −

∅𝑝 𝐵𝑝 � Pada model ARIMA (p, d, 0) diatas apabila d = 0 maka akan diperoleh suatu

runtun waktu yang stasioner, akan tetapi jika d > 0 maka akan diperoleh suatu runtun waktu yang tak stasioner (nonstasioner). Kedua bentuk ini akan dibahas secara detail pada bagian berikut ini.

2.3.2.1. Model ARIMA (p, d, 0) jika d = 0 Model ARIMA (p, d, 0) untuk d = 0 sebagai berikut: ∅(𝐵){𝑍𝑡 − 𝜇 } = 𝑎𝑡

atau

∅(𝐵)𝑍𝑡 = 𝑎𝑡 dengan 𝑍𝑡 = 𝑍𝑡 − 𝜇 32 Universitas Sumatera Utara

Seperti pada proses AR (1) pada pembahasan sebelumnya, untuk memudahkan penulisan diambil μ = 0 sehingga diperoleh bentuk : ∅(𝐵)𝑍𝑡 = 𝑎𝑡 atau

𝑍1 − ∅1 𝑍𝑡−1 − ∅2 𝑍𝑡−2 − ⋯ − ∅𝑝 𝑍𝑡−𝑝 = 𝑎𝑡

𝑍𝑡 = ∅1 𝑍𝑡−1 + ∅2 𝑍𝑡−2 + ⋯ + ∅𝑝 𝑍𝑡−𝑝 = 𝑎𝑡

Terlihat bahwa bentuk tersebut merupakan proses autogresif order p [AR (p)].

2.3.2.2. Model ARIMA (p, d, 0) jika d > 0

Bentuk ARIMA (p, d, 0) untuk d > 0 merupakan proses nonstasioner, menurut uraian di depan telah dikemukakan bahwa runtun waktu Z yang nonstasioner dapat dibuat t

d

menjadi runtun waktu yang stasioner dengan jalan melakukan differensi W = Δ Zt = t

d

(1 - B) Zt dan substitusi W pada model ARIMA (p, d, 0), maka diperoleh bentuk: t

∅(𝐵){𝑊𝑡 − 𝜇 } = 𝑎𝑡

Menurut Box-Jenkins (1976), untuk d > 0 akan cocok jika diambil μ = 0, sehingga diperoleh bentuk: ∅(𝐵)𝑊𝑡 = 𝑎𝑡

atau

𝑊𝑡 − ∅𝑡 𝑊𝑡−1 − ∅2 𝑊𝑡−2 − ⋯ − ∅𝑝 𝑊𝑡−𝑝 = 𝑎𝑡

Terlihat bahwa W merupakan runtun yang stasioner dan merupakan proses autogresif t

order p [AR (p)], dengan demikian maka dapat menggunakan model ARMA untuk menggambarkan W . Selanjutnya jika didefinisikan : t

W =Z–Z t

t

t-1

Maka proses umum model ARMA (p, q) dapat ditulis sebagai: 𝑊𝑡 = ∅1 𝑊𝑡−1 + ∅2 𝑊𝑡−2 + ⋯ + ∅𝑝 𝑊𝑡−𝑝 + 𝜃1 𝑎𝑡−1 + 𝜃2 𝑎𝑡−2 + ⋯ + 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞 + 𝑎𝑡 Sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: 𝑍𝑡 = 𝑊𝑡 + 𝑊𝑡−1 + 𝑊𝑡−2 + 𝑊𝑡−3 + ⋯

(2. 40)


Bentuk ini menunjukan bahwa Z dapat dipandang sebagai integrasi runtun waktu W , t

t

sehingga proses ARMA (p, q) dipandang sebagai integrated autoregressive-moving average process disingkat ARIMA. Dengan demikian proses ARIMA (p, d, q) untuk {Z } merupakan proses ARMA (p, q) untuk {W }, ini berarti teori runtun waktu t

t

stasioner berlaku pula untuk 𝑊𝑡 . 2.4. Tinjauan Distribusi Normal Multivariate 2.4.1. Fungsi Densitas Normal Multivariate Bersama, distribusi Marginal dan Distribusi Bersyarat Misalkan X varibel random berdistribusi normal (univariate) dengan mean μ dan variansi 𝜎 2 biasanya dinyatakan dengan 𝑋~(𝜇, 𝜎 2 ). Fungsi densitas dari X adalah :

𝑓 (𝑥) =

1

𝜎√2𝜋

dan 𝜎 > 0

1 𝑥−𝜇 2

𝑒𝑥𝑝 �− � 2

𝜎

� � , ∞ < 𝑥 < ∞, ∞ < 𝜇 < ∞

(2.41)

jika X ,X ,...,X adalah variabel random berdistribusi independent 𝑁 (𝜇, 𝜎 2 ), maka 1

2

p

vektor random X = �𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑝� mempunyai fungsi densitas bersama:

𝑓�𝑥� = 𝑓 (𝑥1 )𝑓 (𝑥2 ) … 𝑓�𝑥𝑝 � =

1

𝑝 (2𝜋)2 𝜎1 𝜎2 …𝜎𝑝

1

𝑝

𝑒𝑥𝑝 �− ∑𝑖=1

dan 𝜎𝑖 > 0; 𝑖=1,2,3,...

2

(𝑥𝑖 −𝜇𝑖 )2 𝜎𝑖

� , −∞ < 𝑥𝑖 < ∞, −∞ < 𝜇𝑖 < ∞

(2.42)

2.4.2. Fungsi Likelihood dan Estimasi Maksimum Likelihood

Setelah satu atau beberapa model sementara untuk suatu model sementara suatu runtun waktu kita identifikasikan, langkah selanjutnya adalah mencari estimasi terbaik atau paling efisien untuk parameter-parameter dalam model tersebut.


Contoh : Dipunyai data runtun waktu sebagai berikut 15,5 15,7 15,6 16,7 18,0 17,4 17,9 18,8 17,6 17,0 16,1 15,7 15,9 17,9 20,3 20,4 20,2 20,5 10,9 20,9 21,1 21,4 18,2 20,1 21,4 21,3 21,9 21,3 20,4 20,4 20,7 20,7 20,9 23,0 24,9 26,5 25,6 26,1 27,0 27,2 28,1 28,0 29,1 28,3 25,7 24,5 24,4 25,5 27,0 28,7 29,1 29,0 29,6 31,2 30,6 29,8 27,6 27,7 29,0 30,3 31,0 32,1 33,5 33,2 33,2 33,8 35,5 36,6 36,9 39,0 41,0 41,6 43,7 44,4 46,6 48,3 50,2 52,1 54,0 56,0 Dari data asli setelah dilakukan perhitungan komputer diperoleh fak dan fakp sebagai berikut:

k

1

2

3

4

5

6

7

8

9

r

0,93

0,86

0,79

0,73

0,67

0,62

0,58

0,53

0,49

� 𝑘𝑘 ∅

0,93

-0,03

-0,02

-0,01

0,02

-0,01

0,02

-0,02

0,01

k

10

11

12

13

14

15

16

17

18

r

0,45

0,41

0,38

0,43

0,31

0,29

0,26

0,24

0,22

-0,03

-0,01

0,02

k

k

� 𝑘𝑘 ∅

� = 0,51 Telah dihitung 𝑊

𝑆̅ = 27,45

𝑆𝑧2 = 94,23 𝑆𝑤2 = 1,25


� ) = ∅(𝑊𝑡 − 𝑊 � ) + 𝑎𝑡 dengan Dari fak dan fakp ditentukan model AR(1) : (𝑊𝑡 − 𝑊 𝑊𝑡 = 𝑍𝑡 − 𝑍𝑡−1 .

� = 𝑟1 = 0,36 dan Diperoleh estimasi parameter ∅ adalah ∅

𝜎𝑎2 = 𝑆𝑤2 (1 − ∅12 ) = 1,25(1 − 0,362 ) = 1,09 maka model runtun waktu tersebut

adalah:(𝑊𝑡 − 0,51) = 0,36(𝑊𝑡 − 0,51) + 𝑎𝑡 dimana nilai 𝑎𝑡 ~𝑁(0, 𝜎𝑎2 ).

Metode untuk mengestimasikan harga parameter dari model suatu runtun waktu dengan menggunakan metode maksimum likelihood. Menurut Bain dan Engelhardt (1992), metode maksimum likelihood menggunakan nilai dalam ruang parameter Ω yang bersesuai dengan harga kemungkinan maksimum dari data observasi sebagai estimasi dari parameter yang tidak diketahui. Dalam aplikasi L(θ) menunjukan fungsi densitas probabilitas bersama dari sample random. Jika Ω ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan L(θ) merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum pada Ω maka persamaan maksimum likelihoodnya adalah: 𝜕

𝜕(𝜃)

𝐿(𝜃) = 0 Jika penyelesaian dari persamaan tersebut ada, maka maksimum dari L(θ)

dapat terpenuhi. Apabila tak terpenuhi maka fungsi L(θ) dapat dibuat logaritma naturnya, dengan ketentuan jika ln L(θ) maksimum maka L(θ) juga maksimum, sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya adalah: 𝜕

𝜕𝜃

ln 𝐿(𝜃) = 0

Definisi 9

Fungsi densitas probabilitas bersama dari n variable random 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛

yang observasi pada 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 di notasikan dengan 𝑓 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃). Untuk

menentukan fungsi likelihood dari 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 yang merupakan 𝜃 dan dinotasikan dengan

𝐿(𝜃),

dengan

𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛

adalah

sampel

random

dari

fungsi

densitasprobabilitas 𝑓 (𝑥; 𝜃) yang fungsi likelihoodnya adalah: 𝐿(𝜃) = 𝑓(𝑥1 ; 𝜃)𝑓 (𝑥2 ; 𝜃) … 𝑓 (𝑥𝑛 ; 𝜃) = ∏𝑛𝑗=1 𝑓�𝑥𝑗 ; 𝜃�

(Bain dan Engelhardt, 1992 : 290)


Defenisi 10

Misalkan

𝐿(𝜃) = 𝑓(𝑥1 ; 𝜃)𝑓 (𝑥2 ; 𝜃) … 𝑓 (𝑥𝑛 ; 𝜃) = ∏𝑛𝑗=1 𝑓�𝑥𝑗 ; 𝜃�, 𝜃𝜖 Ω

yang

merupakan fungsi densitas probabilitas bersama 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 . Bila diberikan

himpunan dari observasi autoregresif, serta estimasi maksimum likelihood pada autoregresif (ARI) dan estimasi likelihood pada model ARIMA (1, 1, 0) Box-Jenkins

yang homogen.


BAB II LANDASAN TEORI

Recommend Documents