BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Prinsip Dasar Gravitasi Hukum Newton Landasan dari aplikasi metoda gayaberat adalah Hukum Newton tentang gravitasi bumi yaitu jika dua buah benda dengan massa tertentu (m) dipisahkan oleh jarak tertentu, maka terdapat gaya tarik menarik (F) antara kedua benda tersebut. Besar gaya tarik menarik suatu benda terhadap bumi dengan jarak tertentu (R) dapat dituliskan sbb: F=
GMm R2
dimana :
(2.1-1)
M adalah massa bumi (kg) G adalah konstanta gravitasi universal yaitu 6.67 x 10-11 m-3kg-1s-2.
Percepatan Gravitasi Hukum Newton menyatakan bahwa sebuah gaya (F) adalah hasil massa dikalikan dengan percepatan. Bila percepatan tersebut dalam arah vertikal akibat gravitasi maka percepatan gravitasinya dapat dihitung sbb : GMm = mg R2 GM g= 2 R
F=
(2.1-2)
dimana : g adalah percepatan gravitasi (mGal atau 1 cm/s2) R adalah jari-jari bumi.
Potensial Gravitasi Suatu massa dalam sistem ruang akan menimbulkan medan potensial di sekitarnya. Medan potensial untuk gaya berat bersifat konservatif, artinya usaha yang dilakukan dalam suatu medan gaya berat tidak tergantung pada lintasan yang ditempuhnya tetapi hanya tergantung pada posisi awal dan akhir. Persamaannya diberikan sbb:
4
∇U ( r ) =
F (r ) = g (r ) m2
(2.1-3)
Potensial gaya berat U di permukaan, dengan asumsi bumi bersifat homogen dan berbentuk bola dengan jari-jari R diberikan oleh : R
R
dr M =G 2 R ∞ r
U (r ) = ∫ g .dr = −GM ∫ ∞
(2.1-4)
2.2. Koreksi dalam Metoda Gayaberat Anomali gayaberat merupakan perbedaan antara nilai gayaberat hasil observasi terhadap suatu titik base atau referensi. Hasil pengukuran gayaberat pada suatu stasiun dipengaruhi oleh beberapa faktor sedangkan yang dibutuhkan adalah variasi densitas. Bumi pada kenyataannya lebih mendekati bentuk spheroid, relief permukaannya tidak rata, berotasi, ber-evolusi dalam sistem matahari serta tidak homogen, sehingga variasi gayaberat disetiap titik dipermukaan bumi dipengaruhi oleh berbagai faktor : 1.
Lintang
2.
Ketinggian
3.
Topografi
4.
Pasang surut
5.
Variasi densitas bawah permukaan
Berbagai koreksi yang perlu dilakukan yaitu : a.
Koreksi Spheroid dan Geoid Bentuk bumi lebih mendekati bentuk spheroid, sehingga digunakan spheroid
referensi sebagai pendekatan untuk muka laut rata-rata dengan mengabaikan efek benda diatasnya. Formula yang digunakan untuk menghitung nilai gayaberat teoritis pada lintang (φ) tertentu yaitu g(φ) = 9,78031846 ( 1+ 0.005278895 sin 2 φ + 0.000023462 sin4 φ ) m/s2 Dimana :
(2.2-1)
φ = sudut lintang dalam radian gn = gaya berat normal pada lintang φ (mGal)
5
Geoid adalah suatu permukaan equipotensial yang dianggap sebagai muka air laut rata-rata dimana adanya efek elevasi di daratan, depresi dibagian lautan dan efek variasi rapat massa lainnya dimasukkan dalam perhitungannya. Sehingga kedudukan permukaan geoid ini diatas spheroid referensi pada daratan (sebagai efek elevasi) dan dibawah spheroid referensi pada lautan (sebagai efek depresi lautan) b.
Koreksi Pasang Surut (Tidal) Adanya benda-benda angkasa akan mempengaruhi pembacaan anomali gayaberat
di permukaan sehingga perlu dikoreksi untuk menghilangkan efek–efek benda langit seperti bulan dan matahari. ⎛c⎞ Um = G (r ) ⎜ ⎟ ⎝R⎠
Dimana :
c.
3
⎡ ⎛1 ⎤ ⎞⎛ 1 2 2 ⎞ 2 2 ⎢3 ⎜ 3 − sin δ ⎟⎜ 3 − sin φ ⎟ − sin 2φ sin δ cos t + cos φ cos δ cos 2t ⎥ (2.2-2) ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎦
Φ : lintang
δ : deklinasi
t : ‘ moon hour angle’
c : jarak rata-rata ke bulan
Koreksi Apungan (Drift) Koreksi ini sebagai akibat adanya perbedaan pembacaan gravity dari stasiun yang
sama pada waktu yang berbeda, yang disebabkan karena adanya guncangan pegas alat gravimeter selama proses transportasi dari satu stasiun ke stasiun lainnya. Sehingga koreksi drift untuk pembacaan pada waktu tn dengan n = 1,…N, dirumuskan Drift =
gN − gt (t n − t t ) tN − tt
(2.2-3)
Titik 1 dan N merupakan titik awal dan akhir yang sama dan biasa juga disebut sebagai titik base station. d.
Koreksi Udara Bebas (Free-Air Correction) Bentuk topografi bumi yang tidak datar memungkinkan stasiun pengukuran
gayaberat berada pada posisi atas atau bawah dari spheroid referensi. Untuk itu perlu dilakukan koreksi agak posisi stasiun seakan-akan sama dengan spheroid referensi yang dikenal dengan Koreksi Udara Bebas. Koreksi ini mengukur elevasi stasiun dengan asumsi tidak ada batuan atau suatu massa diantaranya. Besar faktor koreksi (FAC) untuk
6
daerah equator hingga lintang 450 atau -450 adalah -0,3085 mGal/m. Sehingga Free Air Anomaly (FAA) yaitu FAA(R+h) = gobs – g(R) + 0,3085h
e.
(2.2-4)
Koreksi Bouguer (Bouguer Correction/BC) Koreksi ini dilakukan dengan menggunakan pendekatan benda derupa slab tak
berhingga yang besarnya diberikan oleh persamaan : BC = 0,04188hρ
(2.2-5)
Dimana : h adalah elevasi dan ρ adalah massa jenis. Setelah BC diberikan, anomaly gravity menjadi Simple Bouguer Anomaly yaitu SBA = FAA – BC
f.
(2.2-6)
Koreksi Medan (Terrain Correction/TC) Koreksi ini sebagai akibat adanya pendekatan bouguer. Bumi tidaklah bulat tapi
berundulasi sesuai topografinya. Hal ini yang bersifat mengurangi SBA sehingga efek gayaberat blok-blok topografi yang tidak rata harus ditambahkan terhadap SBA menjadi Complete Bouguer Anomaly (CBA) yaitu CBA = SBA + TC
(2.2-7)
TC adalah Terrain Correction dengan persamaan TC = 0,04191 Dimana :
ρ n
(
r2-r1 +
r12 + z 2 -
r22 + z 2
) (mGal)
(2.2-8)
n adalah jumlah partisi kompartemen yang digunakan r1 dan r2 adalah radius inner dan outernya (meter) z adalah modulus dari perbedaan elevasi antara stasiun dengan elevasi rata-rata segmen
2.3. Anomali Bouguer Perhitungan koreksi diatas akan menghasilkan koreksi akhir yaitu Complete Bouguer Correction (CBA) yang persamaannya secara umum yaitu : CBA = gobs – gnormal + FAC – BC + TC
(mGal)
(2.3-1)
7
2.4. Estimasi Rapat Massa Salah satu metoda yang dapat digunakan dalam estimasi rapat massa yaitu Metoda Nettleton. Metoda ini didasarkan pada Koreksi Bouguer dan Koreksi Medan. Secara kualitatif, nilai densitas yang dipilih adalah yang paling sedikit menunjukkan korelasi dengan topografi. Untuk contoh pada gambar 2.1, nilai densitas terbaik yaitu 1,9 gr/cm3.
Gambar 2.1 Contoh metoda nettleton secara kualitatif (Telford, 1990).
Secara kuantitatif, estimasi rapat massa permukaan dapat ditentukan
dengan
menerapkan korelasi silang antara perubahan elevasi terhadap suatu referensi tertentu dengan anomali gayaberatnya yang sesuai dengan persamaan : N
k=
∑ δg δh i =1 N
i
i
∑ (δh ) i =1
(2.4-1)
2
i
dimana N adalah jumlah stasiun pada penampang tersebut. 2.5. Analisa Spektrum Analisa spektrum perlu dilakukan untuk estimasi kedalaman sumber anomali dan mengetahui lebar jendela jika kita melakukan filtering. Hal itu dilakukan dengan melakukan transformasi fourier terhadap anomali gaya berat pada lintasan yang kita pilih dimana transformasi Fouriernya adalah sbb :
8
(
k z −z'
⎛1⎞ F (U ) = γ μ F ⎜ ⎟ ⎝r⎠
dimana, U
μ
dan
e 0 ⎛1⎞ F ⎜ ⎟ = 2π k ⎝r⎠
) (2.5.1)
= potensial gaya berat
γ
= konstanta gaya berat
= anomali rapat massa
r
= jarak
sehingga persamaannya menjadi : F (U ) = 2π γ μ
e
(
k z0 − z '
) (2.5.2)
k
Sehingga transformasi Fourier anomali gaya berat pada lintasan yang kita pilih adalah : ⎛ ∂ 1⎞ F (g z ) = γ μ F ⎜ ⎟ ⎝ ∂z r ⎠ ∂ ⎛1⎞ = γ μ F⎜ ⎟ ∂z ⎝ r ⎠
F ( g z ) = 2π γ μ e dimana gz z0
(
k z0 − z '
)
(2.5.3)
= anomali gaya berat
k
= bilangan gelombang
= ketinggian titik amat
z
= kedalaman benda anomali
Bila distribusi rapat massa bersifat random dan tidak ada korelasi antara masing-masing nilai gaya berat, maka : μ =1, sehingga hasil transformasi Fourier anomali gaya berat menjadi : A dimana
=C e
(
k z0 − z '
)
(2.5.4)
A = amplitudo dan C = konstanta.
Dengan me-logaritma-kan spektrum amplitudo pada persamaan (2.5.4) maka akan dihasilkan persamaan garis lurus.
Komponen k menjadi berbanding lurus dengan
spektrum amplitudo.
LnA = LnC + ( z 0 − z ' ) k
(2.5.5)
Melalui regresi linier terhadap persamaan garis lurus diatas, diperoleh batas antara orde satu (regional) dengan orde dua (residual). Dari hasil regresi ini akan didapatkan nilai kedalaman untuk tiap-tiap anomali.
9
Zona regional
Ln A
Zona residual
Batas zona regional-residual
Zona noise
K
Gambar 2.2 Kurva Ln A dengan K
2.6. Second Horizontal Derivative (SHD) Analisa Second Horizontal Derivative dapat menggambarkan sumber-sumber anomali yang bersifat dangkal/lokal. Analisa ini juga dapat digunakan untuk menentukan jenis struktur bawah permukaan seperti patahan naik atau turun, intrusi atau cekungan. Analisa ini sesuai dengan persamaan Laplace’s untuk anomali gayaberat di permukaan yang diberikan sebagai berikut : ∇ 2 Δg = 0 ∂ 2 Δg ∂ 2 Δg ∂ 2 Δg + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
(2.6.1)
Sehingga bila kita asumsikan turunan kedua arah y mempunyai nilai konstan maka persamaannya menjadi : ∂ 2 Δg ∂ 2 Δg = − ∂z 2 ∂x 2
(2.6.2)
Sehingga Second Horizontal Derivative dari suatu anomali gayaberat permukaan adalah sama dengan negatif dari derivative orde dua vertikalnya. Berikut merupakan contoh perhitungan sederhana dari metoda second horizontal derivative pada suatu lintasan :
10
Nilai g1 hingga gn merupakan nilai anomali bouguer untuk setiap stasiun pengukuran yang memiliki jarak tertentu (x1-xn) dengan spasi pengukuran (∆x) tertentu pula. Maka second horizontal derivativenya dapat kita tuliskan sbb :
∂Δg g i +1 − g i = ∂x Δx g i +1 − g i ⎛ g i − g i −1 ⎞ −⎜ ⎟ 2 ∂ Δg Δx Δx ⎠ ⎝ = ∂x 2 Δx 2 ∂ Δg g i +1 + g i −1 − 2 g i = ∂x 2 Δx 2
(2.6.3)
Dari analisa Second Horizontal Derivative (SHD) didapatkan kriteria SHD untuk patahan naik dan turun yaitu : 1. Untuk patahan turun : ⎛ ∂ 2 Δg ⎞ ⎛ ∂ 2 Δg ⎞ ⎟ ⎟ ⎜⎜ 〈 ⎜⎜ 2 ⎟ 2 ⎟ ∂ ∂ x x ⎠ min ⎠ maks ⎝ ⎝
(2.6.4)
2. Untuk patahan naik : ⎛ ∂ 2 Δg ⎞ ⎛ ∂ 2 Δg ⎞ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ 〉 2 ⎟ 2 ⎟ ⎝ ∂x ⎠ maks ⎝ ∂x ⎠ min
`
(2.6.5)
Kriteria diatas dapat kita buktikan dengan membuat model sintetis lalu dilakukan analisa SHD pada model itu. Pembuatan model sintetis dengan menggunakan Grav2D. Berikut merupakan contoh model sintetis beserta hasil analisa SHD nya untuk kasus patahan naik dan patahan turun.
11
•
Untuk kasus patahan turun Second Horisontal Derivative
Bouguer Anomaly 4.E-07 2000
4000
6000
8000
10000
-0.2 -0.3
2.E-07 mGal/m 2
mGal
0 -0.1 0
-0.4 -0.5 -0.6 -0.7
0.E+00 -2.E-07
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
-4.E-07 -6.E-07 -8.E-07
-0.8
meter
meter
Gambar 2.3 Model sintetis, Bouguer anomaly serta hasil analisa SHD nya.
Dari gambar 2.3 maka dapat kita lihat bahwa hasil SHD nya sesuai dengan kriteria SHD pada persamaan 2.6.4 •
Untuk kasus patahan naik Second Horisontal Derivative
Bouguer Anomaly 8.E-07 2000
4000
6000
-0.2 -0.3
8000
10000
6.E-07 m G a l/m 2
m G al
0 -0.1 0
-0.4 -0.5 -0.6 -0.7
4.E-07 2.E-07 0.E+00 -2.E-07
0
2000
4000
6000
8000
10000
-4.E-07
-0.8 meter
meter
Gambar 2.4 Model sintetis, bouguer anomaly serta hasil analisa SHD nya.
Dari gambar 2.4 maka dapat kita lihat bahwa hasil analisa SHD diatas sesuai dengan kriteria pada persamaan 2.6.5
12
2.7. Pemodelan Kedepan Pemodelan adalah suatu proses untuk mendapatkan model bawah permukaan yang diturunkan
dari anomali gaya berat permukaan. Model yang dihasilkan akan
menggambarkan distribusi rapat massa dan geometri bendanya dalam kedalaman yang bervariasi. Dalam hal ini penulis menggunakan pemodelan kedepan (forward modelling). Contoh pemodelan kedepan dengan benda sederhana dapat dilihat pada gambar 2.4. Efek gayaberat pada titik P yang berarah r adalah gr = γM/r2. Sehingga nilai efek gayaberat pada titik P yang berarah vertical yaitu Δg = g r cos θ = γ
Dimana :
Mz 4πγΔρa 3 = 3 r3
z
(x
2
+z
)
3 2 2
(2.7.1)
a adalah jari-jari bola dan ∆ρ adalah kontras densitas.
Gambar 2.5 Efek gayaberat dari bola (Telford, 1990).
Model yang banyak digunakan adalah model dengan pendekatan bentuk poligon. Dengan menggunakan jumlah sisi poligon (n) tertentu untuk memperkirakan garis besar dari bagian vertikal dari benda 2-D, maka dapat dihitung efek gayaberatnya.
13
Gambar 2.6 Pemodelan benda 2-D dengan pendekatan bentuk poligon (Telford, 1990).
Untuk benda diatas, efek gayaberatnya adalah sama dengan integral garis disikitarnya yaitu Δg = 2γΔρ ∫ zdθ
(2.7.2)
Dari geometri pada gambar diatas terdapat beberapa hubungan yaitu z = x tan θ = ( x − a i ) tan φi z=
(ai tan θ tan φi ) (tan φi − tan θ )
(2.7.3)
Integral garis untuk sisi BC adalah
ai tan θ tan φi dθ = Z i B tan φ − tan θ i
∫ zdθ = ∫ BC
C
(2.7.4)
Sehingga gayaberat komponen vertikal untuk seluruh benda adalah n
V = 2γΔρ ∑ Z i
(2.7.5)
i =1
Jika masing-masing koordinat A, B,......dan R diketahui, misalnya : B=B(xi,zi); C=C(xi+1,yi+1);... dan.R=R(x,z)
14
Maka komponen gayaberat vertikalnya menjadi ⎡ ⎧ cos θ i (tan θ i − tan φ i ) ⎫⎤ Z i = ai sin φi cos φi ⎢(θ i − θ i +1 ) + tan φ i . log ⎨ ⎬⎥ ⎩ cos θ i +1 (tan θ i +1 − tan φ i ) ⎭⎦ ⎣
(2.7.6)
Dimana :
⎛ zi ⎝ xi
θ i = tan −1 ⎜⎜
⎞ ⎛ z − zi ⎟⎟ , φi = tan −1 ⎜⎜ i +1 ⎠ ⎝ xi +1 − xi
⎞ ⎛ x − xi ⎞ ⎟⎟ , ai = xi +1 + z i +1 ⎜⎜ i +1 ⎟⎟ ⎠ ⎝ z i − z i +1 ⎠
15
