Bab II LANDASAN TEORI Bab ini terdiri dari 3 bagian. Pada bagian pertama berisi tinjauan pustaka dari penelitian-penelitian sebelumnya. Pada bagian kedua diberikan teori penunjang untuk mencapai tujuan penelitian yang berisi definisi-definisi dan teori. Pada bagian ketiga disusun kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran penelitian.
2.1
Tinjauan Pustaka
Runtun waktu fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Song dan Chissom [9] yang mengusulkan model runtun waktu dengan menggunakan operasi matriks dalam proses perhitungannya. Song dan Chissom [9, 10] menerapkan runtun waktu fuzzy pada data jumlah pendaftar di Universitas Alabama. Chen [1] mengembangkan model dari Song dan Chissom [9, 10] dengan menghilangkan operasi matriks menjadi model runtun waktu fuzzy dengan operasi aritmatik sederhana. Penelitian Chen [1] yang diterapkan pada data jumlah pendaftar di Universitas Alabama menghasilkan hasil ramalan yang lebih baik dibandingkan Song dan Chissom [9, 10]. Yu [14] melanjutkan penelitian Chen [1]. Yu [14] mengusulkan adanya pembobotan untuk mengatasi dua masalah dalam runtun waktu fuzzy yaitu perulangan dan pembobotan relasi logika fuzzy. Model yang diusulkan menggunakan pembobotan secara regresi terhadap semua relasi logika fuzzy. Pada penerapan data jumlah pendaftar di Universitas Alabama menghasilkan akurasi yang lebih baik dari model yang diusulkan Chen [1]. Cheng et al. [2] memodifikasi pembobotan dari model Chen [1] dan Yu [14] untuk setiap himpunan fuzzy. Pembobotan yang diusulkan menggunakan mo4
del adaptive expectation. Pada penerapan data indeks harga saham Taiwan dan pendaftaran di Universitas Alabama dihasilkan peramalan menggunakan model Cheng [2] lebih baik dibandingkan model Chen [1] dan model Yu [14] . Lee dan Suhartono [6] mengusulkan pembobotan secara eksponensial untuk data yang berpola musiman. Pada penerapan data penggunaan listrik untuk Perusahaan Tenaga Air Washington menunjukkan bahwa model Lee dan Suhartono [6] menghasilkan akurasi lebih baik daripada model Chen [1], Yu [14], dan Cheng [2]. Tsaur [12] mengusulkan analisis residu pada model runtun waktu fuzzy menggunakan deret Fourier. Model hibrida runtun waktu fuzzy dan deret Fourier dapat menghasilkan residu yang lebih kecil. Tsaur dan Kuo [13] menerapkan model runtun waktu fuzzy dengan deret Fourier pada kasus pengunjung pariwisata di Australia. Hasil penelitian menunujukkan bahwa model Tsaur dan Kuo [13] menghasilkan kesalahan peramalan yang lebih kecil dibandingkan dengan model Song dan Chissom [9], Singh [8], Cheng [2], dan Chen [1]. Penelitian-penelitian tersebut menjadi dasar pertimbangan dalam menerapkan model hibrida runtun waktu fuzzy terbobot-deret Fourier untuk peramalan curah hujan di DAS Bengawan Solo.
2.2
Landasan Teori
Pada penelitian ini diberikan beberapa teori yang menjadi dasar dalam penelitian model hibrida runtun waktu fuzzy terbobot-deret Fourier untuk peramalan curah hujan di DAS Bengawan Solo yaitu, curah hujan, himpunan fuzzy, runtun waktu fuzzy dan runtun waktu fuzzy terbobot, model hibrida runtun waktu fuzzy terbobot-deret Fourier, Root Mean Square Eror (RMSE).
2.2.1
Curah Hujan
Menurut Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG), ukuran curah hujan merupakan perbandingan jumlah curah hujan kumulatif selama satu bulan di suatu tempat yang sama. Ukuran curah hujan dapat digunakan 5
dalam penentuan karakteristik tinggi rendahnya curah hujan pada suatu daerah dan bulan tertentu. Dalam model runtun waktu fuzzy terbobot, klasifikasi curah hujan dapat dimanfaatkan untuk penentuan banyaknya pembagian interval. Ukuran curah hujan bulanan dapat dilihat pada Tabel 2.1. BMKG menggunakan Tabel 2.1 untuk peta prakiraan curah hujan Indonesia tahun 2015 yang terlihat pada Gambar 2.1. Pada penelitian ini, ukuran curah hujan pada Tabel 2.1 dapat dijadikan acuan untuk klasifikasi nilai peramalan curah hujan tahun 2015. Tabel 2.1. Ukuran Curah Hujan Kategori
Ukuran (mm)
Rendah
0 − 20 20 − 50 50 − 100 100 − 150
Menengah
150 − 200 200 − 300 300 − 400
Tinggi
400 − 500 Sangat tinggi
2.2.2
> 500
Himpunan Fuzzy
Misalkan U adalah himpunan semesta, dengan U = {u1 , u2 , . . . , un }, dan Ai adalah himpunan fuzzy pada himpunan U , yang didefinisikan sebagai Ai = µAi (u1 )/u1 + µAi (u2 )/u2 + . . . + µAi (un )/un , dengan µAi adalah fungsi keanggotaan himpunan fuzzy Ai , dan µAi (uj ) merepresentasikan derajat keanggotaan dari uj pada Ai dengan µAi (uj ) ∈ [0, 1] dan 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n. Berikut ini adalah definisi dari Klir dan Folger [5]. Definisi 2.2.1. Height of fuzzy set adalah elemen-elemen dari himpunan fuzzy yang mencapai derajat keanggotaan terbesar. 6
Gambar 2.1. Peta prakiraan curah hujan Januari 2015 Definisi 2.2.2. Himpunan fuzzy disebut dinormalisasi dengan elemen-elemen merupakan kemungkinan maksimum dari derajat keanggotaan.
2.2.3
Runtun Waktu Fuzzy dan Runtun Waktu Fuzzy Terbobot
Runtun waktu fuzzy merupakan model peramalan runtun waktu yang menggunakan konsep - konsep fuzzy sebagai dasarnya. Song dan Chissom [9, 10] menjelaskan dengan definisi berikut. Definisi 2.2.3. Misalkan Y (t)(t = 1, 2, . . . , n) adalah bagian dari bilangan real (R) yang didefinisikan oleh himpunan fuzzy semesta fi . Jika F (t) kumpulan dari fi (t)(t = 1, 2, . . . , n), maka F (t) disebut runtun waktu fuzzy pada Y (t)(t = 1, 2, . . . , n). Definisi 2.2.4. Misalkan F (t) disebabkan oleh F (t − 1), maka relasi model orde pertama dari F (t) dinyatakan F (t) = F (t − 1) ◦ R(t, t − 1) dengan R(t, t − 1) adalah matriks relasi yang dideskripsikan oleh relasi logika fuzzy antara F (t − 1) dan F (t), dan ◦ adalah operator maksimal - minimal. Definisi 2.2.5. Jika F (t − 1) = Ai dan F (t) = Aj . Relasi logika fuzzy (RLF) 7
dapat ditulis Ai → Aj dengan Ai dan Aj dinamakan sisi kiri dan sisi kanan RLF. Definisi 2.2.6. Misalkan F (t) merupakan runtun waktu fuzzy dengan pola musiman setiap periode p, maka dapat ditulis hubungan fuzzy ialah F (t−p) → F (t). Runtun waktu fuzzy terbobot merupakan perkembangan dari runtun waktu fuzzy. Runtun waktu fuzzy terbobot adalah runtun waktu fuzzy yang memperhatikan adanya pengulangan dan pembobotan relasi logika fuzzy. Berikut ini adalah langkah untuk memperoleh model runtun waktu fuzzy terbobot dengan metode Lee dan Suhartono [6]. Langkah 1. Menentukan interval dari himpunan semesta U . U = [Dmin − D1 , Dmax + D2 ], dengan Dmin adalah data terkecil, Dmaks adalah data terbesar, D1 dan D2 adalah sembarang bilangan non-negatif. Langkah 2. Menentukan himpunan fuzzy Ai pada himpunan semesta U , dengan Ai adalah himpunan fuzzy subinterval ke-i, i = 1, 2, . . . , s dan s adalah jumlah subinterval. Pembagian interval dari himpunan semesta U menjadi beberapa subinterval yang sama dapat didefinisikan seperti berikut. l = [(Dmax + D2 ) − (Dmin − D1 )]/s dengan setiap interval diperoleh hasil u1 = [Dmin − D1 , −Dmin − D1 + l], u2 = [Dmin − D1 + l, Dmin − D1 + 2l], . . . , us = [Dmin − D1 + (n − 1)l, Dmaks + D2 ]. Langkah 3. Membuat relasi logika fuzzy (RLF) dan menentukan kelompok relasi logika fuzzy (KRLF) dari semua RLF. Contoh, jika RLF berbentuk A1 → A2 , A1 → A1 , A1 → A1 , A1 → A3 , A1 → A1 maka KRLF berbentuk A1 → A2 , A1 , A1 , A3 , A1 . Langkah 4. Menentukan peramalan himpunan fuzzy F (t). Jika F (t − 1) = Ai , maka F (t) diperoleh dengan aturan berikut. 1. Jika RLF dari Ai tidak ada (Ai → Ø), maka F (t) = Ai , 2. Jika hanya terdapat satu RLF (Ai → Aj ), maka F (t) = Aj , 3. Jika terdapat lebih dari satu RLF (Ai → Aj1 , Aj2 , . . . , Ajk ), maka F (t) = Aj1 , Aj2 , . . . , Ajk . 8
Langkah 5. Menentukan defuzzifikasi M (t). Jika F (t) = Aj1 , Aj2 , . . . , Ajk , maka M (t) = mj1 , mj2 , . . . , mjk , dengan mj1 , mj2 , . . . , mjk adalah nilai tengah dari Aj1 , Aj2 , . . . , Ajk . Langkah 6. Menghitung pembobot. Jika pembobot dari F (t) = Aj1 , Aj2 , . . . , Ajk adalah w1′ , w2′ , . . . , wk′ dengan wi′ =
w ∑k i i=1
wi
, w1 = 1, wi = ci−1 untuk c > 1 dan
i = 1, 2, . . . , k maka matriks pembobot dapat ditulis [ ] k−1 1 c c W (t) = [w1′ , w2′ , . . . , wk′ ] = ∑k , ∑k , . . . , ∑k . w w w i i i i=1 i=1 i=1
(2.1)
Langkah 7. Menghitung peramalan pada waktu t, Fˆ (t) = M(t) × W (t)T .
2.2.4
Model Hibrida Runtun Waktu Fuzzy Terbobot-Deret Fourier
Model hibrida runtun waktu fuzzy terbobot-deret Fourier merupakan suatu model gabungan pendekatan runtun waktu fuzzy terbobot dan deret Fourier. Menurut Tsaur dan Kuo [13], berikut langkah untuk memperoleh model hibrida runtun waktu fuzzy terbobot-deret Fourier. Langkah 1. Menentukan nilai peramalan runtun waktu fuzzy. Langkah 2. Menentukan estimasi deret residu menggunakan deret Fourier. Deret residu diturunkan seperti berikut ε(t) = Y (t) − Fˆ (t), t = 1, 2, . . . , N ε(t) = [ε(1), ε(2), . . . , ε(N )]T , dengan Y (t) adalah nilai sebenarnya pada waktu t, Fˆ (t) adalah nilai peramalan menggunakan model runtun waktu fuzzy terbobot pada waktu t, dan matriks dari deret residu didefinisikan sebagai ε(t). Deret Fourier digunakan untuk menguraikan suatu deret fungsi periodik. Teknik penyesuaian deret residu dengan deret Fourier dapat meningkatkan keakuratan peramalan dari himpunan data yang periodik.
9
Estimasi deret residu diturunkan dari deret Fourier seperti [ ( ) ( )] z ∑ 1 2Πi 2Πi εˆ(t) = a0 + ai cos t + bi sin t , t = 1, 2, . . . , n 2 T T i=1
(2.2)
dengan T adalah banyak deret residu yang sama panjangnya dengan n, z adalah frekuensi minimum penyebaran deret Fourier yang merupakan pembagian bilangan bulat [ n−1 ], dan a0 , ai , bi untuk i = 1, 2, . . . , z adalah parameter yang diperoleh 2 dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Adapun langkah untuk memperoleh parameter deret Fourier dengan metode kuadrat terkecil sebagai berikut 1. Menentukan residu yaitu e(t) = ε(t) − εˆ(t) 2. Menentukan jumlah kuadrat dari residu D2 =
n ∑ i=1
[e(t)]2 =
n ∑
[ε(t) − εˆ(t)]2
i=1
[ ]]]2 z ∑ 1 2Πi 2Πi a0 + ai cos( t) + bi sin( t) = ε(t) − 2 T T i=1 i=1 [ n ∑ 1 2Π 2Π 2Π2 ε(t) − a0 − a1 cos( t) − b1 sin( t) − a2 cos( = t) 2 T T T i=1 ]2 2Πz 2Πz 2Π2 t) − . . . − az cos( t) − bz sin( t) −b2 sin( T T T n ∑
[
[
3. Menghitung parameter a0 , a1 , b1 , . . . , az , bz sedemikian sehingga D2 minimum. Apabila turunan pertama terhadap parameter a0 , a1 , b1 , . . . , az , bz adalah nol maka nilai D2 akan minimum. Parameter diperoleh
ˆ = (PT P)−1 PT ε(t) a ˆT = [a0 , a1 , b1 , . . . , az , bz ] dan dengan a 1 cos( 2Π ) sin( 2Π ) T T 2 1 2 cos(2 2Π ) sin(2 2Π ) T T P= . . . ... ... 1 cos(n 2Π ) sin(n 2Π ) 2 T T 10
(2.3)
...
cos( 2Πz ) T
...
cos(2 2Πz ) T
...
...
sin( 2Πz ) T
sin(2 2Πz ) T
2Πz 2Πz . . . cos(n T ) sin(n T ) ...
Dengan mensubstitusikan persamaan (2.3) ke persamaan (2.2), diperoleh estimasi residu εˆ(t) = [ˆ ε(1), εˆ(2), . . . , εˆ(n), εˆ(n + 1)]T . Nilai peramalan dapat dihitung menggunakan Yˆ (t) = Fˆ (t) + εˆ(t), dengan Yˆ (t) adalah nilai peramalan data waktu t, Fˆ (t) dan εˆ(t) adalah nilai peramalan runtun waktu fuzzy terbobot dan nilai estimasi residu pada waktu t + 1.
2.2.5
Root Mean Square Eror (RMSE)
Menurut Hanke dan Wichern [4], Root Mean Square Eror (RMSE) dapat digunakan sebagai kriteria untuk menentukan model terbaik. RMSE adalah akar kuadrat dari rata - rata kesalahan peramalan √ ∑n ˆ 2 i=1 (Yt − Yt ) RM SE = n dengan Yt adalah nilai sebenarnya curah hujan bulanan pada waktu t, Yˆt adalah nilai peramalan curah hujan bulanan pada waktu t, dan n adalah banyak nilai yang diramalkan.
2.3
Kerangka Pemikiran
DAS Bengawan Solo sering terjadi banjir yang disebabkan oleh luapan air sungai. Luapan air sungai dipengaruhi oleh curah hujan yang tinggi. Data curah hujan merupakan data runtun waktu yang mempunyai pola musiman. Salah satu model yang digunakan dalam meramalkan curah hujan yaitu runtun waktu fuzzy. Perkembangan dari runtun waktu fuzzy yang memperhatikan adanya pengulangan dan pembobotan yaitu runtun waktu fuzzy terbobot. Model runtun waktu fuzzy terbobot dapat digunakan pada data yang mempunyai pola musiman. Penelitian ini dilakukan peramalan curah hujan di DAS Bengawan Solo dengan menerapkan model hibrida runtun waktu fuzzy terbobot-deret Fourier. 11
Deret Fourier digunakan untuk mengestimasi deret residu yang diperoleh dari model runtun waktu fuzzy terbobot sehingga menghasilkan residu yang lebih kecil.
12
