BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Pendulum Terbalik
Dalam penelitian ini diperhatikan sistem pendulum terbalik seperti pada Gambar 1 di mana sebuah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang bisa digerakkan. Diasumsikan motor bergerak dalam satu dimensi, yaitu maju atau mundur dalam satu garis lurus, sedangkan pendulum diasumsikan hanya bergerak dalam bidang vertikal yang datar.
Gambar 1: Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar
Berat motor dinotasikan dengan M dan berat pendulum dengan m, satuannya dalam kilogram. Panjang pendulum dilambangkan dengan 2l dan satuannya dalam meter. Pendulum diasumsikan seragam (uniform) sehingga inersianya diberikan oleh I = motor sebesar
1 3
ml 2 . Diasumsikan friksi antara pendulum dengan
dan friksi antara motor dengan lintasan sebesar
bahwa sudut yang dibentuk oleh pendulum
. Diasumsikan
adalah cukup kecil.
Persamaan gerak antara input kendali u, yang merupakan gaya yang bekerja pada motor, dengan posisi motor x terhadap titik awal dan sudut pendulum diberikan oleh persamaan-persamaan berikut : ( M m) x ml x u 4 2 ml mlx mgl 3
(2.1)
0
(2.2)
4 2.2 Tranformasi Laplace Transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat digunakan
untuk
menyelesaikan
persamaan
diferensial
linear.
Dengan
menggunakan transformasi Laplace, persamaan diferensial linear dapat diubah ke dalam persamaan aljabar dalam peubah kompleks.
Definisi 1. Transformasi Laplace dari fungsi f(t) adalah £f(t)
e
0
st
f t dt
F s
f(t)
fungsi waktu t
s
peubah kompleks
£
simbol operasi yang mengidikasikan bahwa persamaan diubah dengan menggunakan integral Laplace
F(s)
0
e
st
f (t )dt
transformasi Laplace dari f(t),
dengan syarat
f t kontinu bagian demi bagian pada t
0 dan
berorde eksponensial saat t menuju takhingga, yaitu ada konstanta real positif
sedemikian sehingga lim e t
t
f t
Sifat – sifat transformasi Laplace : Misalkan £ f t
F s dan £ g t
G s , maka:
1. Sifat penjumlahan £ f (t ) g (t )
F ( s) G ( s)
2. Sifat perkalian Jika a
R , maka:
£ af(t)
a F(s)
3. Sifat turunan pertama £
df t dt
sF s
f 0
4. Sifat turunan kedua
d 2 f (t ) £ dt
s2 F ( s )
f (0) sf (0)
0 (Ogata 1990).
5 5. Sifat eksponensial £
1
eat
s a
Bukti dari sifat-sifat di atas dapat dilihat di Lampiran 1. 2.3 Deret Taylor Suatu sistem taklinear dapat dilinear mengasumsikan variabel
menggunakan deret Taylor dengan
mengalami deviasi yang kecil terhadap titik
kesetimbangannya.
Definisi 2. Deret Taylor Satu Peubah Andaikan f dan semua turunannya, f ', f '', f ''' , …, kontinu di dalam selang [a,b]. Misalkan x0 [a, b] , maka untuk nilai-nilai x di sekitar x0 dan x0 [a, b] , f(x) dapat diekspansi ke dalam deret Taylor sebagai berikut (Ogata 1990): f ( x)
f ( x0 )
( x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x 0) m f '( x0 ) f ''( x0 ) ... f m! 1! 2!
(m )
( x 0) ... .
Definisi 3. Deret Taylor Dua Peubah Deret Taylor dua peubah merupakan fungsi dari dua buah masukan x1 dan x2 . Sehingga nilai x1 dan x2 di sekitar x1 dan x2 merupakan deret Taylor dua peubah sebagai berikut (Ogata 1990): f ( x1 , x2 ) 1 2!
2
f 2 1
x
f ( x1 x1) x1
f ( x1, x2 )
f ( x 2 x 2) x2
2
( x1 x1 ) 2 2
f ( x1 x1)( x 2 x 2) x1 x 2
2
f
x
2 2
di mana turunan-turunan parsialnya dihitung pada x1
( x 2 x 2) 2 x1 , x2
...
x2 . Di sekitar titik
kerja normal, bentuk-bentuk orde tinggi dapat diabaikan. Model matematika linear dari sistem taklinear ini di sekitar kondisi kerja normal selanjutnya diberikan oleh
f ( x1 , x2 ) di mana
f ( x1, x 2 ) K 1( x1 x1) K 2( x 2 x 2)
6 f x1
K1
K2
, x1 x1 , x2 x2
f x2
. x1 x1 , x2 x2
2.4 Persamaan Ruang Keadaan Bentuk standar persamaan ruang keadaan merupakan bentuk persamaan diferensial biasa berorde satu berdimensi n, dan persamaan keluaran (out put) dengan dimensi m, didefenesikan sebagai berikut (Ogata 1990): Defnisi 4. Diberikan sistem persamaan ruang keadaan dan persamaan keluaran berturut-turut sebagai berikut:
x t
f x, u , t ,
(2.3)
y t
g x, u , t .
(2.4)
Jika vektor fungsi f, g bergantung terhadap peubah t, maka persamaan (2.3) dan (2.4) disebut sistem parameter-berubah (time-varying). Jika sistem tersebut dilinierkan, maka persamaan linear ruang keadaan dan persamaan keluarannya dapat ditulis sebagai berikut:
x t
A t x t
B t u t ,
(2.5)
y t
C t x t
D t u t ,
(2.6)
dengan A t , B t , C t , D t merupakan matriks-matriks yang bergantung pada peubah t, sedangkan x adalah vektor peubah keadaan (variable state) dan y adalah keluaran (output)sistem serta u merupakan input kendali. Jika vektor fungsi f, g tidak bergantung terhadap peubah t, maka persamaan (2.3) dan (2.4) disebut sistem parameter-konstan (time-invariant). Di dalam kasus ini persamaan (2.3) dan (2.4) dituliskan sebagai berikut:
x t
f x, u ,
y t
g x, u .
Jika sistem tersebut dilinearkan,maka persamaan linear ruang keadaan dan persamaan keluarannya adalah:
Ax(t ) Bu (t ) ,
(2.7)
y (t ) Cx(t ) Du (t ) ,
(2.8)
x(t )
7 dengan A,B,C,D adalah matriks-matriks bernilai real, x adalah vektor peubah keadaan (state variable), y adalah keluaran (output) sistem, dan u adalah input kendali. Sistem pada persamaan (2.7) dan (2.8) dapat ditulis dalam bentuk
A, B, C , D , untuk A R n n , B
Rn m,C
R r n , dan D
Rr
m
2.5 Fungsi Transfer Fungsi transfer adalah suatu fungsi yang menghubungkan antara output sistem dengan input sistem. Hasil transformasi Laplace dari (2.7) dan (2.8) adalah: sX(s) = AX(s) + BU(s), Y (s) = CX(s) + DU(s). Dengan demikian diperoleh fungsi transfer:
P(s)
Y ( s) U ( s)
C ( sI
A) 1 B D
(2.9)
Selanjutnya, interaksi antara u dan y dapat diungkapkan melalui diagram blok seperti pada Gambar 2.
Gambar 2: Diagram blok hubungan antara input dan output.
2.6 Pole dan Zero Dari fungsi transfer seperti pada persamaan (2.9) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi rasional sebagai berikut: P (s )
N (s ) D (s )
bm s m bm 1s m 1 ... b1s b0 , s n an 1s n 1 ... a1s a 0
(2.10)
dengan pembilang N(s) dan penyebut D(s) adalah koprima. Pole dari sistem P didefinisikan sebagai akar dari persamaan D(s) = 0. Zero dari sistem P
8 didefinisikan sebagai akar dari persamaan N(s) = 0. Jika n > m maka sistem P memiliki sejumlah zero di takhingga. Misalkan p dan z berturut-turut adalah pole dan zero dari P s , pole p disebut sebagai pole takstabil jika Re p
0 , selain itu disebut pole stabil. Zero z
disebut sebagai non minimum phase zero Re z
0 , selain itu disebut zero stabil.
Dapat dilihat bahwa dari persamaan (2.1) dan (2.2) dapat diperoleh
X ( s) U (s) (s) P (s) : U (s) dengan Px ( s ) :
a3
ml 2 (4M
a2
3 (M
a1
3
a0
4 s 2 ml 2 3 s 3 gml , s (a3 s 3 a2 s 2 a1s a 0 ) 3mls , 3 a3s a 2s 2 a1s a 0
(2.11) (2.12)
m), m) 4 ml 2 ,
3mgl ( M
m),
3 mgl .
Di sini Px ( s ) merupakan fungsi transfer antara input kendali u dengan posisi motor x dan P ( s ) merupakan fungsi transfer antara input kendali u dengan posisi sudut pendulum
.
Jika diasumsikan tidak ada friksi antara motor dan pendulum serta tidak ada friksi antara motor dan lintasan, yaitu
0 , maka Px ( s ) dan P ( s ) memiliki
pole takstabil di p
3 g ( M m) l (4 M m)
(2.13)
dan Px ( s ) memiliki zero takstabil di z
3g ,z 4l
.
(2.14)
Penurunan pole dan zero sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar secara lengkap dapat dilihat pada Lampiran 2.
9 2.7 Kestabilan Definisi 3 Sistem
= (A,B,C,D) seperti pada (2.7) dan (2.8) dikatakan
1. stabil jika lim sup x(t )
untuk setiap solusi x(t) dari
x
persamaan x (t )
Ax t ;
2. stabil asimtotik jika lim sup x(t ) x
x(t )
0 untuk setiap solusi x(t) dari persamaan
Ax(t );
3. takstabil jika ia tidak stabil. Dapat dilihat bahwa kestabilan tidak terkait dengan bagian manapun dari sistem
selain dengan matriks A. Oleh karena itu, kestabilan dapat ditentukan
dari spektrum matriks A (Lewis 2004).
Teorema 1 Diberikan sistem memiliki akarciri
= (A,B,C,D) dengan A matriks berukuran n n yang 1
,
2
,...,
n
. Pernyatataan-pernyataan berikut berlaku:
1. Sistem
stabil jika dan hanya jika Re
2. Sistem
stabil asimtotik jika dan hanya jika Re
0 untuk semua i = 1,2....,n
i
i
0 untuk semua
i = 1,2,…, n. 3. Sistem i=
takstabil jika dan hanya jika Re
i
0 untuk suatu
1,2,...,n (Lewis 2004).
Bukti: lihat Lampiran 3.
Teorema 2 Diberikan sistem P(s) yang memiliki pole p1 , p2 ,..., pn Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: 1. Sistem P(s) stabil jika dan hanya jika Re p i 0 untuk semua i = 1,...,n. 2. Sistem P(s) stabil asimtotik jika dan hanya jika Re pi < 0 untuk semua i = 1,...,n 3. Sistem P(s) takstabil jika dan hanya jika Re pi > 0 untuk suatu i = 1,..., n (Lewis 2004)
10 Bukti: lihat Lampiran 4.
2.8 Sistem Umpanbalik Istilah umpanbalik digunakan untuk menjelaskan sebuah situasi di mana dua atau lebih sistem dinamik saling terhubung sedemikian sehingga setiap sistem mempengaruhi sistem lainnya. Umpanbalik memiliki banyak sifat menarik. Salah satunya adalah mampu membuat sistem taksensitif terhadap usikan dari luar.
Gambar 3: Sistem pengendalian dengan umpanbalik.
Sistem umpanbalik paling sederhana melibatkan tiga komponen, yaitu plant atau sistem P yang akan dikendalikan, controller atau pengendali K yang harus didesain sehingga menghasilkan input kendali tertentu, dan sensor F yang mencatat output sistem sebagai umpanbalik. Pada Gambar 3, r merupakan fungsi referensi bagi peubah yang akan dikendalikan, e merupakan galat (error) antara input referensi dan output sistem, yaitu e
r Fy , dan d merupakan usikan yang
bersifat eksogen. Masalah utama dalam sistem umpanbalik adalah mendesain pengendali K sedemikian sehingga sistem menjadi stabil. Bentuk paling sederhana bagi umpanbalik u adalah
u
Kx ,
(2.15)
yaitu u merupakan kombinasi linear dari peubah keadaan x. Dengan menyubstitusikan (2.15) ke (2.3) diperoleh x
( A BK ) x . Dengan demikian K
dipilih sehingga A BK memiliki akarciri seperti yang diinginkan. Masalah ini dikenal sebagai pole placement. Jika state x tidak tersedia maka dipilih umpanbalik u sebagai kombinasi linear dari output y, yaitu
u
Ky ,
sehingga diperoleh x
(2.16)
( A BK ( I
DK ) 1 C ) x
(2.17)
11 2.9 Masalah Tracking Error Perhatikan sistem umpanbalik seperti pada Gambar 4 di mana ditetapkan d(t) = 0, F(s) = 1, dan r merupakan fungsi tangga satuan (step function), yaitu : r (t )
1, t
0
0, t
0.
(2.18)
Gambar 4: Sistem pengendalian dengan umpanbalik pada masalah tracking error.
Masalah tracking error bertujuan untuk mendesain pengendali K yang menstabilkan sistem dan sekaligus meminimumkan tracking error, yaitu:
J:
0
e(t ) 2 dt
0
[r (t ) y (t )] 2 dt
(2.19)
Dalam karya ilmiah ini, yang menjadi pokok perhatian bukanlah pada pendesainan pengendali optimal K * melainkan pada ekspresi analitik pada J , yaitu J
inf J . Ekspresi analitik dari J diberikan di (Chen et al. 2003). K
