BAB II LANDASAN TEORI 2.1
Pengertian Distribusi Eksponensial Distribusi eksponensial adalah distribusi yang paling penting dan paling
sederhana, kegagalan mesin penghitung otomatis dan kegagalan komponen kumpulan radar, yang mana data kegagalan akan baik di gambarkan dengan distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial secara terus menerus telah memegang peranan dalam kajian waktu hidup yang disamakan dengan distribusi normal pada kajian statistik lainnya. Distribusi eksponen memiliki fungsi densitas sebagai berikut: ( )=
1
dengan nilai ekspektasi dan varians secara berurutan, ekspektasi ( )=
Variansi
Pembuktian fungsi densitas sama dengan 1 ∫
~
( )
=1
= ∫
~
=
∫ ℯ
= ∫ = ∫
~
~
~
⟧~
= −
= −
=−
~
~
− (−
= 0 − (−1) =1
)
( )=
dan
Selanjutnya, akan dicari fungsi kumulatifnya: ( ) = ∫
( )
= ∫
= ∫ ℯ = [−ℯ
=
]
−ℯ
= −ℯ
– (−ℯ
= −ℯ
)
– (−1)
= 1 −
Pembuktian ekspektasi dan variansi pada distribusi eksponen: ( )=∫ =∫
~
~
= ∫
( ) ~
=
~
= =
=−
=0+ ( )=∫ =∫
~
~
~
+∫ ~
0−
=−
+∫
~
~ ~
− −
(1) = ( )
II-2
= = =
(
~
)
~
=
(
)
(
)
=
0+
=
~
−
0+
=
+
+
~
∫
+
(~)
(−1)
2
~
~
(−1)
2
+
−
0 + (1)
=
−
~
(−1)
1
=
~
(−1)
1
(
)
(
)
~ ~
~
−
+ ∫ +
~
~
−
(−1)
~
( )
+
=
maka:
( ) = ( ) − [ ( )] = = 2.2
− −
=
Fungsi Maksimum Likelihood Mood, Graybill and Boes (1986:278) menyatakan bahwa Fungsi likelihood
dari
variabel random( ,
bersama , …,
,
( ,
,…,
dari
,…,
,…,
variabel
),
yang
) didefinisikan sebagai fungsi kepadatan
random.
Fungsi
mempertimbangkan
kepadatan
fungsi
dari
bersama .
Jika
adalah sampel random dari fungsi kepadatan ( ; ). Maka fungsi
likelihoodnya adalah (
; ) (
; )… (
; ).
II-3
Fungsi ( ,
likelihood
Contoh 2.1: ,
,…,
fungsi
dari
,
dapat
dinotasikan
adalah random sampel dari distribusi
~ ( , ).
: ) atau ( ,
,…,
Jika
sebagai
)
,…,
Memiliki bentuk Fungsi likelihood seperti: ( ,
,…,
: ) = ( ; ) ( ; )… (
; )
Karena sampel acak berdistribusi normal, maka fungsi ( ; )= √ Dengan bentuk fungsi likelihood: ( ,
,…,
: ) = ( ; ) ( ; )… ( =√
=∏ =∏ =
+
√
( (
..... √
√
∑
√
= =
√
; )
∑
)
∑
)
Sehingga fungsi likelihood dapat ditulis sebagai berikut:
( ,
,…,
: )=
(2
1
)
∑
II-4
2.3
Estimasi Parameter Maksimum Likelihood Estimasi Maksimum Likelihood (EML) adalah suatu metode yang
memaksimumkan fungsi likelihood. Prinsip estimasi maksimum likelihood adalah memilih
sebagai estimator titik untuk
yang memaksimumkan ( ; ). Metode
EML dapat digunakan jika fungsi kepadatan peluang (FKP) atau distribusi dari variabel acak diketahui. Misalkan FKP
,
,…,
adalah sampel acak dari suatu distribusi dengan
( ; ), kemudian dibentuk FKP bersama
ditentukan fungsi likelihood dari
yaitu ( ; ).
,
,…,
, setelah itu
Lee & Wang (2003) meyatakan bahwa metode estimasi maksimum likelihood membuat fungsi likelihood ( ; ) menjadi maksimum dan digunakan
fungsi logaritma. Sehingga fungsi logaritma likelihood dinotasikan dengan ln ( ; ) = ( ; ), dimana ( ; ) ≥ ( ; ). Dengan menggunakan logaritma
( ; ), maka estimator likelihood diperoleh dari turunan fungsi likelihood
terhadap parameternya, yaitu
( ; )
= 0.
Contoh 2.2 : Diketahui fungsi likelihood sebagai berikut :
( ; )= dari fungsi tersebut, tentukanlah estimator dari . Penyelesaian : Untuk menentukan estimator dari , maka kita harus menjadikan fungsi likelihood tersebut menjadi logaritma likelihood atau ln ( ; ) = ( ; ), yaitu : ( ; ) = ln
= ln = ln
∏
+ ln(∏ + ln
+ ln
)
+ ⋯ + ln
II-5
=
= karena , ( ; )
sehingga , +∑
=
ln +
− 1 ln
+
ln + ( − 1) ∑ ln + ∑
ln
− 1 ln
−∑
ln
+ ⋯+
− 1 ln
ln
=0
ln
=0
= −∑
ln
=∑
maka estimator maksimum likelihood untuk pembuktian untuk distribusi eksponen:
= , dimana
=∑
jika diketahui fungsi densitas distribusi eksponen: ( )=
1
sehingga, ( , ,…,
)= ( ) = =
1
1
( ) …
∑
1
− ∑
= log
= log(1) − log( ) −
= 0 − log( ) − =
−
+
1
1
…
1
1
=0
II-6
1
∑
=
2.4
=
=
∑
Rantai Markov
2.4.1 Pengertian Rantai Markov Isaacson and Madson (1976) menyatakan bahwa Rantai Markov adalah suatu teknik yang digunakan dalam menganalisis perilaku saat ini dari beberapa variabel dengan tujuan untuk memprediksi perilaku dari variabel yang sama pada masa mendatang. Rantai Markov (Markov Chains) adalah suatu teknik matematika yang biasa digunakan untuk melakukan pembuatan model (modelling) bermacammacam sistem dan proses bisnis (Subagyo, Asri, dan Handoko (1984,p243)). Teknik ini dapat digunakan untuk meramalkan perubahan-perubahan di waktu yang akan datang pada variabel-variabel dinamis berdasarkan hasil pengamatan pada variabel-variabel tersebut di masa yang lalu. Model rantai Markov dikembangkan oleh seorang ahli Rusia bernama A.A.Markov, pada tahun 1906. Penerapan rantai Markov mula-mula adalah pada ilmu- ilmu pengetahuan fisik dan meteorologi. Teknik ini mula-mula digunakan untuk menganalisis dan memperkirakan perilaku partikel-partikel gas dalam suatu wadah (container) tertutup serta meramal keadaan cuaca. Sebagai suatu peralatan riset operasi dalam pengambilan keputusan manajerial, rantai Markov telah banyak diterapkan untuk menganalisis perpindahan merek (brand switching) dalam pemasaran, perhitungan rekening-rekening, jasa-jasa penyewaan mobil, perencanaan penjualan, masalahmasalah persediaan, pemeliharaan mesin, antrian, perubahan harga pasar saham, administrasi rumah sakit, dan sebagainya. Konsep dasar rantai Markov diperkenalkan pada tahun 1907 oleh seorang ahli matematika dari Rusia yang bernama Andrei A. Markov (1856-1922). Markov membuat asumsi bahwa sistem dimulai pada kondisi awal. Misalkan, terdapat dua buah perusahaan yang bersaing dengan masing-masing pangsa pasar
II-7
awal sebesar 40% dan 60%. Mungkin saja pada masa mendatang pangsa pasar kedua perusahaan tersebut mengalami perubahan menjadi 45% dan 55%. Dalam memprediksi state tersebut, dibutuhkan pemahaman akan kecenderungan perubahan nilai probabilitas tersebut dari perubahan satu state ke state berikutnya. Kemungkinan perubahan dari satu state ke state yang lainnya dalam proses Markov disebut kemungkinan transisi, kemudian dari perubahan tersebut dapat ditampilkan dalam bentuk matriks kemungkinan transisi. Matriks kemungkinan transisi ini menunjukan kecenderungan bahwa suatu sistem akan berubah dalam satu periode ke periode berikutnya. 2.4.2 Matriks Probabilitas Transisi Rantai Markov Diskrit Rantai Markov diskrit adalah sebuah proses Markov yang ruang statenya adalah bilangan yang dapat dihitung, bilangan indeksnya
= 0, 1, 2, . ..dan ruang
state dari rantai Markov dinyatakan dengan bilangan bulat tak negatif {0,1, = menyatakan
2,3,4,5 ...}, dan
berada pada state i. (Howard. M, 1984).
Dalam bentuk formal,sifat Markov dinyatakan sebagai berikut: [
= |
=
,…,
=
,
= ]= [
= |
= ].
Berdasarkan sifat markov tersebut dapat diartikan serupa dengan keadaan probabilitas bersyarat dari kejadian yang akan datang bila diketahui kejadian yang sebelumnya. Probabilitas bersyarat
[
transisi apabila untuk setiap dan , dengan: [
Untuk semua
= |
= ]= [
= 0,1,2,3, . . . ,
stasioner dan diberi tanda dengan
= |
= |
= ] disebut probabilitas
= ].
maka probabilitas transisi satu langkah disebut .
.
Probabilitas bersyarat diberi notasi
( )
disebut probabilitas transisi
langkah, yang disebut juga dengan probabilitas bersyarat, yang dimulai pada tingkat keadaan
dan menjadi tingkat keadaan
setelah
langkah. Karena
( )
adalah peluang bersyarat maka harus memenuhi kondisi:
II-8
1. 0 ≤
≤ 1 untuk semua dan .
2.
= 1.
Jika sebuah rantai markov memiliki
keadaan yang mungkin, yang kita
sebut 1,2,3, … , , maka probabilitas sistem itu adalah dalam keadaan kemudian sistem bergerak pada keadaan ditandai dengan
pada pengamatan berikutnya, yang
dan sistem disebut dengan kemungkinan peralihan (transition
probability) dari keadaan
=[
ke keadaan . Matriks
transisi dari Rantai Markov (Howard Anton, 1988). ⎡ ] = ⎢⎢ ⎢ ⋮ ⎣
=[
yang
⋮
⋮
⋯ … ⋱ ⋯
adalah jumlah keadaan dalam proses dan
] disebut matriks
⎤ ⎥ ⋮ ⎥⎥ ⎦
adalah kemungkinan transisi dari
keadaan saat ke keadaan . Jika saat ini berada pada keadaan maka baris dari matriks di atas berisi angka-angka
,
,...,
merupakan kemungkinan
berubah ke keadaan berikutnya. Oleh karena angka tersebut melambangkan kemungkinan, maka semuanya merupakan bilangan non negatif dan tidak lebih dari satu dan jumlah dari
= 1, secara matematis adalah:
=1 pada setiap langkah sistem bergerak dari keadaannya (state) dindalam keadaannya yang sama atau keadaan yang lain. ( | ) adalah besarnya probabilitas pada keadaan
dengan syarat keadaan sebelumnya adalah
=
+
.
+ ⋯+ II-9
= [
+ [
= [ ( = [ = 1.
= 1|
= |
|
= ]+ [
= 1) ∪ (
= ]
= ]
= ]+⋯
= 2|
= 2) ∪ … ∪ (
= )|
= ]
Dalam skripsi ini yang pertama sekali dilakukan adalah pemberian simbol untuk data tidak hujan dengan 0 dan untuk data hujan dengan 1. Adapun orde 3 dapat diartikan bahwa peristiwa hujan dan tidak hujan pada hari ini akan dipengaruhi oleh sederetan peristiwa hujan dan tidak hujan 3 hari berikutnya. Sederetan peristiwa tersebut dapat dilihat pada tabel berikut : Tabel 2.1 Simbol untuk Rantai Markov orde 3 Simbol 0000 0001
0010
0011
0100
0101
0110
Keterangan Hari ini tidak hujan, dan 3 hari berikutnya juga tidak hujan Hari ini tidak hujan, 2 hari berikutnya tidak hujan, dan 1 hari berikutnya hujan Hari ini tidak hujan , 1 hari berikutnya tidak hujan, 1 hari berikutnya hujan, dan 1 hari berikutnya tidak hujan Hari ini tidak hujan, 1 hari berikutnya tidak hujan, dan 2 hari berikutnya hujan Hari ini tidak hujan, 1 hari berikutnya hujan, dan 2 hari berikutnya tidak hujan Hari ini tidak hujan, 1 hari berikutnya hujan, 1 hari berikutnya tidak hujan, dan 1 hari berikutnya hujan. Hari tidak hujan, 2 hari berikutnya hujan dan 1 hari berikutnya tidak hujan
0111
Hari ini tidak hujan dan 3 hari berikutnya tidak hujan
1000
Hari ini hujan dan 3 hari berikutnya hujan
1001
Hari ini hujan, 2 hari berikutnya tidak hujan dan 1 hari
II-10
berikutnya tidak hujan 1010
1011
1100
1101
1110 1111 2.5
Hari ini hujan, 1 hari berikutnya tidak hujan, 1 hari berikutnya hujan dan 1 hari berikutnya tidak hujan Hari ini hujan, 1 hari berikutnya tidak hujan dan 2 hari berikutnya hujan Hari ini hujan, 1 hari berikutnya hujan dan 2 hari berikutnya tidak hujan Hari ini hujan, 1 hari berikutnya hujan,1 hari berikutnya tidak hujan dan 1 hari berikutnya hujan Hari ini hujan, 2 hari berikutnya hujan dan 1 hari berikutnya tidak hujan Hari ini hujan dan 3 hari berikutnya hujan
Uji Kebaikan Data simulasi yang telah dihasilkan dilakukan pengujian untuk
menentukan apakah data simulasi tersebut dapat digunakan untuk berbagai keperluan. Pengujian data tersebut dilakukan dengan membandingkan rata-rata statistik yang dihasilkan oleh data simulasi maupun data sebenarnya, hasil simulasi dikatakan baik apabila rata-rata yang dibandingkan tersebut tidak jauh berbeda atau hampir sama, atau selisih rata-rata dari data simulasi mendekati nol. Adapun rumus yang dapat digunakan untuk mencari uji kebaikan adalah: =
̅
− ̅
II-11
II-12
