BAB II LANDASAN TEORI Pada bab II ini dibahas teori-teori pendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu tentang Persamaan Nonlinier, Metode Newton, Aturan Trapesium, Rata-rata Aritmatik dan Rata-rata Harmonik, Interpolasi Linier, Modifikasi Metode Newton, Logika Fuzzy, Himpunan Fuzzy, Bilangan Fuzzy dan Pesamaan Fuzzy Nonlinier. 2.1
Persamaan Nonlinier
Definisi 2.1 (Dugopolski): Persamaan nonlinier adalah suatu persamaan yang mempunyai grafik bukan berupa garis lurus (Tanjung, 2012:8). Pencarian akar persamaan nonlinier
( ) = 0 sering dijumpai dalam
aplikasi matematika. Biasanya tidak bisa dipecahkan secara analitik, sehingga diperlukan
metode
numerik
untuk
menyelesaikan
persamaan
tersebut.
Penyelesaian numerik umumnya melibatkan metode iterasi, perhitungan berulang dari data numerik yang ada. 2.2
Metode Newton Metode newton merupakan metode yang sering digunakan untuk mencari
akar-akar dari persamaan nonlinear. Metode newton memiliki kekonvergenan orde dua. Banyak peneliti yang tertarik pada metode ini karena konvergensinya paling cepat diantara metode-metode yang lain. Misalkan sehingga grafik
akar dari persamaan
( ) = 0, dengan
terdifferensialkan
= ( ) mempunyai garis singgung pada tiap titik. Kita mulai
dengan nilai hampiran pertama
, yang diperoleh dengan cara menerka. Sebuah
garis singgung dapat ditarik dari titik ( , ( )), nyatakan garis tersebut dengan dan lihatlah garis
berpotongan dengan sumbu , yang dinyatakan dengan
didapatkan lebih mendekati hampiran kedua dari
dari pada
, titik
ini bertindak sebagai nilai
. Kemudian proses diulangi dengan garis
di titik
( , ( )), perpotongan garis
dengan sumbu
dinyatakan dengan garis
.
Selanjutnya proses ini dapat diulangi sampai tingkat ketepatan yang diinginkan. Untuk memperoleh garis garis
dari garis
di titik ( , ( )) yang mempunyai kemiringan
memiliki persamaan garis singgung di
Atau
, dapat digunakan garis singgung
( )=
( )−0 −
=
−
=
adalah
’( ), sehingga
( ) ( )
Agar lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:
( )
( , ( ))
Gambar 2.1 Grafik Garis Singgung
dan
Dengan cara yang sama sampai ke- yang dikehendaki dengan
adalah banyak
iterasi sehingga diperoleh persamaan umum Metode Newton yaitu: =
−
( ) ( ) II-2
2.3
Aturan Trapesium Aturan trapesium merupakan salah satu bentuk dari integrasi numerik yang
menggunakan luas trapesium untuk mendekati luas daerah di bawah kurva. Sebagai contoh ambil sebuah daerah yang dibatasi oleh fungsi interval [ , ] sebagaimana ditunjukkan pada gambar dibawah ini:
( ) dan
= ( )
Gambar 2.2 Grafik ( ) dengan 1 Partisi Maka luas daerah dibawah kurva ( ) dapat dihampiri dengan aturan trapesium sebagai berikut:
( ) Misalkan
=
,
≈ =
( )
− 2
( )+ ( )
(2.1)
, maka persamaan (2.1) dapat ditulis ≈
− 2
(
)+ (
)
(2.2)
Persamaan (2.2) merupakan persamaan umum aturan trapesium untuk satu partisi.
II-3
2.4
Teorema Dasar Kalkulus
Teorema Dasar Kalkulus Untuk Integral (Edwin J. Purcell): Jika pada interval [ , ], Dan andaikan
kontinu
sebarang antiturunan dari , yakni suatu
fungsi sedemikian sehingga ’ = . Maka ( )
= ( )− ( )
Bukti (Edwin J. Purcell): Misalkan :
adalah partisi sebarang dari [ , ]. Maka, ( )− ( )= (
=
)− (
< )+ (
+ ( )− ( ) [ ( )− (
=
Menurut Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan ( )− ( )
Jika diterapkan
<⋯< )− (
<
=
)+⋯
)]
= ’( )( − )
pada selang [
( )− ( Untuk suatu pilihan
<
, ], maka diperoleh
) = ′( ̅ )(
= ( ̅ )∆
−
dalam selang terbuka [ ,
( )− ( )=
( ̅ )∆
)
]. Jadi (2.3)
Pada ruas kiri kita mempunyai sebuah konstanta; pada ruas kanan kita mempunyai jumlah Riemann untuk
pada [ , ]. Bilamana kedua ruas persamaan (2.3)
diambil limitnya untuk | | → 0, kita peroleh ( ) − ( ) = lim | |→
=∫
( )
( ̅ )∆
∎
II-4
2.5
Rata-rata Aritmatik dan Rata-rata Harmonik Dalam Rata-rata ada beberapa macam diantaranya adalah rata-rata
aritmatik dan rata-rata harmonik yang akan kita gunakan dalam modifikasi metode Newton. Rumus umum rata-rata aritmatik adalah: ̅=
1
maka, +
̅=
+
+⋯+
Rata-rata aritmatik untuk dua variabel yang setara
dan
dapat ditulis :
dan
dapat ditulis:
+ 2
=
dan rumus umum rata-rata harmonik adalah :
1
̅= maka,
̅= ̅=
1
∑ 1
+
1
+
1
+⋯+
1
Rata-rata harmonik untuk dua variabel yang setara
II-5
=
1
=
2
+
2 +
=2× =
2.6
2
+
1
+
Interpolasi Linier Bentuk paling sederhana dari interpolasi adalah menghubungkan dua buah
titik data dengan garis lurus. Metode ini disebut dengan interpolasi linier yang dapat dijelaskan dengan Gambar di bawah ini:
( ,
( )
)
( ,
Gambar 2.3 Interpolasi Linier
) ( )
=
( )
Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk : ( )= Koefisien
dan
+
( )
dicari dengan proses mensubstitusikan ( ,
ke dalam persamaan (2.4) diperoleh dua persamaan linier,
(2.4) ) dan ( ,
)
II-6
=
+
=
+
Dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut diperoleh: − = −
(2.5)
− −
=
(2.6)
Substitusikan persamaan (2.5) dan (2.6) ke dalam persamaan (2.4), maka diperoleh − −
( )= = = =
( +
−
−
(
+
+
)+
− −
)
− −
− −
( − −
( −
( )
+
)−
−
( −
)
)
(2.7)
Bentuk persamaan (2.7) dapat di ubah menjadi, ( )= = =
−
(
−
( − ( −
)− −
( − ) + ( − )
) + )
( −
( − ( −
( − ( −
)
+
) )
) )
( − ) ( − ) (2.8)
Persamaan (2.8) adalah bentuk umum dari persamaan interpolasi linier. 2.7
Modifikasi Metode Newton Pandang kembali bentuk modifikasi metode newton dari weerakon,
kemudian definisikan dalam bentuk
II-7
Dengan
2 ( ) ( )+ ( )
=
−
=
−
=
−
=
−
( ) 2
=
−
( ) ( )
( ) ( )
Kemudian, kita ubah menjadi metode newton rata-rata aritmatik yaitu: (
( ) ) + ( )/2
Dari bentuk aritmatik tersebut kita modifikasi dengan rata-rata harmonik sehingga menjadi, 1 + ( )
1 ( )
(2.9)
dengan
(2.10)
definisikan kembali metode Newton dengan bentuk = dengan
( ) ( )
−
(2.11)
didefinisikan oleh persamaan (2.9). Selanjutnya gunakan interpolasi
linier dengan dua titik ( )= dengan mengambil ( )=
− − =
,
(
) dan ( ,
( )+
− −
( )), diperoleh (
)
pada persamaan (2.12) diperoleh − − ( )+ ( ) − −
(2.12)
(2.13)
Substitusikan persamaan (2.9) dan (2.10) ke persamaan (4.4)
II-8
( )=
−
( )=
−
( )= + −
+
(
1 + ( )
( ) − 2
)
)
(
)
)
)
(
)
(
−
( )= −
−
)
−
2 ( ) ( ) − + ( )
( ) ( ) − 2 ( ) 2 ( ) ( ) − ( ) −
1 + ( )
2 (
+ −
)
(
)
2 (
−
)
)
(
)
2 ( ) −
(
1 ( )
( ) ( )
(
)
−
( ) ( )
(
)
(
)
( ) +
( ) ( )
(
)
( )
( ) ( ) ( ) − + ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) (
−
( )
) − ) 2 ( ) ( ) − − ( )
−
( )
−
(
−
2 ( ) ( ) − ( )
2 (
)
−
1 ( )
( ) − − ) 2 ( ) ( ) − − ( )
2 (
2 (
1 ( )
( ) − − ( )
(
(
−
−
2 (
−
+
1 + ( )
( ) 2
−
+
( )=
( ) 2
−
)
2 ( )
−
+
( ) ( ) ( ) ( )
(
) ( )
′( ) ( )
II-9
( )= − +
(
2 ( (
2 (
( ) ( )= 2 ( ) +
( )=
( )= ( )= ( )=
)
) (
+
)
(
− )
(
(
)
2 ( ) (
)
2 ( )
)
(
)
(
)
)
)
−
+
( ) ( )
−
( ) + ) 2 ( )
( ) ( 2 ( ) (
) ( 2 ( )
(
)
−
(
′( ) ( )
(
)
(
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ) ( 2 ( )
)
(
(
) ′( ) ( ) ( ) − 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
( ) ′( ) + + 2 2
)
( )
)
(
( )
)
)
(
)
( ) ′( ) − 2 2 ( )
( ) ( ) ′( ) ′( ) + + − 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ′( ) ( ) + − 2 2 2 ( )
(2.14)
dengan menyamakan penyebut dari persamaan (2.14) diperoleh ( )= ( )=
( ) +2 ( ) ( )− 2 ( ) 2 (
) ( )− ( ) + 2 ( )
(
)
( ) (2.15)
Substitusikan persamaan (2.15) ke persamaan (2.13) =
−
2 (
( ) ) ( )− ( ) + 2 ( )
( )
II-10
=
− ( )
=
−
[2 (
2 (
2 ( ) ) ( )− ( ) +
( )[2 ( )] ) ( )− ( ) +
( )
( ) ]
dari persamaan di atas dapat ditulis bentuk modifikasi metode newton baru yaitu =
=
=
2.8
−
−
−
( ) ( )
( ) 2
[2 (
1 + ( )
1 ( )
( )[2 ( )] ) ( )− ( ) +
( ) ]
Logika Fuzzy Logika fuzzy pertama kali dicetuskan oleh L.A. Zadeh pada tahun 1965.
Pada awalnya logika fuzzy tidak diterima di Negara Amerika akan tetapi di Negara Eropa dan Jepang logika fuzzy sangat diminati. Dari situ logika fuzzy berkembang dan diaplikasikan ke berbagai bidang. Logika fuzzy sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari, banyak peristiwa yang terdapat dalam kehidupan yang tidak bisa dipecahkan dengan tegas (crips), misalnya bersifat keambiguan (ambigunity),
keacakan
(randomness),
ketidakjelasan,
ketidaktepatan
(imprecision), dan kekaburan semantik (Sakinah, 2012:19). Operasi logika fuzzy hampir sama dengan logika konvensional, operasi yang digunakan pada logika fuzzy dan logika konvensional yaitu konjungsi, disjungsi, implikasi dan ekivalensi. Perbedaanya apabila logika konvensional solusi dari permasalahan menggunakan B (benar) atau S (salah), sedangkan logika fuzzy menggunakan maksimum dan minimum. Dasar logika fuzzy adalah teori himpunan fuzzy. Pada teori himpunan fuzzy, peranan derajat keanggotaan sebagai penentu keberadaan elemen dalam suatu himpunan sangatlah penting. Nilai keanggotaan atau derajat keanggotaan atau membership function menjadi ciri utama dari penalaran dengan logika fuzzy II-11
tersebut. Dalam banyak hal, logika fuzzy sebagai suatu cara untuk memetakan permasalahan dari input menuju ke output yang diharapkan (Kusumadewi, 2010). 2.9
Himpunan Fuzzy Teori himpunan fuzzy diperkenalkan oleh lotfi A. Zadeh pada tahun 1965.
Zadeh memberikan definisi tentang himpunan fuzzy yaitu: Definisi 2.2 (Zadeh, 1965): Sebuah himpunan fuzzy dari fungsi keanggotaan
di
adalah karakteristik
( ) yang berasosiasi dengan beberapa titik di x yang
merupakan anggota dari bilangan riil pada interval [0,1], dengan nilai keanggotaan
di
(Tanjung, 2012:25).
Definisi 2.3 (Zimmermann, 1991): Jika
adalah koleksi dari objek-objek yang
dinotasikan secara genetik oleh , maka suatu himpunan fuzzy , dalam
adalah
suatu himpunan pasangan berurutan (Kusuma dewi, 2010):
Dengan
=
,
( )
∈
( ) adalah derajat keanggotaan
di
yang memetakan ke ruang
keanggotaan M yang terletak pada rentang [0,1]. Definisi yang menjelaskan tentang fungsi keanggotaan adalah sebagai berikut: Definisi 2.4 (Kusuma dewi, 2010): Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik input data kedalam nilai keanggotaannya. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai keanggotaan adalah dengan melalui pendekatan fungsi. Ada beberapa fungsi yang dapat digunakan untuk memperoleh nilai keanggotaan, yaitu: Reprentasi Linier, Representasi Kurva Segitiga dan Representasi Kurva Trapesium. 2.10 Bilangan Fuzzy Bilangan fuzzy yang selalu digunakan adalah aplikasi bilangan fuzzy segitiga dan bilangan fuzzy trapesium. Berikut diberikan definisi tentang bilangan fuzzy.
II-12
Definisi 2.5 (Javad Shokri, 2008): Sebuah bilangan fuzzy terdiri dari : ℝ → = [0,1] yang memenuhi, 1.
atas semi kontinu,
2.
( ) = 0 di luar beberapa interval [ , ],
3. ada bilangan real , sedemikian rupa sehingga 3.1 ( ) adalah monoton naik pada [ , ],
≤
≤
≤
dan
3.2 ( ) adalah monoton turun pada [ , ], 3.3 ( ) = 1,
≤
≤ .
Menurut Susilo (2006) Bilangan fuzzy yang paling banyak dipakai dalam aplikasi adalah bilangan fuzzy dengan fungsi keanggotaan segitiga, yang disebut bilangan fuzzy segitiga, dan bilangan fuzzy dengan fungsi keanggotaan trapesium yang disebut bilangan fuzzy trapesium. Kedua jenis bilangan fuzzy tersebut memenuhi sifat bilangan fuzzy (Tanjung, 2012:32). Dalam bilangan fuzzy dikenal juga istilah bilangan fuzzy segitiga yang didefinisikan sebagai berikut: Definisi 2.6 (Wang dkk, 2010): Bilangan fuzzy segitiga adalah bilangan fuzzy dengan fungsi keanggotaan representasi segitiga. Bilangan fuzzy segitiga didefinisikan dengan vektor ( , , ). Ada bilangan cirsp riil suatu bilangan fuzzy segitiga khusus dengan angka
=
=
dapat dikatakan
(Tanjung, 2012:32).
Bilangan fuzzy mempunyai bentuk parametrik yang lebih lanjut akan diberikan definisi sebagai berikut: Definisi 2.7 (Javad Shokri, 2008): Sebuah bilangan fuzzy dalam bentuk parametrik adalah sepasang
,
memenuhi syarat sebagai berikut :
dari fungsi ( ) = ( ) = , 0 ≤
≤ 1, yang
1. Fungsi ( ) adalah monoton naik, terbatas dan kontinu kiri,
2. Fungsi ( ) adalah monoton turun, terbatas dan kontinu kiri, 3. Fungsi ( ) ≤ ( ), 0 ≤
≤ 1.
II-13
Sebuah bilangan tegas
diwakili oleh
( )= ( )= , 0≤
fuzzy yang terkenal adalah bilangan fuzzy segitiga keanggotaan ( )= Dimana
≠ , ≠ ( )=
− , − − , −
≤
≤
dan karenanya
≤ 1. Bilangan
= ( , , ), dengan fungsi
≤
≤ ,
+( − )
(2.16)
( )= +( − )
(2.17)
2.11 Persamaan Fuzzy
Bentuk persamaan fuzzy nonlinier sama dengan persamaan nonlinier biasa, perbedaannya terletak pada koefisien persamaan fuzzy nonlinier merupakan bentuk parameter yang berada pada interval tertentu. Untuk lebih jelasnya diberikan definisi persamaan fuzzy di bawah ini. Definisi 2.8 (Klir dan Yuan, 1995): Persamaan fuzzy adalah kombinasi dari bilangan fuzzy dan operasi aritmetika (Tanjung, 2012:39). Contoh 2.1 : Diberikan persamaan fuzzy nonlinier berikut: (3,4,5)
+ (1,2,3) = (1,2,3)
Untuk menyelesaikan persamaan di atas maka persamaan tersebut di ubah ke dalam bentuk parameter berdasarkan persamaan (2.15) dan (2.16) yaitu menjadi: (3 + ) (5 − )
( ) + (1 + ) ( ) = (1 + )
( ) + (3 − ) ( ) = (3 − )
Untuk mendapatkan akar persamaan di atas maka diambil nilai sehingga didapat. 3
5
(0) + (0) − 1 = 0 (0) + 3 (0) − 3 = 0
dan
4
4
= 0 dan
=1
(1) + 2 (1) − 2 = 0
(1) + 2 (1) − 2 = 0
II-14
Dari persamaan di atas dengan menggunakan rumus
a.
√
=
Untuk 3 5
4
∙ ∙
maka didapatkan nilai sebagai berikut:
√
∙
∙ ∙
dan
=0
(0) + (0) − 1 = 0
= 0.4342585459 dan (0) + 3 (0) − 3 = 0
= 0.530662386 dan
b. Untuk 4
∙
=
=1
= −0.7675918792 = −0.8810249676
(1) + 2 (1) − 2 = 0
= 0.5 dan
= −1
= 0.5 dan
= −1
(1) + 2 (1) − 2 = 0
Pilih titik-titik yang memenuhi syarat bilangan fuzzy yaitu (0) ≤ (1) ≤ (0). Sehingga dari syarat di atas kita dapatkan solusi dari persamaannya adalah = ( (0), (1), (0)) yaitu
= (0.4342585459; 0.5; 0.530662386)
Grafik untuk solusi dari contoh (2.1) persamaan fuzzy nonlinier kuadrat pada bilangan fuzzy segitiga ini dapat digambarkan sebagai berikut: 1.2 1 0.8 monoton naik
0.6
monoton turun 0.4 0.2 0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Gambar 2.4 Solusi dari Contoh 2.1
II-15
Gambar di atas dapat digambarkan dengan mengubah bentuk solusi = (0.4342585459; 0.5; 0.530662386) ke bentuk parameter yaitu
0.4342585459 + 0.0657414541 dan untuk setiap
∈ [0,1].
( )=
( ) = 0.530662386 − 0.030662386
II-16
