BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, disebut percobaan acak. (Hogg & Craig 1995) Definisi 2.1.1 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan . Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari . (Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi 2.1.2 (Medan-) Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh , yang memenuhi kondisi berikut: 1. 2. Jika A1, A2, … 3. Jika
maka
maka
(Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi 2.1.3 (Ukuran Peluang) Misalkan fungsi
adalah medan- dari ruang contoh . Ukuran peluang adalah suatu pada
1. 2.
yang memenuhi: .
Jika
adalah himpunan yang saling lepas yaitu
untuk setiap pasangan Pasangan
, maka
∑
.
disebut ruang peluang. (Grimmet & Stirzaker 1992)
5
Definisi 2.1.4 (Kejadian Saling Bebas) Misalkan
adalah ruang peluang dan
saling bebas jika
Kejadian A dan B dikatakan
.
Misalkan I adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian saling bebas jika P( i j
dikatakan
Ai ) P( Ai ) untuk setiap himpunan bagian berhingga J i j
dari I. (Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi 2.1.5 (Peluang Bersyarat) Misalkan
sehingga P(A1) > 0. Misalkan pula A2 adalah sebarang
himpunan dalam . Peluang bersyarat dari A2 jika diketahui A1, dinotasikan dengan
, ialah
(Hogg & Craig 1995) 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 2.2.1 (Peubah Acak) Misalkan
adalah medan- dari ruang contoh . Suatu peubah acak X adalah
suatu fungsi
dengan sifat
untuk setiap
.
(Grimmet & Stirzaker 1992) Catatan: Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar seperti X, Y, Z, sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Definisi 2.2.2 (Fungsi Sebaran) Misalkan
adalah ruang peluang. Fungsi sebaran dari peubah acak X
adalah suatu fungsi
yang didefinisikan oleh .
(Grimmet & Stirzaker 1992)
6
Definisi 2.2.3 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari
. (Grimmet & Stirzaker 1992)
Catatan: Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung jika C terdiri atas himpunan bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif. Definisi 2.2.4 (Fungsi Massa Peluang) Misalkan
adalah ruang peluang. Fungsi massa peluang dari peubah acak
diskret X adalah fungsi
yang diberikan oleh .
(Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi 2.2.5 (Nilai Harapan) Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang harapan dari X adalah
∑
, maka nilai
asalkan jumlah di atas konvergen
mutlak. (Hogg & Craig 1995) Lemma 2.2.6 (Sifat Nilai Harapan) Beberapa sifat nilai harapan, antara lain: 1) Jika k adalah suatu konstanta, maka E[k] = k. 2) Jika k adalah suatu konstanta dan V adalah peubah acak, maka E[kV] = kE[V]. 3) Jika k1, k2 adalah konstanta dan V1, V2 adalah peubah acak, maka E[k1V1 + k2V2] = k1E[V1] + k2E[V2]. (Bukti lihat Hogg & Craig 1995) Definisi 2.2.7 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak) Fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak X dan Y adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh (Grimmet & Stirzaker 1992)
.
7
Definisi 2.2.8 (Fungsi Gamma) Fungsi gamma,
, didefinisikan sebagai ∫
.
(Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi 2.2.9 (Sebaran Student’s-t) Peubah acak X memiliki sebaran Student’s-t dengan k derajat kebebasan, X ~ tk, jika fungsi kepekatan peluangnya ( √
) ( )
(Kvam & Vidakovic 2007)
Definisi 2.2.10 (Sebaran Normal Baku) Peubah acak X disebut normal baku jika fungsi sebarannya adalah √
, yaitu jika
∫
(Ghahramani 2005) Definisi 2.2.11 (Sebaran Normal) Peubah acak X disebut normal dengan parameter
dan
, jika fungsi
kepekatannya adalah √ (Ghahramani 2005) Definisi 2.2.12 (Peubah Acak yang Dibakukan) Misalkan X sebuah peubah acak dengan nilai harapan Peubah acak
dan simpangan baku .
disebut sebagai X yang dibakukan. (Ghahramani 2005)
Definisi 2.2.13 (Metode Transformasi) Misalkan X peubah kontinu dengan fungsi kepekatan mungkin yaitu A. Untuk fungsi yang invertible
dan himpunan nilai yang , misalkan Y = h(X)
sebagai peubah acak dengan himpunan nilai yang mungkin adalah
8 . Misalkan bahwa inverse dari y = h(x) adalah fungsi x = h-1(y), yang terdiferensialkan untuk semua nilai
. Maka
, fungsi kepekatan Y, yaitu ,
.
(Ghahramani 2005) 2.3 Penduga Definisi 2.3.1 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak bergantung pada parameter (yang tidak diketahui). (Hogg & Craig 1995) Definisi 2.3.2 (Penduga/estimator dan Dugaan/estimate) Misalkan
X2,
X1 ,
…,
Xn
adalah
peubah
acak.
Suatu
statistik
yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g(),
dikatakan sebagai
penduga
(estimator) bagi
g().
Nilai
dari U dengan nilai amatan
amatan disebut
sebagai dugaan (estimate) bagi g(). (Hogg & Craig 1995) 2.4 Proses Stokastik Definisi 2.4.1 (Ruang State) Misalkan
merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang
state. (Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi 2.4.2 (Proses Stokastik) Proses Stokastik
yang terdefinisi pada ruang peluang
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke ruang state S. (Ross 1996) Definisi 2.4.3 (Proses Stokastik dengan Waktu Diskret dan Kontinu) Suatu proses stokastik
disebut proses stokastik dengan waktu diskret
jika himpunan indeks T adalah himpunan terhitung (countable set), sedangkan disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. (Ross 1996)
9
Catatan: Contoh himpunan indeks T pada proses stokastik dengan waktu diskret adalah T = {0, 1, 2, …}, sedangkan contoh himpunan indeks T pada proses stokastik dengan waktu kontinu adalah T = [0,
), atau himpunan bilangan nyata.
Definisi 2.4.4 (Filtrasi) Misalkan jika
adalah barisan submedan- dari untuk semua
,
disebut filtrasi
.
(Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi 2.4.5 (Measurable/Terukur) Misalkan
adalah ruang peluang. Jika fungsi untuk setiap
memiliki sifat
maka X dikatakan terukur-
(Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi 2.4.6 (Adapted) Misalkan
adalah ruang peluang. Barisan peubah acak
dikatakan adapted ke filtrasi
jika
merupakan terukur-
untuk semua t.
disebut proses Martingale jika
untuk
(Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi 2.4.7 (Martingale) Proses Stokastik semua t dan
. (Ross 1996)
Definisi 2.4.8 (Variasi Hingga) Misalkan
merupakan proses CADLAG (kontinu kanan dengan
limit kiri). Variasi A didefinisikan sebagai proses naik V yaitu {∑|
⋀
⋀
|
}
Sebuah proses A disebut memiliki variasi hingga jika proses variasi bersama V hingga (maksudnya, jika untuk setiap t dan , Vt ( ) ). (Bain 2009)
10
Definisi 2.4.9 (Waktu Acak) Misalkan
adalah ruang peluang.
. T disebut waktu acak
jika kejadian {T = t} ditentukan oleh peubah acak X1, …,
dari proses
Xt. Artinya dengan mengetahui X1, …, Xt maka diketahui apakah T = t atau tidak. Jika
, maka waktu acak T disebut sebagai stopping time. (Ross
1996) Definisi 2.4.10 (Lokal Martingale) M {M t ,
t
,0 t } adalah lokal martingale jika dan hanya jika terdapat
barisan stopping time Tn yang menuju tak hingga sedemikian sehingga M Tn merupakan martingale untuk setiap n. (Bain 2009) Definisi 2.4.11 (Semimartingale) Sebuah proses X adalah semimartingale jika X proses adapted CADLAG (kontinu kanan dengan limit kiri) yang memiliki dekomposisi X = X0 + M + A, di mana M lokal martingale, null pada saat nol dan A proses null pada saat nol, dengan jalur variasi hingga. (Bain 2009) Catatan: Null pada saat nol untuk proses stokastik X(t) maksudnya adalah meskipun pada saat t > 0 nilai dari X(t) itu acak, pada saat t = 0 (waktu mulai) diketahui/ditetapkan nilainya adalah nol: X(0) = 0 (atau, secara lebih formal, bahwa P(X(0) = 0) = 1). Contoh khusus ini merupakan proses random walk paling dasar. Definisi 2.4.12 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret) Misalkan
adalah ruang peluang dan S adalah ruang state. Proses
stokastik
dengan ruang state S disebut rantai Markov dengan
waktu diskret jika
berlaku:
untuk semua kemungkinan nilai dari (Grimmet & Stirzaker 1992)
11
Definisi 2.4.13 (Matriks Transisi) Misalkan
adalah rantai Markov dan S adalah ruang state yang
berukuran N. Matriks transisi
berukuran
adalah matriks dari peluang untuk i = 1, 2, …, N.
transisi (Rossi & Gallo 2006) Definisi 2.4.14 (Nilai Harapan Bersyarat) Misalkan
adalah ruang peluang dan
adalah submedan- dari
didefiniskan
X adalah peubah acak tak negatif dan terintegralkan, maka sebagai peubah acak yang terukurberpeluang nol, serta memenuhi:∫
. Jika
dan bersifat tunggal kecuali pada kejadian ∫
.
(Elliot et al. 1995) 2.5 Vektor Definisi 2.5.1 (Ruang Vektor) V disebut ruang vektor, jika untuk setiap vektor
dan sebarang skalar k
dan l dipenuhi aksioma berikut: 1.
Jika
maka
.
2.
u + v = v + u.
3.
u + (v + w) = (u + v) + w.
4.
Ada
5.
Untuk
sehingga 0 + u = u + 0 = u, , ada
.
yang dinamakan negatif u sehingga
u + (–u ) = (– u ) + u = 0. 6.
Jika k adalah sebarang skalar dan
7.
k(u + v) = ku + kv.
8.
(k + l)u = ku + lu.
9.
k(lu) = (kl)u.
, maka
.
10. 1u = u. (Anton 1997) Definisi 2.5.2 (Perkalian Dalam) Jika
dan
, maka hasil kali dalam Euclid
adalah sebarang vektor pada didefinisikan dengan
12
. (Anton 1997) Definisi 2.5.3 (Ruang Hasil Kali Dalam) Sebuah hasil kali dalam pada ruang vektor real V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan real
dengan masing-masing pasangan vektor u
dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua
dan skalar k:
1.
.
2.
. .
3. 4.
dan
jika dan hanya jika v = 0.
Sebuah ruang vektor real dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali dalam real. (Anton 1997) Definisi 2.5.4 (Hadamard Product) Hadamard product, dengan simbol operator
, merupakan perkalian elemen
dengan elemen dari dua buah matriks. Oleh karena itu, jika A B
[
] adalah dua buah matriks yang berukuran [
[
, maka ].
(Schott 1997) Definisi 2.5.5 (Matriks Hessenberg) Matriks
berukuran
disebut matriks Hessenberg atas jika
untuk i > j + 1:
. [
]
Matriks A disebut Hessenberg bawah jika AT Hessenberg atas. (Horn & Johnson 1990)
] dan
13
Definisi 2.5.6 (Matriks Tridiagonal) Matriks
berukuran
disebut matriks tridiagonal jika
, yang merupakan Hessenberg atas dan bawah, , ketika
:
. [ (Horn & Johnson 1990)
]
