BAB II LANDASAN TEORI Landasan teori dalam skripsi ini berisikan tentang teori-teori yang mendukung adalah Orde konvergensi, deret Taylor, metode Newton dan Orde konvergensinya, metode Ostrowski dan Orde konvergensinya, dan interpolasi kuadratik.
2.1 Orde Konvergensi Orde konvergensi merupakan suatu tingkat percepatan dalam penyelesaian f ( x) 0 . Definisi yang menerangkan tentang orde
Persamaan nonlinear
konvergensi adalah sebagai berikut: Definisi 2.1 : (John H Mathews, 1992). Misalkan terdapat sebuah bilangan konstanta
{x n }n 0 adalah barisan yang konvergen
ke , dan diberikan
en x n untuk n 0 . Jika terdapat c 0 dan p 0 sedemikian hingga
x n 1 c x n
p
(2.1)
Jika p 2 atau p 3 maka metode hampiran memiliki orde konvergensi kuadratik atau kubik dan seterusnya. Apabila notasi en x n merupakan notasi untuk nilai tingkat kesalahan pada iterasi ke- n , pada suatu metode yang menghasilkan suatu barisan x n , maka suatu persamaan en 1 cenp O(enp 1 )
(2.2)
disebut sebagai persamaan tingkat kesalahan, sedangkan nilai p pada Persamaan (2.2) menunjukkan orde konvergensinya. Selanjutnya untuk menegaskan tingkat orde konvergensi suatu metode iterasi, bisa diselesaikan menggunakan COC
Definisi 2.2 Computation Orde of Convergence (Weerakoon, 2000). Misalkan
adalah akar untuk fungsi f (x) dan andaikan x n 1 , x n , x n 1 berturut-turut adalah iterasi yang dekat dengan , sehingga COC (Computation Orde of Convergence) dapat dihampiri menggunakan rumus :
ln ( x n 1 ) /( x n ) ln ( x n ) /( x n 1 )
atau
ln en 1 / en ln en / en 1
Berikut ini merupakan beberapa contoh dalam menentukan nilai COC: Contoh 2.1: Diberikan fungsi f ( x) x 3 3 x 2 , dengan menggunakan metode Newton. Tentukan iterasi untuk menghampiri akar tunggalnya, dengan mengambil 2 dan konvergensinya, dengan nilai awal x0 2,4 dengan toleransi kesalahan e 10 14
Penyelesaian: diketahui: f ( x) x 3 3 x 2 2
x0 2,4 Ditanya : Iterasi dan konvergensi dengan menggunakan metode Newton Jawab :
Untuk iterasi awal x0 2,4
en x n 2,4000000000000 (2) 0,4000000000000 Mencari COC rumusnya adalah
ln en 1 / en
ln e2 / e1
ln 0,0035960106756567 / 0,0761904761904764
ln en / en 1
ln e1 / e0
ln 0,0761904761904764 / 0,04000000000000
1,84136997088
II-2
Jadi hasil COC untuk iterasi pertama adalah 1,84136997088. Begitu pula untuk mencari iterasi selanjutnya. Tabel 2.1 Konvergensi Kuadratik Metode Newton pada Akar Tunggal
K
xn
en x n
COC
0
-2,4000000000000000
0,400000000000000
1,84136997088
1
-2,0761904761904764
0,0761904761904764
1,97712790740
2
-2,0035960106756567
0,0035960106756567
1,99941129295
3
-2,0000085899722211
0,0000085899722211
1,99940691500
4
-2,0000000000491913
0,0000000000491913
TTd
5
-2,0000000000000000
0.000000000000000
TTd
Tabel 2.1 menunjukkan bahwa metode Newton dengan akar tunggal memiliki konvergensi kuadratik dengan 2 Contoh 2.2: Diberikan fungsi
f ( x) x 3 3 x 2 , dengan menggunakan rumus metode
Newton tentukan iterasi untuk menentukan akar ganda α = 1 serta konvergensi fungsi tersebut dengan nilai awal χ0 =1,2 dan toleransi δ= 10-14 Penyelesaian: Tabel 2.2 Hasil Iterasi dan COC Metode Newton dengan Akar Ganda K
xn
en x n
COC
0
1,200000000
0,200000000
0,9909996418
1
1,103030303
0,103030303
1,011420402
2
1,052356417
0,052356417
1,001000703
3
1,026400814
0,026400814
1,003107847
4
1,013257734
0,013257734
1,001571799
5
1,006643418
0.006643418
1,000813247
6
1,003325387
0,003325387
Tidak Terdifinisi
7
1,001663559
0,001663598
Tidak Terdifinisi
II-3
Tabel 2.2 menunjukkan bahwa Metode Newton dengan akar tunggal memiliki konvergensi kuadratik dengan 1 Definisi 2.3 Efficiency Index ( Sharma Raj Janak, 2011) Indeks efisiensi merupakan parameter untuk menghitung efisien sebuah metode. Rumus untuk mencari indeks efisiensi adalah:
EP
1
(2.3)
Dengan P adalah banyaknya orde dari sebuah metode, sedangkan merupakan jumlah dari evaluasi fungsi dari metode tersebut termasuk juga fungsi turunannya. Semakin besar nilai indeksnya maka metode itu semakin efektif dalam menyelesaikan Persamaan nonlinier. Contoh 2.2 Tentukanlah Nilai Indeks dari metode Newton dan metode Ostrowski Penyelesaian: Oleh karena metode Newton hanya mempunyai dua fungsi f ( x n ) dan f ' ( x n ) , sedangkan orde konvergensinya dua, yaitu en 1 c 2 en2 O(en3 )
maka nilai indeksnya adalah: 1
EP 2
1 2
2 1,414
Sedangkan Metode Ostrowski mempunyai tiga fungsi yaitu f ( x n ) , f ' ( x n ) , f ( y n ) en 1 (c 2 c3 2c 23 )en4 O(en5 )
maka nilai indexnya adalah: 1
1
E P 43
3 4 1,5874
Oleh karena nilai indeks Metode Ostrowski lebih besar dibandingkan dengan metode Newton, maka Metode Ostrowski lebih efektif dalam menyelesaikan Persamaan nonlinear.
II-4
2.2 Deret Taylor Deret Taylor merupakan deret berbentuk Polinomial. Pada umumnya fungsifungsi yang bentuknya kompleks dapat disederhanakan menjadi fungsi hampiran dalam bentuk fungsi Polinomial yang lebih sederhana. Oleh karna itu deret taylor sering digunakan dalam mengekspansi fungsi-fungsi atau Persamaan nonlinear yang rumit. Berikut ini diberikan teorema tentang Deret Taylor.
Teorema 2.1 : (Edwin J. Purcell, 2004) Diberikan f fungsi dengan turunan ke(n 1) -nya ada untuk setiap x pada selang terbuka I yang memuat a . Jadi untuk
setiap x di dalam I ,
f ( x) f (a) f ' (a)( x a)
f ( 2) (a) f ( 3) ( a ) ( x a) ( 2) ( x a ) ( 3) 2! 3!
f ( n ) (a) ( x a ) ( n ) R( n ) ( x) n!
(2.4)
dengan sisanya atau kesalahannya Rn x dinyatakan dengan rumus
Rn ( x )
f ( n 1) (c) ( x a) n 1 (n 1)!
(2.5)
adalah suku sisa dalam rumus Taylor dan c adalah titik di antara x dan a . Persamaan (2.5) merupakan galat dari persamaan Taylor. Oleh karena itu, jika Pn (x) adalah persamaan Taylor, maka
Pn ( x ) f ( a ) f ' ( a )( x a )
f
f '' ( a ) f ''' ( a ) ( x a) 2 ( x a)3 2! 3!
(n)
(a ) ( x a) n!
(2.6)
dan Persamaan (2.3) dapat ditulis lagi dalam bentuk
f ( x ) Pn ( x ) R n ( x )
(2.7)
Bukti: Misalkan sebuah polinomial berderajat n dengan fungsi f pada selang terbuka I. Maka untuk setiap x I berlaku
f ( x) b0 b1 ( x a ) b2 ( x a ) 2 b3 ( x a ) 3 bn ( x a ) n
II-5
f ( x) bn ( x a ) n
(2.8)
n
Jika Persamaan (2.8) diturunkan secara berurutan mulai dari
f
(n)
f ' ( x ) sampai
( x ) maka
f ' ( x) b1 2b2 ( x a) 3b3 ( x a) 2 4b4 ( x a) 3 bn n( x a) n1 f '' ( x) 2b2 2 3b3 ( x a) 2 3 4b3 ( x a) 2 bn n(n 1)( x a) n2 f ''' ( x) 2 3b3 2 3 4b4 ( x a) bn n(n 1)(n 2)( x a) n3
f ( n ) ( x) bn n!
Subtitusikan x a ke Persamaan di atas maka
f ( a ) b0
f ' ( a ) b1 f '' ( a ) 2b2
f ''' ( a ) 2 3b3 f
(4)
( a ) 2 .3 .4b4
f
(n)
( a ) bn n!
Sehingga
bn
f ( n ) (a) n!
(2.9)
Oleh karena itu, jika Persamaan (2.9) disubtitusikan ke dalam Persamaan (2.8) maka
f ( x)
n0
f
(n)
(a ) ( x a) n n!
II-6
Selanjutnya dapat diurai menjadi Persamaan (2.6) yang disebut dengan Deret Taylor. Kemudian untuk membuktikan galatnya, definisikan fungsi
Rn (x) dihimpunan terbuka I dengan R( n) ( x) f ( x) f (a) f ' (a)( x a)
f ( 2 ) (a) f n (a) ( x a) ( 2 ) ( x a) n 2! n!
Kemudian misalkan x dan a konstanta, dan definisikan fungsi baru g pada himpunan terbuka I dengan
f ( 2) (t )( x t ) ( 2) f (3) (t ) g (t ) f ( x) f (t ) f ' (t )( x t ) ( x t ) ( 3) 2! 3! f n (t )( x t ) n (x t)n Rn ( x ) n! ( x a) n Jika disubtitusikan t x jelaslah bahwa g ( x ) 0 , dan
g (a) f ( x) f (a) f ' (a)( x a)
Rn ( x )
f ( 2) (a)( x a) ( 2) f ( n ) (a)( x a) n 2! n!
( x a) n ( x a) n
Rn ( x ) Rn ( x ) 0 Karena x dan a adalah titik pada himpunan terbuka I yang menyebabkan g ( x) g (a) 0 maka kita dapat menerapkan Teorema Nilai Rata-rata untuk
Turunan. Untuk itu, terdapat sebuah bilangan real c di antara x dan a sedemikian rupa sehingga g ' (c) 0 . Selanjutnya dengan menerapkan aturan perkalian dengan berulang kali, diperoleh turunan g (t ) dengan bentuk: g ' (t ) 0 f ' (t ) [ f ' (t )(1) ( x t ) f " (t )] f ' ' ' (t )]
Rn ( x )
1 '' [ f (t )2( x t )(1) ( x t ) 2 2!
1 n [ f (t )( x t ) n 1 (1) ( x t ) n f ( n 1) (t )] n!
(n 1)( x t ) n )(1) ( x a ) n 1
II-7
1 [( x t ) n f n!
n 1
(t )] (n 1) Rn ( x)
(x t)n ( x a ) n 1
(2.10)
Jadi, berdasarkan teorema nilai rata-rata untuk turunan, terdapat suatu nilai c di antara x dan a sedemikian sehingga,
0 g ' (c )
1 [( x c ) n f n!
n 1
( c )] ( n 1) R n ( x )
( x c) n ( x a ) n 1
Kemudian diperoleh
1 [( x c ) n f n!
n 1
( c )] ( n 1) R n ( x )
Rn ( x)
( x c) n ( x a ) n 1
f n 1 ( c ) ( x a ) n 1 ( n 1)!
Sehingga, Persamaan (2.5) terbukti.
2.3 Metode Newton dan Orde Konvergensinya Metode Newton berasal dari turunan deret Taylor Orde 1. Metode ini merupakan salah satu metode klasik yang sering digunakan untuk mencari akarakar Persamaan Nonlinier. Misalkan fungsi f dapat diekspansi di sekitar x x n menggunakan deret Taylor dengan x n pendekatan f ( x ) 0 , jika f(x) diekspansi di sekitar x x n sampai orde pertama, maka diperoleh
f ( x) f ( x n ) ( x x n ) f ' ( x n ) Karena
(2.11)
f ( x ) 0 , selanjutnya distribusikan ke Persamaan (2.11) dengan
mengambil x x n 1 sehingga
0 f ( x n ) ( x n 1 x n ) f ' ( x n ) ( x n 1 x n ) f ' ( x n ) f ( x n )
x n 1 x n
f ( xn ) f ' ( xn )
x n 1 x n
f ( xn ) , n 0,1, 2, 3,..... f ' ( xn )
(2.12)
II-8
Persamaan (2.12) merupakan Persamaan metode Newton dan untuk menentukan orde konvergensinya ditunjukkan oleh teorema berikut, Teorema 2.2 : (Weerakon, 2000) Misalkan f (x) adalah fungsi bernilai riil yang mempunyai turunan pertama, kedua dan ketiga pada interval (a,b). Jika f (x ) mempunyai akar pada interval (a,b) dan x 0 adalah nilai tebakan awal yang mendekati akar , maka Persamaan (2.12) memiliki orde konvergensi tingkat dua dengan Persamaan error:
1 f ( j ) ( ) en x n dengan c j j! f ' ( ) Bukti: Misalkan
adalah akar dari
j 1,2,3,
f (x ) , maka
f ( ) 0 . Asumsikan
f ' ( x) 0 dan x n en . Selanjutnya dengan menggunkan rumus ekspansi
Taylor untuk mengaproksimasi fungsi f di sekitar , diperoleh
f ( x n ) f ( en ) f (xn ) f ( ) f ' ( )(xn )
f ' ' ( ) f ' ' ( ) (xn ) 2 (xn )3 O(en4 ) 2! 3!
Oleh karena x n e , maka diperoleh f ( x n ) f ( ) f ' ( )en
1 1 f ' ' ( )en2 f ' ' ' ( )en3 O(en4 ) 2! 3!
(2.13)
Karena f ( ) 0 , maka dengan melakukan manipulasi aljabar pada Persamaan (2.13) diperoleh
1 f " ( )en2 1 f ' ' ' ( )en3 O(en4 ) f ( x n ) f ' ( ) en 2! f ' ( ) 3! f ' ( ) f ' ( )
f ' ( ) en c 2 en2 c3 en3 O(en4 )
(2.14)
Jika untuk f ' ( xn ) dilakukan ekspansi Taylor di sekitar maka
f ' ( x n ) f ( en ) f ' ( ) f ' ' ( )( xn )
f ' ' ' ( ) f ( 4 ) ) ( xn ) 2 ( xn ) 3 O(en4 ) 2! 3!
Oleh karena x n e , maka diperoleh
II-9
f ' ( ) f ' ' ( )en
1 1 f ' ' ' ( )en2 f ( 4 ) ( )en3 O(en4 ) 2! 3!
f " ( )en 1 f ' ' ' ( )en2 1 f ( 4 ) ( )en3 O(en4 ) f ' ( )1 f ' ( ) 2! f ' ( ) 3! f ' ( ) f ' ( )
f ' ( ) 1 2C 2 en 3C 3 en2 O(en3 )
(2.15)
Selanjutnya dilakukan pembagian Persamaan (2.14) oleh Persamaan (2.15)
f ( xn ) f ' ( ) en c 2 en2 c3 en3 O(en4 ) f ' ( x n ) f ' ( ) 1 2c 2 en 3c3 en2 O(en3 )
e c e c e O(e ) 1 2c e 3c e O(e ) e c e c e O(e )(1 2c e 3c e O(e )
2 2 n
n
2 n
2 2 n
n
3 3 n
3 3 n 2 3 n
4 n 3 n
4 n
2 n
2 3 n
3 n
2
2c 2 en 3c3 en2 O(en3 ) ...
en c2en2 c3en3 O(en4) 1 2c2en 3c3en2 O(en3) 4c22en2 ...
en c2en2 O(en3)
(2.16)
Kemudian dengan mensubtitusikan Persamaan (2.16) ke Persamaan Newton
x n 1 x n
f ( xn ) f ' ( xn )
x n (en c 2 en2 O(en3 ))
Oleh karena x n en maka x n 1 en 1 , sehingga diperoleh, en 1 en (en c 2 en2 O(en3 )) en 1 c 2 en2 O(en3 )
(2.17)
Berdasarkan Teorema 2.2 metode Newton memiliki orde konvergensi kuadratik.
2.4 Metode Ostrowski dan Orde Konvergensinya Diberikan Persamaan metode Ostrowski sebagai berikut:
x n 1 y n
f ( xn ) f ( yn ) , n 0,1,2,3,... f ( xn ) 2 f ( y n ) f ' ( xn )
(2.18)
II-10
f ( xn ) f ' ( xn )
y n xn
Misalkan f ( x) 0 dan adalah akar dari fungsi f (x) tersebut, maka f ( ) 0 dan asumsikan bahwa f ' ( x) 0 . Dengan menggunakan ekspansi taylor
untuk f ( x n ) di sekitar x diperoleh:
f ( x n ) f ( en ) f ( ) f ' ( )en
1 1 f " ( )en2 f ' ' ' ( )en3 O(en4 ) 2! 3!
(2.19)
Karena f ( ) 0 , maka dengan melakukan manipulasi aljabar pada Persamaan (2.19) diperoleh
1 f " ( )en2 1 f ' ' ' ( )en3 O(en4 ) f ( xn ) f ' ( ) en 2! f ' ( ) 3! f ' ( ) f ' ( )
f ' ( ) en c 2 en2 c3 en3 O (en4 )
(2.20)
Sedangkan untuk f ' ( x) dapat diperoleh dengan mengekspansinya di sekitar
x maka
f " ( )en 1 f ' ' ' ( )en2 O(en3 ) f ' ( x n ) f ' ( )1 f ' ( ) 2! f ' ( ) f ' ( )
f ' ( ) 1 2c 2 en 3c3 en2 O (en3 )
(2.21)
Maka
f ( xn ) f ' ( ) en c 2 en2 c3 en3 O(en4 ) f ' ( x n ) f ' ( ) 1 2c 2 en 3c3 en2 O(en3 )
e c e c e 1 2c e 3c e n
2 2 n
2 n
3 3 n 2 3 n
O(en4 ) O(en3 )
(2.22)
Karena 1 (1 u u 2 u 3 ...) 1 u
Maka Persamaan (2.22) dapat dibentuk menjadi
f ( xn ) en c 2 en2 c3 en3 O (en4 ) 1 2c 2 en 3c3 en2 O (en3 ) f ' ( xn )
1
II-11
e c e c e O(e ) 1 2c e 3c e O(e ) 4c e ... e c e c e O(e )1 2c e 4c 3c e O(e ) e c e 2c 2c e O(e )
2
en c2en2 c3en3 O(en4) 1 2c2en 3c3en2 O(en3) 2c2en 3c3en2 O(en3) ... n
2 2 n
n
2 2 n
n
3 3 n
4 n
3 3 n
2 2 n
2 n
4 n
2 2
3
2 3 n
2 2
2 n
3 n
3 n
3
2 2 2 n
2 n
3 n
4 n
(2.23)
sehingga
f ( xn ) f ' ( xn )
y n xn
2c e
y n en (en c 2 en2 2c 22 2c3 en3 O(en4 ))
y n c 2 en2 2c 22
3
3 n
O(en4 ))
(2.24)
Untuk itu, f ( y ) f ' ( )(c 2 en2 (2c3 2c 22 )en3 (7c 2 c3 3c 4 4c 23 )en4 O (en5 ))
(2.25)
Kemudian
f ( x n ) 2 f ( y n ) ( f ' ( ) en c 2 en2 c3 en3 O(en4 ) ) 2( f ( )(c e (2c3 2c )e (7c 2 c3 3c 4 4c 23 )en4 O(en5 )) '
2 2 n
2 2
3 n
f ' ( )[ en c 2 en2 c3 en3 O(en4 ) 2((c 2 en2 (2c3 2c 22 )en3 ) O(en4 )] f ' ( )(en c 2 en2 (3c3 c 22 )en3 (5c 4 14c 2 c3 8c 23 )en4 O(en5 ))
(2.26)
kemudian, kita membagikan Persamaan (2.20) dengan Persamaan (2.26) menjadi
f ( xn ) f ' ( ) en c 2 en2 c3 en3 O(en4 ) f ( x n ) 2 f ( y n ) f ' ( )(en c 2 en2 (3c3 c 22 )en3 O(en4 ))
f ' ( )en 1 c 2 en c3 en2 O(en3 ) f ' ( )en (1 c 2 en (3c3 c 22 )en2 O(en3 ))
1 c 2 en c3 en2 O(en3 ) 1 c 2 en (3c3 c 22 )en2 O(en3 )
(2.27)
misalkan u c 2 en (3c3 c 22 )en2 O(en3 ) , maka Persamaan (2.27) dapat kita ekspansi dengan menggunakan deret
1 (1 u u 2 u 3 ...) sehingga, 1 u
II-12
f ( xn ) 1 c 2 en c3 en2 O(en3 ) ( 1 (c 2 en (3c3 c 22 )en2 O(en3 )) f ( xn ) 2 f ( y n ) (c 2 en (3c3 c 22 )en2 O(en3 )) 2 (c 2 en (3c3 c 22 )en2 O(en3 ) 3 ...)
f (xn ) 1 2c2en (4c3 2c22 )en2 (6c4 4c2c3 19c23 )en3 O(en4 ) f (xn ) 2 f ( yn )
(2.28)
Sedangkan untuk
f ( yn ) f ' ( )(c 2 en2 (2c3 2c 22 )en3 (7c 2 c3 3c 4 4c 23 )en4 O(en5 )) f ' ( xn ) f ' ( ) 1 2c 2 en 3c3 en2 O(en3 )
c 2 en2 (2c3 2c 22 )en3 (7c 2 c3 3c 4 4c 23 )en4 O(en5 ) 1 2c 2 en 3c3 en2 O(en3 )
(2.29)
misalkan u 2c 2 en 3c3 en2 O(en3 ) , maka Persamaan (2.29) dapat kita ekspansi dengan menggunakan deret
1 (1 u u 2 u 3 ...) sehingga, 1 u
f ( yn ) (c 2 en2 (2c3 2c 22 )en3 (7c 2 c3 3c 4 4c 23 )en4 O(en5 )) f ' ( xn ) (1 (2c 2 en 3c3 en2 O(en3 ))(2c 2 en 3c3 en2 O(en3 )) 2 ...) c 2 en2 (2c3 4c 22 )en3 (14c 2 c3 4c 23 3c 4 )en4 O(en5 )
(2.30)
selanjutnya berdasarkan Persamaan (2.27) dan Persamaan (2.30), maka
f ( xn ) f ( yn ) (1 2c2 en (4c3 2c22 )en2 (6c4 4c2 c3 19c23 )en3 ' f ( xn ) 2 f ( y n ) f ( xn ) O(en )) (c 2 en2 (2c3 4c 22 )en3 (14c 2 c3 4c 23 3c 4 )en4 O(en5 ))
c 2 en2 (2c3 2c 22 )en3 (6c 2 c3 6c 23 3c 4 )en4 O(en5 )
(2.31)
kemudian Persamaan (2.24) dan Persamaan (2.31) substitusikan ke Persamaan (2.18) dan diperoleh
xn1 y n
f ( xn ) f ( yn ) f ( xn ) 2 f ( y n ) f ' ( xn )
c2 en2 2c22 2c3 en3 O(en4 )) c2 en2 (2c3 2c22 )en3 (6c2 c3 6c23 3c4 )en4 O(en5 ) xn1 (c2 c3 2c23 )en4 (4c5 10c2 c4 6c32 16c32 c3 )en5 O(en6 )
(2.32)
II-13
Dari Persamaan (2.32), Sehingga diperoleh orde konvergensi Persamaan (2.18) adalah x n 1 (c 2 c3 2c 23 )en4 O(en5 ) en 1 (c 2 c3 2c 23 )en4 O(en5 ) en 1 (c 2 c3 2c 23 )en4 O(en5 ) en 1 (c 2 c3 2c 23 )en4 O(en5 )
(2.33)
Sehingga Metode Ostrowski memiliki konvergensi orde empat.
2.5 Interpolasi Interpolasi adalah proses evaluasi dan penentuan fungsi yang mana kurva atau grafiknya diperoleh dari sekumpulan titik. Interpolasi fungsi digunakan untuk menyelesaikan persoalan dari teori hampiran.Interpolasi yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
2.5.1 Interpolasi Linier Misalkan diberikan dua titik ( x n , f ' ( x n )) dan ( y n , f ' ( y n )) kemudian misalkan polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah Persamaan garis lurus yang berbentuk,
P1 ( x ) bx c
(2.34)
Koefisian b dan c dicari dengan proses mengalihkan ( x n , f ' ( x n )) dan ( y n , f ' ( y n )) ke dalam Persamaan (2.34), diperoleh dua Persamaan linier, f ' ( x n ) bx n c f ' ( y n ) by n c
dan dengan mengeliminasi kedua Persamaan tersebut, diperoleh
b
f ' ( xn ) f ' ( y n ) xn y n
(2.35)
II-14
dan
c
xn f ' ( y n ) y n f ' ( xn ) xn y n
(2.36)
Subsitusikan Persamaan (2.35) dan (2.36) ke dalam Persamaan (2.34), maka diperoleh :
P1 ( x)
f ' ( xn ) f ' ( y n ) x f ' ( y n ) y n f ' ( xn ) x n xn y n xn y n
xf ' ( y n ) xf ' ( x n ) x n f ' ( y n ) y n f ' ( x n ) xn y n
xn f ' ( y n ) y n f ' ( y n ) y n f ' ( y n ) y n f ' ( xn ) xf ' ( y n ) xf ' ( xn ) xn y n
( x n y n ) f ' ( y n ) f ' ( x n )( x y n ) f ' ( y n )( x y n ) xn y n
f ' ( yn )
f ' (xn ) f ' ( yn ) xn yn
(x yn )
(2.37)
Bentuk terakhirnya dapat diubah menjadi,
P1 ( x) f ' ( y n )
x yn x yn f ' ( xn ) f ' ( yn ) xn y n x n yn
f ' ( y n )( x n y n ) ( x y n ) f ' ( y n ) ( x y n ) f ' ( xn ) xn y n xn y n
( x xn ) ( x yn ) f ' ( yn ) f ' ( xn ) ( y n xn ) ( xn y n )
(2.38)
2.5.2 Interpolasi Kuadratik Misalkan diberikan dua titik ( x n , f ' ( x n )) dan ( y n , f ' ( y n )) kemudian misalkan Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah Persamaan kuadratik yang berbentuk,
h( x) ax 2 bx c
(2.39)
Koefisien b dan c dicari dengan proses mengalihkan ( x n , f ' ( x n )) dan ( y n , f ' ( y n )) ke dalam Persamaan (2.39), diperoleh dua persamaan kuadratik,
II-15
f ' ( x n ) ax n bx n c 2
f ' ( y n ) ay n by n c 2
Dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut, diperoleh b dan c dengan bentuk
b
f ' ( xn ) f ' ( y n ) a( x n y n ) xn y n
c f ' ( x n ) ax n y n x n
f ' ( xn ) f ' ( y n ) xn y n
(2.40)
(2.41)
Subsitusikan Persamaan (2.40) dan (2.41) ke dalam Persamaan (2.39), maka diperoleh :
f ' ( xn ) f ' ( yn ) f ' ( xn ) f ' ( yn ) h( x) ax2 a( xn yn ) x f ' ( xn ) axn yn xn xn yn xn yn f ' ( xn ) f ' ( yn ) f ' ( xn ) f ' ( yn ) ax2 a( xn yn ) x axn yn x f ' ( xn ) xn xn yn xn yn a ( x x n ) x y n f ' ( x n )
xf ' ( x n ) xf ' ( y n ) x n f ' ( x n ) x n f ' ( y n ) xn yn
a ( x x n ) x y n f ' ( x n )
f ' ( x n ) x x n f ' ( y n )( x x n ) xn y n
a ( x x n ) x y n f ' ( x n )
f ' ( xn ) f ' ( y n ) x xn xn y n
(2.42)
Selanjutnya, bentuk terakhir dapat diubah menjadi,
h( x) a ( x x n )( x y n ) f ' ( x n )
x yn x yn f ' ( xn ) f ' ( yn ) xn y n xn y n
a ( x x n )( x y n ) f ' ( x n )
f ' ( x n )( x x n ) f ' ( y n )( x x n ) xn y n
a(x xn )(x yn )
f ' (xn )(xn yn ) f ' (xn )(x yn ) x yn f ' ( yn ) xn yn yn xn
Sehingga,
a ( x x n )( x y n )
( x xn ) ( x yn ) f ' ( yn ) f ' ( xn ) ( y n xn ) ( xn y n )
(2.43)
II-16
