BAB II LANDASAN TEORI
2.1
Distribusi Peluang
Definisi 2.1 (Walpole dan Myers, 1995) Jika X adalah suatu variabel random kontinu, maka fungsi densitas peluangnya adalah suatu fungsi yang memenuhi kondisi: ≥ 0; untuk x ∈ (-∞,∞)
i. ii.
≤
iii.
≤
= 1 =
(2.1)
Definisi 2.2 (Walpole & Myers, 1989) Fungsi distribusi kumulatif variabel dinotasikan sebagai yang riil. Jika
2.2
=
dan didefinisikan sebagai
adalah kontinu, maka :
=
≤
untuk seluruh
( )
(2.2)
Fungsi Quantil
Definisi 2.3: Misalkan F fungsi distribusi dari suatu distribusi probabilitas pada himpunan bilangan real R jika ∈ (0,1) maka terdapat dengan tunggal sehingga
.
notasi
=
∈
maka disebut kuantil- dari F.Kuantil- dari F digunakan
Fungsi kuantil dari F didefinisikan sebagai:
= inf { ∣ ( ) ≥
dengan ∈ (0,1) artinya
}
adalah nilai terkecil dari
dengan ( ) ≥
Misalkan x mempunyai distribusi F dan fungsi distribusi dari dapat dinyatakan sebagai: =
−
∈ ,
=
+
.
, maka
> 0
Sehingga fungsi quantil itu sering dikenal dengan istilah invers dari kumulatif.
II-1
2.3
Diskrit Binomial Percobaan binomial adalah percobaan yang memiliki ciri-ciri berikut:
a. b.
Percobaannya terdiri atas ulangan.
Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil “ ” atau gagal “ ” .
c.
Peluang berhasil, yang dilambangkan dengan , untuk setiap ulangan adalah sama, tidak berubah-ubah.
d.
Ulangan-ulangan itu bersifat bebas.
Definisi 2.4 (Ari Pani Desvina, M.Sc, 2012) Jika suatu ulangan binomial mempunyai peluang keberhasilan
dan peluang gagal
peluang bagi peubah acak binomial
= 1−
, maka sebaran
, yaitu banyaknya keberhasilan dalam
ulangan yang bebas, adalah:
2.4
; ,
=
,
Distribusi Peluang Kontinu
= 0,1,2, … ,
2.4.1 Distribusi Weibull Distribusi Weibull diambil dari nama seorang fisikawan yang berasal dari Swedia bernama Waloddi Weibull pada Tahun 1939. Distribusi Weibull merupakan distribusi yang sering digunakan karena menggambarkan keseluruhan data secara jelas terutama dalam pengujian dan memodelkan data, sehingga distribusi Weibull sering diaplikasikan untuk pemodelan antara lain pemodelan dibidang teknologi, kecepatan angin, unsur-unsur kimia dan juga dibidang hidrologi. Karakteristik dari distribusi Weibull yaitu dicirikan oleh dua parameter yaitu
dan
, dimana
> 0 dan
> 0 (Rinne, 2009).
Distribusi Weibull termasuk distribusi acak kontinu yang juga mempunyai fungsi densitas peluang sebagai berikut : =
(2.3)
sedangkan fungsi distribusi kumulatifnya adalah :
= 1−
(
)
(2.4)
II-2
2.4.2 Distribusi Peluang gamma Difinisi 2.5 (Rado Yendra, M.Sc, 2008) Variabel acak Y dikatakan memiliki distribusi gamma dengan parameter 0 dan 0 jika dan hanya jika fungsi densitas dari Y adalah 1 y y e , 0 y f y untuk yang lainya 0,
DimanaГ Kuantitas Г
=
dikenal dengan fungsi gamma. Integral secara langsung akan bahwaГ 1 = 1. Dan
menghasilkan
menghasilkan bahwa
=
Г
secara
− 1 Г
terus-menerus
− 1
> 1,Г
integral =
akan − 1 !
dan juga yang dihasilkan jika n adalah bilangan bulat. Hal di atas dapat ditunjukkan seperti berikut: Г
=
=− =
− 1
∞ + 0
− 1 =
− 1 Г
− 1
Contoh2.1 : Tentukan Г 6 = 6 − 1 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1=120.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa fungsi densitas peluang distribusi gamma akan ditunjukkan memenuhi sifat distribusi peluang kontinu, seperti berikut :
= Г
=
Г
=
Г
=
Г Г
= 1
II-3
Grafik fungsi densitas gamma untuk 1,2 dan 4 serta 1 , diberikan pada gambar berikut: f(y) 1
1 2 4 Gambar 2.1 GrafikFungsiDensitas Gamma
y
Gambar 2.1 menunjukkan bentuk dari densitas gamma berbeda untuk nilai yang berbeda. Untuk alasan ini kadang-kadang alpa disebut dengan parameter bentuk yang dihubungakan dengan distribusi gamma. Parameter secara umum disebut dengan parameter skala, karena mengalikan sebuah variabel acak yang didistribusikan dengan gamma dengan bilangan positif ( dengan demikian mengubah skala pada pengukuran dibuat) menghasilkan variabel acak yang juga mempunyai distribusi gamma dengan nilai yang sama tetapi nilai parameter berubah. Pada kasus tertentu ketika adalah bilangan bulat, distribusi fungsi dari variabel acak yang didistribusikan secara gamma dapat digambarkan sebagai jumlah dari peluang poisson tertentu. Jika tidak bilangan bulat dan 0 c d , tidak memungkinkan untuk memberikan gambaran yang tepat
untuk
Г
Teorema 2.1 (RadoYendra, M.Sc, 2008) Jika Y mempunyai distribusi gamma dengan parameter dan , maka
E Y dan 2 V Y 2
II-4
Bukti : Seperti yang diketahui bahwa 1 y y e E Y yf y dy y dy 0
Dari sifat yang telah dibuktikan sebelumnya diketahui bahwa
0
y 1e y dy 1
Karena itu
y
1
e
y
dy
0
Sehingga
1 y y 1 y e E Y y dy y e dy 0 0 2 1 1 1
Selanjutnya untuk menentukan variansi distribusi gamma, tentukan terlebih dahulu nilai harapan berikut:
E Y2
1 y y e 1 2y 1 y dy y e dy 0 0 1 2 1 2 2 1 2
Sehingga variansi distribusi gamma dapat ditentukan sebagai
V Y E Y 2 E Y
2
1 2 2 2
II-5
2.4.3 DistribusiPeluang Beta Fungsi densitas beta fungsi densitas berparameter dua didefinisikan pada interval tutup 0 y 1 . Ini sering digunakan sebagai model untuk proporsi, seperti proporsi ketakmurnian produk kimia atau proporsi waktu sebuah mesin diwaktu perbaikan. Definisi 2.6 (RadoYendra, M.Sc, 2008) Variabel acak Y dikatakan mempunyai distribusi peluang beta dengan parameter 0 dan 0 , jika dan hanya jika fungsi densitas dari Y adalah y 1 1 y 1 , f y B , 0,
0 y 1 untuk lainnya
Dimana 1
B , y 1 1 y
1
dy
0
Grafik fungsi densitas beta mengasumsikan perbedaan yang lebar dari bentuk untuk berbagai nilai dari dua parameter dan . Beberapa diantaranya akan digambarkan seperti pada gambar dibawah. Sebagai catatan mendefinisikan y pada interval 0 y 1 tidak membatasi penggunaan
distribusi
beta.
Jika
c yd,
maka
y y c d c
mendefinisikan variabel baru sehingga 0 y 1 . Jadi fungsi densitas beta dapat dipakai untuk variabel acak yang didefinisikan pada interval c y d dengan translasi dan pertukaran skala. Fungsi distribusi kumulatif untuk variabel acak beta lazim disebut fungsi beta taklengkap dan dinotasikan dengan
t 1 1 t F y B , 0 y
1
dt I y ,
II-6
f(y) 3 3
5 3
2 2
0
1
y
Gambar 2.2 Grafik Fungsi Densitas Beta Jika dan kedua-duanya bilangan bulat positif, I y , dihubungkan dengan fungsi peluang binomial. Integral dengan mempartisi dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa untuk 0 y 1 dan kedua-duanya bilangan bulat
t 1 1 t B , 0
1
y
F y
n n n i dt y i 1 y i i
Dimana n 1 . Catat bahwa jumlah sisi sebelah kanan dari gambaran di atas hanya menjumlahkan peluang yang dihubungkan dengan variabel acak binomial dengan n 1 dan p y Teorema 2.2 (RadoYendra, M.Sc, 2008) Jika Y adalah variabel acak yang didistribusikan dengan parameter 0 dan 0 maka E Y 2 V Y
dan
1 2
II-7
Bukti : Dengan definisi
EY
yf y
y 1 1 y y B , 0
1
1
dy
1
1 1 y 1 y dy B , 0
B 1, B , 1 1
Untuk menentukan variansi dari distribusi beta, pertama sekali tentukan nilai harapan dari bentuk berikut
y f y
EY
2
2
1
y2 0
y 1 1 y B ,
1
dy
1
1 1 y 1 1 y dy B , 0
B 2, B , 2 2 1 1 1 1
Sehingga variansi dari distribusi beta adalah
V Y E Y 2 E Y
2
1 2 1 1 2
II-8
2.5
StatistikBerurut Secara formal, misal Y1,Y2, . . . ,Yn variabel acak kontinu yang saling bebas
dengan fungsi distribusi komulatif F(y) dan fungsi densitas f(y). Notasi variabel acak yang terurut Yi yaitu Y(1),Y(2),. . .,Y(n) dimana Y(1) ≤Y(2) ≤. . .≤ Y(n) Y(1) = min (Y1,Y2, . . . ,Yn) Adalah variabel acak minimum dari Yi Y(n) = max (Y1,Y2, . . . ,Yn) Adalah variabel acak maksimum dari Yi Fungsi densitas peluang untuk Yi dan Yn dapat ditentukan dengan menggunakan metoda fungsi distribusi kumulatif. Pertama sekali kita akan menentukan fungsi densitas dari Yn. Karena Yn adalah maksimum dari Y1,Y2, . . .,Yn, Maka peristiwa (Y(n) ≤ y) akan terjadi jika dan hanya jika (Yi ≤ y) terjadi, untuk setiap i = 1,2,. . .,n, yakni P Yn y P Y1 y, Y2 y, , Yn y
Karena Yi adalah saling bebas dan PYi y F y untuk i 1,2,, n , hal ini menyatakan bahwa fungsi distribusi kumulatif dari Y(n) diberikan oleh
FYn y PYn y PY1 y PY2 y PYn y F y
n
Misal gn(y) notasi fungsi densitas dariY(n) dengan menurunkan fungsi distribusi kumulatif di atas akan ditentukan
g n y nF y
n 1
f y
Dengan cara yang sama kita dapat menentukan fungsi densitas untuk Y(1) sebagai berikut:
FY1 y P Y1 y 1 P Y1 y Karena Y(1) adalah minimum dari Y1,Y2,…,Yn, hal ini menyatakan bahwa peristiwa (Y(1)> y) terjadi jika dan hanya jika peristiwa (Yi> y) terjadi untuk i = 1,2,…,n. Karena Yi saling bebas dan P (Yi> y) = 1 – F(y) untuk i = 1,2,3,. . .,n, kita lihat bahwa
II-9
FY1 P Y1 y 1 P Y1 y
1 PY1 y, Y2 y, , Yn y
1 PY1 y PY2 y PYn y
1 1 F y
n
Misalg(1) (y) adalah fungsi densitas dari Y(1) , dengan menurunkan fungsi distribusi kumulatif akan diperoleh
g 1 y n1 F y
n 1
f y
Contoh 2.2. Komponen-komponen elektronik dari tipe tertentu mempunyai panjang hidup Y, dengan densitas peluang diberikan oleh 1 y 100 e , y0 f y 100 0, untuk yang lainnya
Andaikan bahwa dua komponen dioperasikan secara bebas dan system dirangkai secara seri (karena system gagal ketika komponen lain gagal). Tentukan fungsi densitas untuk X. Penyelesaian: Karena system gagal pada komponen utama gagal X = min (Y1,Y2) dimana Y1 dan Y2 adalah variabel acak dengan diberikan fungsi densitas. Karena
F y 1 e y 100 , untuk y 0 f X y g 1 y n1 F y
n 1
f y
2e y 100 1 100e y 100 , y 0 0, untuk yang lainnya Dan itu menyatakan secara sederhana bahwa 1 y 50 , y0 e f X y 50 0, untuk yang lainnya
II-10
Contoh 2.3. Andaikan komponen di rangkai secara parallel (karena system tidak akan gagal sampai kedua komponen gagal). Tentukan fungsi densitas untuk X. Penyelesaian : Sekarang X = max (Y1,Y2) dan
f X y g 2 y nF y
n 1
f y
2 1 e y 100 1 100 e y 100 , y 0 0, untuk yang lainnya dan oleh sebab itu 1 y 100 e y 50 , y 0 e f X y 50 0, untuk yang lainnya
2.6
Peluang Moment Berbobot (PMB)
Definisi2.7 (Greenwood dan Kawan-kawan, 1979) Peluang moment berbobot di defenisikan sebagai: , ,
=
1−
Dimana
=
1−
(2.5)
= fungsi kuantil atau invers distribusi , ,
= distribusi fungsi kumulatif = bilangan real.
Untuknilai =
= 0 dan
adalah bilangan bulat tidak negatif,maka berdasarkan
defenisi 2.10 dapat ditulis sebagai: , ,
=
=
Atau dikenalsebagai moment ke – suatu distribusi, dan jika
= 1 maka bentuk
diatas adalah moment ke -1 atau rata-rata suatu distribusi fungsi, dengan bentuk seperti: , ,
=
=
II-11
,
Untuk statistik berurut
,…
dengan sampel berukuran .
kumulatif untuk ke = ∑
,
,…,
1−
,
,…,
(2.6)
adalah bentuk fungsi peluang binomial
Bentuk yang muncul setelah tanda ∑ tepat ke– untuk
, diketahui distribusi fungsi
. David (1970) telah menghasilkan hubungan
diantara penjumlahan binomial dan fungsi beta taklengkap. =
,
Dimana ,
, −
=
,
1−
Oleh sebabitu:
Maka
,
=
,
=
,
Karena
(2.7)
adalah fungsi beta taklengkap, sedangkan
,
=
+ 1
adalah fungsi beta untuk > 0,
> 0
,
=
Г
!
Г
!
!
Г
1−
!
=
!
(2.8)
!
Seterusnya ambil turunan dari persamaan (2.13), yang merupakan fungsi densitas peluang dari =
,
,
=
,
:
!
!
!
! !
!
Berikutnya nilai ekspektasi dari , ,
= =
!
!
, !
1−
,
1−
dapatditulis:
1−
.
(2.9)
. (2.10)
II-12
Dimana
=
,0 ≤
≤ 1
Dengan menggunakan bentuk ini, maka moment ke – untuk urutan ke
dari
sampel berukuran , dapat dihitung =
,
!
!
1−
!
(2.11)
Oleh sebab itu moment ke – untuk urutan ke - + 1 dari ukuran sampel + dapat dihitung:
=
,
!
! !
1−
+ 1
(2.12)
Dari bentuk diatas maka bentuk peluang moment berbobot untuk statistik berurut, dapat dibentuk seperti: ! !
=
, ,
(2.13)
,
!
Dua bentuk peluang moment berbobot yang sangat perlu diperhatikan adalah untuk = 1,2 , = 0,1,2,3 ,dan , ,
, ,
2.7
=
,
=
,
= 0. Dua bentuk ini dapat ditentukan seperti:
= 0,1,2, …
= 0,1,2, …
Penentuan Perkiraan Untuk
, ,
,
Andaikan data untuk statistik berurut dari kecil kebesar dimana
,…,
(2.14) (2.15)
,…
,
adalah data yang terbesar. Total jumlah pemilihan sampel bagian
urutan + 1 dari =
adalah:
+ 1
(2.16)
Jumlah sampel bagian berukuran data terbesar, maksudnya
+ 1 dipilih dari
sebagai
adalah anggota dari subsampel dan anggota lain
harus dipilih dari data yang lebih kecil, subsampel yang memuat
yang memuat
,
,…,
. Oleh sebab itu jumlah
sebagai anggota terbesar adalah:
II-13
− 1
=
(2.17)
Seterusnya dapat dibentuk =
(2.18)
Maka dapat dihasilkan, rumus moment ke – untuk statistik berurut ke + 1 yang dipilih dari
subsampel berukuran =
= ∑
,
adalah
+ 1 dari
(2.19)
Berdasarkan bentuk diatas dapat dihasilkan bentuk umum peluang moment berbobot untuk sampel adalah: =
, ,
,
∑
=
! !
= ∑ = ∑ =
=
, ,
!
! !
∑
∑
!
!
!
!
!
, ,
=
=
!
!
!
!
!
.
Selanjutnya untuk membuktikan nilainya menjadi:
dimana
!
!
!
=
!
! !
(2.20)
, ,
, dari persamaan 2.20, sehingga
∑
∑
II-14
Kemudian dari persamaan (2.11), =
, ,
= ∑
Jika =
, ,
−
= ∑ =
, ,
∑ !
=
!
! ! ! !
!
!
− 1 dan,sehingga, =
= ∑
!
!
−
∑
!
− 1
1
!
−
!
!
+
!
+ 1:
1−
1−
1− − 1 .
1−
1−
.
II-15
