BAB II LANDASAN TEORI Bab II ini menjelaskan tentang teori-teori pendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu sistem persamaan linear, sistem persamaan linear kompleks, dekomposisi Doolittle, sistem persamaan linier fuzzy dan sistem persamaan linear fuzzy kompleks.
2.1 Sistem Persamaan Linear Sebuah persamaan linear dalam +
dalam bentuk : sebarang dengan +
+ ⋯+
=
persamaan linear dan
+ ⋯+
+
variabel
,
,…,
dapat dinyatakan
. Suatu sistem persamaan linear
variabel dapat ditulis sebagai berikut :
=
+ ⋯+
=
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = ⋮ +
dengan
,
+ ⋯+ ,…,
,
,
=
,…,
(2.1) ,
,
,…,
dan
merupakan konstanta dalam bentuk bilangan real, sedangkan merupakan variabel yang dicari.
,
,
,…,
,…,
Jika sistem persamaan linear pada pers (2.1) ditulis dalam bentuk matriks, maka : … … atau = (2.2) ⋮ = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ … … … dengan : = , = ⋮ dan = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ …
Sistem persamaan linear diatas dikatakan sistem persamaan linear homogen
jika
,
,…,
nonhomogen jika
= 0. Begitu sebaliknya, dikatakan sistem persamaan linear ,
,…,
tidak semuanya nol.
Kemungkinan-kemungkinan pemecahan sistem persamaan linear adalah sebagai berikut :
II-1
1. Tidak mempunyai penyelesaian. 2. Mempunyai tepat satu penyelesaian. 3. Mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian. Sebuah sistem persamaan linear yang tidak mempunyai pemecahan disebut tak konsisten. Jika ada sekurang-kurangnya satu penyelesaian, maka sistem persamaan linear disebut konsisten. Selanjutnya, akan diberikan contoh penyelesaian sistem persamaan linear. Contoh 2.1 : Selesaikan sistem persamaan linear berikut : − 2 −
+
+ 3
+ 2
+ 5
= 5 − 2
+ 6
= −1
= 3 = 7
Penyelesaian:
Sistem persamaan linear yang diberikan akan diselesaikan dengan cara operasi baris elementer (OBE) sebagai berikut : 1. Baris pertama dikali dengan negatif (-) 1 2 0 0
0 −1 0 ⋮ −5 3 −2 6 ⋮ −1 − −1 2 0 ⋮3 0 1 5 ⋮7
2. Baris kedua dikurang dengan 2 kali baris pertama 1 0 0 0
0 −1 3 0 −1 2 0 1
0 6 0 5
⋮ −5 ⋮9 ⋮3 ⋮7
3. Baris kedua dikali dengan 1 3 1 0 −1 0 ⋮ −5 1 0 1 0 2 ⋮3 0 − 1 2 0 ⋮3 3 0 0 1 5 ⋮7
− 2
II-2
4. Baris ketiga ditambah dengan baris kedua 1 0 0 0
0 −1 0 ⋮ −5 1 0 2 ⋮3 0 2 2 ⋮6 0 1 5 ⋮7
+
5. Baris ketiga dikali dengan 1 2 1 0 −1 0 ⋮ −5 1 0 1 0 2 ⋮3 0 0 1 1 ⋮3 2 0 0 1 5 ⋮7
6. Baris keempat dikurang dengan baris ketiga 1 0 0 0
0 −1 0 ⋮ −5 1 0 2 ⋮3 0 1 1 ⋮3 0 0 4 ⋮4
−
7. Baris keempat dikali dengan 1 4 1 0 −1 0 ⋮ −5 1 0 1 0 2 ⋮3 0 0 1 1 ⋮3 4 0 0 0 1 ⋮1
8. Baris pertama ditambah dengan baris ketiga 1 0 0 0
0 0 1 1 0 2 0 1 1 0 0 1
⋮ −2 ⋮ 3 ⋮ 3 ⋮ 1
+
9. Baris pertama dikurang dengan baris keempat, baris kedua dikurang dengan 2 kali baris keempat dan baris ketiga dikurang dengan baris keempat
10.
1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
⋮ −3 ⋮ 1 ⋮ 2 ⋮ 1
− − 2 −
Sehingga matriks hasil adalah 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
⋮ −3 ⋮ 1 ⋮ 2 ⋮ 1
Jadi, solusi dari sistem persamaan linear di atas adalah: dan
= 1.
= − 3,
= 1,
= 2
II-3
2.2 Sistem Persamaan Linear Kompleks 2.2.1 Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks ini. Bilangan kompleks secara umum memiliki dua bagian bilangan, yaitu bagian real dan bagian imajiner (khayal). Bilangan khayal bercirikan hadirnya bilangan i yang didefinisikan sebagai : = √− 1 dan
= √− 1 = − 1
(2.3)
Himpunan bilangan kompleks dilambangkan dengan
dan dapat ditulis
sebagai berikut : =
+
(2.4)
dengan : = Re (bagian real dari bilangan kompleks) = Im
(bagian imajiner dari bilangan kompleks)
Sistem persamaan bilangan kompleks merupakan perluasan dari sistem
persamaan real. Misalkan, saat kita memerlukan solusi dari persamaan
= − 25,
tak ada bilangan real yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, kita perlu bilangan kompleks untuk menyelesaikannya.
2.2.2 Konjugat Kompleks Salah satu komponen yang penting dalam bilangan kompleks adalah konjugat (sekawan). Konjugat bilangan kompleks Konjugat
tidak lain adalah pencerminan
=
+
adalah ̅ =
−
.
terhadap sumbu Re . Beberapa
sifat dasar dari konjugat adalah sebagai berikut : 1. ̿ = , 2.
±
3. Re
= ̅
= ̅±
=
̅
=
, dan Im
̅
=
̅
(2.5)
II-4
Sedangkan modulus atau norma vektor dari bilangan kompleks sebagai | | =
̅ dan untuk | | = √
didefinisikan
̅ (Erwin Sucipto, 1987).
Berikut akan diberikan contoh menentukan konjugat kompleks dan norma
vektor dari bilangan kompleks. Contoh 2.2 : Diberikan suatu bilangan kompleks berikut
= 4 + 2 . Tentukan konjugat
kompleks, hasil perkalian bilangan kompleks dengan konjugat kompleks dan norma vektornya. 1) Menentukan konjugat kompleks dari bilangan kompleks Konjugat kompleks dari bilangan kompleksnya adalah sebagai berikut : ̅= 4− 2
2) Menentukan perkalian bilangan kompleks dengan konjugat kompleks. Setelah konjugat kompleks diketahui, kita kalikan dengan bilangan kompleksnya. ̅= 4+ 2
4− 2
= 16 − 8 + 8 − 4 = 16 − 4
= 16 − 4 − 1 = 16 + 4 = 20
3) Menentukan norma vektor dari bilangan kompleks Selanjutnya akan ditentukan norma vektor dari bilangan kompleks yang diketahui. Diberikan bilangan kompleks = 4+ 2
Maka norma vektor dari bilangan kompleks | | =
= √ = =
adalah :
| | ̅
4+ 2
4− 2
16 − 8 + 8 − 4 II-5
=
16 − 4
=
16 − 4 − 1
= √16 + 4 = √20
2.2.3 Matriks Kompleks Suatu matriks dikatakan matriks kompleks jika elemen-elemennya merupakan bilangan kompleks.Untuk lebih jelasnya berikut ini merupakan contoh dari matriks kompleks, Misalkan
1 2
=
19 + 4 27 − 2
−3 4
2.2.4 Sistem Persamaan Linear Kompleks Suatu sistem persamaan linear yang koefisien atau konstantanya berupa bilangan kompleks disebut sistem persamaan linear kompleks. Model dari sistem persamaan linear kompleks dapat dijelaskan sebagai berikut : +
+ ⋯+
+
=
+ ⋯+
=
=
atau
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = ⋮ +
,
Dengan
+ ⋯+ ,…,
,
,
=
,…,
(2.6) ,
,
,…,
dan
merupakan konstanta dalam bentuk bilangan kompleks, sedangkan merupakan variabel yang dicari.
,
,
,…,
,…,
Berikut akan diberikan contoh untuk penyelesaian sistem persamaan linear kompleks. Contoh 2.4 : Selesaikan sistem persamaan linear berikut : + 1 + −
−1+
= 1 − 2
+ −
−
= 2
= 2+ 3 II-6
Penyelesaian : Berdasarkan sistem persamaan linear kompleks yang diberikan, akan ditentukan solusi nilai
dengan cara operasi baris elementer (OBE) sebagai berikut :
1. Baris kedua dikurang dengan kali baris pertama 1
1+ −1 −1
−1+
0 1− 2 2 − 12 + 3
−
2. Baris ketiga dikurang dengan − 1 + i kali baris pertama 1 0 −1+
1+ − −1
0 1− 2 − − 12 + 3
3. Baris kedua dikali dengan 1 0 0
1+ − 1
0 1− 2 − −1 1
− −1+
×
4. Baris pertama dikurang dengan (1 + ) baris kedua 1 0 0
1+ 1 1
0 1− 2 −1 1 −1 1
− 1+
5. Baris ketiga dikurang dengan baris kedua 1 0 0
0 1+ −3 1 −1 1 1 −1 1
6. Matriks hasil 1 0 0
−
0 1+ −3 1 −1 1 0 0 0
Misalkan dengan
= , maka diperoleh solusi dari sistem persamaan linear di atas
= −3 − 1+
, dan
= 1+ .
2.3 Sistem Persamaan Linear Fuzzy 2.3.1 Himpunan Fuzzy Secara bahasa fuzzy dapat diartikan kabur atau samar. Logika ini diperkenalkan oleh Lotfi A. Zadeh dari Universitas California, Barkeley pada tahun 1965. Himpunan fuzzy merupakan kumpulan dari entri-entri dengan suatu rangkaian tingkat keanggotaan. II-7
Untuk mengatasi permasalahan himpunan fuzzy, Zadeh mengaitkan himpunan fuzzy dengan suatu fungsi yang menyatakan derajat kesesuaian unsurunsur dalam semestanya dengan konsep yang merupakan syarat keanggotaan himpunan fuzzy. Fungsi tersebut adalah fungsi keanggotaan dan nilai fungsi itu disebut derajat keanggotaan suatu unsur dalam himpunan fuzzy. Suatu himpunan fuzzy keanggotaan ∶
dengan
dalam semesta
dinyatakan dengan fungsi
yang nilainya berada dalam interval 0,1 atau dapat dinyatakn → 0,1 . Fungsi keanggotaan memetakan
kedalam kodomain
yang merupakan bilangan real yang terdefinisi pada interval dari 0 sampai 1. Himpunan fuzzy pasangan elemen
dalam semesta (
anggota
biasa dinyatakan sebagai sekumpulan
) dan derajat keanggotaannnya dinyatakan
sebagai berikut : = {( ,
fuzzy
)| ∈ } dengan
adalah fungsi keanggotaan dari himpunan
, pada penulisan ini menggunakan fungsi keanggotaan segitiga. Fungsi
keanggotaan segitiga pada dasarnya merupakan gabungan antara 2 garis linear. Pertama, kenaikan himpunan dimulai pada nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan nol (0) bergerak kekanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih tinggi (Kusuma Dewi S, Purnomo H, 2010). Kedua, garis lurus dimulai dari nilai domain dengan derajat keanggotaan tertinggi pada sisi kiri kemudian bergerak menurun ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih rendah. Fungsi keanggotan segitiga ditandai dengan tiga parameter yang akan menentukan koordinat
dari tiga sudut. Persamaan untuk fungsi keanggotaan
segitiga ini adalah sebagai berikut: =
, , ,
=
( − )/( − ), ≤ ( − )/( − ), ≤ 0,
≤ ≤
(2.7)
Untuk lebih jelas berikut adalah grafik fungsi keanggotaan segitiga yang dibentuk oleh fungsi keanggotaan segitiga pada persamaan (2.7) :
II-8
Gambar 2.1 Grafik Fungsi Keanggotaan Segitiga
( , , , ) =
Definisi 2.1 (Diana Mustika, dkk (2013)) : Bilangan fuzzy ,
bentuk parameter direpresentasikan dengan memenuhi :
, 0<
, ,
dalam
< 1 yang
adalah fungsi kontinu kiri, dan tak turun terbatas pada 0,1
1) Fungsi
adalah fungsi kontinu kanan, dan tak naik terbatas pada 0,1
2) Fungsi 3) ( ) ≤
( ) untuk setiap
dalam 0,1 .
Menurut P. Mansouri dan B. Asady (2011) operasi aljabar bilangan fuzzy
untuk setiap =
,
didefinisikan sebagai berikut : +
1)
=
2)
=
,
,
untuk
+
=
jika dan hanya jika
=
3)
+
dan =
dan
≥ 0 dan
,
∈
dan bilangan real
, 0, 1
=
=
,
untuk
< 0
2.3.2 Sistem Persamaan Linear Fuzzy Bentuk umum dari sistem persamaan linear fuzzy adalah
=
. Sistem
persamaan linear fuzzy merupakan suatu sistem persamaan linear yang berparameter fuzzy atau semu yang berada pada interval tertentu. Kita asumsikan bahwa semua parameter bilangan fuzzy merupakan fungsi urutan pasangan =
,
,
=
,
.
II-9
Model sistem persamaan linear fuzzy dapat dijelaskan sebagai berikut : +
+ ⋯+
+
=
+ ⋯+
=
(2.8)
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ +
,
dengan
,…,
,
+ ⋯+ ,
,…,
=
∈
dan
∈
,
untuk 1 ≤ , ≤
Sistem persamaan (2.8) dapat ditulis dalam bentuk matriks
=
… … ⋮ …
⋮ ⋮ =
dan
⋮
,
=
,
⋮
, , ⋮ ,
=
=
.
, dengan :
, ⋮ ,
=
(2.9)
Definisi 2.2 (Arezoo Hosseinpour, dkk (2006)) : Suatu vektor bilangan fuzzy =
,
,⋯,
=
, diberikan
,
dimana 1 ≤
≤
1 disebut penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy jika memenuhi : =
=
=
=
,0 ≤
≤
(2.10)
Akibatnya, untuk mencari penyelesaian dari sistem persamaan linear (2.8), maka langkah awal yang harus dilakukan adalah mengubah sistem persamaan linear diatas menjadi : + ⋯ +
+
,
+ ⋯ +
+ ⋯ +
+
,
+ ⋯ +
=
,
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ,
+ ⋯+
,
+
,
+ ⋯+
,
,
=
=
(2.11)
II-10
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ + ⋯ +
,
Atau : =
+
,
+ ⋯ +
,
=
,
(2.12) =
dengan =
,…,
1 ≤
,
≤ 2 ,1 ≤
,…,
.
≥ 0⟹ = < 0⟹− = 0,
=
Entri-entri matriks
dengan
≥ 0 ≤ 0
=
,…,
,
,…,
dan
adalah sebagai berikut :
Sehingga matriks =
≤ 2 ,
,
,
=
(2.13)
,
juga dapat ditulis sebagai berikut :
≤ 0 , ≥ 0
=
,
=
merupakan entri positif dari matriks
dan
merupakan entri negatif
dari matriks ,
=
,
⋮
=
,
⋮
=
⋮
dan
=
Sehingga, sistem persamaan linearnya dapat ditulis : +
⋮
=
+
=
Definisi 2.3 (Taher Rahgooy, Vol. 1, No. 5 December, 2009) : Diketahui
,
untuk
Vektor bilangan fuzzy = min
= maks ,
, untuk
,
= 1, 2, ⋯ , = ,
,
1
1
= 1, 2, ⋯ ,
adalah penyelesaian tunggal dari ,
, = 1, 2, ⋯ ,
=
=
.
didefinisikan oleh :
disebut solusi fuzzy dari
=
. Jika =
adalah semua bilangan fuzzy segitiga maka
II-11
=
,
Selainnya,
=
,1 ≤
≤
dan
dikatakan solusi fuzzy kuat.
dikatakan solusi fuzzy lemah.
Berikut ini akan diberikan sebuah contoh bagaimana cara penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy yang berukuran 2 × 2 menjadi matriks
yang
berukuran 2 × 2 , sehingga diperoleh sistem persamaan linear baru serta nilai dari variabel
yang dicari.
Contoh 2.5 : Diberikan sistem persamaan linear fuzzy − 2
=
+ 3
=
Tentukanlah sistem persamaan linear fuzzy baru. Penyelesaian: Langkah-langkah dalam penyelesaian adalah sebagai berikut : 1. Mengubah sistem persamaan linear fuzzy kedalam bentuk matriks seperti pada persamaan (2.9): 1 −2 1 3
=
2. Mengubah matriks ≥ 0⟹
Untuk Nilai
untuk
berikut :
=
=
= 1,2,
= 1,
= 1
= 3,
= 3,
= 3
Untuk Nilai
= 1,
berikut: = − 2,
,
= 2 diperoleh sebagai
= 1
< 0⟹− untuk
berdasarkan Persamaan (2.13)
= 1,2 berturut-turut dan
= 1,
= 1,
Dan
menjadi matriks
= 1,
= − 2,
=
,
=
,
= 2 berturut-turut dan
= 2 diperoleh sebagai
= −2
= 0 untuk yang lainnya.
Sehingga diperoleh matriks
sebagai berikut :
II-12
1 0 1 3 = 0 −2 0 0
Matriks
0 0 1 1
−2 0 0 3
akan diubah menjadi sistem persamaan linear fuzzy baru dengan
melakukan operasi pada persamaan (2.13), maka diperoleh : 1 0 1 3 0 −2 0 0
0 0 1 1
−2 0 0 3
=
Jadi, diperoleh persamaan linear fuzzy baru sebagai berikut : +
=
+ 3
=
+
=
+ 3
=
2.3.3 Sistem Persamaan Linear Fuzzy Kompleks Sistem persamaan linear fuzzy kompleks merupakan suatu sistem persamaan yang melibatkan bilangan fuzzy dan kompleks. Bilangan fuzzy kompleks dapat dinyatakan secara umum sebagai berikut : =
=
+
=
dengan, =
, dimana ,
,
( )+
dan 0 ≤ dan
=
≤ 1 ( )+
Taher Rahgooy, dkk (2009) mendefinisikan sistem persamaan linear fuzzy kompleks sebagai berikut yaitu : Definisi 2.4 (Taher Rahgooy, Vol. 1, No. 5 December, 2009) : +
+
+ ⋯+
+ ⋯+
=
=
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
(2.14)
II-13
+
+ ⋯+
=
=
Dengan matriks
bilangan kompleks
,1 ≤ , ≤ ,1 ≤
dan
merupakan konstanta dalam bentuk ≤
adalah bilangan fuzzy kompleks. Ini
disebut sebagai sistem persamaan linear fuzzy kompleks, atau persamaan diatas bisa disederhanakan menjadi : =
Misalkan =
+
Dengan
,
= 1,2, … ,
dan
= ,
,
+
=
, ,
.
+
Sehingga sistem persamaan linear diatas dapat ditulis sebagai berikut : +
+
=
+
,
= 1,2, … , (2.15)
Persamaan (2.15) dapat kita selesaikan sebagai berikut : +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ ⋯+ =
+
=
+
+ ⋯+
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ +
+
+
+
+
+
+
+ ⋯+
Selanjutnya kalikan satu persatu setiap entri-entrinya.
=
+
+
+
−
+
+
+
+
+
−
+
+
+
+ +
+ +
− −
−
=
+
=
+
−
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
+
+
−
+
+
+
+
+
−
−
=
+
+ ⋯+ +...+ +..+
II-14
Kemudian diurutkan berdasarkan konstanta, + +
+ +
+ ⋯+
+ ⋯+
+ ⋯+
+ ⋯+
+
)+ −
+
)+ −
+
−
+
−
− ⋯− − ⋯−
+ ⋯+ + ⋯+
=
+
=
+
+ ( + (
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ +
+
+ ⋯+
+ ⋯+
Selanjutnya, + +
+ +
+ ⋯+ + ⋯+
+ ⋯+
)+ −
)−
+ ⋯+
)−
+ +
+
+
−
− ⋯−
+ ⋯+
+
+ ⋯+
+
+ ⋯+
−
− ⋯−
−
− ⋯−
=
+
+ (
=
+
=
+
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ +
+
+ ⋯+
+ ⋯+
Selanjutnya, +
+
)−
+ ⋯+
+ ⋯+
+
−
−
+
−
− ⋯− −
−
+ ⋯+ =
− ⋯−
− ⋯−
+ (
+
+ ( + (
=
=
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ +
+
+
+ ⋯+
+ ⋯+
+ ⋯+
−
+
+
−
+
+
− ⋯−
+ ⋯+
+ ⋯+
=
=
=
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ +
+ ⋯+
+
+
+ ⋯+
=
(2.16)
Sistem persamaan linear pada persamaan (2.16) bisa dirubah kedalam bentuk matriks sebagai berikut :
II-15
⋮
⋮
⋮
⋮
… … ⋮ … … … ⋮ …
− −
⋮
−
− −
⋮
⋮
− ⋮
⋮
… − … − ⋮ ⋮ … − … … ⋮ ⋮ …
⋮
⋮
⋮
=
⋮
⋮
Untuk menyederhanakan sistem ini, dapat ditulis sebagai berikut: =
=
=
=
=
=
Kemudian kita rubah kedalam bentuk
untuk , = 1,2, … ,
dengan : −
=
,
=
dan
=
(2.17)
.
=
Sehingga dari persamaan 2.16 dapat ditentukan sistem persamaan linear fuzzy kompleks baru. −
=
(2.18)
2.4 Dekomposisi Doolittle Metode dekomposisi Doolittle merupakan salah satu cara untuk menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linear fuzzy. Dekomposisi Doolittle adalah suatu proses pemfaktoran matriks
menjadi
matriks segitiga bawah yang elemen diagonal
=
=
merupakan suatu
semuanya bernilai 1 dan
matriks segitiga atas dengan elemen diagonal persamaan linear akan berubah menjadi
, dengan
adalah
tak nol. Sehingga sistem =
.
Ilustrasi metode dekomposisi Doolittle sebagai berikut : Diberikan suatu matriks :
⋮ ⋮
… … ⋮ …
⋮
(2.19)
II-16
Kemudian matriks
difaktorkan menjadi matriks segitiga bawah
dan matriks
segi tiga atas : 1
0 1 ⋮
⋮
… 0 … 0 ⋮ ⋮ … 1
0 ⋮ ⋮ 0 0
… ⋯ ⋮ …
(2.20)
⋮
Rumus untuk menyelesaikan persamaan linear diatas menjadi matriks segitiga bawah ( ) hingga matriks segitiga atas ( ) adalah sebagai berikut : Tahap 1 :
Baris pertama pada matriks
dikalikan dengan kolom pertama pada matriks
kemudian baris pertama pada matriks matriks
,
dikalikan dengan kolom kedua pada
dan begitu seterusnya.
= =
⋮ ⋮ =
Tahap 2 : Baris kedua pada matriks
dikalikan dengan kolom pertama pada matriks
kemudian baris ketiga pada matriks matriks =
dikalikan dengan kolom pertama pada
dan begitu seterusnya. →
=
,
→
= =
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ =
Tahap 3 :
→
=
Baris kedua pada matriks
dikalikan dengan kolom kedua pada matriks
kemudian baris kedua pada matriks
,
dikalikan dengan kolom ketiga pada matriks
dan begitu seterusnya. + +
= =
→ →
= =
− − II-17
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ +
=
Tahap 4 :
→
=
−
Baris ketiga pada matriks
dikalikan dengan kolom kedua pada matriks
kemudian baris keempat pada matriks matriks
,
dikalikan dengan kolom kedua pada
dan begitu seterusnya.
+
=
+
=
→
−
=
→
−
=
Sehingga rumus umum untuk mencari matriks
dan
mengunakan metode
Doolittle adalah sebagai berikut : =
−
− ∑
=
≤ , = 1, … , ≤ , = 1, … , (2.21)
Dengan menyelesaikankan =
=
menggunakan teknik penyulihan maju dan
menggunakan teknik penyulihan mundur, maka diperoleh nilai .
Selanjutnya akan diberikan contoh penyelesaian suatu matriks menggunakan dekomposisi Doolittle. Contoh 2.6 : 3 Diberikan matriks = 1 2 Penyelesaian : Matriks
− 1 2 2 3 , akan dicari bentuk dekomposisi Doolittle. −2 −1
difaktorkan menjadi matriks segitiga bawah
dan matriks segi tiga atas
: 3 = 1 2
− 1 2 2 3 = −2 −1
1
0 1
0 0 1
0 0
0
Rumus untuk menyelesaikan persamaan linear diatas menjadi matriks segitiga bawah ( ) hingga matriks segitiga atas ( ) adalah sebagai berikut : II-18
Tahap 1 : Baris pertama pada matriks
dikalikan dengan kolom pertama pada matriks
kemudian baris pertama pada matriks matriks
,
dikalikan dengan kolom kedua pada
dan begitu seterusnya.
=
= 3
=
= 2
=
= −1
Tahap 2 :
Baris kedua pada matriks
dikalikan dengan kolom pertama pada matriks ,
kemudian baris ketiga pada matriks
dikalikan dengan kolom pertama pada
matriks . =
→
=
=
→
=
Tahap 3 :
=
1 = 0.33 3
=
2 = 0.66 3
Baris kedua pada matriks
dikalikan dengan kolom kedua pada matriks
kemudian baris kedua pada matriks
,
dikalikan dengan kolom ketiga pada matriks
. + +
= =
→ →
=
−
= 2 − 0.33 − 1
= 2.33 =
−
= 3 − 0.33 2
= 2.33
II-19
Tahap 4 : Baris ketiga pada matriks
dikalikan dengan kolom kedua pada matriks
kemudian baris ketiga pada matriks
dikalikan dengan kolom ketiga pada matriks −
+
=
→
=
+
+
=
→
=
− 2 − 0.66 − 1 2.33 =
= − 1 − 0.66 2 = −1
Sehingga diperoleh matriks
1 0 0 = 0.33 1 0 dan 0.66 − 0.57 1
,
dan
−
= − 0.57 −
− − 0.57 2.33
sebagai berikut :
3 − 1 2 = 0 2.33 2.33 0 0 − 1
Jadi, diperoleh bentuk dekomposisi Doolittle : =
3 − 1 2 1 0 0 3 = 1 2 3 0.33 1 0 0 2 −2 −1 0.66 − 0.57 1 0
Berikut
akan
diberikan
contoh
− 1 2 2.33 2.33 0 − 1
penyelesaian
sistem
persamaan
linear
menggunakan metode dekomposisi Doolittle. Contoh 2.7 : Gunakan Dekomposisi Doolittle untuk menyelesaikan sistem persamaan linear berikut : 2 4
−2
+ 3 + 4
−
+ 3
− 3 −
Penyelesaian :
= 5
= 3 = 1
Sistem persamaan yang diberikan dapat ditulis kedalam bentuk matriks =
seperti pada persamaan (2.8)
II-20
2 = 4 −2
3 −1 4 −3 3 −1
Matriks
5 = 3 1
difaktorkan menjadi matriks segitiga bawah
dan matriks segi tiga atas
: 2 = 4 −2
1
3 −1 4 −3 = 3 −1
0 1
, ,
0 0 1
,
,
,
0 0
,
0
,
, ,
Rumus untuk menyelesaikan persamaan linear diatas menjadi matriks segitiga bawah ( ) hingga matriks segitiga atas ( ) adalah sebagai berikut : Tahap 1 :
Baris pertama pada matriks
dikalikan dengan kolom pertama pada matriks
kemudian baris pertama pada matriks matriks
dikalikan dengan kolom kedua pada
dan begitu seterusnya.
,
=
,
= 2
,
=
,
= −1
,
,
=
,
Tahap 2 :
= 3
Baris kedua pada matriks
dikalikan dengan kolom pertama pada matriks
kemudian baris kedua pada matriks
,
dikalikan dengan kolom kedua pada matriks
dan begitu seterusnya. ,
,
,
,
,
,
= + +
,
,
,
→ = =
, ,
,
,
=
=
→ →
, ,
4 = 2 2 ,
,
,
,
=
,
−
,
,
−
,
,
= 4− 2 3
= −2
=
,
= −3− 2 −1
= −1
II-21
Tahap 3 : Baris ketiga pada matriks
dikalikan dengan kolom pertama pada matriks
kemudian baris ketiga pada matriks
,
dikalikan dengan kolom kedua pada matriks
dan begitu seterusnya. ,
,
,
,
,
,
=
+ +
,
→
,
,
,
=
,
,
=
=
+
,
,
,
, ,
−2 = −1 2 →
,
,
=
,
Sehingga diperoleh matriks =
1 0 2 1 −1 −3
0 0 dan 1
Kemudian cari nilai 1 0 = 2 1 −1 −3 2
= 5 +
2 5 + −
=
→
dan
2 = 0 0
−
,
=
,
,
,
3− −1 3 −2 ,
=
,
−
= −3 ,
,
−
= −1− −1 −1 = −5
5 = 3 1
,
− −3 −1
sebagai berikut : 3 − 1 −2 −1 0 − 5
menggunakan tehnik penyulihan maju
0 0 1
,
=
= 3
− 3
= 13
= 3 − 10
= − 7 +
−5− 3 −7 +
16 +
= 1
= 1
= 1
= − 15 II-22
Diperoleh nilai =
sebagai berikut :
5 −7 − 15
Selanjutnya mencari nilai 2 3 − 1 = 0 −2 −1 0 0 − 5
−5
−2 −2
2 2
− 15 −5
= 3 −
5 −7 − 15
=
= − 15
=
dengan tehnik penyulihan mundur
=
.
= −7
− 3 = −7
−2
+ 3
= −7+ 3
= −4 −2
= 2 −
= 5
2
= 5− 3
+ 3 2 − 3= 5 =
2 2
= 1
Sehingga diperoleh nilai 1 = 2 3
Jadi, diperoleh nilai
sebagai berikut :
= 1,
= 2 dan
= 3
II-23
