BAB II LANDASAN TEORI
Beberapa teori yang dibutuhkan untuk membahas pemodelan matematika pada tugas akhir ini adalah: 2.1
Persamaan Diferansial Persamaan diferensial muncul dari masalah-masalah nyata dalam
kehidupan sehari – hari yang didalamnya menyangkut masalah perubahan, seperti gerak, laju dan sebagainya. Sebuahpersamaan diferensialadalah persamaanyang melibatkanfungsi yang tidak diketahuidan turunannya(Bronson, 2007). Sebuahpersamaan diferensialdikatakan persamaandiferensial biasa(PDB) jikafungsi yang tidak diketahuitergantung padahanyasatu variabel independen. Jikafungsi yang tidak diketahuitergantung pada duaatau lebih variabel independen,persamaan
diferensialtersebutdisebutPersamaan
DiferensialParsial
(PDP)(Bronson, 2007). Definisi 2.1 (Dennis, 2013)Sebuahpersamaandiferensialorde pertamadari bentuk +
=
(2.1)
disebut sebagaipersamaandiferensial linear dalamvariabel .
Denganmembagikeduasisidaripersamaan (2.1) dengankoefisienutama diperoleh bentukumumpersamaandiferensialyaitu:
Dengan
=
( ) ( )
dan
Persamaandiferensial munculsecara
=
=
.
biasa(PDB)
eksplisitdisebut
menunjukkanvariabel
−
. di
manavariabel
sebagaiautonomous.Jika
independen,
pertamaautonomousdapat ditulis sebagai yaitu =
( ) ,
makapersamaan ,
independentidak simbol diferensialorde
= 0 ataudalambentuk normal
(2.2)
II-1
Kita
akan
mengasumsikanbahwaseluruhfungsi
padapersamaan
(2.2)danturunannya ′adalah fungsi kontinu padasuatu interval (Dennis, 2013). 2.2
Titik Equilibrium, LinierisasidanKestabilan Diberikan sistem berdimensi dua =
=
Definisi 2.2 (Chasnov, 2012)Titik ∗
dari sistem persamaan (2.3) jika
,
∗
∗
∗
,
,
,
(2.3)
dikatakan sebagai titik equilibrium ∗
= 0 dan
∗
,
= 0.
Karakteristik dari titik equilibrium PDB autonomous nonlinier dapat diketahui dengan melakukan linierisasi sistem persamaan terkait, yakni dengan melakukan ekspansideret Taylor terhadap
=
di sekitar
pertama (Husin, 2012).
hingga orde
,
Diberikan sistem autonomousnon linier
dengan ( ∗ ,
∗
=
,
=
,
(2.4)
) merupakantitik equilibriumdarisistem. Kita akan menentukan
sistem linier terdekat ketika ( , ) tertutup terhadap ( =
Kita dapat
=
=
=
,
∗
,
,
∗
,
≈
∗
=
∗
≈
,
≈
≈
,
∗
,
∗
∗
,
∗
∗ ∗
,
,
∗
+
∗
+
,
,
∗
∗
+
= 0, maka ∗
∗
−
−
∗
∗
+
−
−
∗
∗ ∗
∗ ∗
,
,
,
∗
+
).
∗
∗
+ ∗ ∗
,
−
−
,
∗ ∗
−
−
∗ ∗
∗ ∗
(2.5)
Persamaan (2.5) merupakan sistem persamaan linier. Koefisien matriksnya adalahsebagaiberikut:
II-2
∗
=
∗
,
,
∗
∗
∗
∗
,
,
∗ ∗
(2.6)
Matriks (2.6) merupakan matrik jacobian dari sistem persamaan (2.5) pada titik Equilibrium(
∗
,
∗
) dengan
∗
=
∗ ∗
Jika titik equilibrium =
−
∗
,
∗
,
,
∗
∗
∗
∗
,
,
∗
∗
− −
∗
∗
(2.7)
≠ (0,0) , maka dengan dipilih
=
−
∗
dan
, kita boleh membuat sistem baru dengan (0,0) sebagai titik
Equilibrium(Malek,2007).
Matriks dalam persamaan (2.6) disebut matriksJacobianpadatitik tetap. Sebuah
analisisnilai
eigen
menghasilkanduanilai eigen
dan
darimatriksJacobianbiasanyaakan
. Nilai eigenmungkin bernilai real dan
berbeda, pasangankonjugat kompleks, atau berulang. Titikequilibrium dikatakan stabiljika keduanilai eigenmemilikibagian realnegatif.Titiktetap dikatakantak stabiljika
setidaknya
salah
satudarinilai–nilaieigenmemiliki
bagianreal
positif(Chasnov, 2012). Definisi2.3(Sasane, 2007)Titik equilibrium > 0, terdapat
≥ 0, |
−
dikatakan stabil jika untuk setiap
> 0 sebagaimana sehingga jika | 0 −
| ≤
. Jika tidak, titik equilibrium
| ≤
untuk setiap
disebut tidak stabil.
Definisi2.4 (Anton, 2004) Jika A sebuahmatriktak nol berukuran , maka sebuah vektor taknolpada
disebut vektor eigen (eigen vector) dari
jika
adalah sebuah kelipatan skalar dari . Jelasnya,
Untuk skalar sebarang . Scalar disebut sebagai vector eigen dari
=
(2.8)
disebut nilai eigen (eigen value) dari , dan yang terkait dengan .
Untukmemperolehnilaieigandarimatriks ,
persamaan (2.8)
, kita menuliskan kembali
II-3
=
Atausecaraekuivalen
Agar
−
= 0 (2.9)
dapat menjadi nilai eigen, harus terdapat solusi taknol dari persamaan ini.
Akan tetapi, persamaan (2.8) memilikisolusitaknoljikadanhanyajika det
Pesamaan(2.10)
−
= 0 (2.10)
disebutpersamaankarakteristik
(characteristic
equation)
matriks . Skalar – skalar yang memenuhipersamaaniniadalahnilai – nilaieigen . Berikutdiberikanbentukkhususdarikestabilantitikkesetimbanganuntuksiste m linier dua variable terikat. = Dengan , , =
dan
konstan. Misalkan
(2.11) merupakan nilai eigen dari matriks
, maka diperoleh persamaan karakteristik −
+
+
−
Akar – akarpersamaankarakteristikditentukandengan
Atau
Dengan =
+
dan
,
=
,
=
=
+
±
±
−
2
+
2
= 0 (2.12)
− 4
−
− 4
Kestabilandarisitempersamandiferensial
linier
autonomous
dapatditerangkansebagiberikut: 1.
,
a.
1)
real dan berbeda jika Δ = ,
2) b.
,
positif jika
, ,
positif jika
< 0:
negatif jika
beda tanda jika
− 4 > 0
> 0 dan tidak stabil < 0 dan stabil
< 0 dan tidak stabil
II-4
c. Salah satudarinilaikarakteristiknyabernilainoljika = 0 1) Akarlainnyapositifjika > 0 dan tidak stabil
2) Akarlainnyanegatifjika < 0 dan stabil netral
2.
,
a.
real dan sama jika Δ = 0 ,
sama tanda
1) Keduanyapositifjika > 0 dan tidak stabil 2) Keduanya negative jika < 0 dan stabil
b. 3.
,
=
= 0, bila
kompleks jika Δ < 0
a. Real
1) Real
sama tanda
,
b. Real
,
semuanya positif jika
,
2) Real
Definisi2.5
> 0 dan tidak stabil.
negatif jika
,
beda tanda jika
> 0 dan tidak stabil
< 0 dan stabil
= 0 dan stabil netral.
Titikequilibriumdaripersamaan
asimtotiklokaljikastabil dan tidakada berartibahwa lim
globaljika
→
iniberlaku untuk semua
=
(2.2)
disebut
stabil
> 0 sedemikian sehingga |
− | <
. Titikekuilibriumini disebutstabil asimtotik
> 0.
Teorema 2.1Asumsikanterdapatfungsiterdiferensialkan : → didefinisikanpada beberapawilayahterbuka ⊂
mengandungtitik asal,
sedemikian sehingga. 1. 2. 3.
(0) = 0.
( ) > 0untuk semua ∈ dengan ≠ 0. ≤ 0untuk semua ∈ .
Maka titik equilibrium
= 0stabilAsimtotikLokaldari
Inijuga disebutturunanLiedari fungsi
=
( ).
sepanjangvektorlapangan . Fungsiyang
memenuhi kondisiTeorema2.1 disebut fungsiLyapunov.
II-5
Teorema 2.2 (LaSalle’s Theorem)diberikan ⊆
tertutup dan terbatas yang
merupakan himpunan invariant. Diasumsikan fungsi yang dapat didiferensialkan : → ℝseperti berikut
yang merupakan himpunan invariant terbesar yang memuat { ∈
Diberikan |
≤ 0, ∀ ∈
= 0} (himpunan dari
mulai dari
menuju
∈ dimana
= 0 ). Maka semua trajektori
dengan → ∞.
Mempertimbangankanpersamaankarakteristikmatriks , memiliki bentuk: +
+
+ ⋯+
Dengankoefisien real konstan, = 1, … . definit menggunakan koefisien
,
= = =
= 0 jika >
matriks Hurwitz
dari polinomial karakteristiksebagaiberikut: =
dengan
= 0,
1
1
0
1
0 0 1
… … … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 00 0
⋮ 0
0 0 0 ⋮
. Semua akar dari persamaan karakteristik
( ) bernilai
negatif atau memiliki bagian real negatif jika determinan dari semua matriksHurwitz bernilaipositif. det
> 0, = 1,2, …
Jika = 2, kriteria Routh-hurwitzditentukansebagaiberikut: atau
det
> 0 dan
=
> 0dandet
= det
1
=
> 0. Untuk polynomial yang berderajat
routh-hurwitz dapat disimpulkansebagaiberikut: = 2:
0
> 0dan
> 0
= 2,3,4,5, kriteria
> 0.
II-6
= 3:
> 0,
= 5:
> 0, = 1,2,3,4,5,
= 4:
2.3
> 0, dan
> 0,
> 0,
−
>
> 0dan
−
+
>
>
+
+
>
dan −
+
Model Matematika Secaraumumpengertian
model
adalahsuatuusahauntukmenciptakansuatureplika/tiruandarisuatufenomena/peristiw aalam. Ada tigajenis model yaitu model fisik, model analogidan model matematik. Model
matematikatersebutdibuat
denganmendiskripsikanfenomena/peristiwaalamdalamsatu
set
Kecocokan
terhadapfenomena
model
persamaan.
/peristiwaalamnyatergantungdariketepatanformulasipersamaanmatematisdalamme ndiskripsikanfenomena/peristiwaalam yang ditirukan. Model matematika yang diperolehdarisuatumasalahmatematika yang diberikan,
selanjutnyadipecahkandenganaturan-aturan
yang
adauntukmemperolehnilaivariabelnya.Kemudianjikanilaivariabeltelahdiperoleh, perludiujiataudilakukaninterpretasiuntukmengetahuiapakahnilaiitu valid atautidak valid.Hasil
yang
valid
akanmenjawabsecaratepat
model
matematikanya.
Hasilsepertiinilah yang disebutsolusimatematika.Jikanilaivariabelnyatidak valid atautidakmemenuhi
model
matematikamakasolusimasalahbelumditemukan,
danperludilakukanpemecahanulangatas
model
matematikanya.Secaraumum
proses pemodelandanpemecahan model dapatdilihatsepertipadaGambar1 di bawahini. MasalahNyat a
Prediksi / Interpretasi
Model Matematika
SolusiMatem atika
II-7
Gambar 2.1Bagan Proses Pemodelan Kadang – kadang Kita mengalami kesulitan untuk menyelesaikan solusi pada dunia nyata secara langsung. Oleh karena itu, terlebih dahulu kita nyatakan masalah
tersebut
kedalam
model
matematika.
ditelitidiperlukankarakterisasimasalah, mendasartentangmasalah
yang
Masalah
yang
yaitupengertianyang
dihadapi,
termasukpemilihanvariabel
yang
relevandalampembuatan model sertaketerkaitanya. Dalampemodelaninikitaselaluberusahauntukmencari
model
yang
sesuaitetapisederhana.Makin sederhanamodel yang diperolehuntuktujuan yang ingindicapaimakindianggapbaikmodel
itu.Dalamhalini
model
yang
digunakanmungkinlebihdarisatupersamaanbahkanmerupakansuatusistem, atausuatufungsidenganvariabel – variabeldalambentukpersamaan parameter. Interpretasihasilatausolusiadalah proses
yang akan menghubungkan
formulasi matematika kembali ke problem nyata. Dari sini lah diketahui, apakah model mewakili data yang ada. Seseorang boleh memutuskan untuk memodifikasi model dalam usaha untuk memperbaikinya.
2.4
BilanganReproduksiDasar Untukmengetahuitingkatpenyebaransuatupenyakitdiperlukansuatu
parameter
tertentu.Parameter
biasadigunakanadalahBilanganReproduksiDasar
yang (Basic
Reproduction
Number).BilanganReproduksiDasaradalahbilangan yang menyatakanbanyaknya rata-rata
individuinfektifsekunderakibattertularindividuinfektif
berlangsungdidalampopulasisusceptible.
Namunadapula
primer
yang yang
mengartikanrasioatauperbandingan yang menunjukkanjumlahindividususceptible yang menderitapenyakit yang diakibatkanolehsatuindividuinfected. Jika model hanyamempunyaiduatitikkesetimbanganyaitutitikkesetimbanganbebaspenyakitdan titikkesetimbanganendemik, makatidakterjadiendemikjika endemik jika
2.5
> 1(Rahmalia, 2010).
< 1 dan terjadi
Model Pertumbuhan Logistik
II-8
Model
pertumbuhan
logistik
pertama
kali
diperkenalkan
oleh
matematikawan dari belgium, Verhulst dalam tahun 1838 (Waluya, 2006). Perkiraan dasar model populasi dengan laju pertumbuhan konstan adalah =
=
atau
Secara umum laju pertumbuhan
boleh tidak konstan, tetapi mungkin
bergantung pada populasi seperti berikut =
=
atau
(2.13)
dengan ( ) merupakan pertumbuhan yang bergantung pada
, diasumsikan
( ) merupakan model kontinu.
bahwa populasi cukup besar sehingga model
Untuk populasi yang cukup besar eksperimen memperlihatkan bahwa laju pertumbuhan menjadi negatif (kematian lebih banyak dari kelahiran). =
Diberikan
Dengan
dan
pengaruh lingkungan dan
−
sehingga persamaan (13) menjadi =
−
(2.14)
konstanta positif,
adalah laju pertumbuhan tanpa
merepresentasikan efek dari peningkatan kepadatan
populasi. Persamaan (2.14) merupakan Persamaan Diferensial orde satu non linier dan sering disebut sebagai persamaan logistik(Widodo, dkk, 2007). Solusi eksplisit dari persamaan logistik (2.14) dapat ditentukan sebagai berikut: ( −
)
=
(2.15)
Integralkan persamaan (2.15) dengan metode integral pecahan, sehingga menjadi
Perhatikan bahwa
∫
−
Sehingga persamaan (2.15a) menjadi
= ∫
2.15 1 −
=
+
−
2.15
II-9
1
dan diperoleh
Dengan syarat awal
1
∫
+
∫
1
ln| | − 0 =
= ∫
−
ln| −
, diperoleh
|=
1
=
2.15 + 2.15 1
|−
ln|
ln| −
Subtitusikan persamaan (2.15e) ke persamaan (2.15d), karena
| 2.15 dan
bernilai positif, maka diperoleh 1
ln| | − 1 1
ln| −
ln| | −
1
ln| −
(ln| | − ln|
Semula Nilai
1
−
|=
|) −
+
|−
1
1
1
|−
ln|
|+
ln|
(ln| − 1
1
ln| −
ln| −
|
| =
| − ln| −
| =
− −
=
1 – ln
ln
− −
ln
−
dan
1
− −
memiliki
= 2.15
=
tanda
(2. 15 ) yang
berubahtanda jikaada nilaiberhinggat, sedemikian sehingga −
sama. =
0, yaitujika populasikesetimbangan tercapaidalam waktu yangberhingga. Seperti yang kitatahu, initidak bisaterjadi.Khususnya, jika (2.15f) menunjukkan waktu(Haberman, 1998). Karena
= + ∞ . sehinggatanda
−
= 0, maka persamaan tetappositifsepanjang
selalu positif untuk setiap , sehingga
− −
−
−
=
= ( −
=
)
−
II-10
− = =
−
−
+ +
=
+
=
(2.15ℎ) (15 )
1+
Kurva dari persamaan logistik (15 ) adalah sebagai berikut:
Gambar 2.2 Kurva Solusi Persamaan Pertumbuhan Logistik
2.6
Model SIR ModelSIR,
yang
dikembangkan
pada
tahun
olehKermackdanMcKendrickdansekarangmerupakansalah modelepidemiologistandar.
Modelitu
menjaditiga
(Susceptible/rentan)
kelasyaitu:
terhadap infeksi,
sendiri
1927 satu
cukupsederhana,populasidibagi yaituporsipopulasiyangrentan
(Infecteds/terinfeksi) yaituporsiyang saat initerinfeksi dan
, (Recovereds/pulih) yaituporsidari populasiyangtelah pulihdari infeksi. Beberapa Asumsi model SIR adalah:
a. Seorang individuhanya dapattertularpenyakitsekali. b. Tingkat kelahiranadalah konstandan semuabayi yang baru lahirrentan
(
).
c. Individurentan
(
) dan terinfeksi(
) tercampur
ratasehinggainfeksibergerakdengan lajuyang sebanding padakeduatingkatan.
II-11
d. Individupulihpada tingkat yang konstan. e. Tingkatkematian alamiadalahkonstan dan samadi semua kelas. f.
Populasidilestarikan. Satu-satunyafluksmasuk dan keluaradalahdarikelahiran dan kematianmasing-masingkelas. Seperti model pada umunya yang terdiri dari variabel – variabel.
Variabelindependen untukmodel iniadalah waktu ( ) dan ada tigavariabel dependenyaitu: 1. 2. 3.
=
( ), yang merupakanjumlahindividu yang rentan
=
( ),yang merupakanjumlah individupulih
= ( ), yang merupakanjumlahindividu yang terinfeksi
Populasimengalir darisatu kelompokke yang berikutnya.Total populasi adalah jumlahdari ketiganya: =
+
+
Dari asumsi – asumsi yang telahdibahasdiatas, alur model Endemik SIR ditunjukanolehbagandibawahini.
S
I
R
Gambar 2.3 Diagram Alir Model inidapatdinyatakansebagaitigaPDB nonlinier sebagai berikut: =
=
−
=
Dengan parameter:
−
−
−
−
(2.16)
: adalahtingkat kelahiran. : adalahtingkat penularanataukontak, yangdapat dianggapsebagai tingkatyang kontakyang
terbuatdikalikan
dengankemungkinan
penularandi
seluruhkontak.
II-12
:adalah tingkatkematianper kapitayang sama denganinvers dariharapan hiduprata-rata. : adalahtingkat pemulihan. Iniadalah kebalikan darimasamenular. diasumsikan jumlah populasi konstan, sehingga +
+
+
+
jadi
Jika
=
,
dengan
kata
=
(2.17) = 0
lainkelahiran
dan
kematianyangsama
sehinggapopulasitetap beradapadaukuran yangkonstan, sehingga persamaan (2.17) menjadi +
+
= 1
Titik Kesetimbangan adalah solusi konstandari sistem, pada sistem (2.16) variabel
tidak muncul pada persamaan baris pertama dan kedua. Hal ini
menunjukkan bahwa jumlah individu pada kelompok R tidak mempengaruhi laju perubahan jumlah individu pada kelompok S maupun I, maka titik kesetimbangan diperoleh apabila
=
= 0 . Dengan demikian, berdasarkan kondisi tersebut,
diperoleh dua titik Equilibrium sebagai berikut: Dalamkeadaansetimbang, menjadi: 0=
0=
=
= 0
−
−
−
−
Untuktitikkesetimbanganbebaspenyakit (
sehingga
persamaan
(2.16)
(2.17) )
diasumsikan
tidak
ada
individuyang terinfeksipadasaat , sehingga ( ) = 0, maka dapat diperoleh nilai ( )dan ( ). Langkah – langkahnyaadalahsebagaiberikut: = 0,sehinggapersamaan (2.17) menjadi 0=
=
−
Sehinggadiperolehtitikkesetimbanganbebaspenyakit
=
,0
II-13
Untukmenentukantitikkesetimbanganendemikdiasumsikanterdapatindividu ≠ 0.
yang terinfeksipenyakitsehingga Karena
≠ 0, maka persamaan (2.16) menjadi: 0=
−
0=
−
−
↔
−
↔
Dari persamaan (2.18b) diperolehnilai
∗
yaitu:
=
∗
dengan
∗
= ∗
Subtitusikannilai
=
−
=
(2.18 )
+
(2.18 )
+
+
=
= 1/
kepersamaan (2.18a) sehinggadiperolehnilai ∗ ,
=
∗
=
=
−
−
∗
∗
∗
diasumsikan bahwa kematian sama dengan kelahiran ( = = = =
∗
Ketika ∗
−
.
1− ∗
=
∗
∗
1
), maka diperoleh
∗
∗
− 1
− 1
> 0 diperoleh titik kesetimbangan endemik dari sistem(2.16),
= ( ∗ , ∗ )dengan Kestabilan
∗
= 1/
linear
,
∗
=
− 1
dapatdiketahuimelaluitandabagian
real
dariakar-
akarkarakteristikmatriksJacobian yang dihitungdisekitartitikkesetimbangan. Didefinisikan fungsi-fungsi sebagai berikut:
II-14
( , )=
−
( , )=
−
−
−
Untuk menyelidiki kestabilan titik kesetimbangan dilakukan linearisasi terhadap persamaan non linear di atas ( , ) ,
( , ) ,
=
( −
=
(
=
−
− −
− −
=
)
= =
−
)
−
− = =
danmatriksjacobiannyadibentuksebagaiberikut: ( , )
=
−
−
,
( , )
,
2.6.1 Kestabilan Titik Kesetimbangan =
Matriksjacobian di titik
= =
,
=
−
0
, 0 adalah −
−
Nilaiegeindarimatrikjacobian di atasadalah |
− λI =
0
− λ 0
− −
− − λ
− −
−
− λ
1 0 = 0 0 1 = 0
II-15
− λ
λ =
< 0 dan >
stabil jika
+
<
.
atauλ =
+
∗
Matriksjacobian di titik
=
−
∗
−
∙
−
∗
=
∗
−
−
,
< 0 . hal tersebut
∗
,
=
−
− 1 −
∙
tidak
∗
∗
∗
1/ −
− 1
− ( − 1)
=
− λ = 0
, kebalikan nya titik kesetimbangan
2.6.2 Kestabilan Titik Kesetimbangan
=
−
akan stabil Asimtotik jika λ
Titikkesetimbangan terjadi jika
−
−( + 0
)
1
/
,
− 1 adalah
/
−
−
Nilaiegeindarimatrikjacobian di atasadalah |
− ( − 1)
|= −
−
−
)
−
− 1 −
−
,
=
±
(
− λ
− − 1)
+
1 0 = 0 0 1
−( + −
−
( − ( +
)
= 0 = 0
)) = 0
− 4 − + 2 Titik equilibrium stabil jika bagian real dari kedua nilai eigen bernilai λ
−
+
−( + 0
negatif. Jika diskriminan dari persamaan karakteristik bernilai negatif maka nilai eigen bernilai kompleks tapi keduanya memiliki bagian real yang negatif. Ketika diskriminan bernilai positif,
akan selalu real negatif, tetapi
bernilai negatif
jika
II-16
−4
− −
Oleh karena itu, titik equilibrium dan tidak stabil jika
< 1.
+
< 0
+
+
∗
,
∗
> 0 > 1 > 1
=
,
− 1
stabil jika
> 1
II-17
