BAB II KAJIAN TEORI. Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya

BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya untuk pemodelan yang membutuhkan solusi dari sebuah permasalahan. Pemodelan matematika dalam bidang biologi khususnya untuk populasi, pada dasarnya terdiri dari sistem persamaan diferensial yang linier maupun nonlinier. Sistem predatorprey merupakan sistem persamaan diferensial tak linier yang memodelkan interaksi antara dua spesies yakni pemangsa dan mangsa. Definisi 2.1. Sistem persamaan diferensial tak linier (Tu,[8]) Diberikan sebuah sistem persamaan diferensial sebagai berikut : 𝑥̇ 1 = 𝑓1 (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) 𝑥̇ 2 = 𝑓2 (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 )

(2.1)

⋮ 𝑥̇ 𝑛 = 𝑓𝑛 (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) dengan 𝑓𝑖 : 𝐹  ℝ𝑛 → ℝ, 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛 dan (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝐹  ℝ𝑛 . Sistem persamaan (2.1) dapat ditulis sebagai berikut : 𝑥̇ = 𝑓(𝑥) dengan 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝐹  ℝ𝑛 dan 𝑓(𝑥) = (𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), ⋯ , 𝑓𝑛 (𝑥)).

5

(2.2)

Sistem ini disebut sistem persamaan diferensial tak linier dengan solusi 𝑥̈ = 𝑓′(𝑥). 2.2 Sistem Predator-Prey Dua populasi, dalam hal ini predator (pemangsa) dan prey (mangsa) pada waktu 𝑡 masing-masing dilambangkan dengan 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡). Fungsi 𝑥 menunjukkan jumlah populasi predator (pemangsa) dan fungsi 𝑦 menunjukkan jumlah populasi prey (mangsa), tapi dianggap fungsi kontinu. Perubahan dalam ukuran populasi dengan waktu dideskripsikan oleh waktu derivatif 𝑥̇ ≡

𝑑𝑥 𝑑𝑡

dan 𝑦̇ ≡

𝑑𝑦 𝑑𝑡

, dan model umum

dari populasi yang saling berinterkasi ditulis dalam dua persamaan diferensial otonom : 𝑥̇ = 𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦)

(2.3)

𝑦̇ = 𝑦 𝑔(𝑥, 𝑦) (yaitu, waktu 𝑡 tidak muncul secara eksplisit dalam fungsi 𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦) dan 𝑦 𝑔(𝑥, 𝑦)). Fungsi 𝑓 dan 𝑔 menunjukkan tingkat pertumbuhan per kapita dari kedua spesies. Diasumsikan bahwa

𝑑𝑓(𝑥,𝑦) 𝑑𝑦

𝑑𝑔(𝑥,𝑦)

< 0 dan

𝑑𝑥

> 0, artinya ketika predator

(pemangsa) berkurang maka prey (mangsa) akan bertambah. Model umum ini sering disebut model Kolmogorov predator-prey. (Prihantoso, Kus [4]) Pada tahun 1920-an, model Lotka-Volterra mempunyai bentuk yang sangat sederhana. Hal ini didasarkan pada tingkat pertumbuhan linier per kapita. Model ini belum memperhitungkan adanya kompetisi antar prey (mangsa) karena terbatasnya sumber makanan dan juga belum memperhitungkan adanya kompetisi antar predator (pemangsa). Bentuk dari model Lotka-Volterra ditulis sebagai :

6

𝑥̇ = 𝑎𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑦 (2.4) 𝑦̇ = −𝛿𝑦 + 𝑄(𝑥)𝑦 dengan 𝑥 > 0 adalah populasi predator (pemangsa), 𝑦 > 0 adalah populasi prey (mangsa), 𝑎 > 0 adalah tingkat pertumbuhan predator (pemangsa), dan 𝛿 > 0 adalah tingkat kematian alami prey (mangsa). Fungsi 𝑃(𝑥) dan 𝑄(𝑥) disebut sebagai fungsi respon. (Prihantoso, Kus [4]) Pada tahun 2000, Zhu, Campbell, dan Wolkwowicz meneliti system : 𝑥̇ = 𝛼𝑥 − 𝑥 2 − 𝑃(𝑥)𝑦 (2.5) 𝑦̇ = −𝛿𝑦 + 𝑄(𝑥)𝑦 𝑚𝑥

dengan 𝑃(𝑥) = 𝛼𝑥 2 +𝛽𝑥+1, 𝑄(𝑥) = 𝑐𝑃(𝑥) nilai 𝛼, 𝑚, 𝑐 > 0 dan −2√𝛼 < 𝛽 < 2√𝛼. Dengan nilai 𝛼, 𝛽, 𝑚 dan 𝑐 tersebut, maka fungsi 𝑃(𝑥) dan 𝑄(𝑥) selalu bernilai positif. Sistem (2.5) ini telah menggunakan respon fungsi tak monoton. (Prihantoso, Kus [4]) Dalam (Prihantoso, Kus [4]), terhadap sistem (2.5) dilakukan penskalaan berikut : 1

𝑎

𝑎

𝑡 = 𝑎 𝜏, 𝑥 = 𝑐𝑚 𝑥̃, 𝑦 = 𝑚 𝑦̃,  = 𝑐𝑚̃ , 𝛿 = 𝑎𝛿̃, 𝜇 = 𝑚𝜇̃, 𝛼 =

7

𝑐 2 𝑚2 𝑎2

𝛼̃, dan 𝛽 =

𝑐𝑚 𝑎

𝛽̃.

Sehingga dengan membuang tanda tilde variabel baru, didapatkan sistem predatorprey dengan respon fungsi tak monoton : 𝑥̇ = 𝑥(1 − 𝑥) −

𝑥𝑦 𝛼𝑥 2 + 𝛽𝑥 + 1 (2.6)

𝑦̇ = −𝛿𝑦 − 𝜇𝑦 2 +

𝛼𝑥 2

𝑥𝑦 + 𝛽𝑥 + 1

2.3 Sistem Dinamik Sistem dinamik membahas tentang perilaku jangka panjang untuk meningkatkan sistem. Teori modern dari sistem dinamik berasal dari abad ke-19 mengenai stabilitas dan evolusi dari tata surya. Secara analogi, evolusi keadaan tertentu dari suatu sistem dinamik disebut orbit. Pada sebarang waktu yang diberi, satu system dinamik memiliki keadaan yang ditentukan oleh suatu himpunan bilangan real (suatu vector) yang diwakili oleh suatu titik dalam ruang yang bersesuaian. Sebarang perubahan kecil dalam keadaan sistem adalah bergantung pada perubahan kecil dalam himpunan tersebut. Definisi 2.2. Sistem dinamik adalah tiga variable {𝑇, 𝑋, 𝜑 𝑡 }, dimana 𝑇 adalah waktu yang ditetapkan, 𝑋 adalah ruang fase, dan 𝜑 𝑡 : 𝑋 → 𝑋 himpunan dari operator evolusi parameter oleh 𝑡 ∈ 𝑇 dan memenuhi sifat (𝜑 0 = id) dan (𝜑 𝑡+𝑠 = 𝜑 𝑡  𝜑 𝑠 ). (Kuznetsov, [3])

8

2.4 Titik Ekuilibrium Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial (sistem dinamik kontinu) autonomos atau sistem yang tidak bergantung secara eksplisit terhadap waktu, sebagai berikut : 𝑥 ∈ 𝐸  ℝ𝑛

𝑥̇ = 𝐹(𝑥),

dengan 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , ⋯ , 𝑥𝑛 ), 𝑓: 𝐸 → ℝ𝑛 , 𝑓 = (𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , ⋯ , 𝑓𝑛 ). Titik ekuilibrium dari sistem (2.7) adalah suatu solusi 𝑥̅ ∈ ℝ𝑛 sedemikian sehingga 𝑓(𝑥̅ ) = 0. (Wiggins, [9]) Definisi 2.3. Sebuah titik ekuilibrium dikatakan hiperbolik jika bagian real nilai eigen dari matriks jakobi 𝐽(𝑢, 𝑣) adalah tidak nol. Jika bagian manapun nilai eigen dari matriks jakobi adalah nilai nol, maka titik ekuilibrium disebut nonhiperbolik. (Wiggins, [9]) Dari definisi (2.3) apabila dari sistem persamaan diferensial autonomous diatas diperoleh nilai eigen dengan bagian real tak nol maka dapat dikatakan bahwa titik ekuilibrium 𝑥̅ adalah titik ekuilibrium hiperbolik, sedangkan apabila terdapat nilai eigen dengan bagian real yang nol maka titik ekuilibrium 𝑥̅ disebut titik ekuilibrium nonhiperbolik. (Wiggins, [9]) Dalam analisis kestabilan titik ekuilibrium dengan menggunakan nilai eigen dari matriks 𝐴, mensyaratkan bahwa 𝑥̅ haruslah titik ekuilibrium hiperbolik. Definisi 2.4. Titik ekuilibrium 𝑥̅ (𝑡) dikatakan stabil liapunov jika, untuk 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0 sehingga untuk setiap solusi 𝑦(𝑡) dari sistem (2.7) yang

9

(2.7)

memenuhi |𝑥̅ (𝑡0 ) − 𝑦(𝑡0 )| < 𝛿 berakibat |𝑥̅ (𝑡) − 𝑦(𝑡)| < 𝜀 untuk 𝑡 > 𝑡0 , 𝑡0 ∈ ℝ. (Wiggins, [9]) Definisi 2.5. Titik ekuilibrium 𝑥̅ (𝑡) dikatakan stabil asimtotik jika memenuhi definisi 2.4 dan jika terdapat 𝑏 ∈ ℝ+ sehingga jika |𝑥̅ (𝑡0 ) − 𝑦(𝑡0 )| < 𝑏 berakibat lim |𝑥̅ (𝑡) − 𝑦(𝑡)| = 0. (Wiggins, [9])

𝑡→∞

Untuk menganalisa perilaku disekitar titik ekuilibrium yang tidak hiperbolik dapat dilakukan dengan metode manifold center. Metode ini juga dapat digunakan untuk menganalisa perubahan struktur orbit pada sistem yang bergantung pada parameter. 2.5 Pelinieran Pelinieran adalah proses dimana sistem yang nonlinier dapat dilinearkan secara lokal, yaitu suatu penyelesaian di sekitar pertubasi kecil dan mempnuyai perilaku yang sama seperti sistem nonlinier. (Subiono,[6]) Sistem (2.7) adalah bentuk sistem non linier yang masih sulit untuk di analisa, sehingganya untuk lebih memudahkan dalam menganalisis sistem (2.7), perlu dilakukan pelinieran di titik ekuilibrium 𝑥̅ (𝑡). Misalkan, 𝑥 = 𝑥̅ (𝑡) + 𝑦

(2.8)

dengan mensubtitusi (2.8) ke (2.7) maka diperoleh persamaan sebagai berikut : 𝑥̇ = 𝑥̅̇ + 𝑦̇ kemudian melalu ekspansi taylor di sekitar titik ekuilibrium 𝑥̅ (𝑡). Maka diperoleh:

10

(2.9)

𝑥̇ = 𝑓(𝑥(𝑡))𝑦 + 𝑂(|𝑦|2 )

(2.10)

𝑥̇ (𝑡) + 𝑦̇ = 𝑓(𝑥(𝑡)) + 𝐷𝑓(𝑥(𝑡))𝑦 + 𝑂(|𝑦|2 ) Oleh karena 𝑥̅ (𝑡) = 𝑓(𝑥̅ (𝑡)).

maka persamaan (2.10) dapat disederhanakan

menjadi persamaan berikut : (2.11)

𝑦̇ = 𝐷𝑓(𝑥̅ (𝑡))𝑦 + 𝑂(|𝑦|2 ) Jika 𝑇 = 𝐷𝑓(𝑥̅ (𝑡)), maka system (2.11) dapat dituliskan menjadi :

(2.12)

𝑦̇ = 𝑇𝑦 + 𝑂(|𝑦|2 ) Dengan demikian, untuk mempelajari dinamik disekitar titik ekuilibrium dari system (2.7), maka kita hanya akan mempelajari bagian linier dari (2.12), yaitu: 𝑦 ∈ ℝ𝑛

𝑦̇ = 𝑇𝑦,

(2.13)

2.6 Metode Manifold Center Bergantung Pada Parameter Sebuah system persamaan diferensial difenisikan sebagai berikut : 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑦 = 𝐵𝑦 + 𝑔(𝑥, 𝑦),

(2.14) (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ𝑠 × ℝ𝑐

dimana : 𝑓(0,0) = 0, 𝐷𝑓(0,0) = 0 𝑔(0,0) = 0, 𝐷𝑔(0,0) = 0

11

(2.15)

dengan 𝐴 matriks 𝑐 × 𝑐 dengan nilai eigen tidak hiperbolik, 𝐵 matriks 𝑠 × 𝑠 dengan niali eigen hiperbolik negatif, dimana 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi 𝐶 𝑟 (𝑟 ≥ 2). (Wiggins, [9]) Misalkan persamaan (2.14) bergantung pada parameter, 𝜀 ∈ ℝ𝑝 , maka system persamaan diferensial dapat ditulis sebagai berikut : 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜀)

(2.16)

𝑦̇ = 𝐵𝑦 + 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝜀) dimana 𝑓(0,0,0) = 0, 𝐷𝑓(0,0,0) = 0

(2.17)

𝑔(0,0,0) = 0, 𝐷𝑔(0,0,0) = 0 dengan 𝐴 matriks 𝑐 × 𝑐 dengan nilai eigen tidak hiperbolik, 𝐵 matriks 𝑠 × 𝑠 dengan niali eigen hiperbolik negatif, dimana 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi 𝐶 𝑟 (𝑟 ≥ 2). (Wiggins, [9]) Untuk menyelesaikan system (2.16) kita menyertakan parameter 𝜀 sebagai variable dependen baru sebagai berikut : 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜀) 𝜀̇ = 0,

(𝑥, 𝑦, 𝜀) ∈ ℝ𝑐 × ℝ𝑝 × ℝ𝑠

(2.18)

𝑦̇ = 𝐵𝑦 + 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝜀) Dinamik dari (2.16) dibatasi oleh manifold center untuk 𝑢 yang cukup kecil :

(2.19) 12

(𝑢, 𝜀) ∈ ℝ𝑐 × ℝ𝑝 𝑠

𝑢̇ = 𝐴𝑥 + 𝑓(𝑢, ℎ(𝑢, 𝜀), 𝜀) (2.19) 𝜀̇ = 0, Selanjutnya, akan diturunkan persamaan ℎ(𝑥) yang harus dipenuhi sehingga dapat kita menggambarkan manifold center dari (2.16). Misalnya kita memiliki persamaan manifold center : 𝑐 (0) = {(𝑥, 𝜀, 𝑦) ∈ ℝ𝑐 × ℝ𝑝 × ℝ𝑠 |𝑦 = ℎ(𝑥, 𝜀), |𝑥| < 𝛿, |𝜀| < 𝛿 ̅, 𝑊𝑙𝑜𝑐

(2.20)

ℎ(0,0) = 0, 𝐷ℎ(0,0) = 0} 𝑐 untuk 𝛿 dan 𝛿 ̅ cukup kecil. Dengan menggunakan invariant dari 𝑊𝑙𝑜𝑐 terhadap

dinamik (2.16), kita dapat menurunkan persamaan diferensial parsial yang harus dipenuhi oleh ℎ(𝑥, 𝜀) : 𝑦̇ = 𝐷𝑥 ℎ(𝑥, 𝜀)𝑥̇ + 𝐷𝜀 ℎ(𝑥, 𝜀)𝜀̇ = 𝐵ℎ(𝑥, 𝜀) + 𝑔(𝑥, ℎ(𝑥, 𝜀), 𝜀)

(2.21)

Dengan demikian, kita subtitusi : 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝑓(𝑥, ℎ(𝑥, 𝜀), 𝜀) 𝜀̇ = 0 ke persamaan (2.21) sehingga diperoleh : ℵ(ℎ(𝑥, 𝜀)) = 𝐷𝑥 ℎ(𝑥, 𝜀)[𝐴𝑥 + 𝑓(𝑥, ℎ(𝑥, 𝜀), 𝜀)] − 𝐵ℎ(𝑥, 𝜀) − 𝑔(𝑥, ℎ(𝑥, 𝜀), 𝜀) = 0 Dengan mempertimbangkan 𝜀 sebagai variable dependen baru, kondisi seperti 𝑥𝑖 𝜀𝑗 , 1  𝑖  c, 1  j  p atau

13

(2.22) (2.23)

𝑦𝜀𝑗 , 1  𝑖  s, 1  j  p menjadi kondisi non-linier. (Wiggins, [9]) 2.7 Bifurkasi Definisi 2.6. Bifurkasi adalah perubahan kestabilan yang terjadi pada penyelesaian persamaan diferensial ketika melewati sebuah titik kritis. Bifurkasi terjadi pada penyelesaian titik setimbang yang mempunyai paling sedikit satu nilai eigen sama dengan nol pada bagian realnya. Nilai dari parameter  = 0 yang menyebabkan bagian real dari nilai-nilai eigen 𝐷𝑥 𝑓 adalah nol, disebut nilai bifurkasi. (Thomas,[7]) Bifurkasi yang paling sederhana untuk dipelajari adalah bifurkasi dimensi-1 dari ekuilibria dengan parameter berdimensi-1. Pada kasus ini, diasumsikan persamaan normal dipelajari disekitar solusi-solusi ekuibrium dari sistem. Bifurkasi ini dikenal dengan bifurkasi satu parameter dari sistem. Beberapa jenis bifurkasi satu parameter adalah sebagai berikut (Fatimah,[1]): 1. Bifurkasi saddle-nodes, digambarkan dengan 𝑦̇ =  − 𝑦 2 . Jika  > 0 tidak ada solusi ekuilibrium, pada saat  = 0 terdapat dua solui ekuilibrium, satu stabil dan yang lainnya tak-stabil. Hal ini dapat ditunjukkan oleh gambar berikut (Seydel, [5]):

14

Gambar 2.1: Bifurkasi Saddle Nodes 2. Bifurkasi transkritikal, digambarkan dengan 𝑦̇ = 𝑦 − 𝑦 2 . Terdapat dua solusi ekuilibrium yaitu 𝑦 = 0 dan 𝑦 = , keduanya mengalami perubahan kestabilan pada saat  melewati 0. Hal ini dapat ditunjukkan oleh gambar berikut (Seydel, [5]):

Gambar 2.2: Bifurkasi Transkritikal 3. Bifurkasi pitchfork, digambarkan dengan 𝑦̇ = 𝑦 − 𝑦 3 . Jika  < 0 tidak ada solusi ekuilibrium, yaitu 𝑦 = 0 yang merupakan solusi yang stabil. Jika  > 0 ada tiga buah solusi, yaitu solusi tak-stabil 𝑦 = 0, dan dua buah solusi stabil 𝑦 = ±√. Hal ini dapat ditunjukkan oleh gambar berikut (Seydel, [5]):

15

Gambar 2.3: Bifurkasi Superkritikal Pitchfork

Gambar 2.4: Bifurkasi Subkritikal Pitchfork 4. Bifurkasi Hopf dapat terjadi jika memiliki nilai eigen berupa pasangan bilangan kompleks 𝜃 ± 𝑖𝜔()yang menjadi bilangan imajiner murni di titik kritis 0 sehingga nilai bilangan realnya 𝜃() = 0 dan nilai eigen bagian imajiner 𝜔 = 0. Hal ini dapat ditunjukkan oleh gambar berikut (Seydel, [5]):

16

Gambar 2.5: Bifurkasi Hopf Superkritikal

Gambar 2.6: Bifurkasi Hopf Subkritikal

17