BAB II KAJIAN TEORI
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai landasan teori yang akan digunakan pada bab pembahasan. Teori-teori ini digunakan sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang akan dibahas antara lain pengertian campak, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik kesetimbangan, linearisasi, analisis kestabilan, nilai eigen dan vektor eigen, pemodelan matematika, model epidemik SEIR (susceptible-Exposed-InfectedRecovered), dan bilangan reproduksi dasar. A. Campak 1. Pengertian Campak Penyakit campak adalah salah satu penyakit menular yang masih menjadi masalah kesehatan pada bayi dan anak dan merupakan penyakit yang dapat dicegah dengan imunisasi. Penyakit ini menjadi salah satu penyebab utama kematian di kalangan anak-anak di dunia, meskipun tersedia vaksin yang aman dan efektif. Secara umum, penyakit ini menyerang anak berumur di bawah 5 tahun (balita). Menurut WHO, pada tahun 2013, sekitar 145.700 orang meninggal akibat campak, sekitar 400 kematian setiap hari atau 16 kematian setiap jam dan sebagian besar terjadi pada anak-anak di bawah usia 5 tahun. Sampai saat ini cara yang efektif untuk mencegah penyakit campak yaitu dengan imunisasi. Selama tahun 2000 sampai 2013, imunisasi campak
7
berhasil menurunkan 15,6 juta (75%) kematian akibat campak di seluruh dunia (WHO, 2015) Campak disebabkan oleh virus yang bernama paramiksovirus. Penularan terjadi melalui percikan ludah dari hidung, mulut maupun tenggorokan penderita campak. Masa inkubasi adalah 10-14 hari sebelum gejala muncul. Gejala penyakit campak ditandai dengan demam, batuk, pilek dan bercak-bercak merah pada permukaan kulit 3 â 5 hari setelah anak menderita demam. Bercak mula-mula timbul dipipi bawah telinga yang kemudian menjalar ke muka, tubuh dan anggota tubuh lainnya. Komplikasi dari penyakit Campak ini adalah radang paru-paru, infeksi pada telinga, radang pada saraf, radang pada sendi dan radang pada otak yang dapat menyebabkan kerusakan otak yang permanen. (Suparyanto, 2014). Pencegahan penyakit campak adalah dengan cara menjaga kesehatan dengan makanan yang sehat, berolah raga yang teratur, istirahat yang cukup, dan
melakukan imunisasi. Pemberian Imunisasi akan menimbulkan
kekebalan aktif dan bertujuan untuk melindungi terhadap penyakit campak. (Suparyanto,2014). Kekebalan terhadap campak diperoleh setelah vaksinasi, infeksi aktif dan kekebalan pasif pada seorang bayi yang lahir dari ibu yang telah kebal (berlangsung selama 1 tahun). Orang-orang yang rentan terhadap campak adalah bayi berumur lebih dari 1 tahun, bayi yang tidak mendapatkan
8
imunisasi, remaja dan dewasa muda yang belum mendapatkan imunisasi kedua (Suparyanto,2014).
2.
Campak di Sleman Menurut Profil Kesehatan Indonesia (2012), Indonesia merupakan
Negara ASEAN yang memiliki kasus penyakit campak terbanyak dengan jumlah 15.489 kasus, urutan kedua terbanyak adalah Thailand dengan 5.197 kasus, sedangkan 8 negara ASEAN lainnya memiliki jumlah lebih sedikit dan tidak lebih dari 3.000 kasus. Berdasarkan World Health Statistic, WHO (2013), di Indonesia ada 151.000 kematian anak-anak di bawah usia 5 tahun dan 5% nya disebabkan karena penyakit campak. Berdasarkan Pusat Data dan Informasi Kesehatan Provinsi D.I. Yogyakarta (2015), campak masih menjadi penyakit menular yang memiliki kasus tertinggi di DIY. Pemberian imunisasi bagi bayi dengan usia 9 bulan mencapai 96.7%, kendati demikian, penyakit campak masih banyak terjadi di Yogyakarta. Untuk regional Jawa-Bali, cakupan imunisasi campak untuk D.I. Yogyakarta tergolong tinggi. Namun di Provinsi DIY sendiri, cakupan imunisasi di Kabupaten Sleman tergolong rendah, yaitu dibawah Kulon Progo, Kota Yogyakarta, dan Bantul. Berdasarkan profil kesehatan tahun 2015 Kabupaten Sleman, terdapat 104 kasus campak di Sleman. Pada umumnya, penyakit campak menyerang anak berusia 5-10 tahun. Pencegahan penyakit campak dilakukan dengan
9
memberikan imunisasi campak pada bayi berusia 9 bulan, dan menghindari kontak dengan penderita campak karena penularan terjadi melalui percikan ludah dari hidung, mulut maupun tenggorokan dari penderita campak.
B. Pemodelan Matematika Pemodelan
matematika
merupakan
bidang
matematika
yang
digunakan untuk mempresentasikan dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau problem pada dunia nyata dalam pernyataan matematika (Widowati dan Sutimin, 2007:1). Representasi matematika yang dihasilkan dari pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Menurut Widowati dan Sutimin (2007:3) beberapa tahap dalam menyusun model matematika dapat dinyatakan dalam Gambar 2.1. Masalah Nyata Problem Dunia Real
Masalah Matematika Problem Matematika
Membuat Asumsi
Formulasi Persamaan/pe rtidaksamaan
Solusi Dunia Real
Interpretasi Solusi
Bandingkan Data Gambar 2.1 Proses Pemodelan
10
Penyelesaian Persamaan/pertid aksamaan
Gambar 2.1 menggambarkan perumusan perilaku atau fenomena di dunia nyata yang dibawa ke dalam bentuk matematis dengan menentukan asumsiasumsi yang tepat sesuai masalah nyata, sehingga dapat dibentuk suatu model matematika. Langkah-langkah dalam mengkonstruksi model matematika sebagai berikut: i.
Identifikasi Masalah Mengidentifikasi masalah adalah mengidentifikasi apa yang akan
dikerjakan dan diselesaikan. Langkah ini meliputi identifikasi variabelvariabel apa saja yang terlibat atau yang menggambarkan fenomena yang terjadi, membentuk
beberapa hubungan antara variabel-variabel
ini.
Menjabarkan variabel-variabel dan sistem menjadi model matematika. ii.
Merumuskan Asumsi Langkah ini meliputi membuat asumsi tentang model matematika.
Asumsi ini secara esensial mencerminkan bagaimana proses berfikir sehingga model dapat berjalan. iii.
Membuat Formulasi Persamaan/pertidaksamaan Berdasarkan variabel-variabel dan asumsi-asumsi yang telah dibuat
sehingga dapat dibentuk suatu persamaan atau pertidaksamaan yang menggambarkan masalah yang ada dalam dunia nyata. Langkah selanjutnya akan melibatkan suatu usaha memformulasikan persamaan atau sekumpulan persamaan untuk menyelesaikan hubungan ini. Langkah ini merupakan langkah yang paling penting. Terkadang perlu adanya pengujian kembali 11
asumsi-asumsi agar dapat dibentuk formulasi yang sesuai sehingga dapat diselesaikan dan hasilnya realistik. iv.
Menyelesaikan Formulasi Persamaan/pertidaksamaan Setelah
terbentuk
formulasinya,
langkah
selanjutnya
adalah
menyelesaikan formulasi tersebut. Perlu kehati-hatian dan fleksibilitas dalam proses pemodelan secara menyeluruh. Seiring dengan kemajuan teknologi informasi, penyelesaiannya dapat diperoleh dengan menggunakan software matematika, yang memudahkan mendaptakan solusi. v.
Menginterpretasikan solusi matematis ke dalam dunia nyata Langkah ini akan menghubungkan penyelesaian formulasi matematika
ke problem dunia nyata. Ini dapat dilakukan dalam berbagai cara. Dari sinilah akan dihasilkan suatu kesimpulan atau keputusan yang dalam penyelesaian masalah dunia nyata merupakan suatu hal yang sangat penting.
C. Persamaan Diferensial Model matematika penyebaran penyakit campak berbentuk persamaan diferensial. Oleh karena itu, salah satu teori yang akan dikaji dalam bab ini adalah Persamaan Diferensial. Berikut ini merupakan definisi mengenai persamaan diferensial, diantaranya :
12
Definisi 2.1 (Ross, 1984:4) Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan jumlah variabel bebas yang terlibat, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Definisi 2.2 (Ross,1984:4) Persamaan
diferensial biasa yaitu suatu persamaan diferensial yang
melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas. Contoh 2. 1 Diberikan beberapa contoh persamaan diferensial biasa yaitu: (2.1a)
(2.1b)
Berdasarkan Definisi (2.2), maka Persamaan (2.1a) dan (2.1b) merupakan persamaan diferensial biasa karena melibatkan satu variabel bebas yaitu .
13
Definisi 2. 3 (Ross, 1984:4) Persamaan diferensial parsial yaitu suatu persamaan diferensial yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel bebas. Contoh 2. 2 Contoh persamaan diferensial parsial: (2.2a)
(2.2b)
Berdasarkan Definisi (2.3), maka Persamaan (2.2a) dan (2.2b) merupakan persamaan diferensial parsial karena melibatkan dua variabel bebas yaitu dan .
D. Orde Persamaan Diferensial Orde suatu persamaan diferensial didefinisikan sebagai orde tertinggi dari turunan yang terkandung dalam persamaan diferensial tersebut. Secara umum persamaan diferensial dituliskan dalam bentuk )
14
)
(2.3)
Persamaan (2.3) adalah persamaan diferensial orde ke-đ. Persamaan (2.3) merepresentasikan relasi antara peubah tak bebas .
E.
1.
(Persamaan Diferensial orde 1)
2.
(Persamaan Diferensial orde 2)
Sistem Persamaan Diferensial Sistem persamaan diferensial adalah kumpulan dari beberapa persamaan
diferensial. Diberikan vektor dan
adalah himpunan terbuka dari ) dan
) dimana
đ. Fungsi
dengan
) adalah himpunan semua fungsi
yang mempunyai turunan pertama yang kontinu di turunan pertama
) dan
dengan
. Jika
=
menyatakan
terhadap , maka sistem persamaan diferensial dapat dituliskan
menjadi, Ė
)
Ė
Ė
)
Ė
Ė
)
Ė
Ė
Ė
(2.4)
)
Sistem (2.4) dapat dituliskan menjadi 15
Ė
)
(2.5)
Berdasarkan kelinearannya sistem persamaan diferensial dibedakan menjadi dua yaitu sistem persamaan diferensial linear dan sistem persamaan diferensial nonlinear. 1. Sistem Persamaan Diferensial Linear Sistem persamaan diferensial linear orde satu dapat muncul dalam masalah yang melibatkan beberapa variabel tak bebas Jika
=
menyatakan turunan pertama
dan variabel bebas . terhadap , secara umum, sistem
persamaan diferensial linear orde satu dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut : Ė Ė
)
) Ė
)
)
)
) Ė
)
) (2.6)
Ė
Jika setiap fungsi
) Ė
)
)
)
)
)
) adalah fungsi nol, maka Sistem (2.6)
disebut sistem persamaan diferensial linear homogen, sedangkan jika tidak bernilai nol, maka Sistem (2.6) disebut sistem persamaan diferensial nonhomogen. Notasi matriks Sistem (2.6) dapat ditulis sebagai berikut:
16
Ė Ė
[
]
[
Ė
) )
) )
) )
)
)
)
][
]
[
) )
]
)
atau dapat dinyatakan dalam persamaan berikut Ė
)
(2.7)
)
dengan
)
[
) )
) )
) )
)
)
)
)
[
) )
]
]
) Contoh 2. 4 Berikut diberikan contoh sistem persamaan diferensial linear.
(2.8)
Sistem persamaan diferensial (2.8) merupakan persamaan diferensial linear homogen.
17
2.
Sistem Persamaan Diferensial Non linear Definisi 2. 4 (Ross, 1984:5) Persamaan diferensial biasa nonlinear adalah persamaan diferensial biasa
yang tidak linear. Suatu persamaan diferensial dikatakan nonlinear jika memenuhi salah satu sebagai berikut (Ross, 1984:5). a. Memuat variabel tak bebas dan/atau turunannya yang berpangkat selain satu. b. Terdapat perkalian dari variabel tak bebas dan/atau turunan-turunannya. c. Terdapat fungsi transedental dari variabel tak bebas dan turunanturunannya. Contoh 2. 5 Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear:
(
(2.9a)
)
(2.9b)
(2.9c)
18
a. Persamaan (2.9a) merupakan persamaan diferensial nonlinear, karena terdapat variabel tak bebas yang berpangkat dua
dan turunannya yang
berpangkat dua ( ) . b. Persamaan (2.9b) merupakan persamaan diferensial nonlinear, karena terdapat fungsi transenden (
).
c. Persamaan (2.9c) merupakan persamaan diferensial nonlinear karena terdapat perkalian variabel tak bebas dan turunannya
.
Sistem persamaan diferensial dikatakan nonlinear, jika persamaan diferensial yang membentuknya merupakan persamaan diferensial nonlinear. Contoh 2. 6 Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear sebagai berikut
(2.10)
Sistem (2.10) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear dengan variabel bebas
dan variabel tak bebas
dan . Sistem (2.10) adalah sistem
persamaan diferensial nonlinear karena memuat persamaan diferensial nonlinear yaitu terdapat perkalian dari variabel tak bebasnya.
19
F.
Solusi Persamaan Diferensial Definisi 2.5 (Ross, 2010:8) Diberikan suatu persamaan diferensial orde-n berikut : [
]
(2.11)
Dengan F adalah fungsi real, 1. Misalkan
adalah fungsi bilangan real yang terdefinisi untuk semua
dalam interval dan mempunyai turunan ke- đ untuk semua Fungsi
.
disebut solusi eksplisit dari Persamaan diferensial (2.11)
dalam interval jika fungsi
memenuhi syarat berikut
a.
)
)
) terdefinisi
b.
)
)
)
Hal ini berarti bahwa substitusi
)dan variasi turunan
dan
turunannya yang berkorespondensi ke persamaan (2.11) akan membuat Persamaan (2.11) menjadi suatu identitas di interval I. 2. Suatu relasi
)
disebut solusi implisit dari Persamaan (2.11)
jika relasi ini mendefinisikan sedikitnya satu fungsi bilangan real dengan variabel
di interval .
3. Solusi eksplisit dari solusi implisit biasa disebut sebagai solusi sederhana
20
Contoh 2.7 Contoh persamaan diferensial dan solusinya
Maka solusinya adalah
âĢ
G.
âĢ
Titik Kesetimbangan Titik kesetimbangan menjadi salah satu pembahasan dalam bab ini karena
titik kesetimbangan diperlukan dalam proses analisis penyebaran penyakit campak. Definisi 2. 6 (Wiggins, 2003:5) Diberikan Sistem persamaan diferensial đ = kesetimbangan dari
(đ). Titik Ė
Ė = đ(đ). jika memenuhi ( Ė
Contoh 2. 8 Akan dicari titik kesetimbangan dari Sistem (2.10) sebagai berikut,
21
disebut titik
Menurut definisi (2.5) titik kesetimbangan ( Ė Ė) dari Sistem (2.10) dapat diperoleh jika
( Ė Ė)
sedemikian, sehingga
. Akan dicari titik kesetimbangan dari Sistem (2.10) ( Ė Ė)
( Ė Ė)
dan
.
dengan ( Ė Ė) ( Ė Ė) Untuk
ĖĖ
Ė ĖĖ
Ė
Ė Ė
( Ė Ė) ĖĖ
Ė
Ė
Ė( Ė Ė
a. Jika Ė
) atau Ė
disubstitusikan ke persamaan Ė
ĖĖ
Ė
Ė
Ė
( Ė Ė)
, maka diperoleh
Ė
Jadi, diperoleh titik kesetimbangan pertama yaitu b. Jika Ė
disubstitusikan ke persamaan
22
( Ė Ė)
) . maka diperoleh
Ė
ĖĖ
Ė
Ė Ė
Ė Ė
Ė
Ė Ė Ė
Jadi, titik kesetimbangan kedua diperoleh (
) .
Berdasarkan hasil yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa Sistem (2.10) ) dan (
memiliki dua titik kesetimbangan yaitu
) .
Titik kesetimbangan dapat diklasifikasikan menjadi dua yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik penyakit. Titik kesetimbangan bebas penyakit adalah adalah kesetimbangan saat kelas terinfeksi nol atau saat penyakit tidak menyebar dalam populasi. Titik kesetimbangan endemik penyakit adalah titik kesetimbangan saat kelas terinfeksi tidak nol atau saat penyakit menyebar dalam populasi.
23
H.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Nilai eigen digunakan untuk mengetahui kestabilan dari suatu sistem
persamaan diferensial. Definisi 2. 7 (Anton, 1998) Jika
merupakan matriks berukuran đ
disebut vektor eigen dari
. Jika
di dalam
adalah kelipatan skalar dari
untuk suatu skalar . Skalar sedangkan
đ, maka vektor tak nol
, maka
disebut nilai eigen (eigenvalue) dari
,
dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai eigen dari matriks ditulis kembali sebagai
yang berukuran đ
đ, maka
, dimana adalah matriks identitas atau
secara ekivalen dapat ditulis : )
Agar
(2.11)
dapat menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan
tak nol dari
persamaan (2.11), sehingga persamaan tersebut memiliki pemecahan tak nol jika dan hanya jika: )
(2.12)
Persamaan (2.12) disebut persamaan karakteristik dari tersebut adalah nilai eigen dari
. Determinan ( â
yang disebut polinom karakteristik dari . (Anton, 1998).
24
, skalar persamaan
) merupakan polinom
Definisi 2. 8 (Campbell & Haberman 2008:142) Jika salah satu akar polinom karakteristik bernilai nol dan akar lainnya bernilai positif maka sistem nonlinier tidak stabil. Jika salah satu akar polinom karakteristik bernilai nol dan akar lainnya bernilai negatif maka sistem nonlinier dapat stabil atau tidak stabil bergantung pada unsur nonlinier yang diabaikan.
I.
Linierisasi Linearisasi diperlukan karena bentuk model matematika penyebaran penyakit
campak adalah persamaan diferensial nonlinear. Linearisasi adalah proses mentransformasi sistem persamaan diferensial nonlinear ke bentuk persamaan diferensial linear. Proses ini dilakukan dengan linearisasi disekitar titik kesetimbangan. Definisi 2.9 (Campbell & Haberman, 2008:150). Linierisasi merupakan proses hampiran persamaan diferensial tak linier dengan persamaan linier. Contoh 2.9 Diberikan sistem persamaan diferensial berikut :
)
(2.13)
)
(2.14)
25
) dan
Dimana
) merupakan titik kritis
) tak linear, jika
dari sistem (2.13) dan (2.14) maka : ) )
dengan menggunakan aproksimasi Taylor, persamaan (2.13) dan (2.14) dapat dilinierkan sehingga diperoleh :
Karena
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
) adalah titik kesetimbangan, maka
)
dan
)
Persamaan (2.13) dan (2.14) dapat diaproksimasi dan menyerupai sistem linier dari persamaan diferensial:
)
)
)
)
)
) )
(2.15)
)
(2.16)
Pergantian dari titik kesetimbangan yang dilakukan untuk persamaan order pertama, yaitu
dan
konstan, maka persamaan diatas
menjadi :
(2.17)
(2.18)
26
Dimana
konstan, )
)
sehingga
)
). Persamaan (2.17) dan (2.18) merupakan sistem linear
homogen, dengan menggunakan matrik perkalian, persamaan (2.17) dan (2.18) dapat ditulis :
* +
) )
[
) ]* + )
(2.19)
Notasi matrik sangat efektif dalam hal ini, matrik yang elemen-elemennya berupa turunan pertama disebut matrik Jacobian. Matriks Jacobian
(2.20) [
]
Sebuah matrik harus dievaluasi pada titik kesetimbangan * +
pergantian dari titik kesetimbangan adalah persamaan (2.20) dapat ditulis menjadi
dimana
. Matrik *
+, sehingga
adalah matrik konstan
yang diperoleh dari mengevaluasi matrik Jacobian pada titik kesetimbangan:
[
) )
) ] )
27
*
+
J.
Analisis Kestabilan Analisis kestabilan dilakukan untuk mengetahui apakah suatu penyakit
menyebar atau menghilang dari suatu populasi, sehingga dapat dilakukan tindakan lebih lanjut. Kestabilan titik kesetimbangan dari suatu sistem persamaan diferensial baik linear maupun nonlinear diberikan dalam definisi berikut. Definisi 2. 10 (Olsder and Woude, 2004: 53) ) dengan
Diberikan sistem persaman diferensial orde satu Ė (
dan
) adalah solusi persamaan tersebut pada saat t dengan kondisi awal ) (i)
Ė
Vektor
yang memenuhi
Ė)
dikatakan sebagai titik
ekuilibrium. (ii)
Titik kesetimbangan Ė dikatakan stabil jika untuk setiap terdapat
sedemikian sehingga jika â
adalah norm pada (iii)
Titik
), maka â
kesetimbangan
Ė
)
Ėâ
Ėâ
dikatakan
untuk
stabil
asitotik
kesetimbangannya stabil dan terdapat â (iv)
)
Ėâ
, bila â
Ėâ
,
(dengan â â . jika
titik
sedemikian sehingga .
Titik kesetimbangan Ė dikatakan tidak stabil jika titik kesetimbangan tersebut tidak memenuhi (ii).
28
Definisi (2.10) disimulasikan pada Gambar 2.2 đ đĨ đĄ)
đŋ
đĨ
đĨ đĄ) đĨĖ
đĨĖ
đ
đ
đŋ
đĨ
đŋ
đŋ đĨĖ
đĨ đĨ đĄ)
Gambar 2.2 Ilustrasi Kestabilan Diberikan penjelasan mengenai sifat kestabilan suatu sistem yang dilihat dari nilai eigen untuk mempermudah dalam menganalisis kestabilan di sekitar titik kesetimbangan. Penjelasan tersebut dijelaskan dalam Teorema 2.2 berikut, Teorema 2.2 (Olsder and Woude, 2004: 58) Diberikan sistem persamaan diferensial berukuran đ (i)
đ mempunyai
)
(ii)
dengan
suatu matriks dengan
đ.
dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya
untuk
Titik kesetimbangan Ė )
, dengan
nilai eigen berbeda
Titik kesetimbangan Ė jika
Ė
. dikatakan stabil jika dan hanya jika
untuk
dan jika setiap nilai eigen
imajiner
)
, maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk
nilai eigen harus sama. (iii)
Titik kesetimbangan Ė
dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika )
terdapat paling sedikit satu
29
untuk
.
Bukti : (i)
Akan dibuktikan bahwa jika titik kesetimbangan Ė )
asimtotik, maka
untuk
stabil
.
) Berdasarkan definisi (2.10), titik kesetimbangan Ė â
Ėâ
. Hal ini
) akan menuju Ė
. Karena
dikatakan stabil asimtotik jika berarti bahwa untuk
)
) merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial, maka )
) memuat Ė
, maka
. Oleh karena itu, supaya
)
menuju
haruslah bernilai negatif.
) )
Akan dibuktikan bahwa jika maka titik kesetimbangan Ė
untuk
stabil asimtotik.
) merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial, maka )
) selalu memuat ) akan menuju Ė kesetimbangan Ė (ii)
. Jika
)
, maka untuk
. Berdasarkan definisi (2.10), titik
stabil asimtotik.
Akan dibuktikan bahwa titik kesetimbangan Ė )
untuk
stabil, maka
.
) Andaikan
)
yang selalu memuat
, maka solusi persamaan diferensial )
30
akan menuju
)
(menjauh dari titik
kesetimbangan Ė
) untuk
, sehingga sistem tidak stabil. Hal
ini sesuai dengan kontraposisi pernyataan jika titik kesetimbangan Ė
)
stabil, maka
untuk
bahwa jika titik kesetimbangan Ė
. Jadi terbukti )
stabil, maka
untuk
) )
Akan dibuktikan bahwa jika titik kesetimbangan Ė
untuk
stabil dan jika ada
, maka )
, maka
multiplisitas aljabar dan geometri harus sama. )
Penyelesaian
merupakan
) selalu memuat
persamaan diferensial, maka )
, maka titik kesetimbangan Ė )
stabil). Jika
solusi
dari
sistem )
. Jika
stabil asimtotik (pasti
, maka nilai eigen berupa bilangan kompleks
murni. Multiplisitas aljabar berhubungan dengan nilai eigen sedangkan geometri berhubungan dengan vektor eigen. Oleh karena itu, akan dibuktikan bahwa banyak nilai eigen dan vektor eigen adalah sama. Tanpa mengurangi pembuktian secara umum, diambil sebarang sistem pada
yang mempunyai nilai eigen bilangan
kompleks murni. Diambil sistem sebagai berikut Ė [ ] Ė
*
+ * + , dengan
,
a. Akan ditentukan nilai eigen dari sistem (2.21) |
|
31
(2.21)
|*
+
*
*
+|
+
Diperoleh persamaan karakteristik
Akar dari persamaan (2.20) adalah â
â
â
â
â
atau
b. Vektor Eigen ) adalah vektor eigen dari
Berdasarkan definisi, yang bersesuaian dengan
jika dan hanya jika
adalah
pemecahan nontrivial dari )
( *
+* + â
Untuk
[
(2.22)
* +
maka persamaan (2.22) menjadi â â
]* +
* +
(2.23)
Matriks augmented dari sistem (2.23) yaitu [
â â
| ] baris pertama dikali dengan (
32
â )
â
[
| ] baris kedua dikali dengan
kemudian
â dikurangi dengan baris pertama â | ]
[ Diperoleh â
â
Misal
* +
[
â
, maka â
â
], diambil
diperoleh * +
Oleh karena itu, vektor eigen yang bersesuaian dengan
[
] â
adalah â
[
(iii)
]
Akan dibuktikan bahwa jika titik kesetimbangan Ė )
maka terdapat paling sedikit satu
tidak stabil,
untuk
) Titik kesetimbangan tidak stabil, jika untuk diferensial
) akan menuju )
terdapat paling sedikit satu
33
solusi persamaan
. Hal ini dapat terpenuhi jika .
) )
Diketahui bahwa jika terdapat paling sedikit satu solusi persamaan diferensial menuju
)
) yang memuat
. Oleh karena itu, titik kesetimbangan Ė
maka akan
tidak stabil
K. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metode yang digunakan untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar secara langsung. Jika persamaan polinom adalah persamaan karakteristik, maka metode ini dapat digunakan untuk menentukan kestabilan dari suatu sistem. Prosedurnya adalah sebagai berikut: a. Persamaan polinom orde đ ditulis dalam bentuk:
dengan koefisien-koefisien adalah bilangan riil dan
.
b. Bila ada koefisien yang bernilai 0 atau negatif disamping adanya koefisien positif, maka hal ini menunjukkan ada satu akar atau akar-akar imajiner atau memiliki bagian real positif (sistem tak stabil). Kondisi perlu (tetapi belum cukup) untuk stabil adalah semua koefisien persamaan polinom positif dan lengkap.
34
c. Bila semua koefisien positif, lalu buat tabel Routh seperti pada Tabel 2.1 berikut.
Tabel 2.1 Tabel Routh Variabel
Koefisien
Dengan koefisien-koefisien :
35
d. Banyaknya akar tak stabil dapat dilihat dari banyaknya perubahan tanda pada kolom pertama tabel Routh. e. Syarat perlu untuk stabil adalah semua koefisien persamaan karakteristik positif dan syarat cukup untuk stabil adalah semua suku pada kolom pertama tabel Routh bertanda positif. Kriteria Routh-Hurwitz tidak dapat menjelaskan bagaimana memperbaiki kestabilan relatif atau bagaimana menstabilkan sistem tak stabil, tetapi dapat digunakan untuk menentukan batas penguatan suatu sistem agar masih stabil (Wahab W. & Subiantoro A, Tanpa Tahun).
L. Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakan banyaknya rata-rata individu infektif sekunder akibat tertular individu infektif primer yang berlangsung di dalam populasi susceptible.
Bilangan repdroduksi dasar
merupakan parameter penentu kestabilan dari titik-titik kesetimbangan model, dan dinotasikan dengan lambang
. Titik kritis
berkisar 1, jika
< 1 maka rata-
rata populasi yang terifeksi berkurang atau menghilang dari populasi atau infeksi tersebut akan berkurang atau menghilang dari populasi. Jika
> 1, maka infeksi
akan membesar atau meningkat pada suatu populasi. Bilangan reproduksi dasar
36
dapat diperoleh dengan menentukan nilai eigen dari matriks jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit. Cara lain dalam menentukan bilangan reproduksi dasar adalah dengan menggunakan metode matriks next generation. Pada metode matriks next generation
didefinisikan sebagai nilai eigen terbesar dari matriks next
generation. Formasi ini terdiri dari 2 kelas dari model yaitu terinfeksi dan tidak terinfeksi. Diasumsikan terdapat đ kelas tidak terinfeksi dan đ kelas terinfeksi. Selanjutnya dimisalkan
sebagai subpoulasi kelas terinfeksi dan
subpopulasi yang tidak terinfeksi , dan
sebagai
untuk đ đ
dan
,
sehingga ) Ė Ė
dengan
) dengan
), dengan
đ đ
(2.24) (2.25)
adalah matriks dari individu yang masuk dan menambah banyaknya
individu yang masuk ke kelas terinfeksi, dan
adalah matriks dari laju
peningkatan jumlah individu yang keluar dari kelas terinfeksi yang menyebabkan berkurangnya jumlah individu pada kelas terinfeksi. Didefinisikan matriks next generation H dari Persamaan (2.23) dan (2.24) adalah (2.26) dengan
37
{
}
đ
dan {
}
đ
Didefinisikan bilangan reproduksi dasar sebagai nilai eigen terbesar dari matiks next generation H adalah )
)
Contoh 2. 9 Diberikan sistem persamaan diferensial berikut )
)
)
)
) (2.27)
)
)
)
)
)
dengan ( ) menyatakan populasi individu rentan pada saat , ( ) menyatakan populasi individu terinfeksi pada saat t. Sistem (2.27) mempunyai titik ) Matriks next generation dapat
kesetimbangan bebas penyakit
diperoleh dari kelas , sehingga kelas dapat dituliskan sebagai berikut )
)
)
dengan
38
)
)
) dan
Hasil linearisasi dari
dan
)
masing-masing adalah
Ė ) dan
. Matriks next generationnya sebagai berikut
[ Ė )] [
]
Ė )
[
(2.28)
]
Substitusikan titik kesetimbangan bebas penyakit
)
ke Persamaan
(2.27) diperoleh [ Maka diperoleh nilai
]
dari sistem (2.27) adalah
[
]
(Sri, Rejeki. 2016. Analisis Penyebaran Penyakit Diare sebagai Salah Satu Penyebab Kematian pada Balita Menggunakan Model Matematika SIS (Susceptible-Infected-Susceptible. Skripsi. UNY. Yogyakarta).
M. Model SIR (Susceptible-Infected-Recovered) SIR merupakan model epidemik yang memiliki karakteristik bahwa setiap individu rentan terhadap suatu penyakit yang dinotasikan dengan
(Susceptible),
individu yang sudah terinfeksi penyakit dinotasikan (Infected) dan individu yang telah sembuh serta memiliki kekebalan (imun) terhadap penyakit dinotasikan dengan
(Recovered) (Hardiningsih, 2010). Model SEIR (Susceptible-Exposed-
Infected-Recovered) 39
Gambar 2.3 dibawah ini adalah kompartemen dari model SIR klasik. đŊđđŧ I(t)
S(t)
đžI
R(t)
đžI
Gambar 2.3 Kompartemen model SIR klasik
Sehingga formulasi untuk model SIR klasik pada Gambar 2.3 adalah sebagai berikut: ) ) ) )
)
)
)
Penurunan dari model SIR diperlukan asumsi-asumsi, sebagai berikut : a. Populasi konstan, b. Individu lahir dan imigrasi merupakan individu sehat tetapi rentan terinfeksi penyakit, c. Populasi homogen, d. Masa inkubasi penyakit diabaikan, e. Hanya terdapat satu macam penyebaran penyakit infeksi, f. Individu yang sembuh dari penyakit infeksi tidak akan terinfeksi lagi (Hetchcote, 2000). Probabilitas penularan dinotasikan , dengan
dimana
adalah
jumlah individu yang melakukan kontak efektif dengan setiap orang dalam suatu
40
populasi selama periode infectious,
merupakan rata-rata durasi infektivitas dan
merupakan jumlah populasi. Kemudian untuk
adalah rata-rata jumlah kontak
efektif dengan populasi infected per satuan waktu, dari kompartemen susceptible ke infected,
adalah laju perpindahan
adalah laju kesembuhan dan
adalah laju perpindahan dari kompartemen infected ke recovered. (Setyawan, 2011).
41
