BAB I PENDAHULUAN. Tittle. Layar perintah. Untuk menggeser layar arah horisontal

Panduan Praktikum Metode Numerik dengan Matlab

BAB I PENDAHULUAN Pengenalan Program Matlab 1 Matlab merupakan bahasa pemrograman komputer berbasis windows dengan orientasi dasarnya adalah matrik, namun pada program ini tidak menutup kemungkinan untuk pengerjaan permasalahan non matrik. Selain itu matlab juga merupakan bahasa pemrograman yang berbasis pada objek (OOP), namun disisi lain karena matlab bukalah type compiler, maka program yang dihasilkan pada matlab tidak dapat berdiri sendiri, agar hasil program dapat berdiri sendiri maka harus dilakukan transfer pada bahasa pemrograman yang lain, misal C++. Pada matlab terdapat tiga windows yang digunakan dalam operasinya yaitu Command Windows (layar perintah) dan figure windows (layar Gambar), serta NotePad (sebagai tempat editor program). Windows Pada Matlab Menu Command windows Command windows (layar perintah) digunakan untuk menjalankan perintah/program yang dibuat pada layar editor matlab. Pada windows / layar ini anda dapat mengakses perintah maupun komponen pendukung ( Help file dll ) yang ada pada matlab secara langsung. Salah satu ciri dari Command windows ditandai dengan tanda prompt (>>). Layar Menu Command windows terlihat dalam gambar dibawah ini. Menu pull down

Klik untuk kecilkan window

Tittle

Klik untuk besarkan window

Layar perintah

Menggeser layar window Untuk menggeser layar arah horisontal 1. File Menu file merupakan item untuk menangani set-up statement yang berhubungan dengan file.

1


new Menu New merupakan sub menu:

M-File Membuka editor dengan laya kosong sehingga anda siap untuk membuat M-File baru (lihat menu yang ada pada editor yang dipakai). Figure Figure membuat sebuah figur window (layar gambar baru). Model Membuat layar mode simulink (jika program matlab menyediakan fasilitas simulink). Open M-File Menampilkan dialog box untuk membuka sebuah M-file yang dipilih sesuai dengan pilihan pada dialog box ke dalam editor. Menutup window Kotak dialog

Directory yang aktif

Klik jika pilihan sesuai

Nama file yang dibuka

Type ekstensi file

2

Batalkan perintah


Save workspace As Menampilkan dialog box penyimpanan data dalam format ASCII Kotak dialog

Directory yang aktif Menutup

window

Klik jika sudah sesuai

Type ekstensi file

Nama file yang akan di

Batalkan perintah

save Pada menu ini anda diperintahkan untuk memilih letak drive, directory dan masukkan nama file dengan extensi mat (*.mat) untuk menyimpan workspace (lembar kerja pada matlab).   

Set path Pada bagian ini digunakan untuk melakukan setting path / lintasan yang akan dikenali oleh program pada saat ekskusi file yang telah dibuat. Print Mencetak semua text yang berada pada command window. Jika yang dicetak tidak ingin semuanya maka cetak bagian (variabel) yang ingin dicetak. Exit matlab Perintah untuk keluar dari pelayanan matlab.

2. Edit Menu edit adalah bagian dari matlab yang memangani fasilitas editing. Menu edit terlihat seperti gambar

   

Cut Menghilangkan text yang diblok dari command window dan text tersebut disimpan pada cliboard. Copy Meng Copy (duplikat) text yang diblok dari command window ke cliboard. Paste Menulis text yang ada pada clipboard ke command window. Clear Command windows Membersihkan lembar kerja.

3


3. Preference Menu option adalah bagian dari preference yang menangani setting windows matlab. Salah satu fungsi dari bagian ini adalah sebagia berikut : Format numeric yang dipakai: FORMAT Short Long Hex Bank Plus Rational   

 

Contoh 35.83333 35.8333333333333334 4041eaaaaaaaaab 35.83 + 215/6

Keterangan Fixpoint dengan format 5 digit Fixpoint dengan format 16 digit Hexadesimal Format dalam dolar dan sen (2 desimal digit) Pemberian simbol +,- atau nol Fungsi point dituliskan dalam bilangan pecahan

Loose Tampilan numeric dengan baris baru sebelum dan sesudah matrik. Compact Tampilan numeric tanpa baris baru sebelum dan sesudah matrik. Turn Echo on Turn Echo dapat diset dalam dua kondisi yaitu: Turn Echo on dan Turn Echo Off. Turn Echo on pada saat M-File dieksekusi maka baris-baris yang dieksekusi tidak ditampilkan pada layar (command window). Enabel Bacground Process Perintah ini merupakan togle yaitu dapat diset on atau off. Font Menampilkan dialog box yang dapat digunakan untuk men-set spesifikasi font (huruf) dan warna bacground pada command window yang digunakan.

4. Help Menu help menyediakan fasilitas untuk mengakses program help dari matlab, dimana pada menu tersebut mempunyai sub menu sbb:

Table of Contents Index Help Selected About    

Table of Content Menampilkan daftar area help dari matlab yang disediakan. Index Menampilkan daftar alpahabet dari fungsi-fungsi pada matlab yang disediakan. Help Selected Mencari topik dari help pada item yang disorot dan ditampilkan pada command window. About Manampilkan “About Box Matlab”

4


BAB II PENGENALAN PEMROGRAMAN Matlab adalah paket program pemrograman matematika berbasis matrik. Pada program matlab ada dua cara palayanan program, yaitu: 1. Secara interatif (secara langsung ), jika anda pernah menggunakan program Q-basic, terletak pada View Immediate. 2. Dengan pemprograman, yakni program dibuat pada tempat terpisah baru dilakukan tes pada matlab. Pelayanan secara interaktif dilakukan dengan cara mengetikkan perintah-perintah yang diinginkan langsung pada “prompt” dari matlab yang berbentuk lambang ”>>”. Pelayanan dengan pemprograman dilakukan dengan cara membuat / menyusun program dengan editor dan disimpan dengan ektensi “m”(*.m) Lakukan perintah dibawah ini sebagai latihan pada commnad windows sebagai pelayanan interatif.  Membentuk matriks >> A = [4 3 2; 4 4 3; 3 2 2]  Perintah mencari invers >> B = inv (A) >> C = det (A)  Mengambil bagian matriks >> a = A(1,:); >> a >> c = A(:,2); >> c >> D = A(1,2,:); >> D  Untuk menampilkan variabel yang aktif dalam memory komputer >> who  Menyimpan lembar kerja >> save temp  Menghapus lembar kerja >> clc  Menghapus semua variabel pada lembar kerja (buffer memory) >> load temp >> who  Mencari ukuran dari matriks >> [n, m] = size (A) Untuk lebih mendalami, lakukan dan jawab pertanyaan dibawah ini:

2.3  0.5 0.6 1.5 8.2 0.5  0.1  2.0   G  5.7 8.2 9.0 1.5    2.4 0.5  0.5 0.5 1.2  2.3  4.5 0.5  [m,n] =size [g]

5


A B C D E

= = = = =

det [G] inv [G] GT (:,2) G(1:3,2:4)

Matriks - matriks yang disediakan oleh matlab adalah:  Eye(n) : membuat matriks identitas dengan ukuran n x n  Zeros(n) : membuat matriks nol dengan ukuran n x n  Ones(n) : membuat matriks satuan dengan ukuran n x n  Trill(n) : membuat matriks segitiga bawah dari matriks x  Triu(n) : membuat matriks segitiga atas dari matriks x

APLIKASI GRAFIK LATIHAN 2A Grafik 2D sebagai contoh sbb:  Membuat grafik sinus dan cosinus x=0:0.001:2*pi y=sin(x) z=cos(x) plot (x,y,'r-',x,z,'g--'); grid; title('grafik fungsi sinus (x) dan cosinus(x)'); xlabel('nilai x'); ylabel('cos (x)atau sin (x)'); shg LATIHAN 2B  Grafik 3 Dimensi x=-8:0.05:8; y=x; [x,y]=meshgrid(x,y); R=sqrt(x.^2+y.^2)+eps; z=sin(R)./R; mesh (z) ; title('grafik sin (R)/R'); shg TUGAS 1 1 Untuk dapat mendalami lebih materi kali ini selesaikan soal dibawah ini untuk mencari grafik korelasi waktu dan tempatur pada data dibawah ini. Suhu (oF) 54.2 58.5 63.8 64.2 67.3 71.5 88.3 90.1 90.6 89.5 90.4

Waktu (detik) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

6


2. buatlah grafik 3 dimensi dari data matriks dibawah ini:

1 1  1 G 1 1  1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  5  5  5  5 1 1  1 5 5 10  5 1 1 1  5  5  5  5 1 1  1 1 1 1 1 1 1

dengan perintah mesh(G) mesh (G) title (‘Grafik xlabel (‘Harga ylabel (‘Harga zlabel (‘Harga pause pcolor (G) axis off shading flat

3 dimensi’); X’) Y’) Z’)

Setelah menyelesaikan program diatas fahami dan buat diagram alir untuk lebih mamahami logikanya.

Tipe garis, tanda, dan warna Dalam penggambaran grafik pada matlab dapat digunakan karakter - karakter khusus sebagai simol garis, tanda serta warna dari symbol yang digunakan. Symbol serta wana yang digunakan antara lain adalah : Symbol Y M C R G B W K

Perintah: plot mesh xlabel ylabel zlabel title

Warna

Symbol  O X + * ─ : ─ ──

Kuning Magenta Cyan Merah Hijau Biru Putih Hitam

: membuat grafik 2 dimensi : membuat grafik 3 dimensi : memberi nama sumbu X : memberi nama sumbu Y : memberi nama sumbu Z : memberi judul grafik

7

Tipe Garis Titik () Lingkaran (o) Tanda (x) Tanda (+) Tanda (*) Garis penuh (─) Tanda (:) Garis titik (─ ) Garis putus-putus (─ ─)


OPERASI MATEMATIK

Operator Matematik : Symbol + * / ^

Keterangan jumlah (plus) kurang (minus) Perkalian Pembagian Pangkat

Contoh C=A+B D=A-B E=A*B F=A/B K=A^2

Operator ini dapat digunakan pada skalar, vector maupun matrik ( pada operasi tertentu saja ). Jika dikenakan pada skalar maka berlaku seperti aljabar biasa. Coba lakukan perintah dibawah ini dan perhatikan hasil operasi – operasi : a = [ 1 2 3 4 5 ]; b = [ 6 7 2 5 3 ]; c = 2; A = a + b B = a + c C = a^c D = a.*b E = b – a F = a./b G = a.\b H = b.^a Sedangkan untuk operasi dibawah ini tidak dapat dilakukan. Coba terangkan: a*b a/b a\b b^a

TUGAS 2 1. 1. 2. 3. 4.

A = [2 -1 5 0] A – B B + A – 3 2 * A + A.^b B./A

5 7  C   4 3

2. 1. 2. 3. 4.

B = [3 2 5. 6. 7. 8.

-1 4] B.\A A.^B (2).^B + A 2*B/3.0*A

2 3 D   4 6

C * D C + D C/D C\D

5. 6. 7. 8.

8

D – C C.*D C./D C.\D


BAB III OPERASI RELASI Operator < <= > >= == ~=

Lebih kecil Lebih kecil atau sama dengan Lebih besar Lebih besar atau sama dengan Sama dengan Tidak sama dengan

Operasi relasi ini sangat penting untuk aliran program yang menggunakan statement WHILE dan IF. Kontrol Aliran Program: Dalam Matlab. Control aliran program itu terdiri dari FOR LOOPS, WHILE LOOPS, dan IFELSE-END.  FOR LOOPS format penulisan secara umum statement ini adalah sebagai berikut : for Var = Nilai Awal : Pertambahan :Nilai Akhir perintah / baris yang akan diulang end Contoh: for n = 1 : 10 x(n) = sin (n/10); end x (lihat hasil nilai x) Selain itu juga dapat digunakan perintah FOR LOOPS dalam FOR LOOPS Contoh: for n = 1 : 5 for m = 5 : -1 :1 A(n,m) = n^2 + m^2 end; end;  WHILE LOOPS Perintah pengulangan tetapi diketahui jumlah pengulangannya, sehingga diperlukan syarat batas (syarat yang harus dipenuhi). while Kondisi perintah end Contoh: >>

>> >>

num = 0; eps = 1; while (1+eps) > 1 num = num + 1 end num eps

9




IF – ELSE – END

Melakukan perintah dengan syarat batas : a. If dengan satu alternatif if ekspresi perintah end Keterngan : Baris perintah akan dikerjakan jika ekspresi bernilai benar, namun jika tidak maka baris perintah akan dilewatkan. b. IF dengan banyak pilihan if ekspresi 1 perintah 1 elseif ekspresi 2 perintah 2 elseif ekspresi 2 perintah 2 end; end; end. Keterangan Baris perintah 1, akan dikerjakan jika ekspresi 1, bernilai benar, namun jika ekspresi 1, salah maka program akan melakukan pengecekan pada ekspresi berkutnya, hal ini dilakukan sampai ditemukan salah satu ekspresi yang bernilai benar, atau tidak sama sekali dan program akan keluar dari perputaran IF, yang telah dibuat Cobalah contoh dibawah ini untuk IF dengan 1 alternatif pilihan : >> a = [2, 5, 6, 7, 8] >> n = max (size (a)) >> if n > 0 rata = a / n end. Setelah anda selesai mencoba contoh tersebut, buatlah program Untuk IF dengan lebih dari 4 pilihan LATIHAN 3A Mencari akar: Dalam kesempatan ini anda akan diperkenalkan : - Penggunaan editor - Membuka dan menutup Matlab Program berikut ini adalah untuk menghitung akar kuadrat dari bilangan file akar m dengan memasukkan program ini (program dibuat dalam editor). x = a; eror = 1; k = 1; while eror > 0.000001 y = 0.5 * (x + a/x); sbx (k) = x;

10


sby (k) = y; eror = abs (x – y); x = y; k = k + 1; end x plot (sbx, sby); Sesudah program diatas disimpan (dilakukan dalam editor), kemudian kembali ke Matlab dan lakukan : 1. >> jalankan file program yang sudah dibuat, dengan menuliskan nama file yang telah disimpan. 2. >>a = 10; 3. >>akar Pelajarilah hasil dan makna dari tiap baris dalam program ini. Catatlah semua hasil yang perlu dalam buku catatan praktikum anda. LATIHAN 3B (METODE NEWTON RAPHSON) Mencari akar polinominal menggunakan metode NEWTON, dimana pada metode ini harus diberikan turunan dari polinominal tersebut. Untuk lebih memahami metode ini perhatikan grafik berikut ini :

f(x)

f(xi) f’(xi)

f(xi)-0

Xi – Xi+1

X

Dari grafik diatas, nilai Xi adalah nilai X pada perkiraan awal sedangkan Xi+1, merupakan nilai pendekatan X berikutnya, dengan menggunakan konsep segitiga maka kita dapatkan nilai dari Xi+1 dengan persamaan sebagai berikut :

X i 1  X i 

f ( xi ) f ' ( xi )

Dalam program dibawah ini diperkenalkan penggunaan Prosedur Function dalam Matlab guna menyelesaikan metode NEWTON pada pembahasan diatas . Buat program dibawah ini pada matlab editor atau notepad pada Microsoft windows: % nama file zfungsi.m % program untuk menghitung f(x) dan f’(x) dengan x diketahui % program in disertakan prosedur function function [f,ff] = zfungsi(x)

11


f = x^5 – 2*x^4 + 3*x*3 -4*x^2 + 5*x – 6 ff= 4*x^4 - 8*x*3 + 9*x^2 - 8*x – 5 Simpan program tersebut dengan nama file zfungsi.m. Setelah itu siapkan file baru lagi dan simpan dengan nama file znewton.m dibawah ini: % % % %

nama file znewton.m sebagai program induk untuk memanggil program zfungsi.m untuk mencari akar dari f(x) dengan metode Newton nilai tafsiran awal x dimasukkan dulu

k = l [f,ff] = zfungsi(x) while abs(f) > 0.0001 y = x – f/ff sbx(k) = x; sby(k) = y; k = k + 1; x = y; [f,ff] = zfungsi(x); end; x; plot(sbx,sby) Pelajarilah hasil dan makna dari tiap baris dalam program ini. Catatlah semua logika yang ada dan buat diagram alirnya. Untuk lebih memahami contoh diatas, kerjakan contoh soal dibawah ini TUGAS 3

y

W0

x 1. Sebuah batang Uniform diberi beban seperti gambar: Persamaan lendutan yang terjadi pada batang

y



W0  x 5  2 L2 x 3  L4 x 120 EL



L = 180 inch, E = 2,9x107 I = 723 inch4 W 0 = 12 kips/ft Dengan menggunakan metode Newton tentukan posisi x dimana y mencapai max (tentukan x dimana dy/dx = 0) 2. Persamaan Gas Ideal dari persamaan Vander Wals sbb:

a   p  2 v  b   RT v   Dimana:

V n

v

=

V

= molal volume

12


n = bilangan dari mol (bilangan Avogadro) a & b adalah konstanta (diperoleh secara empiris) R = 0.082054 (atm/molºK) Untuk karbondioksida: a = 3,592 b = 0,09267 Untuk oksigen: a = 1,36 b = 0,031383 Jika tekanan yang digunakan 1, 10, 100 atm untuk kombinasi suhu 300, 500, dan 700ºK, tentukan volume molal untuk gas oksigen dan gas karbondioksida.

LATIHAN 3C (Metode Bisection) Mencari akar persamaan dengan metode BISECTION / BAGI DUA, pada metode ini nilai yang akan dicari diapit oleh dua nilai X yang diambil dari perkiraan / aproksimasi dimana nilai tersebut adalah Xl sebagai batas bawah, Xu sebagai batas atas dan Xr sebagai nilai tengan dari X, secara sepintas metode ini dapat dijelaskan dengan langkah sebagai berikut : 1. Buat Nilai perkiraan untuk nilai Xl dan Xu dengan asumsi X yang dicari berada diantaranya 2. Cek nilai dari f(xl).f(xu) <0 3. Jika langkah 2 terpenuhi maka lakukan perubahan nilai x dengan membagi 2 bagian dari nilai awal dan akhir

Xr 

X l X u 2

4. Dengan adanya Xr, maka kita mempunyai dua bagian dari langkah 1, yakni bagian pertama dibatasi oleh Xl ~ Xr, dan bagian ke 2 Xr ~ Xu 5. Lakukan pengecekan pada salah satu bagian misal bagian pertama, kemudian lakukan cek dengan langkah 2, jika terpenuhi lanjutkan pada langkah 3. Namun jika pada langkah ini tidak terpenuhi pindahkan pada bagian ke dua. 6. Dengan selalu membagi dua pada langkah 3, maka akan didapat nilai x yang paling mendekati. Metode ini secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut :

f(x)

Nilai X yang dicari

f(x)

Xl = 0

Xu = 1 Xr 

X

X l X u 2

Sebagai contoh kita akan menyelesaikan suatu sistem massa pegas teredam dengan solusi persamaan getaran seperti dibawah ini

13


Function[Fl]=fungsi2l(tl) Y=0.3; % M= Massa Benda M=1200000; % K= Konstanta dari pegas yang digunakan K=125000000; % C= Koefisien hambatan Udara C=14000000 W=sqrt(k/m) N=c/(2*m) F1=y*exp(-n*tl)*(cos(w*tl)+n*sin(w*tl)/w); Simpan program diatas dengan nama fungsi2l.m Buat program untuk menghitung batas atas yang sudah diketahui kita masukkan pada Function[Fu]=fungsi2u(tu) Y=0.3; % M= Massa Benda M=1200000; % K= Konstanta dari pegas yang digunakan K=125000000; % C= Koefisien hambatan Udara C=14000000 W=sqrt(k/m) N=c/(2*m) Fu=y*exp(-n*tl)*(cos(w*tl)+n*sin(w*tl)/w); Simpan program diatas dengan nama fungsi2u.m Sekarang buat program untuk menghitung nilai F untuk menghitung nilai rata-rata, yang didapat dari batas atas (fungsi2u.m) dan batas bawah (fungsi2l.m) Function[Fu]=fungsi2u(tu) Y=0.3; % M= Massa Benda M=1200000; % K= Konstanta dari pegas yang digunakan K=125000000; % C= Koefisien hambatan Udara C=14000000 W=sqrt(k/m) N=c/(2*m) F=y*exp(-n*tl)*(cos(w*tl)+n*sin(w*tl)/w); Simpan program diatas dengan nama fungsi2.m Satelah file pendukung diatas selesai maka siapkan file yang berfungsi untuk melakukan bagi dua. Clc Tl=input(‘ Batas bawah :’); Tu=input(‘ Batas atas:’); K=0; Eror=1; [Fl]=fungsi2l(tl) [Fu]=fungsi2u(tu)

14


while eror>0.001; tr=(tl+tu)/2; k=k+1 t=tr; [F]=fungsi2(t); eror=abs((tu-tl)/(tu+tl)); sbx(k)=t; sby(k)=F; test=F*Fu; if test<0 tl=tr; else test<0 tu=tr; end [Fl]=fungsi2l(tl); [Fu]=fungsi2u(tu); end plot(sbx,sby) t %Akhir Program

Latihan 3D (Metode False Position) Mencari akar dengan metode Regula Falsi atau yang lebih dikenal dengan False Position. Pada metode ini secara prinsip sama dengan metode bagi dua. Pada sesi ini anda diharapkandapat memahami metode false position dengan batuan contoh program dibawah ini : %Program untuk metode False Position % Untuk batas nilai atas ( F Upper) Function[Fu]=fungsi3u(tu) Y=0.3; % M= Massa Benda M=1200000; % K= Konstanta dari pegas yang digunakan K=125000000; % C= Koefisien hambatan Udara C=14000000 W=sqrt(k/m) N=c/(2*m) Fu=y*exp(-n*tl)*(cos(w*tl)+n*sin(w*tl)/w); Simpan program diatas dengan nama fungsi2u.m % Untuk batas nilai bawah ( F lower) Function[Fl]=fungsi3l(tl) Y=0.3; % M= Massa Benda M=1200000; % K= Konstanta dari pegas yang digunakan K=125000000; % C= Koefisien hambatan Udara C=14000000 W=sqrt(k/m) N=c/(2*m) Fl=y*exp(-n*tl)*(cos(w*tl)+n*sin(w*tl)/w);

15


Simpan program diatas dengan nama fungsi2l.m % Untuk rata-rata ( Fr) Function[Fr]=fungsi3r(tl) Y=0.3; % M= Massa Benda M=1200000; % K= Konstanta dari pegas yang digunakan K=125000000; % C= Koefisien hambatan Udara C=14000000 W=sqrt(k/m) N=c/(2*m) Fr=y*exp(-n*tl)*(cos(w*tl)+n*sin(w*tl)/w); Satelah file pendukung diatas selesai maka siapkan file yang berfungsi untuk melakukan perhitungan secara keseluruhan . Clc Tl=input(‘ Batas bawah :’); Tu=input(‘ Batas atas:’); K=0; Eror=1; [Fl]=fungsi3l(tl) [Fu]=fungsi3u(tu) while eror>0.001; tr=(tu-(Fu*(tl-tu)/(Fl-Fu)); eror=abs((tr-t)/tr) end t=tr; [Fr]=fungsi3l(t); k=k+1; sbx(k)=t; sby(k)=Fr; if Fr*Fu<=0; tl=tr; else tu>tr; end [Fl]=fungsi3l(tl); [Fu]=fungsi3u(tu); end plot(sbx,sby) t %Akhir Program

Latihan 3E (Metode Secant) Metode ini hampir sama dengan metode Newton Raphson, namun pada metode ini kita harus membuat dua batas sebagai nilai awal dan nilai akhir seperti pada metode bisection, secara gafis dapat dilihat pada gambar berikut : Dengan metode interpolasi kita dapatkan : c

b

16

f (b) Karena f (b)  f (a)


f (b)  f (a)  bc ca Dalam Metode ini, nilai c adalah nilai perkiraan baru berdasarkan perkiraan dari nilai a dan b sebelumnya. Sehingga untuk nilai Xi+1 sebagai nilai perkiraan berikutnya adalah : f(b) f(x)

X i 1  X i  a c

b

x

f(a)

17

f ( xi ) .( xi  xi 1 ) f ( xi )  f ( xi 1 )


BAB IV MENCARI SOLUSI SISTEM DARI PERSAMAAN LINIER Tugas kali ini anda diajak untuk menyelesaikan solusi dari beberapa persamaan linier. Bentuk umum sistem persamaan linier dengan n buah variebel dan n buah persamaan yang dapat dituliskan kedalam bentuk persamaan berikut ini : a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2 …

…

…

…

…

= …

…

…

…

…

…

= …

…

…

…

…

…

= …

an1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bn dimana : a11, a12, a13, … an1 dan an2, an3, an4, … ann, sedangkan x1, x2, x3, …, xn adalah variabel yang nilainya belum diketahui. Sistem persamaan aljabar linier dapat ditulis dalam bentuk matrik : [A] * [X] = [B]

dengan [A] =

[X] =

a13 … a1n a23 … a2n

a11 a21

a12 a22

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

an1

an2

x1 x2 … … xn

an3 … ann

b1 b2 ,[B] = … … bn

Pada bagian ini akan dibahas beberapa penyelesaian sistem dari persamaan tersebut secara simultan sehingga diperoleh nilai dari beberapa variabel tersebut.

Metode Invers yang telah tersedia pada program MATLAB Mencari solusi dari sistem persamaan linier dengan metode invers suatu matriks, dapat dilakukan dengan cepat karena pada matlab sarana untuk mendapatkan nilai invers dari matrik telah tersedia. Secara matetatis untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier dari contoh diatas adalah sebagai berikut : [A] * [X] [A]-1 * ([A] * [X]) [I] * [X] [X] Keterangan : [A]-1 [I]

= [B] = [A]-1 * ([B]) = [A]-1 * [B] = [A]-1 * [B] = invers dari matriks [A] = matriks identitas

18


LATIHAN 4A Untuk mempermudah pemahaman lakukanlah petunjuk dibawah ini untuk menyelesaikan sistem persamaan linier berikut ini : 3x1 + 2x2 – x3 = 10 -x1 + 3x2 – 2x3 = 5 x1 + x2 – x3 = 1 Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk : [A] * [X] = [B] lebih detailnya adalah :

[A] =

3 2 –1 -1 3 2 1 1 1

, [X] =

X1 X2 X3

, [B] =

10 5 1

Penyelesaian secarac program pada matlab adalah: A = [3, 2, -1; -1, 3, 2; 1, -1, -1]; B = [10, 5, 1]; C = inv (A); X = C * B

% C adalah invers dari A

Note: “Bandingkan jika anda menyelesaikannya, dengan program lain semisal Qbasic atau Turbo Pascal”

Invers dengan menggunakan metode SWS ( Sherman Morrison Woodbury) Metode SMW pada dasarnya adalah mencari selisih matriks tersebut dengan matriks lain yang sudah diketahui inversnya. Maka yang paling mudah, matriks yang digunakan sebagai acuan adalah matriks [I]. Relasi matriks SMW adalah :

V  * A1 *U  B atau B  V  * A1 *U LATIHAN 4B Program mencari invers dengan metode SMW for k = 1 : n: z = 1 + 1 + a (k,:) * c(:, k); function [A] = invers SMW [A} %Mencari invers dengan metode SMW %Matriks yang dicari dimasukkan [m, n] = size(a); c = a – eye (n, n); a = eye (n, n) a = a – a * c(:, k) * a (k, :)/z; end; Sesudah disimpan siapkan file lain seperti dibawah ini, untuk menyelesaikan persamaan diatas : A = [3, 2, -1; -1, 3, 2; 1, -1, -1]; B = [10, 5, 1]; X = C * B

19


Apakah yang anda dapatkan dari kajian diatas ? Untuk mengetahui beban komputasi dari program diatas gunakan flop. Pada akhir tugas ini, diharapkan saudara dapat atau mampu memetik makna komputasi dalam soal penyelesaian matriks dengan basis matriks. Perlu diingat !

Jangan mengerjakan tugas selanjutnya apabila saudara belum paham benar tentang program ini TUGAS 4 Untuk lebih memahami selesaikanlah persamaan dibawah ini dengan program diatas : 1)

-2x1 + x2 x1 + x2

= -3 = 3

5. )

3x1 + 2x2 – x3 -x1 + 3x2 – 2x3 x1 + x2 – x3

= -3 = 5 = -1

2)

-2x1 + x2 -2x1 + x2

= -3 = 1

6)

-3x1 + 2x2 – x3 -x1 + 3x2 + 2x3 x1 + x2 – x3

= 1 = 1 = 1

3)

-2x1 + x2 -6x1 + x2

= -3 = 9

7)

10x1 + 7x2 -3x1 + 2x2 – 6x3 5x1 + x2 + 5x3

= 7 = 4 = 6

4)

-2x1 + x2 -2x1 + x2

= -3 = -3,0001

8)

2x1 + 7x2+ x3 - 2x4 = 16 x1 + 4x2 – x3 – 2x4 = 5 3x1 - 10x2 – 2x3 + 5x4 = -15

Metode Eliminasi Gauss Selain metode Invers matrik kita dapat menggunakan metode Eliminasi Gauss dalam menyelesaikan sistem persamaan linier Pada pembahasan kita kali ini, metode Eliminasi Gauss didekati dengan menggunakan sifat khusus dari matrik gauss. Untuk lebih jelasnya perhatikan ilistrasi matematis dibawah ini : a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = c1 ………………………….. pers :G.1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = c2 ………………………….. pers :G.2 …

…

…

…

…

…

…

…

…

…

= … = …

…

…

…

…

…

= …

an1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = cn ………………………….. pers :G.3 dimana : a11, a12, a13, … an1 dan an2, an3, an4, … ann, sedangkan x1, x2, x3, …, xn adalah variabel yang nilainya belum diketahui. Sistem persamaan aljabar linier dapat ditulis dalam bentuk matrik : [A] * [X] = [C]

dengan [A] =

a13 … a1n a23 … a2n

a11 a21

a12 a22

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

an1

an2

an3 … ann

20


[X] =

x1 x2 … … xn

c1 c2 ,[C] = … … cn

Matrik [A], disebut sebagai matrik koefisien Pada bagian ini akan dibahas beberapa penyelesaian sistem dari persamaan tersebut secara simultan sehingga nilai dari beberapa variabel tersebut dapat diketahi. Langkah 1 Kita lakukan eliminasi maju yang bertujuan untuk membentuk matrik segitiga atas(Uper Matrik) dari matrik yang diperlebar untuk untuk system persamaan yang akan diselesaikan. Langkah awal yang kita lakukan adalah mengeliminasi variabel x1 dari persamaan kedua, kemudian ketiga hingga persamaan ke n. Kalikan persamaan baris pertama dasi contoh diatas dengan

(a 21

a 21 x1 

a11

) sehingga anda dapatkan persamaan:

a 21 a a a12 x2  .......  21 a1n xn  21 c12 ………………….. pers G.4 a11 a11 a11

kurangkan persamaan G.4 dari persamaan G.2 agar diperoleh persamaan baru :

    a a a  a 22  21 a12  x2  .......   a 2 n  21 a12  xn  c2  21 c1 a11 a11 a11     kita sederhanakan persamaan diatas, diperoleh :

a' 22 x2  .....  a' 2n .xn  c' 2 tanda aksen pada persamaan ini menandakan bahwa nilainya telah mengalami perubahan. Langkah langkah ini kita ulangi untuk persamaan ketiga keempat dan seterusnya. Misalkan persamaan G.1 dikalikan dengan a 31/a11 dan hasilnya dikurangkan dari persamaan ketiga sehingga menghasilkan system persamaan berikut : a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = c’1 ..……………………….. pers :G.4.a a’22x2+ a’23x3 + … + a’2nxn = c’2 …………………………..pers :G.4.b a’32x2+ a’33x3 + … + a’3nxn = c’3 …………………………..pers :G.4.c …

…

…

…

…

= …

…

…

…

…

…

= …

…

…

…

…

= …

…

a’n2x2 + a’n3x3 + … + a’nnxn = c’n

…………………….. pers

:G.4.d

untuk langkah selanjutnya, persamaan G.1 disebut sebagai persamaan poros(pivot), dan a11 sebagai koefisien poros. Proses pembagian seperti a12/a11 atau a31/a11 disebut normalisasi. Pada proses normalisasi tersebut dapat saja terjadi pembagian dengan nol(tidak terdefinisi), sehingga metode ini disebut dengan Eliminasi gauss Naif Sekarang kita lanjutkan untuk mengeliminasi x2 dari persamaan G.4b, maka persamaan ini kita jadikan sebagai persamaan poros (pivot) sebagaimana pada langkah sebelumnya (langkah saat eliminasi x1) Yaitu dengan mengalikan persamaan G.4b dengan a’32/a’22 dan mengurangkan hasilnya dengan dari persamaan G.4.c. Kemudian lakukan eliminasi yang

21


sama untuk persamaan keempat, kelima dan seterunya sehingga dihasilkan persamaan sebagai berikut : a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = c1 a’22x2 + a’23x3 + … + a’2nxn = c’2 a”33x3 + … + a”3nxn = c”3 = … … … … a”n3x3 +… + a”nnxn = c”n Langkah eliminasi dapat diteruskan menggunakan persamaan lain dibawahnya sebagai persamaan poros. langkah ini berakhir sampai pada persamaan ke(n-1), untuk mengeliminasi variabel Xn-1 dari persamaan ke-n. setelah hal ini selesai anda lakukan maka akan terbentuk suatu system persamaan matrik segitiga atas : a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = c1 G.5a a’22x2 + a’23x3 + … + a’2nxn = c’2 G.5b a”33x3 + … + a”3nxn = c”3 G.5c = … … … … ( n 1) ann xn  cn( n1)

G.5d

Setelah kita dapatkan matrik segitiga atas, maka kita dapat lakukan eliminasi mau untuk mendapatkan nilai-nilai x1,x2 serta x3. Dari persamaan G.5d dengan mudah kita bisa dapatkan nilai dari xn

xn 

c n( n 1) ( n 1) a nn

hasil ini kita subtitusikan ke persamaan ke (n-1) untuk memperoleh nilai x(n-1). Langkah subtitusi ini dilanjutkan terus sampai persamaan ke-1 untuk memperoleh nilai x1. Secara umum langkah subtitusi ini dapat dituliskan sebagai berikut :

c1(i 1)  X1 

n

a

j i 1

( i 1) ij

xj

aii(i 1)

Jika anda masih sulit memahami, perhatikan sekali lagi ilustrasi berikut ini : Misalkan kita mempunyai system persamaan dengan dimensi matrik adalah (3,3)

 a11 a12 a  21 a 22 a31 a32

a13  a 23  a33 

 x1   c1   x   c   2  2  x3  c3 

Jika matrik ini kita perlebar maka kita dapatkan matrik baru :

 a11 a12 a  21 a 22 a31 a32

a13 c1  a 23 c 2  a33 c3 

setelah kita lakukan langkah eliminasi maju akan dihasilkan matrik segitiga atas sebagai berikut :

a11 a12  0 a' 22   0 0

a13 c1  a' 23 c' 2  a"33 c"3 

22


Langkah 2 Kemudian kita lakukan subtitusi balik untuk mendapatkan nilai :

c3" x3  " a33

c 



 a' 23 .x3 a' 22 c  a12 x2  a13 x3  x3  1 a11 x2

" 2

Untuk menyelesaikan permasalahan eliminasi gauss, secara komputasi coba anda kerjakan program latihan 4c, pada dasarnya program ini belum sempurna untuk itu lakukan pembenahan pada program sehingga masil matematis dan program terdapat kesamaan. LATIHAN 4C %Program Eliminasi Gauss dengan pertukaran %Matriks a ukuran [n, n] dimasukkan %Matriks b ukuran [1, n] dimasukkan [m, n] = size(a); for i = 1 : 1 : (n –1) g = eye (n, n); j = i while a(i, j) == 0 c = a(j, :); d = b(j); a(j, :) = a(j+1, :); b(j) = b(j+1); a(j+1, :) = c; b(j+1) = d; end; for k = 1 :1 : n if i == k g(k, i) = a(k, i) / a(i, i); else g(k, i) = -a(k, i) / a(i, i); end; a = g * a; b = g * b; end; %Untuk melihat hasil akhir Eliminasi Gauss a %matriks segitiga atas b %Mencari solusi X1, X2, …, Xn x = zeros (n, 1); for i = n : -1 : 1 c = 0; for j = 1 : 1 :n if i ~= j c = c + ( a(i, j) * x (j));

23

baris


end; end; x(i, 1) = (b(i) – c) / a (i, i); end; %Menampilkan hasilnya x Jika sudah selesai simpan dengan nama file GAUSS.M. Setelah itu kerjakan pada prompt Matlab : a = [ 1, 4, -1, 1; 2, 7, 1, -2; 1, 4, -1, 2; 3, -10, -2, 5] b = [2, 16, 1, -15] gauss Nilai x adalah solusi dari persamaan diatas TUGAS 5 Pada tugas ini anda diharapkan lebih memahami penyelesaian persoalan numerik dengan metode matriks (terutama memahami logika numerik ke dalam logika pemrograman). Untuk lebih memahami logika pemrograman di atas selesaikan permasalahan di bawah ini. 1. Analisa Struktur 1000 lb

1 F2 900 H2

2

300

F2

F3

600

3

V3

V2 Tentukan besarnya : F1, F2, F3, H2, V2, V3 2. Elektronika Dasar R1=1 

+ -

i1

R3=1 

R5=1 

R2=1  i2

R4=1  i3

V1=5V

+ -

V2=5V

Tentukan besarnya : i 1, i2, i3

24


Regresi Linier Dengn Metode Least Square Regresi ini sangat diperlukan untuk mencari kurva g(x) yang dapat memiliki titik dari hasil percobaan. Perhatikan gambar berikut :

f(x)

g(x)

x Dengan Metode Leaast Square Regresi Linier (orde 1) diperoleh :

a

1 1 yi   xib  y  b x  n n

dan

b

n xi yi   xi  yi n xi2   xi 

2

dimana : n = jumlah data percobaan Sehingga diperoleh persamaan linierisasi : g(x) = a + bx Agar lebih mudah untuk mengembangkan logika kita ke regresi yang lebih besar hal tersebut dapat dibentuk dalam matrik :

n   xi

x x

  2 i   i

a1   yi   a  =   2   xi yi 

dimana: a1 = a a2 = b Untuk menentukan a1dan a2 , setelah ketemu bentuk matrik, dapat digunakan bentuk metode invers atau metode matriks Gauss

25


LATIHAN 4D Program % Masukkan data pada matriks [dat] dengan ukuran [n, 2] % dat1 sebagai harga x dan dat2 sebagai harga x dan dat2 sebagai harga y [n,m] = size (data)

y = sum (dat(:,2));

x %y= y

x2 = dat (:,1) *. dat (:,1);

% x2 = [x12]

x = sum (dat(:,1));

%x=

sx2 = sum (x2); xy = data (:,1) *. dat (:,2); sxy = sum (xy); a = [n,x ; x, sx2]; b = [y,sxy]; gauss a = x(1) b = x(2) k = zeros (n,1); for i = 1 : 1 : n h(i) = a + (b* dat (I,1)) end; % Untuk menggambar hor = dat (:,1)'; ver = dat (:,2)'; hasil = h'; plot (hor, ver, '0',hor, hasil); Sebagai data gunakan data percobaan berikut : x

0

1

2

3

4

5

y

0

20

60

68

77

110

Regrasi Orde 2 Untuk Regresi Orde 2 matriks yang digunakan dibentuk sebagai berikut :

n   xi  2  xi

 x  y  x x y     x y  3 i

i

i

2 i

i

i

2 1 i

g(x) = a0 + a1 x + a2 x2

26


LATIHAN 4E % Program Regresi Polinomial orde 2 % Masukkan data pada matriks [dat} [n,m] = size (dat); % n jumlah data x = zeros (n,4); % 4 asalnya dari 2* orde regresi y = zeros (n,4); A = zeros (1,5); % 5 asalnya dari (2*orde reg) + 1 B = zeros (1,3); % 3 asalnya dari orde regresi + 1 a = zeros (3,3); % Membuat matriks Xi, Xi 2,Xi3,Xi4 pada matriks X % Matriks matriks Yi, XiYi, Xi 2Yi pada matris Y for i = 1 : 1 : n for j = 1:1:4 X (i,j) = dat (i,1)^j; end; for j = 0 : 1 : 2 A(1,i+1) = (dat (i,1)^j)* dat (I,2) end; end;

n Xi,  Xi ,  Xi ,  Xi  % membuat matriks B = Yi ,  XiYi ,  Xi Yi  % membuat matriks A =

2

3

2

A(1,1) = n; for i=1:1:4 A(1,i+1) = sum(X(:,i); end; for i=1:1:3 B(1,i) = sum(Y(:I)); end;

% membentuk matriks untuk penyelesaian garis for =1:1:3 a(i,:) = (1,i:1:(i+2)); end; b = B'; n = bar; gauss;

27

4


% menggambar grafik data dan hasil regresi orde 2 % koefisien hasil regresi ada pada matriks X [m,n] = size(X); Y = zeros (3,1); Z = zeros (1,bar);

% mencari data untuk plot dari hasil regresi yang disimpan % pada matriks z for i=1:1:bar for j = 0:1:2 Y(j+1,1) = X(j+1,1) * (dat(i,1)^j); end; z(1,i) = sum (Y(:,1)); end; % membuat grafik antara data sebenarnya dengan data hasil % regresi hor = dat(:,1)'; ver = dat(:,2)'; plot (hor,ver,'0',hor,Z); grid; Modifikasi program diatas sehingga program yang anda buat merupakan program yang fleksibel (orde) regresi dapat ditentukan oleh programer tanpa mengubah program. Sebagai petunjuk orde regresi tentukan sebagai masukan. Dimensi masing-masing matriks sesuai dengan orde regresi, begitu juga perintah/statement for…end. Bandingkan program yang anda buat dengan program di bawah ini: X = [………] Y = [………] koef = polyfit (X,Y,1) f = polyval (polyfit (X,Y,1),X); plot(X,Y,'r0',X,f,'b-');

28


BAB V Metode Runge-Kutta Metode yang paling populer untuk integrasi sebuah persamaan differensial adalah RungeKutta. Metode Runge-Kutta menggunakan pendekatan deret Taylor. Di dalam Matlab tersedia fungsi Runge-Kutta menggunakan perintah orde 2,3,4, dan 5. Yaitu orde 2,3 dan orde 4,5. Sebuah massa pegas:

m

d 2x dx  b  kx  0 2 dt dt Pegas(k)

mx  bx  kx  0 b kx x   x  m m

Massa (m) beban

Persamaan diatas dapat diubah :

m

b k x1   x1  x 2 m m x 2  x1 Dengan

x  x2 x1  x 2 x1  x 2 LATIHAN 5A

y '  g ( x, y ) 

 xe 3y 2

x

LATIHAN 5B Program : function xdot = maspeg(t,x) m = 0,5; b = 0,5: k=3 xdot = zeros(2,1); xdot (1) =

b k    * x(1)    * x(2); m m

xdot (2) = x(1); Untuk interval 0  t to = 0; xo = [0

 20 dengan orde 23

tf = 20; 0,25];

29


Kondisi awal : [t,x] = ode 23 ('maspeg',to,to,xo); plot (t,x); Karena syarat batas pada x = 2 == y = 0,5

 dy   3x

Maka

2

dx

y = x3 + c Masukkan syarat batas : 0,5 = (2)3 + c c = -7,5 Sehingga diperoleh integrasi secara analitik dengan diperoleh y = x2 – 7,5 Mari kita bandingkan hasil analitik dengan numerik dengan cara membuat grafiknya. Program untuk merumuskan persoalan function y.dot = g,(x,y); y.dot = 3*x^2; Program Pemanggil: Mendapatkan solusi y pada interval [2,4] dengan dimensi y = f(2) sama dengan 0,5 [v,num-y] = ode 23 ('g1',2,4,0.5); ax-y = x.^3-7,5 subplot (211), plot (x,num-y,x,ax-y,'0'),… title ('solusi dy = 3+x^2'),…. xlabel('x'); ylabel ('y=f(x)'),grid. Latihan 5C Sebuah system massa pegas

d 2 x1  k1  k ( x 2  x1 ) dt 2 d 2 x2 m2   k  k ( x 2  x1 )  kx2 dt 2 m1 

Dimana

k m k X1 m

x1  

k k x1  ( x 2  x1 ) m1 m1

x2  

k k ( x 2  x1 )  x2 m2 m2

k X2

30

BAB I PENDAHULUAN. Tittle. Layar perintah. Untuk menggeser layar arah horisontal

Recommend Documents