BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian abstrak, universal, mendasari perkembangan teknologi modern, dan mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin, serta dapat mengembangkan daya pikir manusia. Matematika memuat variabel–variabel yang bermanfaat bagi disiplin ilmu lain. Sehingga memacu pengguna matematika lebih berwawasan luas karena tidak dibatasi oleh suatu konsep tertentu. Pola pikir matematika bersifat deduktif yaitu dari obyek yang umum menuju pengambilan kesimpulan, sehingga dapat menjembatani menuju langkah selanjutnya. Aplikasi matematika dapat diamati dalam proses penyelesaian suatu permasalahan
yang
dimodelkan
dalam
konsep
matematika.
Dengan
memperhatikan semesta pembicaranya, konsep tersebut akan lebih mudah diselesaikan dan dapat diambil suatu perkiraan yang mendekati kesimpulan. Jika permasalahan
itu
kompleks,
maka
dapat
dibentuk
sistem
matematika.
Aplikasi–aplikasi matematika seperti perkembangan pesat di bidang teknologi informasi
dan
komunikasi
dewasa
ini
dilandasi
oleh
perkembangan
matematika yang menitikberatkan pada perbedaan aspek–aspek teori. Dari sudut pandang aspek-aspek teori
tersebut,
ilmu
matematika memperlebar
cakupan pemahamannya pada beberapa cabang, seperti matematika analisis, statistik, dan pemrograman (Parzynski, 1982:149).
1
2
Analisis matematika modern atau kalkulus lanjutan tidak menekankan pada perhitungan dan rumus atau aturan, tetapi pembahasannya didasarkan pada pengembangan konsep dasar dan teori dengan menggunakan penalaran untuk memperoleh prinsip–prinsip yang berupa definisi, aksioma, lemma, corollary, dan teorema–teorema beserta pembuktiannya. Sedangkan klasifikasi materi dan pendekatannya memang bersifat sangat abstrak dan intuitif untuk memahami dan mengembangkan
metode–metode
dan
teknik–teknik
yang
dipergunakan dalam bukti–bukti. Sehingga suatu pemahaman yang baik sangat diperlukan untuk kesuksesan dalam mempelajari analisis matematika. Selain itu, analisis mendominasi wilayah dari matematika. Karena ide–idenya merupakan dasar dan keutamaan yang tidak hanya didefinisikan saja, tetapi artinya diterima secara universal (Golbert, 1976:2). Salah satu konsep dasar yang menjadi pembahasan dalam analisis matematika adalah fungsi. Parzynski (1982: 2) menyatakan fungsi adalah suatu himpunan tak kosong X dan Y dilengkapi dengan aturan pemadanan yang memasangkan masing-masing elemen ∈ dengan sebuah elemen ∈ . Nilai adalah elemen yang dipasangkan dengan sebuah elemen ∈ . Himpunan disebut daerah asal (domain) fungsi dan himpunan ⊆ , yang didefinisikan dengan ∈ | , ∈ disebut dengan daerah hasil (range). Fungsi dikatakan terbatas jika terdapat sebuah bilangan real 0 sehingga || untuk setiap ∈ dengan bilangan real merupakan konstanta sedangkan di dalam sebuah interval. Apabila untuk
3
semua di dalam interval maka dikatakan terbatas atas (bounded above) dan disebut batas atas (upper bound) dari .
Apabila untuk
semua di dalam interval maka dikatakan terbatas bawah (bounded below) dan disebut batas bawah (lower bound) dari . Kajian tentang fungsi terus berkembang seiring dengan banyaknya penelitian yang dilakukan oleh para matematikawan. Camille Jordan (1881) adalah salah satu matematikawan yang mengembangkan kajian tentang fungsi. Camille
Jordan pertama kali mengenalkan kajian tentang Fungsi Bervariasi
Terbatas untuk fungsi dengan satu variabel, atau juga dikenal sebagai fungsi BV (bounded variasi), yaitu fungsi bernilai real dengan total variasi
terbatas.
Kemudian oleh matematikawan setelahnya, konsep ini banyak digunakan untuk pengembangan dan juga diterapkan untuk mencari solusi berbagai pemasalahan dalam matematika. Misalnya penerapan Fungsi Bervariasi Terbatas untuk menentukan solusi dari masalah persamaan Cauchy oleh Conway dan Smoller pada tahun 1966. Fungsi bervariasi terbatas pada dasarnya merupakan fungsi yang kontinu titik demi titik pada sebuah selang. Oleh karena itu, secara umum fungsi bervariasi terbatas didefinisikan sebagai sebuah fungsi kontinu dengan daerah asal
(domain)
berupa partisi dari selang , . Akan tetapi P.K.Jain dan
V.P.Gupta memberikan definisi bahwa fungsi f : [ a, b ] → ℝ dikatakan bervariasi terbatas pada [ a, b ] , jika terdapat konstanta K > 0 dengan sifat untuk setiap partisi P = {x0 , x1 ,…, xn } pada [ a, b ] ; ∆i f = f ( xi ) − f ( xi −1 ) , ∆i x = xi − xi −1 berlaku
4
n
∑∆ i =1
n
i
f = ∑ f ( xi ) − f ( xi −1 ) ≤ K , i =1
dan variasi fungsi f pada [ a, b ] yang terkait dengan partisi P = {x0 , x1 ,…, xn } pada [ a, b ] , ditulis Vab ( f , P ) , diberikan dengan Vab ( f , P ) = ∑ f ( xi ) − f ( xi −1 ) . n
i =1
Selanjutnya, sebuah Fungsi Bervariasi Terbatas memiliki sifat serta struktur yang membedakannya dengan fungsi lain. Oleh karena itu, penulis dalam skripsi ini mengambil judul tentang FUNGSI BERVARIASI TERBATAS DAN SIFAT-SIFATNYA.
B. Batasan Permasalahan Pembahasan pada Fungsi Bervariasi Terbatas meliputi definisi dan sifatsifat dasarnya pada interval tertutup , ∈ .
C. Rumusan Masalah 1. Bagaimana pengertian dari Fungsi Bervariasi Terbatas? 2. Bagaimana sifat-sifat dari Fungsi Bervariasi Terbatas?
D. Tujuan Penulisan 1. Menjelaskan konsep Fungsi Bervariasi Terbatas pada , , definisi maupun sifat-sifatnya. 2. Menjelaskan beberapa permasalahan yang ada pada Fungsi Bervariasi Terbatas serta mencari penyelesaian dari masalah tersebut.
5
E. Manfaat 1. Menambah pengetahuan penulis tentang Fungsi Bervariasi Terbatas mulai dari definisi hingga sifat-sifatnya . 2. Sebagai dasar penelitian selanjutnya.
