BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Permasalahan Pemetaan merupakan konsep yang tidak pernah terlepas dari bahasan matematika analisis. Pengaitan setiap anggota dari suatu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan yang lain merupakan konsep dasar dari pemetaan. Diberikan 2R = {A : A ⊆ R}, pemetaan F : R → 2R dengan definisi F (x) = [0, |x|], untuk setiap x ∈ R, merupakan pemetaan dengan range berupa koleksi dari selang-selang tertutup. Terlihat bahwa F (x) berupa himpunan, untuk setiap x ∈ R. Pemetaan F tersebut merupakan salah satu contoh pemetaan bernilai himpunan. Contoh pemetaan bernilai himpunan yang lain adalah pemetaan dari ruang bernorma X ke himpunan semua pemetaan linear terbatas j : X → R dengan sifat j(x) = kxk2 = kjk2 , untuk setiap x ∈ X. Pemetaan tersebut dikenal pemetaan dualitas ternormalisasi. Diberikan pemetaan f : R → R dengan definisi f (x) = x, untuk setiap x ∈ R. Pemetaan f dapat dianggap sebagai pemetaan bernilai himpunan dengan memandang nilai f di x ∈ R sebagai himpunan dengan satu anggota, yakni f (x) = {x} ⊂ R ⊂ 2R . Pemetaan f yang demikian disebut sebagai pemetaan single-valued. Dalam matematika analisis, pemetaan telah banyak dipelajari, antara lain dengan membatasi domain dan kodomainnya. Apabila domain dan kodomain dari suatu pemetaan merupakan ruang vektor, secara khusus pemetaan itu dinamakan operator. Sedangkan pemetaan dari ruang vektor ke lapangannya dikenal dengan fungsional. Himpunan semua fungsional linear terbatas pada ruang bernorma X dinamakan ruang dual dari X. Berbagai jenis operator telah banyak dikaji dalam matematika analisis. Tahun 1967, Felix E. Browder mengembangkan salah satu operator pada ruang Ba1
2 nach yaitu operator accretive. Operator ini memiliki peranan pada persamaan diferensial yang melibatkan persamaan panas dan gelombang. Operator accretive berkaitan erat dengan pemetaan dualitas ternormalisasi. Pada tahun 1967 pula, dengan memanfaatkan konsep topologi lemah*, Tosio Kato membuktikan lemma terkait pemetaan dualitas ternormalisasi. Melalui lemma tersebut, dalam penelitian ini dibuktikan karakteristik operator accretive. Melalui karakteristik ini, operator accretive semakin banyak dikembangkan. Falset dan Morales (2005) telah mengembangkan sifat operator yang berkaitan erat dengan operator accretive, yaitu operator accretive-m. Selain itu, Kobayashi (1975) juga telah mengembangkan operator disipatif A, yaitu apabila −A accretive, yang banyak berperan dalam pengembangan sifat-sifat operator accretive. Chidume dan Morales (2006) telah mengkaji sifat mengenai operator accretive pada ruang bernorma, yakni dengan menambahkan beberapa kondisi, operator accretive merupakan operator single-valued. Dalam penelitian ini, dipelajari operator accretive single-valued yang telah diteliti Chidume dan Morales. Selanjutnya, operator accretive single-valued, operator accretive-m dan operator disipatif digunakan untuk membuktikan bahwa untuk setiap z ∈ X dan λ > 0 terdapat x, u, v ∈ X dengan sifat z ∈ G(u, v) + λA(x), dengan A operator accretive dan G pemetaan yang memenuhi kondisi tertentu.
1.2. Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan, dalam penelitian ini dirumuskan masalah sebagai berikut. 1. Melalui lemma yang telah dibuktikan Tosio Kato, ditunjukkan karakteristik operator accretive. 2. Dibuktikan operator accretive pada ruang bernorma yang memenuhi kondisi tertentu merupakan operator accretive single-valued. 3. Dibuktikan untuk setiap z ∈ X dan λ > 0 terdapat x, u, v ∈ X dengan sifat
3 z ∈ G(u, v) + λA(x), dengan A operator accretive dan G pemetaan yang memenuhi kondisi tertentu.
1.3. Tujuan dan Manfaat Penelitian Berdasarkan latar belakang dan permasalahan yang telah dikemukakan, tujuan penelitian ini dipaparkan sebagai berikut. 1. Mempelajari pengertian dan sifat operator accretive pada ruang bernorma. 2. Memberikan karakteristik operator accretive pada ruang bernorma. 3. Memberikan pemahaman yang lebih mendalam mengenai operator accretive single-valued pada ruang bernorma serta penggunaannya untuk membuktikan bahwa untuk setiap z ∈ X dan λ > 0 terdapat x, u, v ∈ X dengan sifat z ∈ G(u, v) + λA(x), dengan A operator accretive dan G pemetaan yang memenuhi kondisi tertentu. Selanjutnya, penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan khususnya mengenai operator accretive pada ruang bernorma dan penggunaan operator accretive untuk membuktikan bahwa untuk setiap z ∈ X dan λ > 0 terdapat x, u, v ∈ X dengan sifat z ∈ G(u, v) + λA(x), dengan A operator accretive dan G pemetaan yang memenuhi kondisi tertentu.
1.4. Tinjauan Pustaka Pemetaan bernilai himpunan (set-valued mapping) telah banyak dibicarakan pada bahasan matematika analisis. Pemetaan bernilai himpunan sering dikenal dengan multifunction. Diberikan himpunan X dan Y dengan 2Y sebagai himpunan kuasa Y , maka pemetaan F : X → 2Y , menyatakan pemetaan bernilai himpunan dari himpunan X ke himpunan kuasa Y . Berge (1963) menyatakan pemetaan F dari himpunan X ke himpunan Y dengan F (x) berupa singleton untuk setiap x ∈ X merupakan pemetaan single-valued dari X ke Y . Jadi, pemetaan single-valued dapat dipandang sebagai pemetaan bernilai himpunan.
4 Pemetaan bernilai himpunan juga dikembangkan pada ruang vektor. Kreyszig (1978) menyebutkan pemetaan dari ruang vektor ke ruang vektor disebut dengan operator. Sedangkan pemetaan dari ruang vektor ke lapangannya disebut dengan fungsional. Selanjutnya, ruang vektor yang dilengkapi suatu pemetaan bernilai real yang disebut dengan norma, dinamakan ruang bernorma. Lebih jauh, Kreyszig juga menyebutkan himpunan semua fungsional linear terbatas pada ruang bernorma X disebut ruang dual dari X, disimbolkan dengan X ∗ . Kato (1967) ∗
menyatakan pemetaan bernilai himpunan J : X → 2X dengan definisi J(x) = {j ∈ X ∗ : hx, ji = kxk2 , kxk = kjk} untuk setiap x ∈ X disebut dengan pemetaan dualitas ternormalisasi. Selanjutnya, pemetaan dualitas ternormalisasi digunakan untuk mengembangkan pemetaan bernilai himpunan yang dikenal dengan operator accretive. Operator accretive telah dikembangkan oleh Felix E. Browder pada tahun 1967. Operator A : D(A) ⊆ X → 2X dikatakan accretive apabila untuk setiap x, y ∈ D(A) terdapat j ∈ J(x − y) dengan sifat hu − v, ji ≥ 0 untuk setiap u ∈ A(x),v ∈ A(y), ∗
dengan J : X → 2X merupakan pemetaan dualitas ternormalisasi. Semenjak diperkenalkan, operator accretive telah banyak dikembangkan, seperti operator accretive-m dan operator accretive kuat-φ, dengan pemetaan kontinu φ : [0, ∞) → [0, ∞), φ(0) = 0 dan φ(r) > 0 untuk setiap r > 0. Munkres (2000) memaparkan tentang topologi. Selanjutnya, dengan memanfaatkan topologi lemah*, Kato (1967) telah membuktikan lemma terkait pemetaan dualitas ternormalisasi. Diberikan ruang bernorma X, untuk setiap x, y ∈ X berlaku kxk ≤ kx+αyk untuk sebarang α > 0 jika dan hanya jika terdapat j ∈ J(x) sehingga j(y) ≥ 0. Melalui lemma tersebut diperoleh karateristik operator accretive, yakni operator A accretive apabila untuk setiap x dan y anggota domain, serta setiap α > 0 berlaku kx − yk ≤ k(x − y) + α(u − v)k untuk setiap u ∈ A(x) dan v ∈ A(y). Berangkat dari kedua definisi tersebut, sifat mengenai operator accretive semakin banyak berkembang. Falset dan Morales (2005) telah memaparkan sifat salah satu operator yang berkaitan erat dengan operator accretive, yaitu operator
5 accretive-m. Selanjutnya, Chidume dan Morales (2006) memaparkan tentang operator accretive single-valued pada ruang bernorma. Untuk menjamin hal itu, diperlukan beberapa kondisi pada operator accretive tersebut, yakni semi kontinu bawah dan locally accretive. Selain itu, Kobayashi (1975) juga telah mengembangkan sifat operator disipatif A, yakni apabila −A accretive, yang banyak berperan dalam pengembangan operator accretive-m. Dalam papernya, Kobayashi memaparkan karakteristik operator disipatif-m melalui solusi pendekatan dan solusi integral masalah Cauchy yang ditentukan oleh suatu operator disipatif.
1.5. Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur referensireferensi terkait dengan paper Chidume dan Morales (2006). Paper ini menyajikan tentang operator accretive single-valued pada ruang bernorma. Dalam paper tersebut, konsep-konsep hanya disajikan garis besarnya saja atau hanya merujuk pada paper lain. Demikian pula dengan bukti teorema dan akibat yang juga hanya berupa garis besarnya saja atau merujuk pada paper lain. Penelitian ini mengulas paper Chidume dan Morales (2006) melalui pemaparan definisi dan contoh serta penjabaran bukti teorema dan akibat secara detail. Pertama, dipelajari mengenai konsep mengenai ruang bernorma, ruang dual, teorema Hahn-Banach dan pemetaan bernilai himpunan. Keseluruhan konsepkonsep tersebut selanjutnya digunakan untuk memahami operator accretive yang bernilai himpunan. Selanjutnya, dipelajari konsep ruang topologi, khususnya mengenai topologi lemah*. Dengan konsep topologi lemah*, diperoleh karakteristik operator accretive. Kemudian dipelajari mengenai pemetaan semi kontinu bawah dan locally accretive. Kondisi-kondisi ini mengakibatkan operator accretive tersebut single-valued pada ruang bernorma. Selain itu, dipelajari pula operator accretive-m dan operator disipatif. Melalui solusi pendekatan dan solusi integral masalah Cauchy yang ditentukan oleh suatu operator disipatif, diperoleh karakteristik operator accretive-m.
6 Selanjutnya, melalui sifat-sifat operator accretive single-valued, operator accretive-m dan operator disipatif, dibuktikan bahwa untuk setiap z ∈ X dan λ > 0 terdapat x, u, v ∈ X dengan sifat z ∈ G(u, v) + λA(x), dengan A operator accretive dan G pemetaan yang memenuhi kondisi tertentu. Untuk memudahkan memahami alur penelitian ini, berikut disajikan bagan alur penelitian yang telah dilakukan.
7
Gambar 1.1 Bagan Alur Penelitian
8
1.6. Sistematika Penulisan Dalam penelitian ini, hasil penelitian dibagi ke dalam lima bab. Pada BAB I yaitu pendahuluan, dibahas mengenai latar belakang permasalahan, perumusan masalah, tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian dan sistematika penulisan penelitian. Selanjutnya di dalam BAB II, yaitu dasar teori, dipaparkan mengenai konsep-konsep yang digunakan dalam pembahasan lebih lanjut, diantaranya konsep ruang bernorma, ruang dual, teorema Hahn-Banach, topologi lemah* dan pemetaan bernilai himpunan. Kemudian dilanjutkan ke dalam BAB III, yaitu pembahasan operator accretive, yang di dalamnya mengulas mengenai operator accretive dan operator accretive-m. Pada BAB IV, dipaparkan konsep operator disipatif dan masalah Cauchy untuk operator disipatif, serta mengulas aplikasi operator accretive. Selanjutnya pada bab terakhir, BAB V, memuat kesimpulan hasil penelitian.
