BAB I PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang Persamaan diferensial merupakan persamaan yang melibatkan turunan dari
satu atau lebih variabel tak bebas
terhadap satu atau lebih variabel bebas
dan
dituliskan dengan (
)
Persamaan diferensial seringkali muncul dalam model matematika yang menggambarkan keadaan kehidupan nyata. Sebagai contoh, turunan-turunan dalam fisika muncul sebagai kecepatan dan percepatan, dalam geometri sebagai kemiringan (tanjakan), dalam biologi sebagai laju pertambahan populasi dan sebagainya. Variabel bebas merupakan variabel yang tidak bergantung pada variabel lain. Berdasarkan jumlah variabel bebas, persamaan diferensial dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Berdasarkan bentuknya, terdapat persamaan diferensial homogen dan persamaan diferensial tak homogen. Persamaan diferensial dikatakan linear apabila variabel tak bebas dan derivatifnya hanya berderajat satu dan tidak ada perkalian antara variabel tak bebas dan derivatifnya serta antara derivatifnya. Sedangkan persamaan diferensial nonlinear merupakan persamaan yang memuat variabel tak bebas dan turunannya yang berderajat lebih dari satu, atau perkalian antara variabel tak bebas dan turunannya. Umumnya, solusi yang didapat dari persamaan diferensial nonlinear hanyalah sebuah solusi pendekatan, bahkan terdapat suatu persamaan diferensial yang solusinya tidak dapat dinyatakan secara eksplisit. Di samping itu, berdasarkan orde (tingkat)-nya, terdapat persamaan diferensial orde satu, persamaan diferensial orde dua, persamaan diferensial orde tiga, sampai dengan persamaan diferensial orde-n (orde tinggi). Persamaan diferensial yang disertai syarat awal di suatu titik disebut masalah syarat awal.
2
Dalam teori persamaan diferensial masalah utama yang dihadapi adalah mengetahui adanya penyelesaian persamaan diferensial. Oleh karena itu, diperlukan teorema yang menjamin adanya suatu penyelesaian. Persamaan diferensial yang disertai syarat awal periodik akan menghasilkan suatu solusi yang periodik. Solusi periodik dari persamaan diferensial merupakan solusi yang menggambarkan proses berulang secara teratur, contohnya ayunan pada bandul. Solusi periodik dari sistem persamaan diferensial ( mempunyai solusi
)
(
( ), terdiri dari fungsi periodik
)
yang mempunyai
periode yang sama. Dengan kata lain, ( untuk setiap dan untuk
)
( )
, disebut periode dari solusi.
Persamaan diferensial orde tinggi (khususnya orde tiga) memegang peranan penting dalam berbagai bidang ilmu fisika, ilmu ekonomi, biologi dan berbagai macam disiplin ilmu. Penulis tertarik membahas tentang solusi periodik positif persamaan diferensial nonlinear orde tiga. Dalam mempelajari persamaan (
diferensial, khususnya persamaan diferensial orde tiga, yaitu
), untuk
menunjukkan eksistensi dari solusi periodik, selanjutnya persamaan diubah menjadi sistem persamaan diferensial orde pertama dengan mendefinisikan . Akan tetapi, hal tersebut belum cukup untuk membuktikan eksistensi dari solusi periodik positif, karena syarat
dari
sifat positif untuk persamaan diferensial orde tinggi berbeda dari syarat kepositifan natural (natural positivity condition) (
)
untuk sistem
yang bersesuaian. Dalam tesis ini pendekatan yang akan dilakukan adalah mentransformasi persamaan diferensial orde ketiga menjadi persamaan integral yang bersesuaian dan membangun eksistensi solusi periodik positif dari persamaan diferensial nonlinear orde tiga. Pendekatan ini membutuhkan representasi eksplisit dari fungsi Green untuk persamaan diferensial yang bersesuaian dan dalam membangun eksistensi dari solusi periodik positif akan digunakan teorema indeks titik tetap dalam kerucut.
3
1.2.
Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini disampaikan sebagai berikut. 1. Mengkonstruksi fungsi Green dari empat tipe persamaan diferensial orde tiga dengan syarat batas periodik. 2. Membahas eksistensi dan ketunggalan solusi periodik dari persamaan diferensial nonlinear orde tiga dengan koefisien konstan. 3. Membahas eksistensi solusi positif dari persamaan diferensial nonlinear orde tiga dengan time-varying. 4. Membahas eksistensi dari solusi positif dari persamaan diferensial nonlinear orde tiga dengan bentuk persamaan secara umum.
1.3. Manfaat Penelitian Secara umum diharapkan dapat memberikan sumbangan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan serta untuk menambah wawasan pengetahuan dalam bidang matematika terapan terutama dalam bidang persamaan diferensial nonlinear. Secara khusus memberikan gambaran tentang eksistensi dari solusi periodik positif untuk persamaan diferensial nonlinear orde tiga dengan koefisien konstan, time-varying dan bentuk persamaan secara umum, serta masalah masaah dasar yang berkaitan dengan indeks titik tetap.
1.4. Tinjauan Pustaka Salah satu model matematika dari permasalahan real adalah persamaan diferensial. Permasalahan persamaan diferensial telah banyak dipelajari oleh peneliti, diantaranya Jingli Ren, Stefan Siegmund, dan Yeuli Chen. Pada persamaan diferensial biasa, yaitu persamaan diferensial yang terdiri dari satu atau lebih variabel terikat dengan satu variabel bebas, teknis penyelesaian maupun teori eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dikerjakan dengan teorema titik tetap Banach (Ross, 1984). Persamaan diferensial bersama satu atau lebih syarat awal di satu titik disebut masalah syarat awal. Suatu syarat atau kondisi yang harus dipenuhi pada batas-batas domain yang terkait dengan ruang disebut syarat batas, sedangkan
4
masalah yang terdiri dari suatu persamaan diferensial yang dilengkapi dengan syarat batas disebut masalah syarat batas. Masalah syarat batas yang terkait dengan persamaan diferensial biasa nonhomogen dapat diselesaikan dengan mengkonstruksikan fungsi Green. Metode fungsi Green adalah salah satu metode terpenting dalam menyelesaikan masalah syarat batas (Agarwal, 1986). Agarwal memberikan bentuk eksplisit dari fungsi Green untuk persamaan diferensial orde ke-n. Anderson (2003) dalam papernya yang berjudul Green’s Function For Third Order Generalized Right Focal Problem, menentukan fungsi Green untuk persamaan diferensial orde tiga dengan masalah syarat batas, yang kemudian menggunakan teorema titik tetap Krasnoselskii untuk membuktikan eksistensi dari masalah persamaan diferensial nonlinear. Sedangkan untuk masalah persamaan diferensial nonlinear singular orde tiga dengan masalah syarat batas periodik, dengan memanfaatkan fungsi Green, masalah eksistensi dari solusi positif untuk persamaan diferensial dengan syarat batas periodik dapat ditentukan. Pembuktian persamaan diferensial nonlinear singular orde tiga dengan syarat batas periodik menggunakan Leray–Schauder dan teorema titik tetap dalam kerucut (Zhou dan Chu, 2005). Di dalam menggunakan titik tetap dalam kerucut, terlebih dahulu didefinisikan tentang kerucut dalam ruang banach, yaitu diketahui Banach dan jika
subset dari maka
. Himpunan
dikatakan kerucut jika
, untuk skalar
ruang * + serta
(Kaus Keimel, 1992).
Teknis penyelesaian dalam menentukan eksistensi solusi positif periodik dari persamaan diferensial fungsional skalar juga berdasarkan pada teorema titik tetap dalam kerucut (Dan Ye, Meng Fan, dan Haiyan Wang, 2005). Pembahasan tentang ruang Banach yaitu ruang bernorma yang setiap barisan Cauchynya konvergen, telah dibahas dalam buku Introductory Functional Analisys With Applications, oleh Erwin Kreyszig (1987). Zeidler (1985) dalam bukunya yang berjudul Applied Functional Analisys, membahas teorema titik tetap Banach dan aplikasinya. Kemudian Kesavan (2004) memberikan bahasan tentang derajat pemetaan, Leray - Schauder degree, dan indeks titik tetap, yang digunakan untuk menjamin eksistensi dari titik tetap.
5
Dimotivasi dari apa yang telah ditulis oleh penulis-penulis di atas, Jingli Ren, Stefan Siegmund, dan Yeuli Chen dalam jurnalnya yang berjudul Positive Periodic Solutions For Third-Order Nonlinear Differential Equations (2011), memberikan bentuk eksplisit dari fungsi Green untuk beberapa persamaan diferensial orde tiga dengan syarat batas periodik dan menyajikan syarat cukup untuk eksistensi dari solusi periodik positif.
1.5. Metode Penelitian Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur dengan mempelajari dan memahami beberapa karya tulis berupa buku teks dan jurnal-jurnal ilmiah, dengan literatur utamanya adalah karya yang disusun oleh J.Ren, Stefan Siegmund, dan Yueli Chen (2011), yaitu “Positive Periodic Solutions for Third Order Nonlinear Differential Equations”. Teorema-teorema pada karya yang disusun oleh J.Ren, Stefan Siegmund, dan Yueli Chen (2011) tersebut akan dibahas dan dilengkapi buktinya. Penelitian ini akan dilakukan terlebih dahulu dengan mempelajari ruang metrik, pemetaan kontraktif, titik tetap dan teorema titik tetap Banach, kerucut, operator linear, operator linear kompak, solusi periodik, dan fungsi Green. ,
Didefinisikan terdefinisi
pada
,
interval * ( )
Dinotasikan * ( )
- merupakan himpunan semua fungsi kontinu yang
( )
(
- dengan ( )
)
juga memiliki periode
norma (
‖ ‖
)
,
( )+
( )|
dan
( )+. Jika ( ) memiliki periode Jika
-|
, maka ( )
adalah periode terkecil maka disebut
periodik. Pembahasan dalam tesis ini dibagi menjadi empat bagian, yaitu (1). Mengkonstruksi fungsi Green dari empat jenis persamaan diferensial orde tiga dengan syarat batas periodik, persamaan yang pertama yaitu ( ) dengan masalah syarat batas
a. ( )
( )
( )
( )
( ) dengan ( )
( )
( )
( )
( )
( ),
c. ( )
( )
( ), ( ) dengan masalah syarat batas
b.
( )
( )
( )
( )
( ),
masalah
syarat
batas
6
( ) dengan
d. ( ) dengan
( )
( )
( )
( )
,
dan
masalah
syarat batas
( ),
-.
Selanjutnya dibuktikan bahwa empat jenis persamaan diferensial orde tiga dengan syarat awal periodik tersebut mempunyai solusi
-periodik yang
tunggal dan diberikan sifat-sifat dari keempat fungsi Green tersebut. (2). Dengan menggunakan teorema titik tetap Banach akan ditentukan eksistensi dan ketunggalan solusi dan metode iterasi untuk persamaan diferensial nonlinear dengan koefisien konstan yang berbentuk ( dengan
(,
-
)
(
)
).
(3). Menentukan syarat cukup untuk eksistensi dari persamaan diferensial nonlinear orde tiga dengan time-varying, yang persamaannya berbentuk
(,
-
,
),
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
))
Akan diberikan syarat cukup untuk
eksistensi dari solusi positif untuk versi linear dari persamaan (1.6.2) dan (1.6.3). (4). Selanjutnya, akan dibahas secara umum persamaan diferensial nonlinear orde tiga yang berbentuk ( )
( )
dengan
(
)
untuk
merupakan
( ) (
( ,
) ,
)
( ))
-periodik fungsi di
(
) )
untuk periode
. Bagian pertama, kedua, ketiga, dan keempat ini yang akan disajikan pada Bab IV yang membahas bukti teorema-teorema yang menjamin eksistensi dari solusi periodik positif dari persamaan (1.6.1), (1.6.2), (1.6.3, (1.6.4), dan dengan menggunakan fungsi Green dari empat jenis persamaan diferensial orde tiga dengan syarat batas periodik maka eksistensi dan ketunggalan dapat ditentukan.
7
1.6. Sistematika Penulisan Tesis ini terdiri atas 4 (empat) bab yaitu diawali dengan BAB I PENDAHULUAN yang memuat Latar Belakang, Rumusan Masalah, Tujuan Penelitian, Manfaat Penelitian, Tinjauan Pustaka, Metodologi penelitian dan Sistematika Penulisan. Kemudian dilanjutkan dengan BAB II LANDASAN TEORI yang memuat Ruang metrik, pemetaan kontraktif, operator, operator kontinu lengkap, masalah syarat awal dan masalah syarat batas. Pada BAB III INDEKS TITIK TETAP yang memuat derajat pemetaan, sifat-sifat derajat pemetaan, Leray–Schauder degree, dan indeks titik tetap, digunakan untuk syarat cukup eksistensi dari persamaan diferensial nonlinear orde tiga time varying pada Bab IV. Bab selanjutnya adalah BAB IV PEMBAHASAN yang memuat pengkonstruksian fungsi Green dari empat tipe persamaan diferensial orde tiga dan sifat-sifat dari fungsi Green untuk empat tipe persamaan tersebut, eksistensi dan ketunggalan dari solusi dan metode iterasi untuk persamaan diferensial nonlinear dengan koefisien konstan, menyajikan syarat cukup untuk eksistensi dari solusi positif untuk persamaan diferensial nonlinear orde tiga dengan timevarying, mempelajari persamaan diferensial nonlinear orde tiga secara umum. Terakhir adalah BAB V penelitian selanjutnya.
KESIMPULAN yang memuat rangkuman hasil
Diagram Alur Metodologi Penelitian.
Ruang bernorma
Ruang metrik Teorema titik tetap Banach
Operator linear Masalah syarat batas Fungsi Green
Sifat-sifat fungsi Green
Operator linear kompak (completely continuous operator)
Indeks titik tetap
Eksistensi dan ketunggalan solusi periodik untuk persamaan diferensial nonlinear 𝑢′′′ − 𝜌3 𝑢 = 𝑓(𝑡, 𝑢)
Eksistensi solusi periodik positif untuk persamaan diferensial nonlinear 𝑢(𝑡)′′′ − 𝑎(𝑡)𝑢(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑢(𝑡)) dan 𝑢(𝑡)′′′ + 𝑎(𝑡)𝑢(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑢(𝑡))
Eksistensi solusi periodik positif untuk persamaan diferensial nonlinear ′′′ 𝑦 + 𝑝(𝑡)𝑦 ′′ + 𝑞(𝑡)𝑦 ′ + 𝑐(𝑡)𝑦 = 𝑔(𝑡, 𝑦)
