BAB I PENDAHULUAN Pada Bab I akan dibahas latar belakang dan permasalahan penulisan tesis. Berdasarkan latar belakang, akan disusun tujuan dan manfaat dari penulisan tesis. Selain itu, literatur-literatur yang mendasari tesis ini akan diuraikan secara sistematis dalam tinjauan pustaka. Dalam metodelogi penelitian, akan diuraikan langkah-langkah yang akan ditempuh untuk menyelesaikan permasalahan. Uraian garis besar isi dari tiap Bab terdapat pada sistematika penulisan. 1.1. Latar Belakang dan Permasalahan Perubahan suhu merupakan salah satu masalah yang sering dijumpai dalam kehidupan nyata. Perubahan suhu suatu sistem disebabkan oleh perubahan energi internal sistem tersebut karena terjadi perpindahan energi antara sistem dan lingkungannya. Energi yang dipindahkan antara sistem dan lingkungannya karena perbedaan suhu diantara keduanya dinamakan panas (Halliday et al., 2010). Perpindahan panas dapat dilakukan melalui tiga cara, yaitu konduksi, konveksi, dan radiasi. Perpindahan panas secara konduksi merupakan perpindahan panas tanpa disertai pergerakan partikel penyusunnya. Beberapa penelitian yang berhubungan dengan perpindahan panas konduksi, yaitu perpindahan panas konduksi pada proses pemanasan laser dibahas oleh Yilbas and Shuja (1997), perpindahan panas konduksi pada plat datar serta efek panas yang dihasilkan dikaji oleh Mamun et al. (2008), dan perilaku perpindahan panas konduksi pada sistem plat dingin yang digunakan untuk avionik (peralatan elektronik penerbangan) diteliti oleh ChunXin and Chao-Bin (1995). Permasalahan perpindahan panas secara konduksi dapat dimodelkan secara matematika dalam bentuk persamaan diferensial. Persamaan diferensial tersebut dikenal sebagai persamaan konduksi panas. Solusi dari persamaan konduksi panas adalah fungsi suhu yang bergantung variabel ruang dan waktu.
1
2
Persamaan diferensial dapat diselesaikan secara analitik dan numerik. Permasalahan yang timbul adalah persamaan diferensial sulit diselesaikan secara analitik. Oleh karena itu, solusi analitik dari persamaan diferensial akan didekati dengan metode numerik. Metode beda hingga adalah metode numerik yang sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Livne and Glasner (1985) beralasan bahwa metode beda hingga merupakan metode yang akurat. Hogarth et al. (1990) menggunakan metode beda hingga untuk menyelesaikan persamaan transport dengan syarat batas dan syarat awal fungsi yang diskontinu. Dai and Nassar (2002) juga menggunakan metode beda hingga untuk menyelesaikan persamaan transport panas tiga dimensi. Metode beda hingga menghasilkan skema eksplisit, tetapi terdapat metode beda hingga yang menghasilkan skema implisit yaitu metode beda hingga kompak. Skema pada metode beda hingga kompak merupakan skema implisit yang memberikan akurasi tinggi daripada skema eksplisit pada metode beda hingga (Shukla and Zhong, 2005). Tesis ini mengkaji ulang paper yang ditulis oleh Han and Dai (2013). Permasalahan yang akan dibahas dalam tesis ini adalah sebagai berikut. 1) Memodelkan persamaan konduksi panas 1-dimensi dengan suhu berubah terhadap waktu dan terdapat sumber panas. 2) Membentuk skema pendekatan untuk turunan tingkat dua terhadap variabel ruang pada persamaan konduksi panas 1-dimensi dengan metode beda hingga kompak. 3) Membentuk skema pendekatan dari persamaan konduksi panas satu dimensi dengan metode Crank-Nicolson, metode tersebut digunakan untuk menentukan solusi pendekatan dari persamaan konduksi panas 1-dimensi. Selanjutnya, akan ditentukan kestabilan dan penyelesaian dari skema tersebut. 4) Menyusun algoritma pemrograman dan implementasi program dengan menggunakan software Matlab untuk mendapatkan solusi pendekatan dari persamaan konduksi panas 1-dimensi. 5) Mengaplikasikan
ekstrapolasi
Richardson
pendekatan terhadap variabel waktu yang akurat.
untuk
mendapatkan
solusi
3
1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut. 1) Mendapatkan bentuk skema beda hingga kompak untuk turunan tingkat dua terhadap variabel ruang pada persamaan konduksi panas 1-dimensi. 2) Mendapatkan skema pendekatan dari persamaan konduksi panas 1-dimensi dengan metode Crank-Nicolson dan kestabilannya. 3) Mengetahui aplikasi dari ekstrapolasi Richardson pada solusi pendekatan persamaan konduksi panas 1-dimensi. Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah metode beda hingga kompak dapat menjadi alternatif untuk menyelesaikan aplikasi dari persamaan konduksi panas 1-dimensi dengan tingkat akurasi lebih tinggi daripada metode beda hingga. 1.3. Tinjauan Pustaka Panas merupakan energi yang dipindahkan antara sistem dan lingkungannya karena terjadi perbedaan suhu diantara keduanya (Halliday et al., 2010). Jika terdapat perbedaan suhu pada sistem, maka terjadi perpindahan energi dari sistem yang bersuhu tinggi ke sistem yang bersuhu rendah (Holman, 2010). Perpindahan panas merupakan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan matematika. Pemodelan matematika umumnya berbentuk persamaan diferensial yang disertai dengan syarat awal dan syarat batas. Perpindahan panas secara konduksi dapat dimodelkan dalam persamaan konduksi panas. Persamaan konduksi panas merupakan persamaan diferensial parsial linear orde dua dengan tipe parabolik. Konsep-konsep dasar tentang persamaan diferensial parsial diberikan oleh Ross (1984), sedangkan konsep tentang syarat awal dan syarat batas diberikan oleh Bradie (2006) serta Humi and Miller (1992). Masalah konduksi panas dengan syarat batas Dirichlet dan Neumann sering ditemui di berbagai masalah aplikasi teknik (Han and Dai, 2013). Riley et al. (2006) serta Arfken and Weber (2005)
4
menyatakan bahwa syarat batas yang sesuai dengan persamaan diferensial parabolik adalah Dirichlet dan Neumann. Nilai turunan suatu fungsi dapat didekati secara numerik dengan metode beda hingga (Humi and Miller, 1992). Skema pendekatan dari metode beda hingga dapat diperoleh dari 2 cara, yaitu deret Taylor dan koefisien tak tentu. Skema beda hingga yang diperoleh dengan deret Taylor terdapat dalam Humi and Miller (1992). Skema beda hingga yang diperoleh dengan koefisien tak tentu terdapat dalam Moin (2010). Pendekatan nilai turunan suatu fungsi tidak hanya dapat ditentukan dengan skema beda hingga yang berbentuk skema eksplisit, tetapi juga dapat ditentukan dengan skema beda hingga yang berbentuk skema implisit. Skema beda hingga dengan bentuk skema implisit disebut skema pendekatan Padé. Menurut Moin (2010), skema pendekatan Padé merupakan skema implisit karena untuk menentukan nilai turunan fungsi, tidak hanya digunakan nilai fungsi pada grid point tertentu, tetapi juga digunakan nilai turunan fungsi pada grid point tertentu tersebut. Skema pendekatan Padé dikatakan kompak karena memerlukan informasi dari titik di persekitaran i , misal titik i 1 dan i 1 . Seperti pada Moin (2010), Shah et al. (2010) juga menyatakan untuk menentukan turunan dengan menggunakan beda hingga kompak dilakukan secara implisit dalam arti bahwa nilai turunan di grid point tertentu dihitung tidak hanya dari nilai fungsi tetapi juga dari nilai-nilai turunan di grid point sekitarnya. Jika dipandang dengan orde sama, maka skema beda hingga kompak memanfaatkan grid point yang lebih kecil daripada skema beda hingga tidak kompak. Skema beda hingga tidak kompak merupakan skema beda hingga yang berbentuk skema eksplisit. Beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan konduksi panas secara numerik, yaitu metode eksplisit, metode implisit, metode Crank-Nicolson. Teori tentang metode-metode tersebut terdapat dalam Morton and Mayer (2005), Humi and Miller (1992), serta Bradie (2006). Metode-metode tersebut merupakan penyederhanaan dari masalah syarat batas suatu persamaan diferensial ke sistem persamaan linear (Humi and Miller, 1992).
5
Dalam tesis ini, metode Crank-Nicolson digunakan untuk menentukan solusi numerik dari persamaan konduksi panas 1-dimensi, karena terhadap variabel
waktu, metode Crank-Nicolson
mempunyai
orde lebih tinggi
dibandingkan metode eksplisit dan implisit. Ekstrapolasi Richardson digunakan untuk mendapatkan solusi pendekatan terhadap variabel waktu yang akurat. Teori tentang ekstrapolasi Richardson diberikan oleh Joyce (1971) dan Shapiro (2008). Selain itu, dalam tesis ini juga diperhatikan adanya fenomena Gibbs. Teori tentang fenomena Gibbs diberikan oleh Humi and Miller (1992). Analisis kestabilan skema pendekatan persamaan konduksi panas 1-dimensi yang diperoleh dari metode Crank-Nicolson akan dibahas dalam Tesis ini. Teori pendukung untuk membuktikan kestabilan metode numerik diberikan oleh Morton and Mayer (2005) Atkinson (1989) dan Isaacson and Keller (1966). Tesis ini mengkaji ulang paper yang ditulis oleh Han and Dai (2013). Kontribusi penyusun dalam tesis ini adalah melengkapi bukti-bukti teorema dan lemma yang ada dalam paper, menyusun algoritma pemrograman serta mengimplementasikan program dalam software Matlab dan menambah contoh persamaan konduksi panas 1-dimensi dengan sumber panas yang diambil dari Zhao et al. (2006). 1.4. Metodologi Penelitian Metode penelitian yang digunakan dalam tesis ini adalah studi literatur dari beberapa buku dan paper terkait. Penulis mempelajari konsep dasar tentang perpindahan panas, pemodelan perpindahan panas secara konduksi dengan asumsi suhu berubah terhadap waktu dan terdapat sumber panas. Penulis mempelajari konsep dasar skema beda hingga yang diperoleh dengan deret Taylor ataupun yang diperoleh dengan menggunakan koefisien tak tentu. Penulis juga mempelajari konsep dasar skema pendekatan Padé yang diperoleh dengan menggunakan koefisien tak tentu. Dalam tesis ini, yang dimaksud dengan skema beda hingga kompak adalah skema pendekatan Padé. Langkah awal yang dilakukan untuk menyelesaikan persamaan konduksi panas 1-dimensi secara numerik adalah membentuk grid point dari domain
6
persamaan konduksi panas satu dimensi yang disertai syarat awal dan syarat batas. Dalam tesis ini, hanya digunakan syarat batas Dirichlet dan Neumann. Pendekatan turunan tingkat dua terhadap variabel ruang pada persamaan konduksi panas 1dimensi akan ditentukan dengan membentuk skema beda hingga kompak. Skema pendekatan persamaan konduksi panas 1-dimensi akan ditentukan dengan metode Crank-Nicolson. Skema pendekatan yang diperoleh, diselidiki kestabilannya. Ekstrapolasi Richardson digunakan untuk mendapatkan solusi pendekatan terhadap variabel waktu yang akurat. Algoritma pemrograman disusun sesuai dengan
skema
pendekatan
persamaan
konduksi
panas
1-dimensi
dan
diimplementasikan dalam program dalam software Matlab. 1.5. Sistematika Penulisan Penulisan tesis ini terdiri dari 4 Bab, yaitu Bab I Pendahuluan, Bab II Landasan Teori, Bab III Skema Beda Hingga Kompak Orde Tinggi untuk Persamaan Konduksi Panas 1-Dimensi, dan Bab IV Penutup. Bab I PENDAHULUAN memuat latar belakang dan permasalahan, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan. Bab II LANDASAN TEORI memuat teori tentang persamaan diferensial, syarat awal dan syarat batas, diferensiasi numerik, skema pendekatan persamaan panas dengan metode beda hingga, ekstrapolasi Richardson, fenomena Gibbs, spectral radius, serta analisis kestabilan. Bab III SKEMA BEDA HINGGA KOMPAK ORDE TINGGI UNTUK PERSAMAAN KONDUKSI PANAS 1-DIMENSI memuat skema pendekatan Padé, persamaan konduksi panas, skema beda hingga kompak untuk persamaan konduksi panas 1-dimensi, skema pendekatan untuk persamaan konduksi panas 1dimensi dengan metode Crank-Nicolson serta kestabilannya, ekstrapolasi Richardson untuk skema pendekatan persamaan konduksi panas 1-dimensi, dan contoh numerik persamaan konduksi panas 1-dimensi. Bab IV PENUTUP terdiri dari kesimpulan dan saran yang dapat diambil dari penulisan tesis.
