BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang dan Permasalahan Tuberkulosis adalah penyakit yang penularannya langsung dari penderita TB yang terinfeksi oleh strain TB yaitu Microbacterium tuberculosis. Menurut data WHO 1993, penyakit TB telah menginfeksi sepertiga penduduk dunia, karena penyebaran penyakit TB tidak terkendali di sebagian besar Negara di dunia. Dengan kejadian tersebut dan banyaknya penderita yang tidak berhasil disembuhkan, terutama penderita menular, maka pada tahun 1993 WHO mencanangkan kedaruratan Global penyakit TB (Depkes RI, 2002). Sedangkan menurut laporan terbaru oleh WHO (2011), diperkirakan sekitar 13,7 juta kasus TB terjadi pada tahun 2007 dan pada tahun 2010 ada sekitar 8,8 juta kasus baru TB dan sekitar 1,45 juta kematian yang disebabkan oleh penyakit TB. Dari kasus tersebut masih banyak terjadi di negara-negara berkembang. Untuk di wilayah Indonesia, penyakit TB menjadi masalah utama kesehatan masyarakat. Menurut Depkes RI, (2002) hasil survei kesehatan Rumah Tangga (SKRT) tahun 1995 menunjukkan bahwa penyakit TB merupakan penyebab kematian nomor tiga setelah penyakit Kadiovaskuler dan penyakit saluran pernafasan pada semua kelompok usia, dan nomor satu (1) dari golongan penyakit infeksi. Selanjutnya, diperkirakan setiap tahun terjadi 583.000 kasus baru TB dengan kematian karena TB sekitar 140.000. secara kasar diperkirakan setiap 100.000 penduduk indonesia terdapat 130 penderita baru TB positif. Begitu berbahayanya penyakit TB, sehingga menjadi salah satu masalah kesehatan yang harus dihadapi masyarakat dunia. Jika dilihat dari bentuk strain, strain TB berbentuk batang dan mempunyai sifat khusus yaitu tahan terhadap asam, sehingga disebut pula basil tahan asam (BTA). Sifat lain dari strain TB ini cepat mati dengan sinar matahari langsung tetapi dapat bertahan hidup beberapa jam di tempat yang gelap dan lembab. Dalam jaringan, strain kuman ini dapat tertidur lama selama beberapa tahun.
2
Cara penularan strain TB adalah lewat penderita TB positif. Penularan ini terjadi pada waktu batuk atau bersin, penderita menyebarkan strain ke udara dalam bentuk Droplet (percikan dahak). Droplet yang mengandung strain TB dapat bertahan di udara pada suhu kamar selama beberapa jam. Orang dapat terinfeksi kalau droplet tersebut terhirup kedalam saluran pernafasan. Setelah strain TB masuk kedalam tubuh manusia melalui pernafasan, strain tersebut dapat menyebar dari paru ke bagian tubuh lainnya, melalui sistem peredaran darah, sistem saluran limfe, saluran pernafasan. Makin tinggi derajat positif hasil pemeriksaan dahak, maka makin menular penderita tersebut. Bila pemeriksaan dahak negatif, maka penyakit pada penderita tersebut dianggap tidak menular.(depkes RI, 2002) Selanjutnya, sejak ditemukannya strain TB Mycrobakterium Tuberculosis oleh Robert Koch pada tahun 1882, upaya pemberantasan penyakit TB terus ditingkatkan, namun angka kematian TB semakin meningkat. Upaya pengendalian dan penanggulangan TB yang efektif untuk mencegah tidak ada penularan strain TB dari penderita (rentan) ke individu sehat telah dilakukan, tetapi akhir-akhir ini dilaporkan timbulnya resistensi strain TB terhadap obat anti tuberculosis (OAT). Munculnya resistensi terhadap berbagai macam OAT ini tercermin dengan meningkatnya angka kasus baru dan angka kematian serta kurang berhasilnya pengobatan terhadap penyakit TB. Pengobatan terhadap penyakit TB memerlukan waktu yang lama dan adekuat atau memenuhi syarat kesehatan, hal inilah yang menjadi masalah kesehatan masyarakat di seluruh dunia. Menurut Sutrisna (2011), ketentuan dan cara menggunakan obat TB adalah dengan meminum obat TB tiap hari selama 2 bulan (56 hari) untuk tahap pertama dan pada tahap lanjutan 3 kali seminggu selama 4 bulan. Namun yang terjadi di lapangan tidak sesuai dengan konsep kesehatan, karena banyak penderita TB yang tidak patuh terhadap metode pengobatan TB sesuai dengan konsep kesehatan. Obat yang seharusnya diminum sesuai dengan ketentuan baku dalam penanganan TB, penderita TB tidak disiplin dalam menjalankannya. Akibatnya dalam tubuh penderita TB akan muncul strain TB yang resistan terhadap obat (Multi Drug-Resistant). Hal ini yang
3
mengakibatkan proses penyembuhan penderita TB akan lama bahkan tidak sembuhsembuh. Kenyataan ini didukung juga oleh laporan badan kesehatan dunia WHO (2010), memperkirakan terdapat sekitar 440.000 kasus TB resisten terhadap obat atau multi drug resistant tuberculosis (MDR-TB), dan hampir 50% kasus MDR-TB terjadi di Cina dan India. Kematian karena MDR-TB diperkirakan sebesar 150.000 orang. Selanjutnya, menurut pusat kontrol dan pencegahan penyakit TB dunia (2008), individu yang sehat dapat terinfeksi strain TB yang resistent dengan apabila : 1. Individu gagal dalam mengkonsumsi obat 2. Kambuh kembali setelah pengobatan 3. Terjadi kontak dengan individu yang sudah terinfeksi strain TB yang resisten dengan obat Dari pola penyebaran strain TB yang resistent dengan obat tersebut, maka dalam penelitian ini peneliti fokus pada penyebaran strain TB yang resistent terhadap obat dengan pola terjadi kontakan dengan individu yang sudah terinfeksi dengan strain TB yang resistent dengan obat. Selanjutnya pola penyebaran strain TB tersebut dimodelkan ke dalam model matematika dengan model SIS, yaitu model penyebaran strain penyakit TB dengan populasi dibagi dengan dua kelas yaitu kelas rentan, dinotasikan dengan S (susceptibles), kemudian kelas yang rentan berinteraksi dengan kelas yang terinfeksi strain penyakit TB, sehingga menjadi terinfeksi strain penyakit TB. Kelas yang terinfeksi strain TB tersebut tersebut dinotasikan dengan I (infected). Selanjutnya dengan pengobatan medis, kelas yang terinfeksi mungkin akan sembuh atau akan menjadi rentan kembali dengan penyakit TB, sehingga model matematika dalam penelitian ini menjadi model SIS. Berdasarkan paparan di atas, maka dalam tesis ini penulis akan fokus pada masalah penyebaran dua strain penyakit TB model SIS, dengan strain pertama adalah strain penyakit TB yang resistant dengan obat (Drug-Resistant) dan strain kedua adalah strain penyakit TB yang sensitif dengan obat (Drug-Sensitive).
4
1.2. Rumusan Masalah Dari uraian dan paparan pada latar belakang, maka dapat dirumuskan rumusan masalah sebagai berikut : 1. Bagaimana model matematika penyebaran dua strain TB. 2. Bagaimana bilangan reproduksi dasar penyebaran dua strain TB. 3.Bagaimana titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik penyebaran dua strain TB. 4. Bagaimana sifat kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik.
1.3.Tujuan Penelitian Berdasarkan latar belakang dan permasalahan tersebut, maka penelitian ini bertujuan : 1. Membentuk model matematika penyebaran dua Strain TB dalam bentuk SIS. 2. Menentukan bilangan reproduksi dasar penyebaran dua Strain TB. 3. Menentukan titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik. 4. Menentukan sifat kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik.
1.4 Manfaat Penelitian Selanjutnya, penelitian ini bermanfaat untuk: 1. Memberikan kontribusi bagi perkembangan ilmu pengetahuan dan sains khususnya matematika terapan. 2. Memberikan gambaran tentang model matematika penyebaran dua strain TB dalam bentuk SIS, yaitu analisa kestabilan titik ekuilibrium, sehingga dapat diketahui ada tidaknya individu yang terinfeksi dua strain TB dalam populasi dalam jangka waktu yang cukup lama. 1.5.Tinjauan Pustaka Kajian dalam tesis ini tentang model penyebaran dua strain TB yang merupakan model treatment TB dari Chaves dan Feng (1997), kemudian
5
dikembangkan oleh Okeke (2011) dalam papernya dengan model penyeberan strain TB dalam model SIS. Selanjutnya dalam tesis ini penulis melakukan bedah paper yang dikembangkan oleh Okeke dengan menambah simulasi untuk titik ekuilibrium gabungan dua strain TB. WHO (2011) melaporkan tentang perkembangan penyakit TB di dunia dan statistik penyakit TB dari tahun ke tahun. Kemudian untuk level nasional Depkes RI (2002), menjelaskan perkembangan tentang TB di Indonesia dan statistik TB serta hasil survei kesehatan rumah tangga (SKRT) melaporkan TB merupakan penyebab kematian nomor tiga setelah penyakit kadiovaskuler dan penyakit saluran pernafasan pada semua kelompok usia, dan nomor satu (1) dari golongan penyakit infeksi. Terkait dengan konsep pengobatan penyakit TB, Sutrisna (2011) menjelaskan konsep kesehatan dalam
pengobatan TB intensif yaitu dengan konsep pasien
mendapat Obat TB setiap hari selama 2 bulan (56 hari) dan pengobatan lanjutan dengan konsep pasien mendapat pengobatan TB 3 kali seminggu dan berlangsung selama 4 bulan. Perko (1991) menjelaskan tentang eksistensi dan ketunggalan solusi sistem persamaan differensial, pengertian titik ekuilibrium dan titik ekuilibrium hiperbolik, serta kestabilan titik ekuilibrium. Anton (2005) menjelaskan hubungan antara fungsi kontinu dengan fungsi dierensiabel. Selanjutnya Tu (1994) menjelaskan definisi titik ekuilibrium non hiperbolik dan teorema tentang keterkaitan sistem non linier dengan hasil linierisasi. Verhulst (1990) menjelaskan definisi fungsi Automous. Wiggins (1990) menjelaskan kriteria kestabilan titik ekuilibrium dan definisi umum mengenai kestabilan titik ekuilibrium. Kemudian Galor (2007), menjelaskan pengertian dari stabil asimtotik global yaitu titik ekuilibrium xˆ n dikatakan stabil asimtotik global jika untuk sebarang nilai awal x t0 x0 n , berlaku lim x t xˆ . t
Selanjutnya Luenberger (1979), menjelaskan definisi dari fungsi Lyapunov untuk menganalisis sifat kestabilan global titik ekuilibrium sistem. Kemudian Khalil (2002) menjelaskan definisi himpunan invarian. Pease(1965) menjelaskan definisi dan
6
teorema tentang metode menentukan sifat kestabilan dari titik ekuilibrium yaitu metode Routh-Hurwiz. Untuk bilangan reproduksi dasar, Diekmann dan Heesterbeek (2000), mendefinisikan R0 sebagai spektral radius. Kemudian Van den Driessche dan Watmough (2005) menjelaskan metode dalam menentukan bilangan reproduksi dasar dengan menggunakan matriks generasi berikutnya dan teorema tentang bilangan reproduksi dasar serta syarat-syarat kestabilan bilangan reproduksi dasar.
1.6. Metodologi Penelitian Penelitian ini dilakukan dengan metode studi literatur berdasarkan referensi yang dikumpulkan oleh Peneliti. Tahapan penelitian yang dilakukan penulis yakni: Mempelajari pembentukan model dari epidemi SIS dua strain dengan menyusun asumsi-asumsi yang mendukung model tersebut, misalnya dalam populasi terjadi proses kelahiran dan kematian, dengan laju yang sama sehingga proporsi populasi konstant, semua populasi yang baru lahir adalah individu yang rentan, individu yang sembuh dapat kembali ke kelas rentan dan seterusnya. Selanjutnya dari asumsi-asumsi tersebut dibentuk diagram transfer penyakit dan model matematikanya. Untuk mengetahui tingkat penyebaran strain TB dalam populasi akan digunakan bilangan reproduksi dasar. Selanjutnya untuk menentukan bilangan reproduksi dasar digunakan metode matriks generasi berikutnya. Kemudian untuk menentukan titik ekuilibrium dari model matematika dengan menyamakan sisi kanan dari model sama dengan nol. Untuk mempelajari solusi di sekitar titik ekuilibrium maka dilakukan proses linierisasi dari sistem persamaan differensial non Linier. Proses linierisasi menggunakan matriks Jacobian, sedangkan untuk menentukan sifat kestabilan suatu titik ekuilibrium menggunakan nilai eigen. Dari nilai eigen ini dapat dijadikan dasar untuk menyimpulkan stabil atau tidaknya masing-masing titik ekuilibrium. Selanjutnya
7
untuk menunjukkan kestabilan global titik ekuilibrium akan digunakan fungsi Lyapunov. Bagian akhir, melakukan simulasi numerik tentang model SIS dua strain TB. Simulasi dijalankan dengan mensubstitusi nilai dari parameter-parameter yang ditentukan dalam model. Simulasi ini akan menghasilkan grafik sebagai gambaran perilaku model penyebaran dua strain TB.
1.7. Sistematika Penulisan Tesis ini terdiri dari empat Bab, yakni Bab I Pendahuluan, Bab II Landasan Teori, Bab III Hasil Penelitian, dan Bab IV Penutup. Bab I Pendahuluan Pada bagian ini terdiri dari latar belakang dan permasalahan, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan terakhir sistematika penulisan. Bab II Landasan Teori, Pada bagian ini terdiri dari beberapa defnisi, sifat, teorema yang berkaitan dengan model dari sistim dinamik model dua strain penyakit TB, seperti model matematika penyebaran strain penyakit TB, fungsi diferensial kontinu, sistem persamaan diferensial, titik ekuilibrium, kriteria kestabilan titik ekuilibrium, kriteria Routh-Hurwitz, dan bilangan reproduksi dasar. Bab III Hasil Penelitian, Pada bagian ini terdiri dari asumsi-asumsi yang menjadi dasar pembentukan model, pencarian bilangan reproduksi dasar, pencarian titik ekulibrium, analisa kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit (Lokal dan Global) dan analisa kestabilan titik ekuilibrium endemik (Lokal), contoh numerik dan grafik. Bab IV Penutup Pada bab ini diberikan Kesimpulan dan saran dari model penyebaran dua strain penyakit TB.
