BAB I KAJIAN TEORI
1.1 Sistem
Sistem Dinamik dinamik
membahas
tentang
perilaku
jangka
panjang
untuk
meningkatkan sistem. Teori moderen dari sistem dinamik berasal dari abad ke-19 mengenai stabilitas dan evolusi dari tata surya. Secara analogi, evolusi keadaan tertentu dari suatu sistem dinamik disebut orbit. Pada sebarang waktu yang diberi, satu sistem dinamik memiliki keadaan yang ditentukan oleh suatu himpunan bilangan real (suatu vector) yang diwakili oleh suatu titik dalam ruang yang bersesuaian. Sebarang perubahan kecil dalam keadaan sistem adalah bergantung pada perubahan kecil dalam himpunan tersebut.
1.1.1
Ruang Keadaan
Suatu sistem yang ditandai dengan titik-titik dari beberapa himpunan X. Himpunan ini disebut ruang keadaan dari sistem. Seringkali, ruang keadaan disebut suatu ruang fase, mengikuti tradisi dari mekanika klasik.
1.1.2
Waktu
Evolusi dari sistem dinamik berarti perubahan dalam keadaan sistem dengan waktu t ∈ T , dimana t adalah himpunan bilangan. Ada dua jenis sistem dinamis: yaitu dengan waktu kontinu (bilangan real) T = R1 , dan dengan waktu diskrit (bilangan bulat) T = Z.
1
2
1.1.3
Operator Evolusi
Komponen utama dari sistem dinamik adalah hukum evolusi yang menentukan keadaan xt dari sistem pada waktu t, diberikan keadaan awal x0 . Cara yang paling umum untuk menentukan evolusi adalah dengan mengasumsikan t ∈ T peta ϕt didefinisikan dalam ruang keadaan X,
ϕt : X → X
yang mengubah suatu keadaan awal x0 ∈ x ke beberapa keadaan xt ∈ X pada waktu t:
xt = ϕt x0
Peta ϕt sering disebut operator evolusi dari sistem dinamik. Dalam kasus waktu kontinu, himpunan {ϕt }t∈T dari operator evolusi disebut flow. Hal ini juga mungkin bahwa ϕt x0 didefinisikan hanya secara lokal pada waktunya, misalnya, untuk 0 < t < t0 , dimana t0 tergantung pada x0 ∈ X. Sebuah contoh penting dari perilaku seperti itu adalah ”ledakan,” ketika sebuah sistem pada waktu kontinu di X = Rn mendekati tak terhingga dalam waktu terbatas, yaitu,
kϕt x0 k → +∞
untuk t → t0 . Operator evolusi memiliki dua sifat alami yang mencerminkan karakter deterministik perilaku sistem dinamik. Pertama-tama,
ϕ0 = id
(1.1)
3 dimana id adalah identitas pada peta X, id x = x untuk semua x ∈ X. Sifat (1.1) menyiratkan bahwa sistem tidak mengubah keadaan yang ”spontan.” Sifat kedua dari operator evolusi adalah
ϕt+s = ϕt oϕs
(1.2)
Ini dimaksudkan bahwa
ϕt+s x = ϕt (ϕs x)
untuk semua x ∈ X dan t, s ∈ T , sehingga kedua sisi persamaan terakhir didefinisikan. Pada dasarnya, sifat (1.2) menyatakan bahwa hasil dari evolusi sistem dalam perjalanan t + s satuan waktu, mulai dari titik x ∈ X, sama seperti jika sistem pertama kali diizinkan untuk mengubah keadaan x pada s satuan waktu dan kemudian berkembang selama t satuan waktu dari keadaan yang dihasilkan ϕs x. Untuk sistem dibalik, operator evolusi ϕt memenuhi sifat (1.2) untuk t dan s baik negatif dan tak negatif. Dalam sistem tersebut, operator ϕ−t adalah invers ϕt ,(ϕt )−1 = ϕ−t , karena
ϕ−t oϕt = id
Sistem dinamik waktu diskrit dengan bilangan bulat t sepenuhnya ditentukan dengan mendefinisikan hanya satu peta f = ϕ1 , yang disebut ”satu waktu peta.” Memang, menggunakan (1.2), kita memperoleh
ϕ2 = ϕ1 oϕ1 = f of = f 2
4 dimana f 2 adalah iterasi kedua dari peta f . Demikian pula,
ϕk = f k
(1.3)
untuk semua k > 0. Jika sistem waktu diskrit dibalik, persamaan (1.3) berlaku untuk k < 0, dimana f 0 = id.
1.1.4
Definisi Sistem Dinamik
Sistem dinamik adalah tiga variabel {T, X, ϕt }, dimana T adalah waktu yang ditetapkan, X adalah ruang keadaan, dan ϕt : X → X himpunan dari operator evolusi parameter oleh t ∈ T dan memenuhi sifat (1.1) dan (1.2).
1.2
Bentuk Normal dengan Metode Perataan
Untuk mempermudah dalam mengananalisis suatu sistem yang memiliki bagian nonlinear yang berorde tinggi kita perlu melakukan pernomalan pada sistem tersebut dimana pernomalam tersebut bertujuan untuk membuang sebanyak mungkin bagian nonlinearnya tampa merubah kualitatif dari sistem semula, bentuk pernomalan yang dibahas ini adalah pernomalan dengan menggunakan metode perataan (averaging method).
1.2.1
Bentuk Standar Lagrange
Untuk x ∈ Rn , pandangan masalah nilai awal:
x˙ = A(t)x + εg(t, x), x(0) = x0
(1.4)
dimana, A(t) merupakan n×n matriks kontinu sedangkan g(t, x) adalah fungsi yang terdiferensialkan terhadap t dan x. Ketika sistem tidak terperturbasi
5 (ε = 0) sistem (1.4) merupakan sistem yang linear dan memiliki solusi:
x = Φ(t)y
(1.5)
dengan Φ(t)y merupakan matriks fundamental dari sistem (1.4) dan y merupakan vektor konstan. Subtitusi (1.5) ke (1.4) sehingga didapatkan: ˙ + Φy˙ = AΦy + εg(t, Φy), Φy Φy˙ y˙
= εg(t, Φy),
(1.6)
= εΦ−1 g(t, Φy).
Dari (1.5), didapat nilai awal: x(0) = Φ−1 (0)y(0),
(1.7)
y(0) = Φ−1 (0)x(0). gunakan aturan Cramer terhadap y˙ maka:
y˙ i = ε
Wi (t, y) , i = 1, ..., n, W (t)
(1.8)
dengan W (t) = |Φ(t)|, W (determinan dari Φ(t));Wi (t, y) adalah determinan dari matrix yang didapat dengan mengganti ith kolom dari Φ(t) di g. persamaan (1.6) dapat dikatakan bentuk standar lagrange. lebih umumnya bentuk standarnya adalah y˙ = εf (t, y).
(1.9)
Bentuk y˙ = εf (t, y) dengan f (t, y) = φ−1 g(t, Φy) ini disebut standar lagrange.
1.2.2
Metode Perataan Pada Kasus Periodik
Bentuk yang paling sederhana dari perataan adalah perataan periodik, yang berkaitan dengan pemecahan masalah perturbasi dalam bentuk standar.
6 Diberikan suatu sistem;
x˙ = εf (x, t) + ε2 g(x, t, ε), x(0) = x0
(1.10)
dimana f (t, x) merupakan fungsi periodik (dalam t) dan dengan perataan 1 f (y) = T 0
Z
T
f (t, y)dt
(1.11)
0
untuk melakukan integrasi terhadap y (constant), perlu perhatikan masalah nilai awal untuk persamaan rata-rata berikut;
y˙ = εf 0 (y), y(0) = x0
(1.12)
Jika fungsi vektor y(t) merupakan aproksimasi x(t) maka harus memenuhi syarat-syarat berikut agar solusi dari sistem (1.11) merupakan aproksimasi dari solusi sistem (1.12) yang disajikan dalam teorema berikut: Teorema 1.1. Misalkan diberikan nilai awal (1.11) dan (1.12) dengan x, y, x0 ∈ D ⊂ Rn , t ≥ 0, dan D suatu domain yang terbatas. Misalkan: 1. Fungsi vektor f, g, ∂f terdefinisi, kontinu dan terbatas oleh M (indepen∂x den terhadap ε) pada [0, ∞) × D; 2. Fungsi g kontinu Lipschitz terhadap x untuk x ∈ D; 3. f (t, x) periodik (dalam t) dengan periode T rata-rata f 0 (x), dengan T konstan dan independen terhadap ε 4. y(t) termuat pada D maka x(t) − y(t) = 0(ε) pada skala waktu 1ε . pembuktian dari teorema ini ada di Ferdinand Verhulst [?] halaman 141.
