Bab 6 Konduktor dalam Medan Elektrostatik
1. Pendahuluan
Pada pokok bahasan terdahulu tentang hukum Coulomb, telah diasumsikan bahwa daerah di antara muatan-muatan merupakan ruang hampa. Di sini akan dibahas masalah elektrostatika dengan muatan-muatan berada di dalam konduktor, seperti medan listrik dan potensial skalar di dalam konduktor dan di permukaan konduktor. Konduktor dapat digunakan kapasitor yang berfungsi sebagai penyimpan muatan listrik; akan disajikan juga bagaimana kapasitansi kapasitor bergantung pada bentuk geometrik konduktor. Setelah mengikuti kuliah pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan dan menyatakan hasil-hasil umum yang berlaku pada konduktor, dapat menentukan potensial listrik sistem konduktor, dan dapat menentukan kapasitansi kapasitor (sistem konduktor). 2. Penyajian
6.1 Hasil-Hasil Umum Konduktor dapat didefinisikan sebagai suatu wilayah di mana muatan-muatan dapat bergerak bebas akibat pengaruh medan listrik. Pada logam, muatan yang bebas bergerak adalah elektron. Dalam bahasan ini, kita mengasumsikan situasi statik pada skala makroskopik. Jika suatu medan ⃗ hadir di dalam konduktor, maka muatan-muatan akan bergerak, dan kita tidak lagi berada dalam situasi statik seperti yang sedang diasumsikan. Oleh sebab itu, haruslah ⃗ = ⃗ di semua titik di dalam konduktor. Mengingat ⃗
, maka berarti bahwa
tetap di dalam konduktor, yaitu konduktor
merupakan “volume ekipotensial”. Jadi, kita punya
Universitas Gadjah Mada
1
Di permukaan konduktor (dekat ruang vakum / hampa), besar ⃗ dapat tak nol. Anggap bahwa ⃗ membentuk sudut
terhadap permukaan konduktor (Gambar 6.1a)
Dengan demikian, dapat dipecah menjadi
sebuah komponen normal, tegak lurus permukaan konduktor, dan
sebuah komponen tangensial ⃗ , sejajar dengan permukaan konduktor.
Jika ⃗ ,
tidak nol, maka ada suatu gaya tangensial pada muatan-muatan yang dapat
bergerak, sehingga muatan-muatan tersebut bergerak sejajar permukaan, dan kita tidak lagi berada dalam situasi statik seperti yang sedang kita asumsikan. Dengan demikian, haruslah ⃗
= ⃗ , dan satu-satunya kemungkinan adalah bahwa ⃗
permukaan konduktor,
⃗
⃗ ; dengan kata lain, di
harus normal (tegak lurus) terhadap permukaan, seperti
ditunjukkan oleh Gambar 6.1b. Tetapi, sebagaimana diilustrasikan oleh Gambar 5-2, arah ⃗ tegak lurus terhadap permukaan ekipotensial, dan oleh sebab itu permukaan konduktor merupakan permukaan ekipotensial. Sebagai rangkuman, kita punya
(Tentu dapat terjadi bahwa di titik atau di titik-titik tertentu pada permukaan konduktor, komponen normal bernilai nol, tetapi sering kali komponen normal inilah satu-satunya komponen yang dapat tidak nol di permukaan konduktor.)
Universitas Gadjah Mada
2
Diterapkan hukum Gauss persamaan (4-1) pada sembarang permukaan tertutup yang seluruhnya berada di dalam suatu konduktor, seperti permukaan tertutup S yang digambar sebagai kurva garis putus di dalam Gambar 6.2. Karena di semua titik di dalam konduktor, maka ia juga nol di tiap bagian S dan dalam kasus ini persamaan (4-1) menjadi
dan dengan demikian muatan total di dalam S, yaitu Qdalam, adalah nol. Karena permukaan S adalah sembarang, maka ia dapat diubah bentuk dengan cara yang diinginkan, bahkan menjadi berimpit dengan permukaan batas konduktor, dan Qdalam tetap nol. Kesimpulan: Qdalam = 0 di semua tempat di da!am konduktor, yaitu muatan netto di dalam konduktor selalu nol; muatan netto tak nol yang hadir di pada konduktor haruslah terletak seluruhnya di permukaan konduktor tersebut. Hasil ini merupakan kesimpulan langsung dari hukum Gauss yang merupakan konsekuensi dari sifat alamiah kuadrat terbalik hukum Coulomb.
Gambar 6-3 memperlihatkan situasi di permukaan pemisah (batas) antara daerah konduksi (1) dan ruang hampa (2) dengan ̂ adalah vektor satuan normal arah ke luar terhadap konduktor. Dibuat sebuah silinder kecil dengan luas penampang
dan permukaan
lengkungnya sejajar dengan ̂, sehingga vektor satuan normal arah ke luarnya, yaitu ̂ , sejajar dengan permukaan pemisah.
Permukaan silinder bagian atas seluruhnya berada di dalam daerah hampa di mana ⃗
⃗,
sedangkan permukaan silinder bagian bawah seluruhnya berada di dalam konduktor di mana ⃗
⃗ ; kita memilih
cukup kecil sehingga ⃗ tetap di permukaan atas silinder,
dengan mengingat bahwa dalam kasus ini
karena pada ⃗ dan ⃗
̂
; dengan demikian
= tetapan dalam integral pertama, ⃗
̂
dalam integral kedua,
⃗ dalam integral ketiga. Jadi, nilai E di permukaan konduktor adalah ⁄ Universitas Gadjah Mada
dan jika 3
kita menggabungkan hasil ini dengan persamaan (5-3) dan persamaan (6-2), maka kita dapat menulis
Jika
positif, maka ⃗ memiliki arah menjauhi permukaan konduktor, sedangkan jika
negatif, maka arah ⃗ menuju permukaan konduktor; tanda-tanda ini konsisten dengan arah gaya yang akan dikerahkan pada sebuah muatan uji positif yang diletakkan di dekat permukaan konduktor. Besar E seperti dalam persamaan (6-4) tepat dua kali nilai E yang ditimbulkan oleh sebuah plat datar bermuatan dengan rapat muatan
(persamaan (4-12)). Hal ini dapat dipahami
secara agak kasar dengan mula-mula menentukan bahwa fluks total ⃗ per satuan luas yang dapat dihasilkan oleh suatu rapat muatan permukaan adalah
⁄
kemudian, dalam kasus
plat datar bermuatan, fluks total ini dapat diarahkan secara sama dalam dua arah menjauhi muatan, sedangkan untuk konduktor, karena medan listrik harus nol di bagian dalamnya, hanya satu arah yang tersedia untuk fluks total tersebut. Rapat muatan permukaan
tidak harus tetap, melainkan dapat bervariasi terhadap letak di
permukaan; jika demikan maka ⃗ juga bervariasi terhadap letak di permukaan (tetapi akan selalu dalam arah normal terhadap permukaan). Contoh: Konduktor bola terisolasi Asumsi: suatu muatan netto Q hadir pada sebuah bola konduktor berjejari a. Jika ia terisolasi, maka akan tidak ada alasan mengutamakan arah yang satu dibandingkan dengan arah yang lain, sehingga kita memiliki simetri bola. Akibatnya, muatan Q akan didistribusikan ⁄
secara seragam ke seluruh permukaan dengan rapat muatan tetap yaitu
Selanjutnya, karena medan ⃗ di permukaan bola ini memiliki arah normal, maka ia bersifat radial.
Kita dapat sampai pada kesimpulan ini dengan cara lain. Telah diketahui bahwa, disebabkan oleh simetri bola, muatan Q dapat diperlakukan sebagaimana jika ia merupakan sebuah muatan titik di pusat bola asalkan kita meninjau efeknya di luar bola. Potensial di luar bola akan tepat sama dengan yang diberikan oleh persamaan (5-20), yaitu
⁄
, sedangkan
potensial di dalam bola bernilai tetap dan sama dengan potensial di permukaan bola (r = a) menurut persamaan (6-1) dan persamaan (6-2); dengan demikian kita memperoleh
Universitas Gadjah Mada
4
Medan listrik di luar bola akan diberikan oleh persamaan (5-22) yang menjadi ⃗
̂⁄
bila dievaluasi di permukaan bola. Di dalam bola ⃗
⃗ karena potensial
bernilai tetap yang diberikan oleh persamaan (6-5) untuk r a.
Sekarang kita tinjau sebuah konduktor dengan sebuah rongga di dalamnya (Gambar 6.4). Permukaan konduktor sekarang memiliki dua bagian: sebuah permukaan sebelah luar (outer) S0 dan sebuah permukaan sebelah dalam (inner) Si. Kita tinjau suatu permukaan sembarang S yang seluruhnya terletak di dalam badan konduktor sehingga ⃗
⃗ di tiap titik
pada S. Selanjutnya, persamaan (6- 3) digunakan pada kasus ini sehingga Qdalam = 0, yaitu tidak ada muatan netto tak nol yang terkandung di dalam S.
Sekarang anggap bahwa ada sebuah muatan di dalam rongga, sebut Qrongga. Agar Qdalam = 0 untuk permukaan S, maka haruslah terdapat suatu muatan yang sama besar dan berlawanan tanda di suatu tempat di dalam S, yaitu pada konduktor. Tetapi sembarang muatan pada konduktor harus terletak seluruhnya di permukaannya, dan oleh sebab itu muatan ini, Qi, harus ditemukan pada permukaan sebelah dalam, Si. Jadi, kita punya Qdalam = 0 = Qrongga + Qi, atau
Jika konduktor bersifat netral sebelum Qrongga dimasukkan, maka ia harus tetap netral setelah Qro muncul pada permukaan sebelah luar S0 (Gambar 6.4). Jadi, kehadiran suatu muatan di dalam rongga akan diketahui dari luar konduktor dengan adanya muatan terinduksi Q0 yang dihasilkan pada permukaan sebelah luar dan dari medan listrik yang dihasilkannya.
Jika kita tinjau kasus Qrongga = 0; maka muatan pada permukaan sebelah dalam Si adalah nol menurut persamaan (6-6). (Di lain pihak, Q0 akan nol hanya jika semula konduktor dalam Universitas Gadjah Mada
5
keadaan netral dan dipertahankan tetap demikian.) Sekarang kita tinjau sebuah permukaan tertutup S yang seluruhnya terletak di dalam rongga (Gambar 6.5). Karena tidak ada muatan di mana-mana di dalam rongga, maka S tidak pernah melingkupi sembanang muatan dan
menurut persamaan (4-1). Tetapi S sepenuhnya sembarang dan oleh sebab itu dapat dibuat lebih besar, lebih kecil, atau diubah-bentuk dengan cara lain; dengan demikian, hasil tersebut di atas dapat selalu benar hanya jika ⃗
⃗ di semua tempat di dalam rongga, yang kemudian berarti bahwa
potensial bernilai tetap di dalam rongga. Jadi, jika tidak ada muatan di dalam rongga di dalam konduktor, maka medan listrik di dalam rongga akan selalu nol, dan rongga akan merupakan sebuah volume ekipotensial. Kenyataannya, potensial di dalam rongga akan sama dengan potensial di dalam konduktor itu sendiri karena persamaan (5-11).
Kesimpulan-kesimpulan umum ini tetap berlaku bahkan jika terdapat konduktor lain di dalam rongga (Gambar 6.6). Selama konduktor C di dalam rongga tak bermuatan, tidak akan ada medan listrik di dalam rongga dan C akan selalu memiliki potensial yang sama seperti potensialial C yang mengelilinginya. Jadi, berapa pun muatan ditempatkan pada atau di luar C, apa pun tanda dan distribusinya, tidak akan ada medan listrik di C dan muatan-muatan yang dapat bergerak di dalamnya tidak akan terpengaruh. Dalam istilah yang biasa digunakan, konduktor di sebelah dalam sepenuhnya tertabirkan (shielded atau screened); prinsip penabiran elektrostatik ini memiliki aplikasi praktis seperti dalam penabiran komponen-komponen elektronik dalam rangkaian dengan memasukkannya ke dalam wadah logam.
6.2 Sistem Konduktor Ditinjau: Sistem N buah konduktor yang diberi nomor 1, 2, . . . ,j, ..., N masing-masing bermuatan muatan total Q1, Q2, ..., Qj, ...,QN dan rapat muatan permukaan
,
, ...,
, ...,
.M Universitas Gadjah Mada
6
Potensial di sembarang titik P, yang ditulis sebagai
:
Di sini, potensial total sebagai jumlahan sumbangan potensial dari tiap konduktor: Sj adalah permukaan konduktor ke-j, daj, adalah elemen luas permukaan ini di lokasi |
| adalah jarak dari daj ke titik medan P di
, dan
.
Hubungan-hubungan ini diilustrasikan oleh Gambar 6.7, meskipun vektor-vektor letak tidak diperlihatkan secara eksplisit.
Persamaan (6-7) sangatlah umum, sehingga berlaku juga sembarang titik P di permukaan ekipotensial pada konduktor ke-i yang memiliki potensial
dengan Rji adalah jarak dari titik
; jadi
di konduktor ke-j ke titik tertentu yang ditinjau di konduktor
ke-i. Karena i dapat dipilih untuk sembarang konduktor,
maka persamaan (6-8) benar-benar mewakili sistem N buah persamaan, masing-masing memiliki N suku di ruas kanannya. [Kita perhatikan bahwa jumlahan dalam persamaan (6-8) juga mencakup j = i, yaitu ia mencakup integral ke permukaan konduktor yang potensial totalnya sedang dthitung.]
Akan mudah jika persamaan (6-8) ditulis dalam muatan total Qj. Rapat muatan permukaan rerata konduktor ke-j, yaitu 〈 〉, akan merupakan muatan total dibagi luas total, yaitu 〈 〉
⁄
Rapat muatan aktual di suatu titik, yaitu
, secara umum tidak sama dengan nilai reratanya,
melainkan akan sebanding dengan nilai rerata tersebut; hal ini memungkinkan kita menulis
Universitas Gadjah Mada
7
dengan
adalah faktor yang menggambarkan bagaimana rapat muatan aktual berbeda
dengan rapat muatan rerata, dan merupakan sebuah fungsi letak di permukaan konduktor ke-j. Dengan demikian,
, dan bila persamaan (6-9) dimasukkan ke persamaan (6-8),
kita akan memperoleh
Persamaan-persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk
dengan
Persamaan (6-11) menunjukkan bahwa potensial sembarang konduktor bergantung secara linear pada muatan seluruh konduktor, termasuk muatan konduktor itu sendiri. Jika persamaan (6-11) ditulis secara eksplisit, maka kita memperoleh himpunan persamaan
Himpunan koefisien
yang didefinisikan oleh persamaan (6-12), disebut koefisien-koefisien
potensial, dan secara umum banyaknya adalah n2, dan mewakili hubungan-hubungan geometrik murni.
Jika distribusi muatan telah diketahui sehingga faktor menghitung semua koefisien
diketahui, maka prinsipnya kita dapat
dari persamaan (6-12). Namun demikian, koefisien-koefisien
ini secara prinsip selalu dapat terukur; untuk tampak dari persamaan (6-11) bahwa
Sehingga
dapat diinterpretasikan sebagai nisbah perubahan potensial konduktor ke-i
dengan perubahan muatan konduktor ke-j bila muatan-muatan pada seluruh konduktor lainnya dipertahankan tetap.
Universitas Gadjah Mada
8
Koefisien
memiliki sifat simetri yang penting dan menarik. Jika kita mengeliminasi
di
dalam persamaan (6-12) dengan menggunakan persamaan (6-9), maka kita menjumpai bahwa
yang juga dapat diperoleh dengan menyamakan suku-suku dalam jumlahan persamaan (68) dan persamaan (6-11). Kita juga punya
menurut persamaan (2-16), dan jika kita mengalikan kedua persamaan ini, maka kita memperoleh
Jika kita mempertukarkan indeks i dan j dalam persamaan (6-17), maka kita memperoleh
Selain itu Rij = Rji dan integrasi yang satu tidak saling bergantung pada integrasi yang lain sehingga kita dapat mempertukarkan urutan integrasi dalam persamaan (6-18). Jadi, tampak bahwa integral persamaan (6-18) tepat sama dengan integral persamaan (6-17); oleh sebab itu, ruas kiri kedua persamaan juga sama, sehingga
atau
Kandungan fisis dari sifat sithetri p ini dapat diungkapkan menurut persamaan (6-19) dan persamaan (6-11) sebagai berikut: jika suatu muatan Q pada konduktor j menyebabkan konduktor i berpotensial
, maka sebesar muatan Q yang sama yang ditempatkan pada
konduktor i akan menyelabkan konduktor j berpotensial
yang sama.
Contoh: Bola konduktor terisolasi lni adalah contoh yang telah dipecahkan dalam subbab terdahulu dan potensial di permukaan konduktor diberikan oleh persamaan (6-5) sebagai konduktor
tunggal,
persamaan
(6-11)
menjadi
dan
⁄ dengan
. Untuk melakukan
perbandingan tampak bahwa
Dengan demikian, kita dapat mencari koefisien potensial tunggal untuk kasus sederhana ini dan ia kembali bergantung pada sifat geometris sistem. Universitas Gadjah Mada
9
6.3 Kapasitansi Salah satu kegunaan konduktor dalam elektrostatik adalah untuk menyimpan muatan listrik; konduktor dapat dimuati dengan memberinya potensial tertentu dengan menggunakan batere. Sistem seperti ini disebut sebagai “kapasitor” dan ukuran kuantitatif kapasitasnya disebut “kapasitansi” (capasitance). Untuk konduktor tunggal terisolasi, persamaan (6-11) menjadi
Dalam kasus ini, muatan selalu berbanding langsung dengan potensial, dan kapasitansi C konduktor tunggal didefinisikan sebagai nisbahnya; jadi.
Kapasitansi merupakan suatu sifat khas konduktor dan berkaitan dengan bentuk geometrinya. Sebagai contoh, ditinjau bola dengan koefisien p11 diberikan oleh persamaan (6-20), sehingga kapasitansinya adalah
dan berbanding langsung dengan jejari bola. Karena satuan
adalah farad/meter dalam persamaan (2-4), maka tampak dari persamaan
(6-23) bahwa satuan kapasitansi adalah farad tampak juga dari persamaan (6-22) bahwa 1 farad = 1 coulomb/volt, yang tentu sangat konsisten dengan 1 (coulomb)2/joule dari persamaan (2-4). Untuk sistem dua konduktor, sistem persamaan (6-13) menjadi
dengan
menurut persamaan (6-19). Jadi, hubungan-hubungan potensial-muatan untuk sistem ini umumnya akan memerlukan pengetahuan tiga besaran: p11, p22, dan p12. Jika kedua konduktor digunakan sebagai sebuah kapasitor, maka muatan pada satu konduktor akan selalu sama besar dan berlawanan tanda dengan muatan pada konduktor yang lain. Jadi, definisi umum tentang kapasitor adalah sembarang dua konduktor yang bermuatan sama besar dan berlawanan tanda Q dan -Q.
Universitas Gadjah Mada
10
Jika kita pasang Q1 = Q dan Q2 = -Q dalam persamaan (6-24), maka kita memperoleh
sehingga beda potensial antara kedua konduktor adalah
dan tampak bahwa untuk sebuah kapasitor dengan muatan sama besar dan berlawanan tanda, muatan dan beda potensial akan selalu saling sebanding. Jadi kita dapat mencirikan sistem ini dengan suatu parameter tunggal yang disebut sebagai kapasitansi, C, dan mendefinisikannya sebagai
analog dengan persamaan (6-22). Dengan membandingkan persamaan (6-28) dan persamaan (6-27), dan dengan menggunakan persamaan (6-25), maka terlihat bahwa kapasitansi dapat diungkapkan dalam koefisien-koefisien potensial sebagai
sehingga, dalam kasus dua kapasitor konduktor kapasitansi esensinya masih sebagai sebuah besaran yang merefleksikan hubungan-hubungan geometrik sistem. Contoh: Kapasitor bola Ditinjau dua buah konduktor seperti pada Gambar 6.8. Permukaan-permukaan batas merupakan bola-bola sesumbu berjejari a, b, dan c. Kita menyebut konduktor sebelah dalam sebagai konduktor 1, dan konduktor sebelah luar sebagai konduktor 2. Diasumsikan bahwa konduktor 2 sepenuhnya terlingkupi oleh konduktor 1. Koefisien p yang diperlukan untuk mencari C dapat diperoleh dari hubungan-hubungan umum persamaan (6-24) dengan meninjau secara tepat kasus-kasus khusus yang dipilih. Pertama, anggap Q1 = 0, sedangkan Q2 0, sehingga persamaan (6-24) menjadi
Dari persamaan (6-6) dapat diketahui bahwa Q2 seluruhnya berada pada permukaan terluar berjejari c; oleh sebab itu, kita menggunakan jejari c, bukannya jejari a, dalam persamaan (65), sehingga potensial konduktor 2 adalah
Universitas Gadjah Mada
11
dan bersama dengan persamaan (6-30) memberikan
Karena tidak ada muatan di dalam rongga, maka
, sehingga dengan (6-30):
untuk sistem khusus ini. Untuk mencari p11, diasumsikan bahwa Q1 0, sedangkan Q2 = 0; asumsi kedua (Q2 = 0) merupakan besar muatan netto pada konduktor 2 karena permukaan sebelah dalam berjejari b harus memiliki muatqan –Q1 menurut persamaan (6-6). Dalam kasus ini persamaan (6-24) menghasilkan
Kita dapat menghubungkan kedua persamaan ini dengan menggunakan persamaan (5-11); medan di dalam daerah hampa dengan a r b dapat diperoleh dari hukum Gauss, dan dalam daerah ini hasilnya sekali lagi adalah bahwa Q1 berperilaku seperti jika ia merupakan sebuah muatan tm( Muatan titik sehingga medan akan bersifat radial dan diberikan oleh persamaan (4-17) dengan Q diganti oleh Q1. Dengan menggabungkan semua ini, maka kita memperoleh
Ruas kiri persamaan ini dapat ditulis sebagai (p11 - p21 )Q1 karena persamaan (6-34); dengan menghilangkan Q1 pada kedua ruas persamaan dan dengan menggunakan persamaan (633) dan persamaan (6-32), maka akhirnya kita memperoleh
Karena persamaan (6-33), ungkapan umum untuk C yang diberikan oleh persamaan (6-29) menjadi lebih sederhana sebagai Universitas Gadjah Mada
12
dengan menggunakan persamaan (6-36). Jadi, kita telah dapat mencari kapasitansi kapasitor khusus ini dengan mengevaluasi hasil umum persamaan (6-29) yang dinyatakan dalam koefisien-koefisien potensial.
Meskipun demikian, ini bukanlah cara yang paling mudah untuk dilakukan. Hal umum yang dilakukan adalah mencari beda potensial
dari pengetahuan tentang medan listrik ⃗
dengan menggunakan persamaan (5-11) untuk mengintegralkan ⃗ ke sembarang lintasan yang mudah antara kedua konduktor. (Biasanya konduktor yang membentuk kapasitor disebut sebagai “plat”). Karena kita tahu dari persamaan (6-27) bahwa
sebanding dengan
muatan Q, maka nisbah keduanya akan memberikan kapasitansi menurut persamaan (6-28); jadi,
Akan mudah jika kita menulis integral dalam bentuk ini karena ⃗ secara umum akan memiliki arah dari plat bermuatan positif dengan potensial yang lebih tinggi ke plat bermuatan negatif dengan potensial yang lebih rendah sehingga ⃗ tanda yang benar untuk
akan positif, sehingga akan memberikan
. Sekarang kita tinjau dua contoh dari cara pandang ini.
Contoh: Kapasitor bola Sistem ini sama seperti sistem pada Gambar 6.8 yang nilai C-nya telah diperoleh dengan metode terdahulu. Jika kita asumsikan bola sebelah dalam berjejari a memiliki muatan positif Q; maka bola sebelah dalam berjejari b akan memiliki muatan -Q sesuai dengan persamaan (6-6). Dengan menerapkan hukum Gauss pada bola berjejari r dengan a < r < b diperoleh bahwa ⃗
( ⁄
) ̂ . Jika kita juga mengintegrasikan dari plat positif ke plat negatif
dalam arah radial sehingga
̂ , maka persamaan (6-38) menjadi
yang memberi hasil C yang sama seperti yang telah diperoleh sebelumnya dalam persamaan (6-37); kali ini hasilnya diperoleh dengan sangat lebih mudah.
Contoh: Kapasitor plat sejajar Sistem ini terdiri dari dua plat konduktor datar, masing-masing memiliki luas A, yang saling sejajar dan terpisahkan oleh jarak d yang kecil dibandingkan dengan ukuran linearnya. PlatUniversitas Gadjah Mada
13
plat tersebut tidak harus berbentuk bujur sangkar, tetapi ukuran linearnya harus dalam orde √ sehingga kita mengasumsikan bahwa d << √ . Kapasitor ini dipandang dari sisi samping ditunjukkan oleh Gambar 6.9. Kedua plat ini dapat diperlakukan seperti jika keduanya memiliki luas tak hingga, dan ⃗ memiliki besar yang tetap dan memiliki arah normal terhadap plat seperti ditunjukkan oleh garis-garis putus di dalam gambar tersebut. Karena ⃗ memiliki arah normal terhadap konduktor,
⁄ . Lintasan integrasi yang
maka besarnya diberikan oleh persamaan (6-4), yaitu
paling sederhana adalah sepanjang arah ⃗ seperti ditunjukkan oleh Jadi, ⃗
( ⁄ )
dengan menggunakan
di dalam Gambar 6.9.
dan persamaan (6-38) menjadi
⁄
(
diperlakukan sebagai sebuah tetapan karena efektifnya
kedua plat luas tak hingga, berkaitan dengan distribusi muatan permukaan yang seragam). Dengan memecahkan persamaan (6-40) untuk C, maka kita memperoleh hasil sederhana yang telah akrab dengan kita tentang kapasitansi
Sistem ini, dan juga kapasitor bola, memberikan alasan yang sangat grafis mengapa kapasitor disebut juga sebagai “kondenser” (condenser). Karena distribusi medan terkungkung hanya pada daerah terbatas antara kedua plat, maka kita mengatakan bahwa medan listrik telah terkondensasi ke dalam daerah ini, bukannya menyebar ke seluruh ruang seperti pada banyak kasus dalam contoh-contoh terhadulu.
Tentu saja plat-plat dalam kasus ini tidak benar-benar tak hingga, dan kita telah mengasumsikan bahwa medan listrik adalah tetap dan diberikan sebagai ( ⁄ ) di semua tempat di antara kedua plat dan kemudian merosot secara tiba-tiba menjadi nol di tepi-tepi kedua plat. Kenyataannya, garis-garis medan ⃗ harus agak melengkung dan meluas ke arah luar di sekitar tepi plat, seperti ditunjukkan oleh Gambar 6.10. Tetapi, jika kedua plat “cukup
Universitas Gadjah Mada
14
besar”, kita masih dapat mengabaikan “efek tepi” ini; hal ini biasa dilakukan, dan kita akan terus menggunakan pendekatan ini.
Kedua contoh ini mungkin cukup untuk meyakinkan kita bahwa banyak masalah yang melibatkan perhitungan kapasitansi dengan persamaan (6-38) harus memiliki simetri yang baik sehingga ⃗ dapat dengan mudah diperoleh, biasanya dengan menggunakan hukum Gauss.
3. Penutup
Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat menyelesaikan soalsoal latihan berikut ini. 1. Anggap bahwa mula-mula kedua konduktor dalam Gambar 6.8 tidak bermuatan. Kemudian muatan Q ditempatkan pada konduktor sebelah dalam yang berjejari a. Carilah distribusi muatan statik akhir! Carilah potensial
untuk semua nilai r dan
plotlah hasilnya ! 2. Sebuah silinder konduktor panjang tak hingga berjejari a dengan muatan total per satuan panjang sebesar ql. Jika adalah jarak tegak lurus dari sumbu silinder, tunjukkan bahwa potensial di luar silinder dapat ditulis sebagai
dengan
adalah tetapan! Berapakah potensial di dalam silinder? Tunjukkan bahwa
persamaan (6-4) terpenuhi dalam kasus ini! 3. Plat-plat dua buah kapasitor C1 dan C2 dihubungkan oleh konduktor yang kapasitansinya dapat diabaikan, seperti ditunjukkan oleh Gambar 6.11a, yaitu dihubungkan secara “paralel”. Jika beda potensial
sekarang dipakaikan antara
terminal-terminal T dan T' , tunjukkan bahwa kombinasi ini setara dengan sebuah kapasitor yang memiliki kapasitansi Cp = C1 + C2! Tunjukkan juga bahwa kapasitansi dari kombinasi “seri”, seperti ditunjukkan oleh Gambar 6.11b, dapat diperoleh dari ! Universitas Gadjah Mada
15
4. Sebuah kapasitor terbuat dari dua buah siinder sesumbu yang panjangnya tak hingga seperti ditunjukkan oleh Gambar 6.12. Tunjuklcan bahwa kapasitansi sepanjang L dari sistem ini adalah
( )
!
5. Anggap bahwa sebuah kapasitor plat sejajar memiliki plat-plat persegi tetapi tidak benar-benar sejajar. Jarak pisah kedua plat pada salah satu sisi adalah d – a, dan pada sisi lain adalah d + a, dengan a << d. Tunjukkan bahwa kapasitansi kapasitor ini secara pendekatan adalah
(
) ,dengan A adalah luas plat?
Daftar Pustaka 1. Wangsness, R.K., 1979, “Electromagnetic Fields”, John Wiley & Sons, New York
Universitas Gadjah Mada
16
