BAB 6 Analisa Spektrum
Bab 6: Analisa Spektrum 1 Analisa Spektrum Dengan DFT Tujuan Belajar 1 Peserta dapat menghubungkan DFT dengan spektrum dari sinyal hasil sampling sinyal waktu kontinue. N-point DFT dari sinyal x(n) adalah X(ω) yang dievaluasi pada frekuensi-frekuensi ωk = 2πk/N untuk k=0,1,…,N-1 Contoh : Sinyal dengan durasi sepanjang L diberikan sebagai berikut : 1, 0 ≤ n ≤ L − 1 x(n ) = lainnya 0 Transformasi Fourier dari sinyal ini adalah n = L −1 n = L −1 1 − e − jωL sin (ωl 2) − jω ( L −1) 2 X (ω ) = ∑ x(n )e − jωn = ∑ e − jωn = e = 1 − e − jω sin (ω 2 ) n=0 n=0 10
pi
9 8
pi/2 7
|X(omega)|
6 5
0
4 3
-pi/2 2 1 0
0
pi/2
pi omega
3pi/2
-pi 0
2pi
pi/2
pi
3pi/2
2pi
Gambar 6.1 : Karakteristik magnituda dan fasa hasil transformasi Fourier
N-point DFT dari sinyal diatas adalah n = L −1 1 − e − j 2πkL N sin (πkL N ) − jπk ( L −1) N e X (k ) = ∑ e − j 2πkL N = = 1 − e − j 2πkL N sin (πk N ) n =0 N = 100
N = 50 10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0 0
pi/2
pi
3pi/2
2pi
0 0
pi/2
VI-1
pi
3pi/2
2pi
BAB 6 Analisa Spektrum
N = 50
N = 100
2.5
3
2 2
1.5 1
1
0.5 0
0
-0.5 -1
-1 -1.5
-2
-2 -2.5 0
pi/2
pi
3pi/2
2pi
-3 0
pi/2
pi
3pi/2
2pi
Gambar 6.2 : Magnituda dan fasa N-point DFT untuk N=50 dan N=100
Tujuan Belajar 2 Peserta dapat melakukan analisa spektrum dengan DFT, termasuk konsep windowing Untuk menghitung spektrum sinyal, baik sinyal waktu kontinyu maupun sinyal waktu diskrit, maka perlu diketahui besarnya sinyal setiap saat. Namun, secara praktis, kita mengamati sinyal hanya dalam selang waktu tertentu. Akibatnya, spektrum sinyal harus didekati menggunakan sejumlah data yang berhingga. Misalkan, 1. xa(t)
anti aliasing filter B
sampling
xa(n) L samples
Fs≥2B
2. Durasi xa(t) = To ≥ T dimana T = 1/Fs ⇒ kemampuan membedakan frekuensi terbatas ke
∆F =
1 Fs
bila xa(t) lebih panjang dari To, tetapi kita "memaksa" diri menggunakan blok sebesar L samples, maka gunakan window ω(n) berdurasi L xˆ (n) = x(n)ω (n) 1 0 ≤ n ≤ L − 1 misal ω (n) = lainnya 0 maka xˆ (n) berdurasi L, gunakan pada DFT Misalkan x(n) mengandung frekuensi tunggal ω0 x(n) = cos ω0 n maka transformasi Fourier x(n) dapat dinyatakan
Xˆ (ω ) = 12 [W (ω − ω 0 ) + W (ω + ω 0 )]
VI-2
BAB 6 Analisa Spektrum
dimana W(ω) adalah transformasi Fourier dari sekuen window, dimana untuk rectangular window W (ω ) =
sin(ωL / 2) − jω (l −1) / 2 e sin(ω / 2)
Tujuan Belajar 3 Peserta mengerti zero padding dan persamaan/perbedaan akibatnya dibanding dengan menaikkan point DFT. Xˆ (ω ) dihitung menggunakna DFT. Jika diinginkan menghitung N-points DFT dimana N > L maka dapat dilakukan zero padding, yaitu dengan menyisipkan sejumlah (N–L) buah nol pada sekuen { xˆ (n ) }. Gambar dibawah memperlihatkan magnituda spektrum untuk L=25 dan N=2048. Seperti terlihat pada gambar tersebut, spektrum Xˆ (ω ) tidak
terlokalisir pada satu frekuensi tetapi menyebar ke seluruh range frekuensi. Jadi, daya dari sinyal x(n) yang sebelumnya terkonsentrasi pada satu frekuensi sekarang tersebar ke seluruh range frekuensi, atau disebut leakage. L = 32, N = 2048 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0
pi/2
pi
3pi/2
2pi
Tujuan Belajar 4 Peserta dapat mengurangi kebocoran spektrum (spektral leakage) Windowing, selain menyebabkan kesalahan estimasi spektrum sinyal karena leakage, juga mengurangi resolusi spektrum. Misalkan terdapat sinyal terdiri dari dua frekuensi : x(n) = cosω1n + cosω2n dengan menggunakan windowing, maka
→ xˆ (n) = ω n x(n)
dimana transformasi Fouriernya adalah : 1 X (ω ) = [W (ω − ω1 )+ W (ω − ω 2 ) + W (ω + ω1 ) + W (ω + ω 2 )] 2
VI-3
BAB 6 Analisa Spektrum
Zero crossing W(ω) terjadi pada ω = 2π/L, bila |ω1-ω2| < 2π/L maka terjadi overlap pada W(ω-ω1) dan W(ω-ω2), jika |ω1-ω2| ≥ 2π/L maka muncul 2 lobe. Jadi kemampuan meresolusi garis spektrum ditentukan oleh lebar main-lobe dari window. Contoh : x(n) = cos 0.2πn + cos 0.22πn + cos 0.6πn
Terdapat dua frekuensi yang saling berdekatan, yaitu 0.2π dan 0.22π. Kedua frekuensi tidak bisa dipisahkan menggunakan L=25 dan L=50, kedua frekuensi baru terpisah menggunakan L = 100. Untuk mengurangi kebocoran dapat digunakan window w(n) dengan side-lobe yang rendah yang berakibat main-lobe melebar (resolusi meningkat). Bila spektrum window relatif sempit dibanding X(ω) maka efek smoothing kecil, sebaliknya bila spektrum window relatif lebar maka efek W(ω) lebih dominan sehingga harus dihindari. Contoh : 1 2π 1 − cos n 0 ≤ n ≤ L −1 Hanning Window ω ( n) = 2 L −1 0 otherwise yang digunakan pada sinyal seperti diatas. Perhatikan gambar dibawah, menggunakan Hanning window.
VI-4
BAB 6 Analisa Spektrum
2 Menghitung DFT Dengan bantuan Filter Tujuan Belajar 5 Peserta dapat menghitung DFT dengan bantuan filter linier dan diterapkan dalam kasus Goertzel Algorithm untuk DMTF. Algoritma Goertzel memanfaatkan sifat periodik sudut fasa {WNk } sehingga perhitungan DFT dapat dinyatakan sebagai operasi linear filtering dengan resonator pada ωk= 2πk/N Karena WN−kN = 1 , maka dapat digunakan sebagai faktor pengali, sehingga N −1
X (k ) = ∑ x(m)W m =0 N −1
km N
− kN N
=W
N −1
∑ x(m)W
m =0
km N
= ∑ x(m)WN− k ( N − m ) = yk (n) n = N m =0
N −1
bila yk (n) = ∑ x(m)hk (n − m) m =0 − kn N
hk (n) ≡ W
x(m)
u ( n)
Hk(n) yk(n)
→ tunggu sampai n = N
VI-5
BAB 6 Analisa Spektrum
→ yk(N) = X(k) Ctt. H k ( z) =
1 1 − WN− k z −1
⇒ yk (n) = WN− k yk (n − 1) + x(n)
y(-1) = 0 −k
Untuk menghindari bilangan kompleks akibat WN , buat komplex conjugate → ×
(1 − W (1 − W
k N k N
) )
z −1 H k ( z) z −1 H (k ) =
sehingga
1 − WNk z −1 k 1 − 2 cos 2π z −1 + z − 2 N
2πk vk (n − 1) − vk (n − 2 ) + x(n ) N yk (n ) = vk (n ) − WNk vk (n − 1)
vk (n ) = 2 cos
input real → X (k ) = N ( N − k ) baik untuk M values ≤ log 2 N
sehingga cukup menghitung yk (n ) ⇒ vk ( N ) − WNk vk ( N − 1) 2
2
k = vk2 ( N ) + vk2 ( N − 1) − 2 cos 2π vk ( N − 1) N
VI-6
