Jan Malinský V tomto dokumentu bude odvozeno spektrum vyseknutého sinusového signálu pomocí konvoluce ve frekvenční oblasti. V časové oblasti je možno tento vyseknutý signál vytvořit násobením obdélníkového (0 – 1V) a sinusového signálu dle obr.1. Operaci násobení odpovídá ve frekvenční oblasti konvoluce mezi spektry obdélníkového a harmonického signálu.
U
to 1V T
Spektrum 1 t
U
násobení
*
A
konvoluce
t
Spektrum 2
t
Výsledné Spektrum
T
U
T
Obr.1 Konvoluce je definována matematicky dle předpisu:
X 1 (k ) X 2 (k )
X (i) X
i
1
2
(k i) X 1 (k i) X 2 (i) i
kde X 1 (k ) a X 2 (k ) jsou spektra obou signálů.
1
(1)
Jan Malinský
Spektrum obdélníkového periodického signálu Spektrum obdélníkového periodického signálu dle obr.1 lze vyjádřit rozvojem ve Fourierovu řadu. Následuje výpočet koeficientů řady. ak
T T t 2 2 1 f ( t ) cos( k t ) dt 1cos(k 0 t )dt ............... sin[ 2k (1 0 )] 0 T 0 T T t 0 k T
bk
2 2 1 f (t ) sin( k 0 t )dt 1sin( k 0 t )dt ............... T 0 T T t0 k
T
T
T
B0
t0 1 cos[2k (1 )] T
(2)
T
t 1 1 f (t )dt 1dt ............ 0 T 0 T T t0 T
Fázory harmonických pro goniometrický tvar Fourierovy řady lze vyjádřit následovně:
Bk bk ja k Bk e jk Bk ak2 bk2
(3)
a k arctg k bk dosazením z (2) dostaneme:
t 2 sin[ k (1 0 )] k T 3 sin k 2 k arctg 3 1 cos k 2 Bk
(4)
Pro potřeby konvoluce je třeba použít oboustranné spektrum tj. komplexní tvar Fourierovy řady, jehož fázory lze získat z fázorů goniometrického tvaru následovně:
Ak
Bk 2
t 1 sin[k (1 0 )] k T
3 sin k 2 k k arctg 3 2 2 1 cos k 2 t A0 B0 0 T
(5)
2
Jan Malinský
Ak Ak e j k
je oboustranné spektrum. Amplituda je poloviční a spektrum symetrické dle svislé osy. Fázové spektrum je symetrické dle počátku souřadného systému.
Spektrum harmonického signálu Spektrum harmonického signálu je jedna spektrální čára o velikosti A a v našem případě s nulovým fázovým posunem. Pro potřeby konvoluce je třeba opět přejít na oboustranné spektrum tj. obě spektrální čáry budou mít poloviční velikost oproti původní jedné a čára v kladných frekvencích bude mít fázový posun –pi/2 a čára v záporných frekvencích +pi/2.
Konvoluce mezi spektry Frekvence obou signálů jsou shodné, tj. harmonická sinového signálu leží ve spektru na stejném místě jako první harmonická obdélníku je to též frekvenční krok se kterým budou mezi sebou spektra posouvat. Přiklad provedeme pro t0/T = ¼, tj. ze sinového signálu bude vyseknuto ¾ periody (ve cvičeních PI to odpovídá signálu sinus315.wfm). Amplitudu sinusovky zvolme 200mV. Dosazením do vztahů (5) dostáváme pro prvních pár harmonických obdélníku následující hodnoty: k Obdélník -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0.045e0.785 j 0 0.075e0.785 j 0.159e1.57 j 0.225e0.785 j 1/4 0.225e0.785 j
0.159e1.57 j 0.075e0.785 j 0 0.045e0.785 j
Sinus
0 0 0 0
0.1e 0 0.1e 0 0 0 0
j
j
2
2
Dle definice konvoluce (1) je třeba před konvolucí jedno ze spekter převrátit. Může tak učinit třeba pro sinový signál.
3
Jan Malinský
Výpočet nulté spektrální čáry k = 0 (stejnosměrná složka) vyseknuté sinusovky: k Obdélník -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Sinus (převrácen) 0.785 j
0.045e 0 0.075e0.785 j 0.159e1.57 j 0.225e0.785 j 1/4 0.225e0.785 j
0.159e1.57 j 0.075e0.785 j 0 0.045e0.785 j
0 0 0 0
0.1e 0 0.1e 0 0 0 0
j
j
2
2
j j 0, 785 j 2 U 0 0,1e 0,225e 0,1e 2 0,225e0,785 j 31,8 mV
na multimetru naměřeno: Uo = -31,81 mV
4
Jan Malinský
Výpočet první harmonické k = 1 ve spektru vyseknuté sinusovky: Obdélník
Sinus (převrácen) – posunut o jednu pozici do kladných frekvencí
0.045e0.785 j 0 0.075e0.785 j 0.159e1.57 j 0.225e0.785 j 1/4
0 0 0 0 0
k -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0.225e0.785 j 0.159e1.57 j
0.075e0.785 j 0 0.045e0.785 j
0.1e 0 0.1e 0 0 0
j
j
2
2
Fázor 1. harmonické, oboustranné spektrum: j 1 j 2 U1 0,1e 0,1e 2 0,159e1,57 j 0,0159 0,0250 j V 4
amplituda a fáze, oboustranné spektrum:
U1 0,0159 0,0250 j 29,6mV arg U1 arg( 0,0159 0,0250 j ) 1.0043 rad
efektivní hodnota a fáze, jednostranné spektrum:
2 U1 29,6 mV 41,86 mV 2
na spektrálním analyzátoru naměřeno U1ef = 41,7 mV
arg U1 1.0043 0.5665 rad 2
5
Jan Malinský
Výpočet druhé harmonické k = 2 ve spektru vyseknuté sinusovky: Obdélník
Sinus (převrácen) – posunut o dvě pozice do kladných frekvencí
0.045e0.785 j 0 0.075e0.785 j 0.159e1.57 j 0.225e0.785 j 1/4 0.225e0.785 j
0 0 0 0 0 0
k -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0.159e1.57 j 0.075e0.785 j
0 0.045e0.785 j
0.1e 0 0.1e 0 0
j
j
2
2
Fázor 2. harmonické, oboustranné spektrum: j j 0, 785 j 2 U 2 0,1e 0,225e 0,1e 2 0,075e 0,785 j 0,0212 0,0106 j V
amplituda a fáze, oboustranné spektrum:
U 2 0,0212 0,0106 j 23,7 mV argU 2 arg( 0,0212 0,0106 j ) 0,4636 rad
efektivní hodnota a fáze, jednostranné spektrum:
2 U2 23,7 mV 33,5 mV 2
na spektrálním analyzátoru naměřeno U2ef = 33,2 mV
arg U 2 0,4636 1.1071 rad 2
6
Jan Malinský
Výpočet třetí harmonické k = 3 ve spektru vyseknuté sinusovky: Obdélník
Sinus (převrácen) – posunut o tři pozice do kladných frekvencí
0.045e0.785 j 0 0.075e0.785 j 0.159e1.57 j 0.225e0.785 j 1/4 0.225e0.785 j 0.159e1.57 j
0 0 0 0 0 0 0
k -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
4
0.075e0.785 j 0
5
0.045e0.785 j
3
0.1e 0 0.1e 0
j
j
2
2
Fázor 3. harmonické, oboustranné spektrum: j j 1, 57 j 2 U 3 0,1e 0,159e 0,1e 2 0 -0.0159 0 j V
amplituda a fáze, oboustranné spektrum:
U 3 - 0.0159 0 j 15,9 mV arg U 3 arg( -0.0159 0 j ) rad
efektivní hodnota a fáze, jednostranné spektrum:
2 U3 15,9 mV 22,5 mV 2
na spektrálním analyzátoru naměřeno U3ef = 22,1 mV
3 arg U 3 rad 2 2
7
Jan Malinský
Výpočet čtvrté harmonické k = 4 ve spektru vyseknuté sinusovky: Obdélník
Sinus (převrácen) – posunut o čtyři pozice do kladných frekvencí
0.045e0.785 j 0 0.075e0.785 j 0.159e1.57 j 0.225e0.785 j 1/4 0.225e0.785 j 0.159e1.57 j 0.075e0.785 j
0 0 0 0 0 0 0 0
k -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0 0.045e0.785 j
0.1e 0 0.1e
j
j
2
2
Fázor 4. harmonické, oboustranné spektrum: j j 0, 785 j 2 U 4 0,1e 0,075e 0,1e 2 0,045e 0,785 j -0.0085 - 0.0021 j V
amplituda a fáze, oboustranné spektrum:
U 4 - 0.0085 - 0.0021 j 8,7 mV argU 4 arg( -0.0085 - 0.0021 j ) -2.8961 rad
efektivní hodnota a fáze, jednostranné spektrum:
2 U4 8,7 mV 12,30 mV 2
na spektrálním analyzátoru naměřeno U4ef = 12,3 mV
arg U 4 2,8961 -1.3261 rad 2
……….. atd. 8
