MATEMATIKA DISKRIT
BAB 6 ALJABAR BOOLE
1. Definisi Dasar Himpunan dan proposisi mempunyai sifat yang serupa yaitu memenuhi hukum identitas. Hukum ini digunakan untuk mendefinisikan struktur matematika abstrak yang disebut ALJABAR BOOLE. Nama tersebut diambil dari nama seorang matematikawan bernama George Boole (1813 – 1864). Secara umum, aljabar boole didefinisikan sebagai suatu himpunan dengan operasi ˄, ˅, 〉 atau 〈 〉 ¬(atau „), serta elemen 0 dan 1 ditulis sebagai 〈 1. Hukum Komutatif a. x ˅ y = y ˅ x b. x ˄ y = y ˄ x 2. Hukum Asosiatif a. (x ˅ y) ˅ z = x ˅(y ˅z) b. (x ˄ y) ˄ z = x ˄ (y ˄ z) 3. Hukum Distributif a. x ˅ (y ˄ z) = (x ˅ y) ˄ (x ˅ z) b. x ˄ (y ˅ z) = (x ˄ y) ˅ (x ˄ z) 4. Hukum Identitas a. x ˅ 0 = x b. x ˄ 1 = x 5. Hukum Negasi (komplemen) a. x ˅ x‟ = 1 b. x ˄ x‟ = 0 Untuk lebih menyerupai operasi-operasi aritmatika, kadang-kadang simbol ˅ dituliskan dengan + dan ˄ dituliskan dengan *, atau tidak ditulis sama sekali. Dalam aljabar Boole dikenal prinsip dualitas. Jika penghubung ˄ ditukarkan dengan ˅ dan 0 ditukarkan dengan 1 diseluruh aturan dalam aljabar Boole, maka hasilnya juga berlaku sebagai suatu aljabar Boole. Ada beberapa teorema yang dapat diturunkan dari aturan-aturan aljabar Boole :
Teorema 1
Misalnya, diketahui aljabar Boole 〈 inilah yang berlaku :
〉 dan x, y, x‟, y‟ Є B, maka hukum-hukum
MATEMATIKA DISKRIT 1. Hukum Idempoten a. x ˅ x = x b. x ˄ x = x 2. Hukum Ikatan a. x ˅ 1 = 1 b. x ˄ 0 = 0 3. Hukum Absorbsi a. (x ˄ y) ˅ x = x b. (x ˅ y) ˄ x = x 4. Hukum De Morgan a. (x ˅ y)‟ = x‟ ˄ y‟ b. (x ˄ y)‟ = x‟ ˅ y‟ Bukti : (1a) x ˅ x = (x ˅ x) ˄ 1 = (x ˅ x) ˄ (x ˅ x‟) = x ˅ (x ˄ x‟) =x˅0 =x
hukum Identitas (b) hukum Negasi (a) hukum Distributif (a) hukum Negasi (b) hukum Identitas (a)
Latihan Soal : Buktikan masing-masing teorema!
Teorema 2 Dalam suatu aljabar Boole 〈
〉, elemen 0 dan 1 adalah tunggal.
Bukti : 〉, sebut 01 dan 02. Akan dibuktikan Misalkan ada 2 buah elemen 0 dalam 〈 bahwa pastilah 01 = 02 . Menurut hukum identitas, untuk sembarang ai dan a2 berlakulah persamaan a1 ˅ 01 = a1 dan a2 ˅ 02 = a2 Substitusi a1 = 02 dan a2 = 01. Dengan demikian, didapatkan 02 ˅ 01 = 02 dan 01 ˅ 02 = 01 Dalam aljabar Boole berlaku hukum komutatif sehingga : 02 ˅ 01 = 01 ˅ 02 02 = 01 Terbukti bahwa 02 = 01 atu elemen 0 tunggal. Latihan Soal : Buktikan untuk 2 buah elemen 1 adalah tunggal!
MATEMATIKA DISKRIT
Teorema 3 Untuk setiap elemen x Є 〈 hukum negasi.
〉 terdapatlah dengan tunggal x‟ yang memenuhi
Bukti : Misal x memiliki 2 komplemen, yaitu x1‟ dan x2 ‟. Akan dibuktikan bahwa pastilah x1‟ = x2‟. Oleh karena x1‟ dan x2‟ merupakan komplemen dari x, maka berlakulah hukum negasi. x ˅ x1‟ = 1 dan x ˄ x1‟ = 0 x ˅ x2‟ = 1 dan x ˄ x2‟ = 0 Padahal : x1 ‟ = x1‟ ˄ 1 hukum identitas (b) = x1‟ ˄(x ˅ x2‟) hukum negasi (b) dan karena x2‟ adalah komplemen x = (x1‟ ˄ x) ˅ (x1‟ ˄ x2‟) hukum distributif (b) dan komutatif = 0 ˅ (x1‟ ˄ x2‟) hukum negasi (b) = (x ˄ x2‟) ˅ (x1‟ ˄ x2‟) hukum negasi (b) = (x ˄ x1‟) ˄ x2‟ hukum distributif = 1 ˄ x2‟ hukum negasi = x2‟ hukum identitas Terbukti bahwa x1‟ = x2‟, atau terdapatlah dengan tunggal x‟ yang memenuhi hukum negasi.
2. Fungsi Boolean 〉 adalah aljabar Boole. Misal B = 〈 Suatu fungsi Boolean variabel adalah fungsi f : Bn → B Fungsi Boolean sederhana adalah jika B = {0,1}. Jadi, f : {0,1}n → {0,1}. Masukannya adalah {0,1}n dan keluaran fungsi adalah {0,1} Operasi Not, And (dan), Or(atau) dalam logika dapat dipandang sebagai fungsi Boolean dari {0,1}2 → {0,1} Fungsi Not : {0,1} → {0,1} didefinisikan sebagai : Not (x) = {
Fungsi itu biasanya ditulis ¬(x) Fungsi And : {0,1}2 → {0,1} didefinisikan sebagai : And (x,y) = {
Fungsi Or : {0,1}2 → {0,1} didefinisikan sebagai : Or (x,y) = {
Contoh :
MATEMATIKA DISKRIT 1. Nyatakan penghubung XOR (eksklusif Or) dalam fungsi {0,1}2 → {0,1} Penyelesaian : Penghubung (simbol ⊕) miripsalah. dengan “atau” (˅). Akan tetapi jika kedua kalimat penyusunnyaXOR benar, maka hasilnya Nilai kebenaran penghubung (⊕) dan ˅ dapat dilihat pada tabel berikut : p T T F F
q T F T F
p˅q T T T F
p⊕q F T T F
Jika T dinyatakan dengan 1 dan F dinyatakan dengan 0, maka ⊕ dapat dinyatakan dengan tabel masukan/keluaran dalam tabel berikut : p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
p⊕q 0 1 1 0
p ⊕ q berharga 0 jika p = q dan berharga 1 jika p ≠ q Jika XOR dinyatakan dengan fungsi {0,1}2 → {0,1}, maka : XOR {0,1}2 → {0,1} didefinisikan sebagai XOR (p,q) = { 2. Perhatikan fungsi Boole f = {0,1}3 → {0,1} yang didefinisikan dengan aturan : f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3) mod 2 Nyatakan f menggunakan tabel masukan/keluaran! Penyelesaian : F(1,1,1) = (1+1+1) mod 2 = 3 mod 2 = 1 F(1,1,0) = (1+1+0) mod 2 = 2 mod 2 = 0 Dst Didapat tabel masukan/keluaran yang dinyatakan pada tabel berikut :
MATEMATIKA DISKRIT
x1 1 1 1 1 0 0 0 0
Masukan x2 1 1 0 0 1 1 0 0
x3 1 0 1 0 1 0 1 0
Keluaran (x1 + x2 + x3) mod 2 1 0 0 1 0 1 1 0
Latihan Soal : Diketahui fungsi Boole f = {0,1}3 → {0,1} yang didefinisikan sebagai f(x1, x2, x3) = (x1‟x2)‟ (x1˅ x2). Tulislah tabel nilai fungsi untuk semua harga x1, x2, x3 yang mungkin.
3. Ekspressi Boole Ekspresi Boole dalam n buah variabel x1, x2, …, xn didefinisikan secara rekursif sebagai berikut : 1. 0 dan 1 adalah ekspresi boole 2. x1, x2, …, xn masing-masing adalah ekspresi boole 3. Jika E1 dan E2 adalah ekspresi boole, maka E1 ˄ E2, E1 ˅ E2, E1‟ adalah ekspresi boole Contoh : 1. Apakah ekspresi berikut merupakan ekspresi Boole dalam variabel x, y, z? a. z b. x ˅ y c. (x ˄ y)‟ ˅ (z‟ ˄ x) d. (x ˅ y) ˄ ( x‟ ˅ z) ˄ 1 Penyelesaian : a. Menurut definisi (2), jelas bahwa z sendiri merupakan ekspresi Boole b. Menurut definisi (2), x dan y merupakan ekspresi Boole. Oleh karena x dan y masing-masing merupakan ekspresi Boole, maka menurut (3), x ˅ y juga merupakan ekspresi Boole (definisi 3) c. X dan y merupakan ekspresi Boole (definisi 2), maka (x ˄ y) merupakan ekspresi Boole (definisi 3) sehingga (x ˄ y)‟ merupakan ekspresi Boole. Selanjutnya x, y dan z merupakan ekspresi Boole (definisi 2), maka z‟ merupakan ekspresi Boole (definisi 3) sehingga z‟ ˄ x merupakan ekspresi Boole. Oleh karena (x ˄ y)‟ dan (z‟ ˄ x) masing-masing ekspresi Boole, maka (x ˄ y)‟ ˅ (z‟ ˄ x) merupakan ekspresi Boole juga. d. (x ˅ y) ˄ ( x‟ ˅ z) ˄ 1 merupakan ekspresi Boole karena x, y,z dan 1 masing-masing merupakan ekspresi Boole.
MATEMATIKA DISKRIT Dalam praktek, ekspresi Boole ˄ diganti dengan (.) atau dihilangkan sama sekali, jadi notasi (c) dan (d) berbentuk (xy)‟ ˅ (z‟x) dan (x ˅ y)( x‟ ˅ z)1 2. Telitilah apakah kedua ekspresi Boole di bawah ini ekuivalen E1 = xy ˅ xyz ˅ z dan E2 = xy ˅ z Penyelesaian : xy ˅ xyz ˅ z = xy (1 ˅ z) ˅ z = xy.1 ˅ z = xy ˅ z
hukum distributif hukum ikatan hukum identitas
Oleh karena E2 bisa didapatkan dari E1, maka disimpulkan bahwa E1 = E2 Tabel masukan dan keluaran E1 dan E2 dapat diihat pada tabel berikut : x 1 1 1 1 0 0 0 0
y 1 1 0 0 1 1 0 0
z 1 0 1 0 1 0 1 0
xy 1 1 0 0 0 0 0 0
E1 = xy ˅ xyz ˅ z 1 1 1 0 1 0 1 0
xyz 1 0 0 0 0 0 0 0
E2 = xy ˅ z 1 1 1 0 1 0 1 0
Dalam tabel diatas tampak bahwa semua nilai fungsi E1 dan E2 sama. Itu berarti E1 = E2 Latihan Soal : Diketahui ekspresi Boole dalam 3 variabel x, y, z sebagai E = x ˅ yz. Buatlah tabel fungsi Booleyang sesuai dengan ekspresi E.
4. Bentuk Normal Disjunctive Ekspresi Boole yang hanya terdiri dari satu variabel (atau komplemennya) disebut Literal. Setengah dari nilai fungsi ekspresi yang berbentuk Literal akan bernilai 1 dan setengah yang lain bernilai 0. Contoh : Buatlah tabel masukan/keluaran fungsi Literal f : {0,1}2 → {0,1} yang didefinisikan f(x,y)=y‟ Penyelesaian : x 1 x 0 0
y 1 0 1 0
y‟ 0 1 0 1
MATEMATIKA DISKRIT Dalam tabel diatas tampah bahwa setengah dari nilai fungsi (2 buah) berharga = 1 dan setengah yang lain berharga = 0 Ekspresi Boole n variabel x1, … xn yang merupakan gabungan dari beberapa Literal yang dihubungkan dengan “˄” disebut Minterm. Jadi, Minterm berbentuk : dengan ai berharga 0 atau 1 adalah xi dan Contoh : Tentukan apakah ekspresi-ekspresi berikut merupakan minterm dalam 3 variabel x, y, z a. xy‟z‟ b. xz‟ c. xyx‟z Penyelesaian : a. Merupakan minterm dalam x, y, dan z karena memuat Literal x, y, dan z b. Bukan minterm dalam x, y, dan z karena tidak memuat Literal y. Perhatikan bahwa xz‟ merupakan miterm dalam 2 variabel x dan z. c. Bukan minterm karena x muncul dalam 2 literal Gabungan minterm yang ekuivalen dengan suatu ekspresi Boole E dinamakan Bentuk Normal Disjungtif (DNF = Disjunctive Normal Form). Kadang-kadang bentuk tersebut dinamakan Bentuk Kanonik Minterm untuk E. Contoh : Buatlah tabel untuk ekspresi Boole E dalam 3 variabel x, y, z. E = x‟yz‟ ˅ xy‟z‟ ˅ xy‟z ˅ xyz‟ Penyelesaian : x 1 1 1 1 0 0 0 0
y 1 1 0 0 1 1 0 0
z 1 0 1 0 1 0 1 0
x‟yz‟ 0 0 0 0 0 1 0 0
xy‟z‟ 0 0 0 1 0 0 0 0
xy‟z 0 0 1 0 0 0 0 0
xyz‟ 0 1 0 0 0 0 0 0
E 0 1 1 1 0 1 0 0
MATEMATIKA DISKRIT E merupakan gabungan dari 4 minterm, masing-masing x‟yz‟, xy‟z‟, xy‟z dan xyz‟. Setiap minterm (kolom) hanya memiliki tepat satu keluaran bernilai 1. Untuk minterm yang berbeda, posisi nilai 1 tersebut juga pasti akan terletak pada baris yang berbeda. Oleh karena E merupakan gabungan dari ke-4 minterm yang dihubungkan dengan “˅”, maka E akan bernilai = 1 pada baris dimana salah satu minterm bernilai = 1. Latihan Soal : 1. Carilah ekspresi Boole dalam dinyatakan alam tabel berikut : x y 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
3 variabel x, y,z yang memiliki tabel kebenaran yang z 1 0 1 0 1 0 1 0
E 0 0 0 0 1 1 0 0
2. Jadikan ekspresi E = (x ˅ yz‟)(yz)‟ dalam bentuk DNF.
