BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 3.1 Perumusan Penduga Misalkan N adalah proses Poisson non-homogen pada interval 0, ∞
dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan
sebuah fungsi periodik dikalikan tren linear. Dengan kata lain, untuk sembarang titik ∈ 0, ∞, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai
∗ , 3.1
dimana ∗ adalah fungsi periodik dengan periode (diketahui) dan a adalah
kemiringan dari tren linear. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik
dari ∗ kecuali bahwa adalah fungsi periodik. Dalam pembahasan ini dikaji proses
Poisson pada interval 0, ∞, bukan pada , karena bernilai taknegatif. Dengan
alasan yang sama pada pembahasan ini dibatasi untuk kasus a > 0.
Karena ∗ adalah fungsi periodik dengan periode maka tanpa
menghilangkan keumumannya, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai berikut
, 3.2
dimana ∗ . Sehingga untuk setiap titik ∈ 0, ∞ dan semua ∈
dengan adalah himpunan bilangan bulat, diperoleh
, 3.3
Misalkan untuk suatu ∈ Ω, hanya ada sebuah realisasi dari proses
Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang (Ω,F,P) dengan fungsi intensitas seperti pada (3.2) yang diamati pada interval terbatas 0, ∈ 0, ∞. Diasumsikan bahwa s adalah titik Lebesgue dari yaitu
(lihat Definisi
1 ` $ | ' ( |*' 0, 3.4 `→+ 2# 6` lim
A.26 pada lampiran) dan s juga diasumsikan sebagai titik
Lebesgue dari .
Misalkan %: → adalah suatu fungsi bernilai real, disebut kernel, jika
memenuhi sifat-sifat berikut:
9
(K.1) K merupakan fungsi kepekatan peluang. (K.2) K terbatas. (K.3) K memiliki daerah definisi pada (1,1 .
Misalkan pula # adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju
nol, yaitu
# ↓ 0 3.5
untuk → ∞. Dengan notasi di atas, dapat didefinisikan penduga bagi pada titik ∈ 0, sebagai berikut: ,
,
1 ' ( $ %& " ) *' . 3.6 ,!
# + # -.+
Ide dibalik penyusunan penduga tipe kernel ,
,! untuk
dapat
dijelaskan seperti berikut: Dari (3.2) masalah pendugaan untuk sebuah titik
∈ 0, ∞ dapat direduksi menjadi masalah pendugaan untuk titik ∈ 0, .
Karena hanya ada satu realisasi dari proses Poisson N, kita memiliki informasi mengenai nilai (tidak diketahui) pada interval 0, . Untuk itu asumsi (3.3)
memegang peranan sangat penting untuk proses penyusunan penduga. Misalkan #R: ∈ 0, U j , 3.7 dimana # menyatakan banyaknya elemen. Oleh karena itu kita peroleh ,
1
" ΙR ∈ 0, U -.+ ,
1
" ΙR ∈ 0, U. 3.8 -.+
Karena diasumsikan # konvergen ke nol dan s merupakan titik Lebesgue dari
juga , maka ruas kanan persamaan di atas menjadi ,
Jn-on`a 1 1 1 $ j " ' ΙR' ∈ 0, U *' 2# Jn-o6`a -.+ ,
1 1
" p ( # , # ∩ 0, 2# -.+ ,
1 1 j " ( # , # ∩ 0, 2# -.+
10
,
1 j " ( # , # ∩ 0, . 3.9 2# -.+
dimana I menyatakan fungsi indikator. Oleh karena itu, dari (3.9) dapat ditulis ,
,
1 " ( # , # ∩ 0, , 3.10 2# -.+
yang merupakan suatu penduga untuk . Penduga , dapat ditulis sebagai ,
,
1 1 " $ Ι67,7 ( # , # *' . # + 2 -.+
Dengan mengganti fungsi
7
Ι . 2 67,7
3.11
pada (3.11) dengan fungsi kernel umum K,
maka diperoleh penduga pada (3.6). 3.2 Sifat-sifat Statistik KLM,N,O P
Teorema 3.1 (Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga) Misalkan fungsi intensitas seperti (3.2), terintegralkan lokal dan mempunyai
turunan kedua 11 yang bernilai terhingga di s. Jika kernel K adalah simetrik dan
memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), dan # memenuhi asumsi 3.5 dan # 2 → ∞, maka E ,
,!
untuk → ∞.
" 2 7 2 # $ E % E*E t # 2 , 3.12 2 67
Bukti:
Dari persamaan (3.6)diperoleh ,
1 ' ( $ %& " ) u *' E , ,!
# + # -.+
,
1 ' ( $ %&
" ) 'I ' ∈ 0, *' . w # # -.+
3.13
Dengan penggantian peubah, misalkan: x ' ( , *x *'. Sehingga (3.13) dapat ditulis
11
E ,
,! ,
1 x $ % y z x I x ∈ 0, *x. 3.14
" # # -.+
w
Karena fungsi intensitas memenuhi (3.2), maka diperoleh
E ,
,! ,
1 x $ % y z x x I x
" # # -.+
w
∈ 0, *x
,
x x $ % y z x "
I x ∈ 0, *x . 3.15 # # w
Dapat diperhatikan bahwa ,
"
-.+
-.+
x I x ∈ 0, { 1, 3.16
untuk → ∞, sehingga
E ,
,!
x $ % y z x & { 1) *x # # w
x 1 1 $ % y z x *x { y z, 3.17 # # w
untuk → ∞. Dengan penggantian peubah, misalkan: E
ruas kanan (3.17) menjadi
|
`a
, *E
}| `a
1 1 1 $ % E E# *E# { y z $ % E E# *E { y z, # w
w
untuk → ∞.
Dengan menggunakan formula Young untuk deret Taylor diperoleh E# ′ E# "
, maka
3.18
E 2 # 2 t # 2 3.19 2!
untuk → ∞. Dengan mensubstitusikan (3.19) pada suku pertama ruas kanan persamaan (3.18) diperoleh
12
$ % E & ′ E# "
w
E 2 # 2 t # 2 ) *E 2!
$ % E *E $ % E ′ E# *E $ % E " w
w
7
w
7
7
E 2 # 2 *E t # 2 2!
" # 2 $ E 2 % E*E t # 2 ,
$ % E*E 1 # $ E% E*E 2! 67
67
67
untuk → ∞, karena asumsi (K.3).
7
3.20
Karena K adalah simetrik maka D67 E% E*E 0. Karena K memenuhi 7
(K.1) maka D67 % E*E 1. Akhirnya ruas kanan 3.20 dapat ditulis 7
" # 2 $ E 2 % E*E t # 2 , 3.21 2! 67
untuk → ∞. Dengan asumsi # 2 → ∞, suku kedua pada ruas kanan (3.18) adalah t # 2 . Sehingga persamaan di atas menjadi 7
" # 2 $ E 2 % E*E t # 2 , 3.22 Ε , ,! 2! 67
untuk → ∞. Dengan demikian Teorema 3.1 terbukti.
Teorema 3.2 (Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga) Misalkan fungsi intensitas seperti (3.2) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K
memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), dan # memenuhi asumsi (3.5), maka 7
2 ln ln $ % 2 E*E t y 2 z, 3.23 Var ; , ,! <
2 # # 67
untuk → ∞, asalkan s adalah titik Lebesgue dari . Bukti:
Ragam dari ,
,!
dapat diperoleh sebagai ,
1 2 ' ( $ %& Var ; , ,! < 2 2 Var " ) *' . # + # -.+
3.24
13
Karena # ↓ 0, untuk nilai n yang besar dan , interval ( # ,
# dan ( # , # tidak overlap sehingga untuk semua . Akibatnya peubah acak % ;
6 Jn-o `a
< *' dan % ;
6 Jno `a
bebas. Sehingga ruas kanan (3.24) dapat dihitung sebagai berikut
< *' adalah
,
2 1 ' ( 2 $ " % & ) Var *' 2 # 2 2 + # -.+
,
2 1 ' ( 2 $ 2 2 " % & ) E *' # 2 + # -.+ ,
2 1 ' ( $ %2 &
2 2 " ) K I ' ∈ 0, *' . 3.25 2 # w # -.+
Dengan penggantian peubah, misalkan: x ' ( , *x *'. Sehingga (3.25) dapat ditulis ,
1 x 2 $ % 2 y z x I x ∈ 0, *x " 2 2 2 # w # -.+
,
x 2 x 2 2 $ % 2 y z x " I x ∈ 0, *x. # w # 2 -.+
Perhatikan bahwa ,
"
-.+
3.26
x I x ∈ 0, ln { 1, 3.27 2
untuk → ∞. Karena K memenuhi (K.3) dan dengan mensubstitusikan (3.27) pada (3.26), maka diperoleh Var ; ,
,! <
7 2 x $ % 2 y z x ln { 1*x 2 2 # 67 #
2 ln 7 2 x 1
2 2 $ % y z x *x { y 2 z. 3.28 # 67 # #
Karena s adalah titik Lebesgue dan dengan penggantian peubah, misalkan: E
|
`a
, *E
}| `a
, akhirnya diperoleh 7
2 ln ln 2 $ Var ; , ,! <
% E *E t y z, 3.29 2 # 2 # 67
14
untuk → ∞. Dengan demikian Teorema 3.2 terbukti. Teorema 3.3 (Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga) Misalkan fungsi intensitas adalah periodik, terintegralkan lokal, dan
mempunyai turunan kedua 11 yang terbatas di titik s. Jika kernel K adalah
simetrik dan memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), # memenuhi asumsi (3.5) dan # 2 → ∞, maka
MSE ; ,
2
,! <
7
7
67
67
2
ln 1 ln $ % 2 E*E " $ E 2 % E*E # t y 2 z t # , 2 4 # #
3.30
untuk → ∞. Bukti:
Perhatikan bahwa p ; ,
,! <
; ,
,! <
y ; ,
,!
2
(lihat Definisi A.22 pada lampiran). Dari Teorema 3.1 dan Teorema 3.2 maka diperoleh p ; ,
,! <
7
2
ln 2 ln " 2 7 2 2 $ % E*E t y 2 z
# $ E % E*E t # 2 2 # # 2 67 67
7
2
2 ln " 2 7 2 ln 2 $ % E *E & # $ E % E*E) t y 2 z t #
2 # 2 # 67 67
7
2
7 2 ln 1 ln 2 $ % E*E & " $ E 2 % E*E) # t y 2 z t #
2 # # 4 67 67
untuk → ∞. Dengan demikian Teorema 3.3 terbukti.
