Bab 3 Bagian 3 VOLUME BENDA PUTAR
INTRODUCTION
•Bola lampu di samping dapat
dipandang sebagai benda putar jika kurva di atasnya diputar menurut garis horisontal. •Pada pokok bahasan ini akan
dipelajari juga penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.
Suatu daerah jika di putar mengelilingi
garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: 1. Partisi,
2. Aproksimasi, 3. Jumlahkan, 4. Ambil limitnya 5. Nyatakan dalam integral tentu. Gb. 4
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka
metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram 2. Metode cincin 3. Metode kulit tabung y
y
y
4 3 0
x
2
x
1 x 2
1
0
1
2
Metode Cakram
Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotongmotongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram.
y x
Bentuk
cakram
di
samping
dapat
dianggap sebagai tabung dengan jari-jari
f (x)
r = f(x), tinggi h = x. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai V r2h atau V f(x)2x.
a
x
x
y
Dengan cara jumlahkan, ambil
h=x
limitnya, dan nyatakan dalam integral r f(x)
diperoleh: V f(x)2 x
x
0
V = lim f(x)2 x
a
v [ f (x)]2dx 0
x
Contoh 7.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Jawab
y y
1. Gambarlah daerahnya
y x2 1
2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.
x
h=x
1
x2 1 x
2
r x2 1
x
x
x
V r2h V (x2 + 1)2 x
V (x2 + 1)2 x
y
V = lim (x2 + 1)2 x 2
h=x
V (x 2 1)2 dx 0
r x2 1
2
V (x 4 2 x 2 1) dx
x
0
2 5 3 1 2 V x x x 5 3 0
V ( 32 16 2 0) 1311 5
3
15
x
Contoh 8.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
y
Jawab
y x2
1. Gambarlah daerahnya 2
2. Buatlah sebuah partisi
y
y
3. Tentukan ukuran dan bentuk
y
partisi
x y
4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil
r
limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.
y
h=y
y x
V r2h
V (y)2 y
y
V y y V = lim y y
2 r y
2
V
ydy
h=y
0
2
y
V ydy
x
0
V
1 2
y2
V ( 21 4 0)
V 2
2 0
Metode Cincin
Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotongmotongnya yang potongannya berbentuk cincin.
Menghitung volume benda putar
dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume
Gb. 5
cincin seperti gambar di samping, yaitu V= (R2 – r2)h
R h
r
Contoh 9.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Jawab
1. Gambarlah daerahnya
y
y
y x2
2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan
y = 2x 4
x
bentuk partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk integral.
x
2x x2 x
2
x
V (R2 – r2) h V [ (2x)2 – (x2)2 ] x V (4x2 – x4) x
y
y = 2x
V (4x2 – x4) x V = lim
(4x2
–
x4)
y x2
4
x
x
2
V (4 x 2 x 4 ) dx 0
V
4 x3 1 x5 2 3 5 0
V ( 32 32) 3 5 V (160 96 ) 15 V 64 15
y
R=2x
r=x2 x
2
x
x
Metode Kulit Tabung
Metode kulit tabung yang digunakan
untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping.
r
r
h
h
V = 2rhΔr 2r
Δr
Contoh 10.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Jawab
1. Gambarlah daerahnya
y
y x2
2. Buatlah sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi. 4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.
4 3
x
2 x2
1
x 0
x
1
2
y
4 x
3
y
r=x
y x2
2
4 1 3
x
x 1
2 x2
1
x
1
2
0
1
2
2
V 2 x 3 dx
x 0
h = x2
2
0
V 2rhx
1x V 2 4
V 2(x)(x2)x
V 8
V 2x3x V = lim 2x3x
4
2 0
Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi
secara
horisontal
mengelilingi
dan
sumbu
sebuah
y,
maka
partisi
diputar
partisi
tersebut
membentuk cincin. Volume benda putar tersebut
dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut. V (R2 – r2)y
y
y x2
V (4 - x2)y
y
4
V (4 – y)y
4
V = lim (4 – y)y
3 3
R=2 2
r=x
4
V 4 y dx
2
y
1
0
V 4y
1 x
0
x
1
2
x
-2
-1
0
1
2
1 2
V (16 8)
V 8
y
2
4 0
Exercise Soal 1. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai .... 2
A B
x
0
4
y
0
C
2
4
x
0
dx
dy 2
dx
Y
D E
2
(4
x 2 ) dx
4
x 2 ) dx
0
(4
0
y x2
4
0
2
X
Soal 1.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai .... A B C
2
2 x dx
0 4
y
0 4
x
0
dy 2
D E
Y x
2
2 (4 x ) dx
0
4
(4
0
y x2
4 4 - x2
x ) dx 2
dx
0
x
Jawaban L (4 – x2) x L (4 – x2) x L = lim (4 – x2) x 2
L (4 x 2 ) dx 0
( Jawaban D )
2
X
Soal 2. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A
4,5 satuan luas
D
Y
9 1/3 satuan luas
y 4 x2 B
6 satuan luas
C
7,5 satuan luas
E
10 2/3 satuan luas
0
X
Soal 2. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A
4,5 satuan luas
D
Y
9 1/3 satuan luas
x
y 4 x2 B
6 satuan luas
C
7,5 satuan luas
E
10 2/3 satuan luas
-2
0
x
2
Jawaban L (4 – x2) x L (4 –
x 2)
x
L = lim (4 – x2) x 2
L (4 x 2 ) dx 2
L 4x x 1 3
3
2 2
L (8 83) (8 83) L
32 3
10
2 3
( Jawaban E )
X
Latihan
Penggunaan IntegralIntegral Penggunaan Soal 3.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. Y
A 5 satuan luas
D
B
E 10 1/3 satuan luas
7 2/3 satuan luas
y 2x
9 1/3 satuan luas
C 8 satuan luas 0
X
y 8 x2
Soal 3. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. Y
A 5 satuan luas
D
B
E 10 1/3 satuan luas
7 2/3 satuan luas
y 2x
9 1/3 satuan luas
C 8 satuan luas 0
2
X
y 8 x2
Jawaban L (8 – x2 -2x) x
L 16 83 4
2
L (8 x 2 2x) dx 0
L 8x x x 1 3
3
2
2 0
L
28 3
9 31
( Jawaban D )
Soal 4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah …. A
2,5 satuan luas
D
10 2/3 satuan luas
B
4,5 satuan luas
E
20 5/6 satuan luas
C
6 satuan luas
Soal 4.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah …. A
2,5 satuan luas
B
4,5 satuan luas
D
Y
10 2/3 satuan luas
E
1
20 5/6 satuan luas
X
0
C
6 satuan luas
-2
x y2
x 2y
Jawaban L [(2 – y ) – y2 ] y
L (2
1
L (2 y x 2 ) dy
L
2
L 2y y y 1 2
2
1 3
3
1 2
1 2
31) (4 2 83)
9 4,5 2
( Jawaban B )
Soal 5.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... Y
A
v x dx
B
v x 2 dx
C
4
4 0
4 0
2
v y dy 0
D
v 2 x x dx
E
v 2 (16 y) dy
0
y X
2
2
0
0
4
X
Soal 5.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... Y
4
A
v x dx
B
v x 2 dx
C
0
4 0
4
D
v 2 x x dx
E
v 2 (16 y ) dy
0
y X
2
2
0
0
2
v y dy 0
Jawaban V 2xx x 4
V 2 x x dx 0
( Jawaban D )
4
X
Soal 6.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah …. A
4 satuan volum
D
Y
12 satuan volum
y X
2
B C
6 satuan volum
8 satuan volum
E
15 satuan volum 0
4
X
Soal 6.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah …. A
4 satuan volum
D
Y
12 satuan volum
y X
2
B
C
6 satuan volum
E
15 satuan volum 0
8 satuan volum
Jawaban V (x)2 x 4
V x dx 0
V
V 8
1 2
x
2
4
0
( Jawaban C )
4
X
