MATHunesa (Volume 3 No 3)
2014
INTEGRAL π―π Hilmi Nur Ardian Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya e-mail:
[email protected]
Manuharawati Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya e-mail:
[email protected]
Abstrak E.H Moore dan H.L Smith mendefinisikan integral Riemann dengan menggunakan Moore-Smith limit. Integral Riemann dan integral Riemann dengan Moore-Smith limit memiliki ekuivalensi. Kemudian Ralph Henstock dan Jaroslav Kurzweil memperluas integral Riemann dengan menggunakan partisi tag πΏ-fine yang dikenal dengan integral Henstock. Dalam skripsi ini akan dijelaskan integral Henstock dengan Moore-Smith limit yang dikenal Integral π»1 , sifat-sifat integral π»1 seperti: sifat perkalian dengan skalar, sifat kelinearan, kriteria Cauchy, sifat additif, Teorema Fundamental Kalkulus, dan bagaimana keterkaitan antara integral Henstock dan integral π»1 . Kata Kunci: Moore-Smith limit, Integral Riemann dengan Moore-Smith limit, Integral Henstock, Integral π»1 .
Abstract E.H Moore and H.L Smith define Riemann integral using Moore-Smith limit. Riemann integral and Riemann integral using Moore-Smith limit are equivalence. Ralph Henstock and Jaroslav Kurzweil generalize the Riemann integral using πΏ-fine tag partition and call itthe Henstock integral. This paper willbe explained that the Henstock integral can also be defined by Moore-Smith limit. The resulting integral is the so-called π»1 integral. Some properties of π»1 integral are as follows: Scalar multiplication, Linearity, Cauchy criteria, Additivity of π»1 integral, Fundamental Calculus Theorem, and the relation between Henstock integral and π»1 integral. Keywords:Moore-Smith limit, Riemann integral using Moore-Smith limit, Henstock integral, π»1 integral.
1. PENDAHULUAN
1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, rumusan masalah skripsi adalah apakah sifatperkalian dengan skalar, sifat kelinearan, kriteria Cauchy, sifat additif, dan Teorema Fundamental Kalkulus berlaku pada integral π»1 dan bagaimana keterkaitan antara integral π»1 dan integral Henstock.
1.1 Latar Belakang Integral merupakan salah satu dari bagian matematika yang aplikasinya sangat luas. Konsep integral pertama kali dikenalkan oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz, kemudian definisinya dipertajam oleh Benhard Riemann pada tahun 1850. Selain itu pada tahun 1952 E.H. Moore dan H.L. Smith mendefinisikan integral Riemann dengan Moore-Smith limit. Selanjutnya Ralph Henstock dan Jaroslav Kurzweil mengembangkan suatu teori pengintegralan yang merupakan generalisasi dari konsep integral Riemann dan mampu menyelesaikan persoalan yang tidak dapat diselesaikan oleh integral Riemann, yakni Integral Henstock. Garces, Lee dan Zhao memperkenalkan suatu integral Henstock dengan Moore-Smith limit, yakni Integral π»1 . Pada skripsi ini akan dikaji sifat-sifat integral π»1 seperti: sifat perkalian dengan skalar, sifat kelinearan, kriteria Cauchy, sifat additif, Teorema Fundamental Kalkulus. Selain itu akan dibahas keterkaitan antara integral π»1 dan integral Henstock.
1.3 Tujuan Penulisan Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan penulisan skripsi adalah mendeskripsikan sifat-sifat dari integral π»1 dan keterkaitannya dengan integral Henstock. 1.4 Manfaat Hasil Penulisan Adapun manfaat dari penulisan skripsi ini antara lain: 1. Bagi penulis, sebagai tambahan informasi dan wawasan mengenai definisi dan sifat-sifat integral π»1 serta keterkaitannya dengan integral Henstock. 2. Bagi pengguna matematika, sebagai tambahan pengetahuan bidang matematika, khususnya bidang pengintegralan.
129
MATHunesa (Volume 3 No 3)
1.5 Batasan Masalah Pada skripsi ini yang akan dibahas adalah sifat-sifat dari integral π»1 dan keterkaitannya dengan integral Henstock. Fungsi yang digunakan adalah fungsi bernilai real pada [π, π]. 1.6 Metode Penulisan Metode yang digunakan di sini adalah metode kajian pustaka. Adapun langkah-langkah dalam penulisan ini adalah : a. Mengumpulkan informasi yang berhubungan dengan materi terkait serta membaca, memahami dan menelaah beberapa buku dan referensi lain, seperti jurnal ilmiah, hasil penelitian terdahulu, dan lain-lain. b. Menuliskannya ke dalam bentuk paper. 2. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas definisi integral π»1 dan sifat-sifatnya beserta keterkaitannya dengan integral Henstock.
b.
2.1 INTEGRAL π―π Definisi 2.1 Diberikan gauge πΏ: π, π β β dan β[π, π] adalah himpunan semua partisi tag πΏ-fine dari [π, π]. Untuk π«1 , π«2 β β[π, π] dengan π π«1 = π₯πβ1 , π₯π , π‘π ππ=1 dan π«2 = π¦π β1 , π¦π , π π π =1
3.
π«1 β π«2 disebut π«1 menghaluskan (finer) π«2 jika memenuhi a. π«1 β½ π«2 b. i. Ketika π«1 β π«2 π π : π¦π β1 , π¦π , π π β π«2 β π‘π : π₯πβ1 , π₯π , π‘π β π«1 ii. Ketika π«1 = π«2 π π : π¦π β1 , π¦π , π π β π«2 = π‘π : π₯πβ1 , π₯π , π‘π β π«1 .
a.
Teorema 2.1 Diberikan gauge πΏ: π, π β β dan β[π, π] adalah himpunan semua partisi tag πΏ -fine dari [π, π] maka (β[π, π], β) adalah himpunan berarah. Bukti : Diberikan gaugeπΏ: π, π β β dan β[π, π] adalah himpunan semua partisi tag πΏ-fine dari [π, π]. 1. Akan dibuktikan memenuhi sifat refleskif. Diberikan π«1 β β[π, π] dengan π«1 = π₯πβ1 , π₯π , π‘π ππ=1 maka π«1 β π«1 karena π₯πβ1 , π₯π = π₯πβ1 , π₯π , π‘π = π‘π untuk π = 1, β¦ , π dan π‘π : π₯πβ1 , π₯π , π‘π β π«1 ο π‘π : π₯πβ1 , π₯π , π‘π β π«1 . 2. Diberikan π«1 , π«2 , π«3 β β[π, π] dengan π π«1 = π₯πβ1 , π₯π , π‘π ππ=1 , π«2 = π¦π β1 , π¦π , π π π =1 ,
2014
Kasus 1 Ketika π₯πβ1 , π₯π β π¦π β1 , π¦π berarti untuk setiap π₯πβ1 , π₯π , π‘π β π«1 terdapat π¦π β1 , π¦π , π π β π«2 sehingga π₯πβ1 , π₯π β π¦π β1 , π¦π Kasus 2 Ketika π₯πβ1 , π₯π = π¦π β1 , π¦π memenuhi π‘π = π π . π«2 β π«3 maka π«2 β½ π«3 . Kasus 1 Ketika π¦π β1 , π¦π β π§πβ1 , π§π berarti untuk setiap π¦π β1 , π¦π , π π β π«2 terdapat π§πβ1 , π§π , π’π β π«3 sehingga π¦π β1 , π¦π β π§πβ1 , π§π Kasus 2 Ketika π¦π β1 , π¦π = π§πβ1 , π§π memenuhi π π = π’π . Karena π₯πβ1 , π₯π β π¦π β1 , π¦π dan π¦π β1 , π¦π β π§πβ1 , π§π maka π₯πβ1 , π₯π β π§πβ1 , π§π . Ketika π₯πβ1 , π₯π = π¦π β1 , π¦π = π§πβ1 , π§π memenuhi π‘π = π π = π’π . Selanjutnya akan dibuktikan π‘π : π§πβ1 , π§π , π‘π β π«3 ο π‘π : π₯πβ1 , π₯π , π‘π β π«1 π«1 β π«2 dan π«2 β π«3 diperoleh π‘π : π¦π β1 , π¦π , π π β π«2 ο π‘π : π₯πβ1 , π₯π , π‘π β π«1 dan π‘π : π§πβ1 , π§π , π’π β π«3 ο π‘π : π¦π β1 , π¦π , π π β π«2 sehingga π‘π : π§πβ1 , π§π , π’π β π«3 ο π‘π : π₯πβ1 , π₯π , π‘π β π«1 Diberikan π«1 , π«2 β β[π, π] dengan π«1 = π₯πβ1 , π₯π , π‘π ππ=1 dan π π«2 = π¦π β1 , π¦π , π π π =1 Akan dibuktikan jika π«1 β π«2 dan π«2 β π«1 maka π«1 = π«2 π«1 β π«2 maka π«1 β½ π«2 Kasus 1 Ketika π₯πβ1 , π₯π β π¦π β1 , π¦π berarti untuk setiap π₯πβ1 , π₯π , π‘π β π«1 terdapat π¦π β1 , π¦π , π π β π«2 sehingga π₯πβ1 , π₯π β π¦π β1 , π¦π Kasus 2 Ketika π₯πβ1 , π₯π = π¦π β1 , π¦π memenuhi π‘π = π π . π«2 β π«1 maka π«2 β½ π«1 Kasus 1 Ketika π₯πβ1 , π₯π β π¦π β1 , π¦π berarti untuk setiap π¦π β1 , π¦π , π π β π«2 terdapat π₯πβ1 , π₯π , π‘π β π«1 sehingga π¦π β1 , π¦π β π₯πβ1 , π₯π Kasus 2 Ketika π₯πβ1 , π₯π = π¦π β1 , π¦π memenuhi π‘π = π . Dari beberapa kasus di atas diperoleh π₯πβ1 , π₯π β π¦π β1 , π¦π dan π¦π β1 , π¦π β π₯πβ1 , π₯π sehingga π₯πβ1 , π₯π = π¦π β1 , π¦π dan memenuhi π‘π = π π . Jadi π π : π¦π β1 , π¦π , π π β π«2 = π‘π : π₯πβ1 , π₯π , π‘π β
π
dan π«3 = π§π β1 , π§π , π’π π=1 . Akan dibuktikan jika π«1 β π«2 dan π«2 β π«3 maka π«1 β π«3 a. Pertama akan dibuktikan π«1 β½ π«3 π«1 β π«2 maka π«1 β½ π«2
4.
130
π«1 . Diberikan π«1 , π«2 β β[π, π] dengan π«1 = π₯πβ1 , π₯π , π‘π ππ=1 π π«2 = π¦π β1 , π¦π , π π π =1
dan
2014
MATHunesa (Volume 3 No 3) Akan dikonstruksi π«3 =
max β‘ {π,π }
πΌππ , π‘ππ
π,π =1
Dibentuk π2 =
dengan
ο·
Jika π‘π = π π maka dibentuk π1 =
πΌππ , π‘π
1
Dibentuk π3 =
2
= πΌππ . Misal πΏπ adalah interval tertutup dan
Dibentuk π2 =
Dalam
.
πΌππ , π π
π,π =1
Untuk 1 2
setiap
π β πΌππ
1
πΏ π ,π + πΏ π 2
.
Dalam
max β‘ {π,π }
πΏπ π , ππ
kasus
π,π =1
ini
pilih
1
Pilih ππ , 1 β€ π < π
2
πΌππ , π‘ππ
4 π=1 ππ
Untuk
1
πΏ π ,π + πΏ π
kasus
max β‘ {π,π } π,π =1
=
ππ β πΏπ β π β
4,
max β‘ {π,π } π,π =1
πΌππ , π‘π 1
=
4,
ππ β πΏπ β π β
sehingga π«3 merupakan partisi tag
2
β
π π₯ =
π ππ₯ π
1, π₯ πππ πππππ 0 , π₯ πππππ πππππ
Akan dibuktikan π terintegral π»1 pada [0,1]. Bukti : Misal π΅ = β β© 0,1 = π1 , π2 , β¦ dan πΆ = βπ β© [0,1] sehingga π΅ βͺ πΆ = 0,1 .
dengan
πΌππ β β
dan πΌππ = π₯πβ1 , π₯π β© π¦π β1 , π¦π . Jika terdapat irisan yang sama maka hanya ditulis satu kali. Kasus 1 yaitu ketika π‘π , π π β πΌππ . Jika π‘π = π π maka dibentuk π1 =
π,π =1
Contoh 2.1 Diberikan fungsi π: 0,1 β β
Karena π = min{πΏ, πΏβ²} maka untuk setiap partisi π-fineπ«3 maka π«3 partisi tag πΏ-fine dan partisi tag πΏβ²-fine. πΌππ , π‘ππ
max β‘ {π,π }
Himpunan semua fungsi yang terintegral π»1 pada [π, π]dinotasikan π»1 [π, π].
Bukti :π«1 = π₯πβ1 , π₯π , π‘π ππ=1 adalah partisi tag πΏ-fine π dan π«2 = π¦π β1 , π¦π , π π π =1 partisi tag πΏβ²-fine
π«3 =
πΌππ , π‘ππ
π
Teorema 2.2 Diberikan gaugeπΏ, πΏ β² : π, π β β. Jika π«1 adalah partisi tag πΏ-fine dan π«2 partisi tag πΏβ²-fine maka terdapat partisi π -fine π«3 dengan π = min{πΏ, πΏβ²} sedemikian hingga π«3 β π«1 dan π«3 β π«2 .
Akan dikonstruksi
kasus
πΏ = π»1
πΏ-fine.β
Pilih gauge pada [0,1] πΏ π‘
max β‘ {π,π } π,π =1
1 = 2π+1 , π‘ = ππ β π΅ 1 ,π‘ β πΆ
Diberikan sebarang π > 0 . Berdasarkan Akibat Archimedes (Manuharawati, 2013: 44) terdapat π β β 1 sehingga < π maka pilih partisi πΏ -fine π«π =
Jika π‘π β π π maka dibentuk π = (π‘π + π π ) sehingga 2 π1 = πΌππ β© [π, π], minβ‘ {π‘π , π π } , πΌππ β© [π, π], maxβ‘ {π‘π , π π }
1
πΏ π ,π + πΏ π
sehingga π«3 merupakan partisi tag
2
π«3 =
.
Definisi2.2 Fungsi π: π, π β β dikatakan terintegral π»1 pada [π, π] jika ada πΏ β β dan terdapat gauge πΏ(π‘) pada [π, π] sedemikian hingga untuk setiap π > 0 terdapat partisi tag πΏ-fineπ«π sehingga π π«; π β πΏ < π untuk setiap partisi tag πΏ-fineπ« β π«π . πΏ disebut nilai integral π»1 fungsi π pada selang [π, π] dan ditulis dengan lambang :
. Karena πΌππ = π₯πβ1 , π₯π β© π¦π β1 , π¦π dan untuk setiap tag π‘π , π π β πΌππ maka π«3 β π«1 dan π«3 β π«2 . Berdasarkan kasus 1-3 terlihat bahwa π«3 adalah partisi πΏ -fine.
pilih
Untuk
πΏ-fine
.
π«3 =
πΏ -fine.
tag
πΏπ = π β
π sedemikian hingga π =1 πΏπ π = πΌππ . Misal πΏπ adalah interval tertutup dan πΏπ β πΏπ . Pilih
π4 =
ini
π,π =1
. Karena πΌππ = π₯πβ1 , π₯π β© π¦π β1 , π¦π dan untuk setiap tag π‘π , π π β πΌππ maka π«3 β π«1 dan π«3 β π«2 . Berdasarkan kasus 1-3 terlihat bahwa π«3 adalah partisi
diberikan
β© πΌππ .
kasus
max β‘ {π,π }
πΏπ π , ππ
4 π=1 ππ
Kasus 4 yaitu ketika π‘π β πΌππ , π π β πΌππ
2
β© πΌππ . Pilih ππ , 1 β€ π < π sedemikian hingga
π π=1 πΏπ π
πΏπ β πΏπ . Pilih π4 =
Dibentuk π3 =
1
πΏ π
Kasus 2 yaitu ketika π‘π β πΌππ , π π β πΌππ .
max β‘ {π,π }
.
2
1
π,π =1
π,π =1
π,π =1
1
max β‘ {π,π }
πΌππ , π‘π
max β‘ {π,π }
Untuk setiap π β πΌππ diberikan πΏπ = π β πΏ π , π +
Kasus 3 yaitu ketika π‘π β πΌππ , π π β πΌππ .
tag
πΌππ , π π
π,π =1
πΌππ β© [π, π], minβ‘{π‘π , π π } , πΌππ β©
max β‘ {π,π }
.
Kasus 4 yaitu ketika π‘π β πΌππ , π π β πΌππ
2
[π, π], maxβ‘{π‘π , π π }
π,π =1
max β‘ {π,π }
Jika π‘π β π π maka dibentuk π = (π‘π + π π ) sehingga π1 =
max β‘ {π,π }
Kasus 3 yaitu ketika π‘π β πΌππ , π π β πΌππ .
πΌππ β β
danπΌππ = π₯πβ1 , π₯π β© π¦π β1 , π¦π . Jika terdapat irisan yang sama maka hanya ditulis satu kali. Kasus 1 yaitu ketika π‘π , π π β πΌππ . ο·
πΌππ , π‘π
max β‘ {π,π }
0,
π,π =1
Kasus 2 yaitu ketika π‘π β πΌππ , π π β πΌππ .
131
1 π
π
, π‘1 ,
0,
2 π
, π‘2 , β¦ ,
πβ1 π
, 1 , π‘π
dengan
2014
MATHunesa (Volume 3 No 3) π‘π β πΆ, π = 1,2, β¦ , π dan π«π < π sehingga untuk setiap partisi tag πΏ-fineπ« dengan π« β π«π berlaku
2.2 SIFAT-SIFAT INTEGRAL π―π Pada subbab ini akan dijelaskan tentang sifat-sifat dari fungsi terintegral π»1 .
π
π π‘π π₯π β π₯πβ1 π=1 π
=
Teorema 2.5 a. Jika π β π»1 π, π dan π β βmaka ππ β π»1 [π, π] dan
π
π π‘π π₯π β π₯πβ1
+
π=1
π π‘π π₯π β π₯πβ1
π
(π»1 )
π=1
π
π‘π rasionalπ‘π irrasional
β€
β
π₯π β π₯πβ1 < π=1
β
2 π«π πΏ(ππ ) = π=1
π=1
b. π =π 2π π
Teorema 2.3 Jika π β π»1 [π, π] maka nilai integralnya tunggal.
2
2
Pilih gauge πΏ π‘ = min πΏ β² π‘ , πΏ β²β² π‘ , βπ‘ β [π, π] . Berdasarkan Teorema 2.2 maka dapat dilih partisi tag πΏfineπ«π sedemikian hingga π«π β π«πβ² dan π«π β π«πβ²β² sehingga 2
b.
2
π
0 ππ₯ = 0 = 0 π
π»1
π ππ₯ . π
π
ππ π₯ ππ₯ = π π
π»1
π π₯ ππ₯ . π
Diberikan πΏβ² dan πΏβ²β² berturut-turut nilai integral π dan π pada [π, π]. Karena π β π»1 π, π maka terdapat gauge πΏβ²(π‘) sehingga jika diberikan π > 0 terdapat partisi tag πΏβ² -fine π«π β² sedemikian hingga untuk setiap 2
π
β β«π π ππ₯ =
2
π β β«π
Bukti : Misal πΏ = π ππ₯ . Diberikan π β β, π > 0 . Karena π β β[π, π] dengan nilai integral πΏmaka terdapat πΏπ sehinga jika π« adalah partisi tag dari [π, π] dengan π« < πΏπ maka π π« ; π β πΏ < π .Pilih gauge πΏ π‘ = 2
π
π ππ₯. π
partisi tag πΏβ²-fineπ« β π«π β² berlaku 2 π π π« ; π β πΏβ² < . 2 Demikian pula, karena π β π»1 π, π maka terdapat gauge πΏβ²β²(π‘) sehingga jika diberikan π > 0 terdapat partisi tag πΏβ²β² -fine π«π β²β²
π»1 β«π π ππ₯ .
1
π»1
π
π
π ππ₯ + (π»1 )
π
Teorema 2.4 π
Bukti: a. Untuk π = 0
(π»1 )
untuk setiap partisi tagπΏ-fineπ« β π«π diperoleh πΏβ² β πΏβ²β² = |πΏβ² β π π« ; π + π π« ; π β πΏβ²β²| π π β€ πΏβ² β π π« ; π + π π« ; π β πΏβ²β² < + = π 2 2 Berdasarkan Akibat 1.2 (Manuharawati, 2013: 22) maka πΏβ² = πΏβ²β². β
Jika π β β[π, π] maka π β π»1 [π, π] dan
π
π
π + π ππ₯ = (π»1 )
π
hingga untuk setiap partisi tagπΏβ²-fineπ« β π«π berlaku π π π« ; π β πΏβ² < . 2 Terdapat gauge πΏβ²β²(π‘) sehingga jika diberikan π β β, π > 0 terdapat partisi tag πΏβ²β² fineπ«π sedemikian hingga untuk setiap partisi tagπΏβ²π fineπ« β π«πβ²β² berlaku π π« ; π β πΏβ²β² < . 2
π
Untuk π β 0 . Misal πΏ = (π»1 ) β«π π ππ₯ . Karena π β π»1 π, π maka terdapat gauge πΏ(π‘) pada [π, π] sehingga jika diberikan π > 0 terdapat partisi tag πΏfineπ«π β² sedemikian hingga untuk setiap partisi tag πΏfineπ« β π«π β² berlaku π π π« ; π β πΏβ² < |π| sehingga untuk setiap partisi tag πΏ-fineπ« β π«β²π diperoleh π π« ; ππ β πΏ = ππ π« ; π β ππΏβ² π = π π π« ; π β πΏβ² < π =π |π| Akibatnya terbukti bahwa ππ β π»1 [π, π] dan
Bukti : MisalkanπΏβ² dan πΏβ²β² adalah nilai integral dari π pada [π, π]. Berdasarkan definisi 2.2 diperoleh i. Terdapat gauge πΏβ²(π‘) sehingga jika diberikan π β β, π > 0 terdapat partisi tagπΏβ²-fineπ«πβ² sedemikian
ii.
π ππ₯. π
Jika π, π β π»1 [π, π] maka π + π β π»1 π, π dan (π»1 )
Jadi π terintegral π»1 pada [0,1] dengan π»1 β«π π ππ₯ = 0.
π
π
ππ ππ₯ = π (π»1 )
, βπ‘ β [π, π].Pilih partisi tag πΏ-fineπ«π dengan π«π < πΏπ .
Jika π« adalah partisi tag πΏ -fineπ« β π«π maka π« β€ 2πΏ π‘ π«π = π«π < πΏπ sehingga diperoleh π π« ; π β πΏ < π. β
sedemikian hingga untuk setiap partisi tag πΏβ²β²fine π« β π«π β²β² berlaku 2 π π π« ; π β πΏβ²β² < . 2 Pilih πΏ(π‘) = min πΏβ²(π‘), πΏβ²β²(π‘) , βπ‘ β [π, π] . Diberikan sebarang π > 0, berdasarkan Teorema 2.2 maka dapat dipilih partisi tag πΏ -fineπ«π sedemikian hinggaπ«π β π«π β²dan π«π β π«π β²β² 2
2
Untuk setiap partisi tag πΏ-fine π« β π«π diperoleh π π« ; π + π β (πΏβ² + πΏβ²β²) = π π« ; π + π π« ; π β (πΏβ² + πΏβ²β²) β€ π π« ; π β πΏβ² + π π« ; π β πΏβ²β² < π. β
132
2014
MATHunesa (Volume 3 No 3)
[π, π] β untuk setiap π > 0 terdapat partisi tag πΏ-fine π«π sedemikian hingga untuk setiap partisi tag πΏ-fineπ« , π¬ β π«π berlaku
Teorema 2.6 Diberikan fungsi π: π, π β β dan π β [π, π] . Jika π β π»1 [π, π] dan π β π»1 [π, π] maka π β π»1 [π, π] sedemikian hingga π
π
π ππ₯ = π
π π« ; π β π π¬; π
Misalkan terdapat gauge π(π‘) pada [π, π] . Diberikan sebarang π β β, π > 0 maka terdapat π«β²π sehingga
π
π ππ₯ + π
< π.
π ππ₯ .
2
π
diberikan sebarang partisi tag π -fine π« β π«β²π , π¬ β π«β²π 2
Bukti : Diberikan πΏβ² dan πΏβ²β² berturut-turut nilai integral π pada [π, π] dan [π, π]. Karena π β π»1 π, π maka terdapat gaugeπΏβ²(π‘) sehingga jika diberikan π > 0 terdapat partisi β² tag πΏ -fine π«π = ( π₯π , π¦π , π‘π ) ππ=1 sedemikian hingga
2
maka π
π
2
2
π π« ; π β πΏ < dan π π¬ ; π β πΏ < . Karena π terintegral π»1 pada [π, π] maka dipilih gaugeπΏ π‘ = π π‘ , βπ‘ β [π, π]dan pilih partisi tag πΏ-fine π«π = π«β²π sedemikian hingga jika diberikan sebarang
2
untuk setiap partisi tag πΏβ²-fineπ« β π«π β² berlaku 2 π π π« ; π β πΏβ² < . 2 Demikian pula, karena π β π»1 π, π maka terdapat gaugeπΏβ²β²(π‘) sehingga jika diberikan π > 0 terdapat partisi tag πΏβ²β²-fineπ«π β²β² sedemikian hingga untuk setiap partisi tag
2
partisi tag πΏ-fineπ« β π«π , π¬ β π«π maka π π« ; π β π π¬; π
= π π« ; π β πΏ + πΏ β π π¬; π
2
πΏ-fine π« β π«π β²β² berlaku
β€ π π« ; π β πΏ| + |πΏ β π π¬ ; π π π < + = π. 2 2 βΈ Terdapat gaugeπΏ(π‘) pada [π, π]. Diberikanπ β β. Karena π > 0 maka terdapat partisi tag πΏ -fineπ«π sedemikian hingga untuk setiap partisi tag πΏ fineπ« β π«π , π¬ β π«π berlaku 1 π π« ; π β π π¬; π < π Asumsikan π«π adalah barisan monoton naik. Diberikan π β β, π > 0, berdasarkan Teorema 2.2 maka terdapat 1 π π0 β β sehingga < . Untuk π > π β₯ π0 diperoleh
2
π π π« ; π β πΏβ²β² < . 2 Didefinisikan gauge pada [π, π] 1 min πΏ β² π‘ , π β π₯ , ππππ π₯ β [π, π) 2 πΏ π‘ = min(πΏ β² π , πΏβ²β²(π)) , ππππ π₯ = π 1 min{πΏ β²β² π‘ , (π₯ β π)} , ππππ π₯ β (π, π] 2 Misalkan π«π adalah partisi πΏ -fine dari [π, π] dengan tag kurang dari π dan π«π adalah partisi πΏ -fine dari [π, π] dengan tag lebih dari π dengan π«π β π«π β² dan π«π β π«π β²β². 2
π0
2
Pilih π«π = π«π βͺ π₯π β1 , π‘πβ1 , π‘πβ1 βͺ π‘πβ1 , π , π βͺ π, π 1 , π βͺ π 1 , π’2 , π 1 βͺ π«π . Jika π«1 = π«π βͺ π₯πβ1 , π‘πβ1 , π‘π β1 βͺ π‘πβ1 , π , π dan π«2 = π, π 1 , π βͺ π 1 , π’2 , π 1 βͺ π«π maka π«1 adalah partisi πΏβ²-fine dari [π, π] dan π«2 adalah partisi πΏβ²β²-fine dari [π, π]. Untuk setiap partisi πΏ-fine π« = π«π βͺ π«π β π«π diperoleh π π« ; π = π π«1 ; π + π π«2 ; π dan π π« ; π β πΏβ² + πΏβ²β² β€ π π«1 ; π β πΏβ² + π π«2 ; π β π π πΏβ²β² < + = π. β 2
π π«π ; π β π π«π ; π
<
1 π0
π
< .......(3.1) 2
Sehingga π π«π ; π adalah barisan Cauchy berdasarkan Teorema 2.4 maka ada πΏ β β sehingga πππ π π«π ; π πΏ dan pilih π β β sehingga
1
=
π
< dan 2 π π π«π ; π β πΏ < 2 π
untuk setiap π β₯ π. Diberikan π«π partisi tag πΏ-fine dengan π«π β π«π diperoleh π π«π ; π β πΏ β€ π π«π ; π β π π«π ; π + π π«π ; π β πΏ < π. β
2
Teorema 2.7 (Kriteria Cauchy) Fungsi π: π, π β β terintegral π»1 pada [π, π] jika dan hanya jika terdapat gaugeπΏ(π‘) pada [π, π] sehingga untuk setiap π > 0 terdapat partisi tag πΏ -fine π«π sedemikian hingga jika π« dan π¬ adalah partisi tag πΏ -fine π« β π«π , π¬ β π«π berlaku π π« ; π β π π¬; π
2
π«π β π«π 0 , π«π β π«π 0 dan
Teorema 2.8 Diberikan fungsi π: π, π β β dan [π, π] β [π, π] . Jika π β π»1 [π, π] maka π β π»1 [π, π]. Bukti : Fungsi π terintegral π»1 pada [π, π] sehingga berdasarkan Teorema 2.6 maka terdapat gauge πΏ pada [π, π] sehingga jika diberikan sebarang π β β, π > 0 terdapat partisi tag πΏ-fineπ«π sedemikian hingga jika π« dan π¬ adalah partisi tag πΏ-fine π« β π«π , π¬ β π«π berlaku π π« ; π β π π¬ ; π < π.
< π.
Bukti: βΉ Fungsi π terintegral π»1 pada [π, π] dengan nilai integral πΏ . Akan dibuktikan terdapat gauge πΏ(π‘) pada
133
2014
MATHunesa (Volume 3 No 3) Berdasarkan Teorema 2.5 maka terdapat partisi tag πΏ-fine dari [π, π] dan [π, π] . Misalkan π«π dan π«π berturutberturut adalah partisi tag πΏ -fine dari [π, π] dan [π, π] dengan π«π β π«π , π«π β π«π . Diberikan π«1 β π«π dan π«2 β π«π adalah partisi tag πΏ-fine dari [π, π]. Jika π« = π«π βͺ π«π βͺ π«1 dan π¬ = π«π βͺ π«π βͺ π«2 maka π« β π«π , π¬ β π«π sehingga π π«1 ; π β π π«2 ; π
π π‘π
π₯π β π₯πβ1 <
πββ πβ π»π
π π₯π β π₯πβ1 πββ πβ π»π
<
π πββ
2π πββ
π₯π β π₯πβ1 πβ π»π
π = π. π2π +1 π
Jadi π terintegral π»1 pada [π, π] dan (π»1 ) β«π πππ₯ = 0.β Teorema 2.10 Jika π, π β π»1 [π, π] dan jika π π₯ = π(π₯) hampir π dimana-mana pada [π, π] maka (π»1 ) β«π πππ₯ =
= π π«1 ; π + π π«π ; π + π π«π ; π β π π«2 ; π β π π«π ; π β π π«π ; π
π
(π»1 ) β«π πππ₯ .
= π π«1 ; π + π π«π ; π + π π«π ; π β π π«2 ; π + π π«π ; π + π π«π ; π = π π« ; π β π π¬; π
< π.
Bukti : Diberikan π, π β π»1 [π, π] dan π = π hampir dimanamana pada [π, π]maka berdasarkan Teorema 2.9 maka π π β π β π»1 [π, π] dan (π»1 ) β«π (π β π)ππ₯ = 0 . Berdasarkan Teorema 3.4 maka fungsi π = π + (π β π) π terintegral π»1 pada [π, π] dan π»1 β«π πππ₯ =
β
Teorema 2.9 Diberikan π: π, π β β. Jika π(π₯) = 0 hampir dimanamana pada [π, π] maka π(π₯) terintegral π»1 pada [π, π] π dan (π»1 ) β«π πππ₯ = 0.
π
π
π
π»1 β«π πππ₯ + (π»1 ) β«π π β π ππ₯ = (π»1 ) β«π πππ₯.
Teorema 2.11 Diberikan π: π, π β β terintegral π»1 maka ada πΏ β β dan terdapat gaugeπΏ(π‘) pada [π, π] sehingga untuk setiap π > 0 terdapat partisi tag πΏ-fineπ«π berlaku π π«β²; π β πΏ < π untuk setiap partisi tag πΏ-fineπ«β² β π«π . Jika π¬π = { π₯πβ1 , π₯π , π‘π }ππ=1 adalah partisi tag πΏ -fine sehingga untuk setiap partisi tag πΏ -fineπ¬ β π¬π berlaku π π π¬ ; π β πΏ < maka
Bukti : π = 0 hampir dimana-mana pada [π, π] maka berdasarkan definisi 2.16 terdapat π» β [π, π] dan π π₯ = 0, βπ₯ β π, π β π». Misal π» = π₯ β π, π : π π₯ β 0 dan untuk setiap π β βπ»π = {π₯ β π»: π β 1 < π π₯ β€ π } maka π» = πββ π»π dan πβ π»π = 0, βπ β β . Diberikan π β β, π > 0 karena πβ π»π = 0 berdasarkan definisi 2.15 maka terdapat koleksi terbilang interval-interval buka {πΌππ : π β β} sehingga π»π β πββ πΌππ dan π π πββ π(πΌπ ) < π2 π +2 . Untuk setiap π₯ β π»π pilih interval terbuka πΌπ₯ β {πΌππ : π β β} sehingga π₯ β πΌπ₯ . Didefinisikan gauge pada π, π 1, π₯ β π, π β π» 1 πΏ π₯ = , π₯ β π»π π2π+2 Dan pilih partisi πΏ-fineπ«π dengan π«π < π. Diberikan partisi π« = {( π₯πβ1 , π₯π , π‘π )}π dengan π=1 , π« β π«π . Misal π΄π = {π: π‘π β π»π } dan π΄ = {π: π‘π β π»}. Himpunan { π₯πβ1 , π₯π , π‘π : π β π»π } adalah koleksi interval-interval non-overlapping dan karena untuk setiap interval π₯πβ1 , π₯π panjangnya kurang dari π(πΌπ‘ π ) sehingga π . πβπ»π (π₯πβ1 β π₯π ) < πββ 2π πΌπ = πββ 2πΏ π«π Diperoleh
π
2
π π‘π π’π β π’πβ1 β ππ
<
untuk setiap partisi tag πΏ -fine π« = { π’πβ1 , π’π , π‘π }ππ=1 β π¬ dari [π, π] dengan ππ adalah nilai integral pada selang [π’πβ1 , π’π ]. Bukti : Diberikan π > 0 dan partisi tag πΏ βfine π¬ β π¬π . Misal π« β π¬ dengan π« = { π£πβ1 , π£π , π‘π }ππ=1 maka π π=1 π£πβ1 , π£π β [π, π] . Pilih interval-interval nonoverlapping π₯1 , π¦1 , π₯2 , π¦2 , β¦ , [π₯π , π¦π ] sehingga π π π, π β π=1( π£πβ1 , π£π ) = π =1[π₯π , π¦π ] . Untuk setiap π β {1,2, β¦ , π} berdasarkan Teorema 2.8 maka π β π»1 [π₯π , π¦π ]. Karena π β π»1 [π₯π , π¦π ] maka ada ππ β β dan terdapat gauge πΏπ (π‘) pada [π, π] sehingga untuk setiap π > 0 terdapat partisi tag πΏπ -fine π¬ π π sedemikian ππ <
π(π‘π )(π₯π β π₯πβ1 ) π π‘π
π
2π
π π
berlaku π π«π ; π β
.
Pilih gaugeπΎ(π‘) = min{πΏ(π‘), πΏπ π‘ }. Pilih partisi tag πΎπ fine π« π dari [π, π] sehingga π=1 π¬ π π β π« π . Pilih
πββ πβ π»π
β€
<π
π=0
hingga untuk setiap π«π β π¬ π π« ;π
β
π₯π β π₯πβ1
partisi tag πΎ-fine π«β² π« π.
πββ πβ π»π
134
π
sehingga π«β²
π
β π¬π dan π«β²
π
β
MATHunesa (Volume 3 No 3) Misal π¬π partisi tag πΎ -fine dari [π₯π , π¦π ] dengan π¬π β π π«β² π . Jika π¬ = π« π =1 π¬π maka π¬ merupakan partisi tag πΏ-fine dari [π, π] dan π¬ β π¬π sehingga π π π¬ ; π = π π« ; π + π=1 π π¬π ; π dan πΏ= π π π=1 ππ + π=1 ππ diperoleh
π«π <
π‘π β [π₯πβ1 , π₯π ] β π‘π β πΏπ , π‘ + πΏπ untuk π = 1,2, β¦ , π. Akibatnya diperoleh πΉ π β πΉ π β π(π« ; π) π
π π‘π π’π β π’πβ1 β ππ π=0
β€
π
π π¬; π β
β€ π π¬; π β πΏ + π.β
π π=1
π π¬π ; π
β€
πΉ π₯π β πΉ π₯πβ1 β π π‘π π₯π β π₯πβ1 π=1
π
ππ
β€
π=1
π π¬π ; π β ππ
π
π
2
2
π=1
< + =
1 π π₯π β π₯πβ1 < π π β π . 2
Untuk πΈ β β
. Misal πΈ = {π1 , π2 , β¦ } . Asumsikan π ππ = 0, βπ β {1,2, β¦ }. Diberikan π β β, π > 0 dan π‘ β π, π β πΈ . Karena πΉ terdeferensial di π‘ β π, π β πΈ maka terdapat πΏπ > 0 sehingga jika π’, π£ β π, π β πΈ yang memenuhi π‘ β πΏπ β€ π’ β€ π‘ β€ π£ β€ π‘ + πΏπ maka 1 πΉ π£ βπΉ π’ βπ π‘ π£βπ’ β€ π π£βπ’ . 2 Berdasarkan kekontinuan fungsi πΉ di ππ maka terdapat π πΏπ (ππ ) sedemikian hingga πΉ π§ β πΉ(ππ ) β€ π+2 untuk 2 setiap π§ β [π, π] yang memenuhi π§ β ππ β€ πΏπ (ππ ). 1 ,π‘ β πΈ 2 π+2 Pilih gaugeπΏ π‘ = dan pilih partisi πΏ1, π‘ β π, π β πΈ fine π«π dengan 2πΏ π‘ π«π = πΏπ . Diberikan π« = ( π₯πβ1 , π₯π , π‘π ) β π«π adalah partisi tag πΏ -fine dengan π« β π«π . Jika π‘π β πΈ maka seperti pada kasus πΈ = β
. Jika ππ β πΈ adalah tag dari [π₯πβ1 , π₯π ] maka
Definisi 2.3 Diberikan fungsi πΉ, π: π, π β β . πΉ dikatakan fungsi primitif dari π pada [π, π] jika πΉβ²(π₯) ada dan πΉ β² π₯ = π(π₯) untuk setiap π₯ β [π, π]. [9] Teorema 2.12 (Teorema Fundamental Kalkulus) Misalkan πΈ himpunan countable dalam [π, π] dan fungsi π, πΉ: π, π β β yang memenuhi: a. F kontinu pada [π, π] b. πΉ β² π₯ = π(π₯) untuk semua π₯ β π, π β πΈ π maka π terintegral π»1 pada [π, π] dan (π»1 ) β«π πππ₯ = πΉ π β πΉ(π). Bukti: Kasus πΈ = β
. Diketahui πΉ kontinu pada [π, π] dan πΉ β² π₯ = π(π₯) untuk semua π₯ β [π, π] .. Misalkan π‘ β [π, π] , karena πΉ β² π₯ = π(π₯) ada maka terdapat πΏπ > 0 sedemikian hingga jika π§ β [π, π] memenuhi 0 < π§ β π‘ < πΏπ , maka πΉ π§ β πΉ(π‘) π β π(π‘) < π§βπ‘ 2
πΉ π₯π β πΉ π₯πβ1 β π ππ π₯π β π₯πβ1 β€ πΉ π₯π β πΉ ππ
1
Jadi πΉ π§ β πΉ π‘ β π π‘ π§ β π‘ < π|π§ β π‘| dimana 2 π§ β π‘ β πΏπ , π‘ + πΏπ β© [π, π] . Diberikan π’, π£ β [π, π] dengan π’ < π£ yang memenuhi π‘ β [π’, π£] β π‘ β πΏπ , π‘ + πΏπ . Jika π£ β π‘ β₯ 0 dan π‘ β π’ β₯ 0 maka
β€
π 2 π+2
+
π 2 π+2
+ πΉ ππ β πΉ π₯πβ1 + π ππ π₯π β π₯πβ1
+0=
π 2 π+1
.
β
2.3 KETERKAITAN INTEGRALπ―π DAN INTEGRAL HENSTOCK
πΉ π£ βπΉ π’ βπ π‘ π£βπ’
Teorema 2.13 π Jika π β π»1 [π, π] maka π β ββ [π, π] dan π»1 β«π πππ₯ =
β€ πΉ π£ βπΉ π‘ βπ π‘ π£βπ‘ + πΉ π‘ βπΉ π’ βπ π‘ π‘βπ’ β€
πΉ π₯π β πΉ π₯πβ1 β π π‘π π₯π β π₯πβ1 π=1 π
π=1
π
β πΏβ
sehingga untuk setiap partisi πΏ -fine
π« = ( π₯πβ1 , π₯π , π‘π ) β π«π diperoleh
π
=
πΏπ 2 πβπ
2014
π
ββ β«π πππ₯.
1 1 1 π π£βπ‘ + π π‘βπ’ = π π£βπ’ . 2 2 2
π
Bukti : Misal πΏ = π»1 β«π πππ₯ . Karena π: π, π β β terintegral π»1 pada [π, π] maka terdapat gauge πΏ(π‘) pada π, π β jika diberikanπ β β, π > 0 terdapat partisi tag πΏ-fine π«π ,diberikan sebarang partisi tag πΏ-fineπ« β π«π berlaku π π«; π β πΏ < π Pilih gauge ππ = min πΏ π‘ , πΏ(π‘) π«π , π‘ β [π, π] maka π(π‘)gauge pada [π, π].
Jadi, jika π‘ β [π’, π£] β π‘ β πΏπ , π‘ + πΏπ maka 1 πΉ π£ βπΉ π’ βπ π‘ π£βπ’ β€ π π£βπ’ . 2 Akan ditunjukkan bahwa π terintegral π»1 pada [π, π] dan π (π»1 ) β«π πππ₯ = πΉ π β πΉ(π) . Pilih gauge πΏ π‘ = π β π, βπ‘ β π, π dan pilih partisi tag πΏ -fine π«π dengan 135
MATHunesa (Volume 3 No 3) Diberikan sebarang partisi tag π -fine π« maka π« merupakan partisi tag πΏ -fine. Asumsikan untuk setiap partisi tag π -fine π« β π«π sehingga berlaku π π«; π β πΏ < π Terbukti bahwa π terintegral Henstock pada π, π . β
2014
Bartle, Robert G. 2001. A Modern Theory of Integral. United State of America: Amer. Math. Society. Providence.
3. PENUTUP Simpulan 1. Jika suatu fungsi terintegral Riemann pada [π, π] maka fungsi tersebut juga terintegral π»1 pada [π, π] dan nilai integralnya sama tapi tidak berlaku sebaliknya. 2. Sifat-sifat yang berlaku pada integral π»1 adalah sifat perkalian skalar, sifat kelinearan, kriteria Cauchy, sifat additif, dan Teorema Fundamental Kalkulus. 3. Jika suatu fungsi terintegral π»1 pada [π, π] maka fungsi tersebut juga terintegral Henstock pada [π, π] dan nilai integralnya sama. Saran Dalam skripsi ini dibahas tentang sifat-sifat integral π»1 dan keterkaitannya dengan integral Henstock. Pada Teorema 3.13, jika suatu fungsi terintegral π»1 pada [π, π] maka fungsi tersebut juga terintegral Henstock pada [π, π] dan nilai integralnya sama, tetapi dalam skripsi ini belum dibahas apakah jika suatu fungsi terintegral π»1 pada [π, π] maka terintegral Henstock pada [π, π]. Oleh karena itu, penulis memberikan saran kepada pembaca yang tertarik pada permasalahan ini untuk mempelajari lebih lanjut tentang keterkaitan integral π»1 dan integral Henstock. DAFTAR PUSTAKA Bartle, R. G. dan Donald R. Sherbert. 2000. Introduction To real Analysis. Third Edition. United State of America: John Wiley and Sons Inc. Manuharawati. 2013. Analisis Real 1. Sidoarjo: Zifatama Publisher. Beardon, Alan. 1997. A Limit Approach to Real Analysis. New York: Springer. Regina, S. B. dan Iusem A. Set-Valued Mappings and Enlargements of Monotone Operators. New York: Springer. J. L. Garces, P. Y. Lee and D. Zhao. 1999. βMooreβ Smith limits and the Henstock integralβ. Real Analysis Exchange. Vol. 24(1): pp 447-456. Gupta. (1986). Lebesgue Measure and Integration. New Delhi: Willey Eastern Limited. Lebl, JiΛrΓ. Basic Analysis. California: University of Pittsburgh Royden, H. L. dan P. M. Fitzpatrick. 2010. Real Analysis. China: Pearson Education Inc.
136