MATHunesa (Volume 3 No 3)
2014
SOLUSI SISTEM NONLINIER LIBRASIKESETIMBANGANBUMI β SATELIT
Minggir Agus Saputra Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya Email:
[email protected]
Dr.Yusuf Fuad, M.App.Sc. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya Email:
[email protected]
Abstrak Artikel ini mengkaji persamaan dinamik yang menggambarkan sistemnonlinier librasi BumiSatelit. Untuk memperoleh solusi analitik dari persamaan nonlinier, kita mengambil sebuah skema dengan menambahkan berturut-turut tingkat nonlinier persamaan diterapkan. Kita tentukan nilai parameter true anomaly of satellite yang sama pada solusi analitik persamaan nonlinier. Kita simulasikan respon linier dan respon nonlinier dari solusi analitik. Kita simpulkan model persamaan nonlinier control perilaku pitch librasibumi- satelit dan posisi orbit satelit pada saat control perilaku pitch librasibumisatelit. Kata kunci :solusi analitik, nonlinier, bumi-satelit, librasi, simulasi.
Abstract This article studies derive the dynamical equations that characterizes the nonlinear system librations of an earth-satellite. To obtain analytical solution of the resulting nonlinear equation, we adopt a scheme that successively augments the nonlinearity level of the equation by adding nonlinear terms. We determine a parameter value to true anomaly of satellite on analytical solution. We simulate the linear response and nonlinear response of analytical solution. We conclude the modeling of a nonlinear pitch attitudelibration earth-satellite and the satellite orbital position at pitch attitude libration earth-satellite. Keywords :analytical solution, nonlinear, earth-satellite, libration, simulate.
I.
Topik initerinspirasidarisebuahartikel yang berjudulAnalytical Solution to a Highly Nonlinear EarthSatellite Pitch Attitude Libration Equation yang ditulisOsei-Frimpong,Aidoo, dan Amos, (2010).Persamaandiferensial yang menggambarkankontrol perilaku pitch librasi Bumi-Satelitbersifatnonlinier. Persamaannonliniersepertiitubiasanyatidakmudah diselesaikansecaraanalitik.Secarakhusussolusipedekatanata uaproksimasidiperolehdenganlinierisasidisekitartitikkesetim bangan.Sehinggasolusi yang diperolehdengancarainimengakibatkanpergerakansatelitbera dapadalintasan yang ditujukan. Solusianalitik yang diperolehakan diberikan syarat nonlinier agarmenghasilkanresponlinierdanrespon nonlinier. Respon linier merupakan solusi analitik yang tidak memenuhi syarat nonlinier sedangkan respon nonlinier merupakan solusi analitik yang memenuhi syarat nonlinier. Kemudiankeduanyaakan disimulasikan untuk mengetahui keberadaan posisi satelit pada kontrol pitch librasi bumi-satelit.
PENDAHULUAN
Di era globalisasisatelitbanyakdimanfaatkandenganberbagaimaca mtujuan.Bumidansatelitmerupakanduabenda yang bergerak di alamsemesta.Walaupun satelit bumi pada dasarnya dikendalikan oleh gaya gravitasi bumi, ada beberapa kekuatan lain yang juga berpengaruh seperti hambatan atmosfer, tekananradiasi matahari, medan gravitasi bulan, ataugaris edar satelit. Ketika satelit mengorbit sering terjadi peristiwa pitch librasi. Librasi merupakan gangguan kecil yang terjadi pada komponen kontrol perilaku pesawat ruang angkasa dan pitch merupakan salah satu komponen kontrol perilaku pesawat ruang angkasayang merupakanorientasisudutpesawat ruang angkasadengan memperhatikan beberapasumbudi ruang angkasa. Peristiwa pitch librasi yang terjadi antara satelit dan bumi dapat mengakibatkan satelit mengorbit pada posisi yang tidak seharusnya. Oleh karena itu perlu adanya kontrol pitch librasi bumi-satelit.
77
II. DASAR TEORI 2.1 Pengertian Satelit Satelitmerupakanbenda di luarangkasa yang bergerakmengelilingibumiberdasarkan orbit tertentu.Sebuah satelit yang mengorbit bumi tetap berada pada posisinya karena gaya sentripetal pada satelit diimbangi oleh gaya tarikan gravitasi dari bumi. Sebenarnya ada beberapa macam orbit satelit yang dapat digunakan dalam penempatan satelit di ruang angkasa. Berdasarkan jarak suatu satelit di dalam orbit untuk berputar mengelilingi bumi, di dalam pola lingkaran ataupun pola ellips. Kecepatan sudut yang paling besar disebut prograde sedangkan yang tekecil disebut retrograde. Jarak maksimum orbit satelit dengan permukaan bumi disebut dngan apogee, sedangkan jarak minimum dari orbit satelit ke bumi disebut dengan perigee.Ditinjaudariposisiketinggianorbitnyasatelitdap atdigolongkanmenjaditigamacam: (1) Low Earth Orbit (Mengorbit pada ketinggian 5001.500 km dari permukaan bumi) (2) Medium Earth Orbit.(Mengorbit pada Ketinggian 9.000-20.000 km), (3) Geosynchronous Earth orbit.(Mengorbit pada ketinggian Β±360.000 km) 2.2 Persamaan Gerak Satelit Pesamaan gerak satelit terbagi menjadi dua macam yaitu: ο· Geraktanpapengaruhgayagangguan ππ = π β ππ
βπ = 3 π π
ππ = ππ + 2ππ = 0 ο· Gerakdenganpengaruhgayagangguan
(1)
(2)
2.3 Gerak Anguler Pada Satelit Sebuah satelit yang berada di orbit memiliki gerak yang mengacu pada tiga sumbu. Sumbu yang searah dengan arah gerak satelit dalam orbitnya(Sumbu X ), sumbu ke arah bumi (sumbu Z ), dan sumbu yang tegak lurus bidang XZ (sumbu Y ) . Posisi sumbusumbu satelit terhadap bumi direpresentasikan dalam Gambar.2.1.
Gambar2.1Posisi sumbu-sumbu satelit terhadap bumi (Widodo,2004) Gerakangulerkeseluruhanpadaruangdidefinisikanolehp ersamaan Euler. Oleh karena itu satelit diasumsikan sebagai benda tegar. Ketika membahas benda tegar tentu akan melibatkan torsi pada benda putar, momen inersiadan sudut Euler. 1. Torsi pada benda putar (momentum sudut) Dalam gerak rotasi , yang dimaksud momentum sudut adalah momentum linier terhadap sumbu putaran. Momentum sudut dinotasikan dengan πΏ dan ditulis : πΏ = π β π = πππ 2 = ππ 2 π
ππ = π β ππ =
βπ π + π(π, π‘) π3
ππ = ππ + 2ππ = π(π, π‘)
(5)
(3)
(4)
dimana : π = Jarak dari pusat bumi ke satelit π = πΊ π + π β
πΊπ,denganπ << π π = vektor posisi satelit π =Sudut yang dibentukolehsatelitdisembarangtitikdenganarah horizontal permukaanbumi Dalamhalini π(π, π‘) dan π(π, π‘) masing-masing merupakan fungsi gangguan pada arah radial r dantangensial(Siregar, 2007).
Dimana : π = massa partikel kg π = jarak partikel dan sumbu putar π = momentum linier πΏ = momentum sudut π = Kecepatan sudut 2. Momen Inersia Momen inersia adalah ukuran kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatan anguler ketika melakukan rotasi. πΌ = ππ 2 (6) Dimana : πΌ = Momen Inersia πππ2 Hubungan antara momentum sudut dengan momen inersia dapat ditulis sebagai berikut :
MATHunesa (Volume 3 No 3) πΏ = ππ 2 π = πΌπ
2014
(7) 2.4 Dinamik KontrolPerilaku Satelit Misalkan XYZ adalah sistem ortogonal sumbu tangan kanan dengan asal di pusat massa satelit, dan didefinisikan sebagai sumbu satelit. Definisikan unit vektor π’, π£, π€ sepanjang sumbu XYZ berturut-turut. Posisi anguleratausudutpitch dinotasikan dengan π , dengan komponen-komponennya π1 , π2 , π3 . Kecepatan anguler relatif pada sumbu ruang dinotasikan dengan vektor π, ππ₯ , ππ¦ , ππ§ sepanjang sumbu satelit. Seperti yang tampak pada gambar di bawah ini :
3. Sudut Euler Perhatikan Gambar 2.2
Gambar 2.2Sudut-sudut Euler Sudutπ, π da π disebut sudut Euler. Batas sudut Euler seperti terlihat pada gambar di atas adalah : 0β€πβ€π 0 β€ π β€ 2π 0 β€ π β€ 2π Perhatikan gambar 2.3 Gambar 2.4Dinamik sistem gerak satelit (http://www.mat.uniroma2.it/~locatell/school1 astronet2/material/Biggs_lectures.pdf Jika gaya putaran memiliki kecepatan anguler π1 , π2 , π3 relatif padakerangkasatelit, total vektor momentum anguler satelit diberikan sebagai berikut: πT = πΌπ₯ ππ₯ + πΌπ1 π’ + πΌπ¦ ππ¦ + πΌπ2 π£ + πΌπ§ ππ§ + πΌπ3 π€ (9) Dimana : πT = Totalvektor momentum anguler π1 , π2 , π3 = Komponen kecepatan anguler relatif pada kerangkasatelit ππ₯ , ππ¦ , ππ§ = Komponen kecepatan anguler relatif pada sumbu ruang π’, π£, π€ = Unit vektor pada sumbu XYZ Asumsikan semua gaya putar memiliki momen inersia πΌ,oleh karena itu persamaan gerak rotasi satelit adalah :
Gambar 2.3Sistem koordinat suatu benda Pada gambar 2.3 terdapat koordinat tetap OXYZ dan koordinat oxyz dengan πΌ, π½ dan πΎ merupakan cosinus arah, sedangkan kedudukan titik asal koordinat pada benda terhadap koordinat tetap adalah X0 , Y0 , Z0 . Perubahan cosinus sudut Euler dapat dinyatakan dengan persamaan diferensial sebagai berikut : ππ₯ = ππ¦ = ππ§ =
ππ π₯ ππ‘ ππ π¦ ππ‘ ππ π§ ππ‘
= π½1 = πΎ1 = πΌ1
ππΎ1 ππ‘ ππΌ 1 ππ‘ ππ½ 1 ππ‘
+ π½2 + πΎ2 + πΌ2
ππΎ2 ππ‘ ππΌ 2 ππ‘ ππ½ 2 ππ‘
+ π½3
π= =
+ πΎ3 + πΌ3
ππ‘ ππ½ 3
ππ‘
πT
(10)
ππ + π Γ πT
Dimana πadalah resultan torsi eksternal yang bekerja
ππΎ3 ππ‘ ππΌ 3
π
π ππ‘
pada
(8)
satelit,
dan
π ππ‘
ππ menunjukkan
diferensiasi
ππ terhadap sumbu satelit(Ives, 1962).Perilaku gerakan satelit sebagai benda tegar dapat yang dideskripsikan oleh persamaan Euler pada tubuh satelit dalam persamaan (11) (Kaplan, 1976) πΌπ₯ ππ₯ + πΌπ§ β πΌπ¦ ππ¦ ππ§ = πΏπ₯
ππ‘
Dimana : ππ₯ = Kecepatan pada sumbu π₯ . ππ¦ = Kecepatan sudutpada sumbu π¦ ππ§ = Kecepatan sudutpada sumbu π§ 79
πΌπ¦ ππ¦ + πΌπ₯ β πΌπ§ ππ₯ ππ§ = πΏπ¦
(11)
πΌπ§ ππ§ + πΌπ¦ β πΌπ₯ ππ₯ ππ¦ = πΏπ§ 2.5 Orbit Elliptik Sederhana Pada saat gerakan orbit lebih kompleks, kita mulai mendeskripsi orbit eliptik dan menetapkan beberapa variabel-variabel penting. Dengan referensi pada gambar 2.5
komponendariperilakupesawat ruang angkasayang merupakanorientasisudutpesawat ruang angkasadengan memperhatikan beberapasumbudi ruang angkasa disebut pitch.
Gambar 2.6Orbit librasi bumi-bulan(NASA, 2010)
Gambar 2.5bidang orbit pada orbit elliptik Posisi orbit πdi setiap waktu π‘, π adalah massa satelit dan π adalah masa bumi.(Karena bumi berbentuk bola simetri lebih besar massanya memungkinkan menganggap titik massa dengan pusatnya massa di C ), dinyatakan dengan persamaan elips yaitu : π=
π 1βπ 2 1+πππ π
π₯ π‘ =π΄ π‘ π₯ π‘
(15)
Matriktransisisistemdinotasikandengan Ξ¦π΄ π‘, π‘0 , dimana π‘0 adalah waktu ketika inisial variabel state digunakandan π‘ adalah waktu ketika variabel state dijalankan. Berikutpenjabarannya: Ξ¦π΄ π‘ + π, π‘0 = Ξ¦π΄ π‘, π‘0 πΆ
(16)
DimanaπΆ adalah matrik konstanta. Untukmemeriksapersamaanini, cukupmenghitungturunanterhadapwaktuΞ¦π΄ π‘ + π, π‘0 .
(13)
Ξ¦π΄ π‘ + π, π‘0 = Ξ¦π΄ π‘, π‘0 πΆ = π΄ π‘ Ξ¦π΄ π‘, π‘0 πΆ = π΄ π‘ + π Ξ¦π΄ π‘ + π, π‘0 Karena Ξ¦π΄ = π΄ π‘ Ξ¦π΄
(14)
Dimanaadamatrikkonstantaπ
sedemikian hingga πΆ β‘ π π
π (17) DaripersamaanΞ¦π΄ π‘0 , π‘0 = πdan persamaan (16) dapat kita simpulkan : Ξ¦π΄ π‘ + π, π‘0 = π π
π (18) (Rafal, 1996).
Nilai maksimum π ketika cos π = β1 adalah ππ β‘ π 1 + π
Diberikansistem di bawahini :
(12)
Dimana : π = Eksetrisitas orbit , π = Sumbu semi-mayor elips π = the true anomaly (simpangan sebenarnya) diukur dari perigee (titik lintasan) P. (titik paling rendah di orbit dimana m terdekat pada M) lintasan) P. (titik paling rendah di orbit dimana m terdekat pada M) Nilai minimum π ketika π = 0 adalah ππ β‘ π 1 β π
2.7 Teori Floquet Stabilitassistemperiodikharusdipertimbangkandariwaktu kewaktu, sehinggamatrikstransisidihitungdalamsatuperiode, dari π‘0 ke π‘0 + π memiliki peranan penting dalam analisis stabilitas. Yaitu, penempatan nilai eigennya di tempatterbuka disk unit yang menentukanapakahsistemtersebutstabil. (Mohler, 1991)
2.6 Librasi Pada sebuah pesawat ruang angkasa librasi diartikan sebagai gangguan kecil pada komponen perilaku pesawat ruang angkasa. salah satu
MATHunesa (Volume 3 No 3) + ππ§ + ππ€π¦ + ππ₯ ππ¦ β ππ¦ ππ₯
2.8 Sistem Nonlinier Diberikan sistem nonlinier
+ ππ₯ ππ€π¦ β ππ¦ ππ€π₯ π€
π₯ = π΄ π‘ π₯ + π π₯, π‘ , π₯ β βπ
Dimana i, j dan k merupakan vektor unit direksi pada sumbu kerangka badan satelit.
(19)
Dimana π: β β βπ adalah fungsi smooth. Misalkan diberikan masalah nilai awal π₯ = π΄ π‘ π₯ + π π₯, π‘ , π₯ π‘0 = π₯0 (20)
2.10 Linierisasi Persamaan Dinamik Mengingat orbit hampir melingkar, kecepatan sudut satelit diberikan sebagai berikut :
Dan misalkan π‘ β Ξ¦ π‘ yaitu matrik fundamental solusi untuk sistem homogen π₯ = π΄ π‘ π₯ yang didefinisikan di beberapa interval π½0 yang memuat π‘0 . Jika π‘ β Ξ¦ π‘ adalah solusi masalah nilai awal yang didefinisikan di subinterval π½0 , maka π π‘ =π π‘ π +π π‘
π‘ π‘0
π
β1
β1
π β ππ0 ππ₯ ππ¦ = π β π0 ππ§ π β ππ0
π‘0 π₯0
π π π π , π ππ
(21)
ππ₯ π β ππ0 ππ¦ = π ππ§ π β ππ0
(25)
Sudut-sudut Euler π, π, dan π didefinisikan sebagai sudut-sudut rotasi sumbu badan satelit: π, sumbu XB ; π, sumbu YB dan π, sumbu ZB . π0 menyatakan kecepatan anguler orbit satelit. Subtitusikan (24) dan (25) ke dalam persamaan (23), kita peroleh :
2.9 Persamaan Dinamik Persamaan dinamik satelit pada kerangka badan satelit adalah sebagai berikut : π = ππ + ππ = π‘π = π‘ + π Γ π‘
(24)
Sehingga diperoleh turunan pertamanya sebagai berikut :
(Chicone, 1999).
πππ₯ + πππ₯ = πΌπ₯ π + 4π0 2 πΌπ¦ β πΌπ§ π
(22)
+ π0 πΌπ¦ β πΌπ§ β πΌπ₯ π + ππ€π₯
Dimana : π‘ = Momentum satelit dalam kerangka badan satelit. π = Vektor kecepatan anguler kerangka badan satelit dengan terkait pada kerangka inersia. ππ =Momen kontrol ππ =Momen Gangguan Momentum anguler sistem keseluruhan dibagi menjadi dua yaitu momentum anguler benda tegar π‘π = ππ₯ ππ¦ ππ§ T dan π‘π° = ππ€π₯ ππ€π¦ ππ€π§ T yaitu momen exchange device yang dapat ditambahkan pada satelit. Sehingga diperoleh :
βπ0 ππ€π§ β πππ€π¦π β π0 ππ€π¦π β πΌπ₯π¦ π β πΌπ₯π¦ π β πΌπ₯π¦ π0 2 π + 2πΌπ¦π§ π0 π πππ¦ + πππ¦ = πΌπ¦ π + 3π0 2 πΌπ₯ β πΌπ§ π + ππ€π¦ β πΌπ₯π¦ β π β 2π0 π β π0 2 π + πΌπ¦π§ βπ β 2π0 π + π0 2 π
(26)
πππ§ + πππ§ = πΌπ§ π + π0 πΌπ§ + πΌπ₯ β πΌπ¦ π + π0 2 πΌπ¦ β πΌπ₯ π + ππ€π§ + π0 ππ€π₯ +πππ€π¦π β ππ0 ππ€π¦π β πΌπ¦π§ π β πΌπ₯π§ π β 2π0 πΌπ₯π§ π β π0 2 πΌπ₯π§ π Untuk kasus πππ₯ , πππ¦ , dan πππ§ sama dengan nol torsi tidak mengontrol. Diasumsikan juga momentum device tidak ada sehingga ππ€π₯ , ππ€π¦ , dan
π‘ = π‘π + π‘π° Persamaan dinamik menjadi umum setelah membangun perkalian cross product.(Ouhochine dkk, 2004)
πππ₯ = πΌπ₯ π + 4π0 2 πΌπ¦ β πΌπ§ π + π0 πΌπ¦ β πΌπ§ β πΌπ₯ πππ€π§ dihilangkan. Persamaan (55) menjadi : πππ¦ = πΌπ¦ π + 3π0 2 πΌπ₯ β πΌπ§ π (27) πππ§ = πΌπ§ π + π0 2 πΌπ¦ β πΌπ₯ π + π0 πΌπ§ + πΌπ₯ β πΌπ¦ π
T = Tc + Td = ππ₯ + ππ€π₯ + ππ¦ ππ§ β ππ§ ππ¦ + ππ¦ πππ§ β ππ§ ππ€π¦ π’
Didefinisikan
+ ππ¦ + ππ€π¦ + ππ§ ππ₯ β ππ₯ ππ§ + ππ§ ππ€π₯ β ππ₯ ππ€π¦ π£
2014
(23)
ππ₯ =
81
πΌπ¦ βπΌπ§ πΌπ₯
, ππ¦ =
πΌπ₯ βπΌπ§ πΌπ¦
, ππ§ =
πΌπ¦ βπΌπ₯ πΌπ§
(28)
Subtitusikan persamaan (28) ke persamaan (27) menjadi: πππ₯ πΌπ₯ πππ§ πΌπ§ πππ¦ πΌπ¦
= π + 4π0 2 ππ₯ π + π0 1 β ππ₯ π = π + π0 2 ππ§ π + π0 1 β ππ₯ π
4.
5. (29)
= π + 3π0 2 ππ¦ π
Gaya lain seperti radiasi matahari, dan medan elektromagnetik diabaikan seperti pada gaya gravitasi bumi. Karena satelit secara relative tertutup kebumi, gaya gravitasi Matahari diabaikan.
Persamaangerak orbit satelitdiberikansebagaiberikut: π π+ 3π = 0 (30) π
(Ouhochine dkk, 2004). 2.11 Anomaly-History Anomalimerupakanamplitudopadagrafiksuatufungsiper iodik. Oleh karena itu grafik fungsi periodik juga disebut dengan anomaly history. Garis vertikal menunjukkan nilai minimum atau maksimum suatu anomali pada satelit sehingga bila nilai anomali maksimum, orbit satelit akan terganggu sehingga posisi satelit mengorbit tidak pada posisi yang seharusnya,sebaliknya bila nilai anomali minimum satelit akan berada pada posisi orbit yang seharusnya. Hal ini terjadi karena adanya partikel netral yang menyebabkan pergerakan satelit orbit rendah terganggu atau dengan kata lain terjadi atmospheric drag (gaya hambat terhadap gerak satelit). METODE PENELITIAN Penelitian ini merupakan studi literatur, hasil dari literatur dilakukan analisa dan diperoleh sistem untuk merekonstruksi model persamaan nonlinier kontrol perilaku pitch librasi bumi-satelit. Solusi analitiknya kemudian dicari dan diberikan syarat nonlinier untuk menemukan respon linier dan nonliniernya. Untuk merepresentasikan hasil simulasi dipilih beberapa nilai parameter.
DenganmenggunakanHukum Universal Newton gravitasidanmengabaikangerakanawaldariHukum Newton yang disebabkanefekrelativitas, persamaan yang mengaturdiperolehsebagaiberikut : πΌπ₯ ππ₯ + πΌπ§ β πΌπ¦ ππ¦ ππ§ = πΏπ₯ πΌπ¦ ππ¦ + πΌπ₯ β πΌπ§ ππ₯ ππ§ = πΏπ¦ πΌπ§ ππ§ + πΌπ¦ β πΌπ₯ ππ₯ ππ¦ = πΏπ§ Dalamkasus orbit satelit, torsi eksternaldihubungkan dengangravitasisehinggadiperolehpersamaan sebagaiberikut : πΏπ₯ = β πΏπ¦ = β
3π πΌ β πΌπ§ cos 2 π cos π sin π ππ 3 π¦ 3π
ππ 3
πΏπ§ = β
3
4 HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Model persamaan nonlinier control perilaku pitch librasi bumi-satelit Pitch librasi bumi-satelit secara khusus didefinisikan dalam hubungan antara sudut roll, picth dan yaw. Untuk memperoleh model matematika persamaan nonlinier puncak kontrol sikap keseimbangan bumi-satelit kita harus melakukan langkah-langkah sebagai berikut ini. Pertama kita membuat asumsi sebagai berikut : 1. Bumimerupakan bola simetris, kepadatan berat jenis dan titik massanya diabaikan. 2. Satelit mengorbit cukup tinggi diatas bumi sehingga gaya tarik diabaikan. 3. Tidak ada perubahan digaris edar, sehingga gaya dorong diabaikan.
(31)
πΌπ₯ β πΌπ§ sin π cos π cos π
(32)
3π πΌ β πΌπ₯ sin π cos π sin π ππ 3 π¦
subtitusikan (32) ke (31), πΌπ₯ ππ₯ + πΌπ§ β πΌπ¦ ππ¦ ππ§ = β
3π ππ 3
πΌπ¦ β πΌπ§ cos 2 π cos π sin π πΌπ¦ ππ¦ + πΌπ₯ β πΌπ§ ππ₯ ππ§ =
β
3π ππ 3
πΌπ₯ β πΌπ§ sin π cos π cos π
(33)
πΌπ§ ππ§ + πΌπ¦ β πΌπ₯ ππ₯ ππ¦ = 3π β 3 πΌπ¦ β πΌπ₯ sin π cos π sin π ππ BerdasarkansudutEuler satelit, persamaandinamismenjadi : πΌπ₯ π β πΌπ₯ π0 sin π β π0 πΌπ§ β πΌπ¦ + πΌπ₯ β πΌπ§ β πΌπ¦ πΌπ¦ π +
3π ππ 3
π0 2 +
3π ππ 3
sin π = 0
πΌπ₯ β πΌπ§ sin 2π = πΌπ¦ π0
(34)
πΌπ§ π + πΌπ§ π0 + π πΌπ§ β πΌπ¦ β πΌπ₯ π 2
βπ0 πΌπ₯ β πΌπ¦ sin π = 0 Persamaankeduadalamsistem (34) menunjukkangerakanpitchterpisah.Inidapatdisederhanaka nmenjadisebagaiberikut: π+
3π πΌπ₯ βπΌπ§ ππ 3 πΌπ¦
sin 2π = π0
(35)
2014
MATHunesa (Volume 3 No 3) Dengan menyatakan radius ππ disyarateksentrisitasorbit,radius di periapsis ππ dantrue anomaly of the satellite(penyimpangan orbit yang sebenarnya) π diperoleh: ππ (1+π)
ππ =
ππ₯ 2 ππ
Karena π π 1 + π cos π = 3 ππ πππ 3 1+π Dimanaππ 2 =
π
ππ 3
3
= ππ 2
1 + π cos π 1+π
π
=
3
3 2
3
= β2ππ 2 π sin π
1+π
,
1+π cos π 3
(37)
1+π
π βΆ Rasio inersia, denganπ =
πΌπ₯ βπΌπ§ πΌπ¦
4.2 Solusi Analitik Kita misalkan
π₯ π = Ξ¦ π π₯0 + Ξ¦ π π₯1 = π
(38)
π₯1 = π = π₯2
(39)
ππ2
ππ‘
=
1+π cos π 3
2
1+π
ππ₯ π ππ
= ππ₯π β²
ππ ππ‘
(40)
π=
3 1+π 2
ππ
π π 2 1+π cos π 2
π₯2
π 0
Ξ¦ π
β1
πΊ π ππ
cos ππ β sin ππ
(48)
sin ππ cos ππ
Dengan π π = π0 + π1 cos π + π1 sin π
(42)
4.3 Parameter Pada Orbit Satelit Diberikan komponenkomponenmomeninersiaterhadapsumbu π₯ dan π¦ yang bekerja pada satelit bernilaisama yaitu 200 kgm2 πΌπ₯ = πΌπ¦ = 200 kgm2
3
1+π 2
π₯2
(72)π π = Matrik periodik Floquet
Kita peroleh : = π₯1 β² π =
2
Dimana :
, π = 1,2
π π 2 1+π cos π 2
π1 1 + π cos π
Ξ¦ π = π π ππ¬ π π β1 , π¬ π =
Karena
ππ₯ 1
π₯1 (π) π₯2 (π)
Dimana : Ξ¦ π = Matriks Transisi Dengan
πΌ2 = π sin π (41) Denganmenggunakanaturanrantaidiperoleh : ππ₯ π
3π
4πΌ2 β sin 2π₯1 β 3π
3ππ2 4π 1 + π πππ π β2 sin 2π₯1 β sin π 2 3π sehinggadiperoleh π₯ = π΄π₯ + πΊ π₯, π (46) Dimana: π΄ = Matrik dengan ukuran π Γ π 0 πΊ π₯, π = πΉ π₯, π β π΄π₯ = (47) π§ π₯, π Dengan 1 2π π§ π₯, π = 3ππ2 1 + π πππ π π₯1 β sin 2π₯1 β sin π 2 3π π₯ bergantung pada πΊ π₯, π dapat dieleminasi berdasarkan asumsilibrasiamplitudorendah. Persamaan (47) kemudiandigantidenganpersamaannonlinierhomogen. π₯ π = π΄π₯ + πΊ π Solusiumumdaripersamaan (46) diberikanoleh :
π sin 2π
πΌ1 =
3 2
4πΌ 2
(45)
πΉ π₯, π =
Dimana : π βΆ Sudut pitch ππ : Kecepatan orbit yang bersesuaian dengan orbit sirkuler π βΆ Eksentrisitas orbit π βΆTrue anomaly of the satellite
π₯π =
2 1 + π cos π
3πΌ1 ππ β sin 2π₯1 β
Dan
1+π cos π 3
1+π
3πππ 1 + π
π₯ π =
(1+π)2
1+π cos π 3
π π 2 1+π cos π 2
Dimana
Sehingga model persamaannonlinierkontrol perilaku pitch librasi bumi-satelit diperoleh denganmensubtitusikan π kepersamaan (35) sebagai berikut : π + ππ 2
1+π 2
π₯ β² π = πΉ π₯, π
(1+π cos π)2
π0 = β2ππ 2 π sin π
β3πΌ1 π sin 2π₯1 β 4πΌ1 πΌ2 (44)
Dua persamaan di atas yang membentuk sistem yang dapat dinyatakan sebagai persamaan vektor :
, rektum semi-latusπ dihubungkan ke ππ
= ππ
π π 2 1+π cos π 2 3
(radius di periapsis) oleh π = ππ (1 + π) . Keadaan π2 = ππ Diperoleh ππ 2
1+π 2
=
(36)
1+π cos π
π0 = π =
3
π₯2 β² π =
(43)
83
Komponenmomeninersia yang ketigadiberikan di bawah πΌπ§ = 10 kgm2 Sehingga diperoleh rasio inersianya adalah π = 200 kgm 2 β10 kgm 2 200 kgm 2
=
190 kgm 2 200 kgm 2
πΌπ₯ βπΌπ§ πΌπ¦
=
= 0,95
Parameter gravitasiπ = 3,986 Γ 105 km3 s β2 Kecepatananguler orbit π = 1,657 rad detik Eksentrisitas orbit rendahπ = 0,05 Ketinggian di titiklintasandiberikan60 km Diberikan radius titiklintasanππ = 6580 km, saatkecepatanangulerorbitdititiklintasan ππ =
π = 1,183 Γ 10β3 g rad detik ππ 3
Kondisiinisialnyaadalah π₯0 = π₯ 0 =
0 1.0 Γ 10β7
Simpangan sebenarnya bernilai 40 km. Nilai
π₯1 π π
β6
= β5 Γ
10 , sehingga posisi gerakan satelit pada kontrol perilaku pitch librasi bumi-satelit setiap setengah putaran mengelilingi bumi berada pada lintasannya. 2) Simulasi (1.b) Simulasi (1.b) menyatakan Anomaly-history IIsolusinonlinier yang diperoleh dari sistem persamaan berikut : ο·
π₯2 π ππ
=
β2,1 Γ 10β7 sin π sin 1,657π + 1 Γ 10β7 0,964 + 0,036 c 1,183 Γ 10β3 dan diplotkan dengan nilai π0 = 30 sampai ππ‘ = 50.
Dengan 1.039 0 0 0.964 β0.039 0 π1 = 0 0.036 0 β22.813 π1 = β0.0042 0 0 846.114 π
= β0.0032 0 Nilai π
telah diberikan. Nilai eigen dan vektor eigennya dihitung sebagai berikut : π1 = 1.657π π2 = 1.657π 1 π£1 = 0.002π 1 π£2 = β0.002π π0 =
4.4 Simulasi 1) Simulasi (1.a) Simulasi (1.a) menyatakan Anomaly-history I solusi linieryang diperoleh dari sistem persamaan berikut : ο·
π₯1 π
=
π 5Γ10 β5 1,039β0,039 cos π sin 1,657 πβ2,28Γ10 β6 sin π cos 1,657 π π
dan diplotkan dengan nilai π0 = 30 sampai ππ‘ = 50.
Gambar4.2 Simulasi (1.b) Simpangan sebenarnya bernilai 40 km . Nilai
π₯2 π ππ
= β5 Γ 10β4 ,
posisi
gerakkansatelitpadakontrol perilaku pitch librasi bumisatelitsetiapmengelilingilintasandengankecepatano rbit ππ = 1,183 Γ 10β3 g rad/detik tidak berada pada lintasannya. 3) Simulasi (1.c) Simulasi (1.c) menyatakan Anomaly-history I solusinolinieryang diperoleh dari sistem persamaan berikut : ο·
π₯1 π π β6
=
1
5 Γ 10β5 π π ππ 1,657π β 2,2813 Γ
π
10 π + π πππ 1,657 π + 4,5626 Γ 10β2 π
π (β((β519,5 π ππ 1,657π 0 β4
+ 19,5π +
22,813π)(β2,199028162 Γ 10 π))/ β1,001596 πππ 1,657π 2 + 1,92 Γ 10β4 π + 1,404 Γ 10β3 π + 9,58146 Γ 10β2 π β 1,001596 π ππ 1,657π 2 + 1,92 Γ 10β4 π + 1,404 Γ 10β2 π + 9,58146 Γ 10β2 π)ππ + (500π π ππ 1,657π β 22,813π) β2
Gambar 4.1Simulasi (1.a)
sehingga
π ((β1,039 πππ 1,657π 0 β2
+ 3,9 Γ
10 π β 4,5626 Γ 10 π)(β2,199028162 Γ 10β4 π)/β1,001596 πππ 1,657π 2 + 1,92 Γ 10β4 π + 1,404 Γ 10β3 π + 9,58146 Γ 10β2 π β
MATHunesa (Volume 3 No 3) 1,001596 π ππ 1,657π
2
2014
+ 1,92 Γ 10β4 π +
1,404 Γ 10β2 π + 9,58146 Γ 10β2 π) ππ
dan diplotkan dengan nilai π0 = 30 sampai ππ‘ = 50. dan diplotkan dengan nilai π0 = 30 sampai ππ‘ = 50.
Gambar4.4 Simulasi (4.b) Simpangan sebenarnya bernilai 40 km . Gambar4.3Simulasi (1.c)
Nilai
Simpangan sebenarnya bernilai 40 km . π₯1 π
Nilai
π
= β0,07 ,
sehingga
posisi
ππ β7
=
1 1,183Γ10 β3
β2,1 Γ 10β7 π + 1 Γ β3
10 π’ cos 1,657π + (β4,2 Γ 10 π β 2 Γ 10β3 π’ sin 1,657π)
π 0
β((β5,19 sin 1,657π +
19,5π + 22,813π)(β2,199028162π))/ β1,001596 cos 1,657π 2 + 1,92 Γ 10β4 π + 1,404 Γ 10β3 π + 9,58146 Γ 10β2 π β 1,001596 sin 1,657π 2 + 1,92 Γ 10β4 π + 1,404 Γ 10β2 π + 9,58146 Γ 10β2 π ππ + (β2,1π + π’ cos 1,657π) β2
π 0
= 0,8
,
sehingga
posisi
Simpulan Dari hasil dan pembahasan diperoleh simpulan sebagai berikut: 1. Persamaannonlinierpada model persamaanyangmengaturkontrol perilakupitch librasi bumi-satelit diberikan oleh :
4) Simulasi (1.d) Simulasi (1.d) menyatakan Anomalyhistory IIsolusinonlinier yang diperoleh dari sistem persamaan berikut : π₯2 π
ππ
gerakkansatelitpadakontrol perilaku pitch librasi bumisatelitsetiapmengelilingilintasandengankecepatan orbit ππ = 1,183 Γ 10β3 g rad/detik tidak berada pada lintasannya.
gerakansatelitpadakontrol perilaku pitch librasi bumisatelitsetiapsetengahputaranmengelilingibumi berada pada lintasannya.
ο·
π₯2 π
π π + π ππ¨π¬ π π π½ + ππ π π π¬π’π§ ππ½ = π π+π π + π ππ¨π¬ π π βπππ π π π¬π’π§ π π+π 2. Dengan menggunakan nilai parameter π yang berbeda pada artikel utama, diperoleh nilai fungsi dalam π yaitu
ππ π π
dan
ππ π ππ
yang
minimum dan simulasi grafik yang periodik sehingga menunjukan pergerakan satelit pada posisi yang seharusnya.
β1,039 cos 1,657π +
3,9 Γ 10 π β 4,5626 Γ 10β2 π (β2,199028162π) / β1,001596 cos 1,657π 2 + 1,92 Γ 10β4 π + 1,404 Γ 10β3 π + 9,58146 Γ 10β2 π β 1,001596 sin 1,657π 2 + 1,92 Γ 10β4 π + 1,404 Γ 10β2 π + 9,58146 Γ
Saran Penelitian ini ini masih dapat dikembangkan lagi, misalnya dengan menyederhanakan bentuk integral dari solusi umum ke suatu fungsi khusus sehingga dapat diketahui dengan lebih mudah simulasi solusi analitiknya.
10β2 π ππ
85
DAFTAR PUSTAKA
Anthony, Y.A., O.F. Emmanuel. 2012.βA Dinamical System Theory Solution To An Orbiting EarthSatellite Modelβ.International Journal of Pure and Applied Mathematics. Vol. 76: pp 123-142 Chicone, Carmen. 1999. Ordinary Differential Equations with Applications.New York: Texts in Applied Mathematics, Vol. 34. Springer. Emmanuel, O.F., A.Y. Aidoo, A.K. Amos. 2010. βAnalytical Solution To A Highly Nonlinear Earth-Satellite Pitch Attitude Libration Equationβ.International Journal of Pure and Applied Mathematics. Vol. 58: pp 425-434. Gerlach, O.H.1965.βAttitude stabilization and control of earth satelliteβ.Space Science Reviews. Vol. 4: pp 541-582 Ives, N.E. 1962. Principles of Attitude Control of Artificial Sattelites. London: Communicated by The Deputy Controller Aircraft (Research and Development), Ministri of Aviation. Jiajun, P.T. 2005. The College of William and Mary. New Result in Floquet Theory,(Online),(http://www.math.wm.edu/~jpti an/preprints/pr-6-floquet.pdf, di unduh 12 juni 2014). Kaplan, Marshall H. 1976. Modern Spacecraft Dynamics and Control. New York: John Wiley and Sons. Mohler, R.R. 1991. βNonlinear Systemsβ. Vol 1. Dynamics and Control. Prentice Hall. Naga, S Dali. 2009. Mekanika Teoritik Pada Titik Zat Dan Benda Tegar. Elearning Universitas Gunadarma, (Online),(http://elearning.gunadarma.ac.id/docm odul/mekanika_teoretik_pada_titik_zat_dan_ben da_tegar/5_benda_padat_tegar_berukuran_.pdf, diunduh 11 Agustus 2014) Ouhocine, C., Filipski, M.N., Mohd Noor, S.B., M.R.Ajir. βSmall Satellite Attitude Control And Simulationβ. Jurnal Mekanikal.Vol. 17: pp 36-37 Rafal, W. 1996.Satellite Attitude Control Using Only Electromagnetic Actuation.Denmark:Department of Control Engineering Aalborg University. Siregar,Suryadi. 1978.Mengenal Titik Librasi Disekitar Bumi.Bandung: Almanak Nubika. Siregar,Suryadi.2007.Dasar-dasar lintasansatelit.Bandung: Ebook Penerbit ITB. Thomson,W.T. 1961. Introduction to Space Dynamics. New York: John Wiley and Sons. Widodo, Slamet. 2012. βPrinsip Pengendalian Attitude SatelitLAPAN-TUBSATβ.
(http://jurnal.lapan.go.id/index.php/berita_dirgan tara/index, diakses tanggal 11 Agustus 2014). Vol. 13: hal. 45-49 (http://www.mat.uniroma2.it/~locatell/school1astronet2/ material/Biggs_lectures.pdf, di unduh 12 juni 2014)