BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI
2.1 Tinjauan Pustaka Material komposit yang terdiri atas medium pengikat sebagai bahan dasarnya yang di dalamnya terdapat partikel atau agregat sebagai bahan terikat merupakan definisi beton menurut ASTM C 125 dan ACI. Perbaikan karakteristik beton terus dilakukan untuk mendapatkan mutu beton yang baik. Beton banyak digunakan secara luas sebagai bahan bangunan. Bahan tersebut diperoleh dengan cara mencampurkan semen portland, air, dan agregat (dan kadang-kadang bahan tambah yang sangat bervariasi mulai dari bahan kimia tambahan, serat, sampai bahan buangan nonkimia) pada perbandingan tertentu. Campuran tersebut apabila dituangkan dalam cetakan kemudian dibiarkan maka akan mengeras seperti batuan (Tjokrodimuljo, 1996). Beton adalah material yang kuat dalam kondisi tekan, tapi lemah dalam kondisi tarik. Akibat dari rendahnya kapasitas tarik tersebut, maka retak lentur terjadi pada taraf pembebanan yang masih rendah sehingga dibutuhkan gaya longitudinal yang dikenal dengan gaya prategang. Gaya longitudinal diterapkan untuk mengurangi atau mencegah berkembangnya retak dengan cara mengeliminasi atau sangat mengurangi tegangan tarik di bagian tumpuan dan daerah kritis pada kondisi beban tersebut. (Bambang Suryoatmono,2001) Salah satu tujuan dalam optimasi struktur adalah mereduksi berat keseluruhan, yang biasanya mempengaruhi harga material. Secara tidak langsung efisiensi minimum biaya atau minimum berat harus memenuhi persyaratan kekuatan dan kekakuan. Dalam semua permasalahan teknik sipil perancang mencoba untuk menemukan solusi yang memberikan hasil terbaik, dimana juga memenuhi beberapa persyaratan. Dengan menggunakan teknik optimasi seorang insinyur dapat memperoleh hasil yang optimal, dalam berbagai kondisi. Struktur didesain
5
6
secara lebih aman, lebih memungkinkan, dan lebih murah dari desain tradisional. (S. Jothy Kanna,2005) Desain struktur yang optimal selalu menjadi tujuan para insinyur, dengan atau tanpa pendekatan secara matematis digunakan dalam mencapai prosedur optimasi. Dalam kondisi saat ini, kebanyakan desain gedung dioptimasi dengan prosedur trial and error yang digabung dengan pengalaman perancang. Proses ini memakan waktu, tetapi dapat disederhanakan dengan menggunakan program computer. Secara umum, masalah optimasi desain bertujuan untuk meminimalkan sebuah fungsi (harga) yang menggunakan beberapa variable yang memiliki batasan – batasan tertentu. (P.B.R. Dissanayake,2005)
2.2 Landasan Teori 2.2.1
Beton Prategang
Beton adalah material yang kuat dalam kondisi tekan, tapi lemah dalam kondisi tarik. Kuat tariknya bervariasi dari 8 sampai 14 persen dari kuat tekannya. Karena rendahnya kapasitas tarik tersebut, maka retak lentur terjadi pada taraf pembebanan
yang
masih
rendah.
Untuk
mengurangi
atau
mencegah
berkembangnya retak tersebut, gaya konsentris atau eksentris diberikan dalam arah longitudinal elemen struktural. Gaya ini mencegah berkembangnya retak dengan cara mengeliminasi atau sangat mengurangi tegangan tarik di bagian tumpuan dan daerah kritis pada kondisi beban tersebut. Penampang dapat berperilaku elastis, dan hampir semua kapasitas beton dalam memikul tekan dapat secara efektif dimanfaatkan diseluruh tinggi penampang beton pada saat semua beban bekerja di struktur tersebut. Gaya longitudinal yang diterapkan seperti diatas disebut gaya prategang, yaitu gaya tekan yang memberikan prategangan pada penampang di sepanjang bentang suatu elemen struktural sebelum bekerjanya beban mati dan beban hidup transversal atau beban hidup horizontal transien. Jenis pemberian gaya prategang,
7
bersama besarnya, ditentukan terutama berdasarkan jenis
sistem
yang
dilaksanakan dan panjang bentang. Karena gaya prategang diberikan secara longitudinal di sepanjang atau sejajar dengan sumbu komponen struktur, maka prinsip-prinsip prategang dikenal sebagai pemberian prategang linier. Prategang pada dasarnya merupakan suatu beban yang menimbulkan tegangan dalam awal sebelum pembebanan luar dengan besar dan distribusi tertentu bekerja sehingga tegangan yang dihasilkan dari beban luar dilawan sampai tingkat yang diinginkan. Gaya prategang dihasilkan dengan menarik kabel tendon yang ditempatkan pada beton dengan alat penarik. Setelah penarikan tendon mencapai gaya/tekanan yang direncanakan, tendon ditahan dengan angkur, agar gaya tarik yang tadi dikerjakan tidak hilang. Penarikan kabel tendon dapat dilakukan baik sebelum beton dicor (pre-tension) atau setelah beton mengeras (post-tension). 2.2.2
Perbandingan Beton Prategang dengan Beton Bertulang
Tegangan permanen dikomponen struktur pretagang diberikan sebelum seluruh beban mati dan hidup bekerja, agar tegangan tarik netto yang ditimbulkan oleh beban-beban tersebut dapat dielimenasi atau sangat dikurangi. Pada beton bertulang, diasumsikan bahwa kuat tarik beton dapat diabaikan. Hal ini disebabkan gaya tarik yang berasal dari momen lentur ditahan oleh lekatan yang terjadi antara tulangan dan beton. Dengan demikian, retak dan defleksi pada dasarnya tidak dapat kembali di dalam beton bertulang apabila komponen struktur tersebut telah mencapai kondisi batas pada saat mengalami beban kerja. Tulangan di dalam komponen struktur beton bertulang tidak memberikan gaya dari dirinya sendiri pada komponen struktur tersebut, suatu hal yang berlawanan dengan aksi baja prategang. Baja yang dibutuhkan untuk menghasilkan gaya prategang di dalam komponen struktur prategang secara efektif memberi beban awal pada komponen struktur, sehingga memungkinkan terjadinya pemulihan retak dan defleksi. Apabila kuat tarik lentur beton dilampaui, komponen struktur prategang mulai beraksi seperti elemen beton bertulang. Namun dengan
8
mengontrol besarnya prategang, suatu sistem struktur dapat dibuat fleksibel atau kaku tanpa mempengaruhi kekuatannya. 2.2.3 Keuntungan Beton Prategang Keuntungan penggunaan gaya prategang adalah sebagai berikut : 1.
Komponen struktur prategang mempunyai tinggi lebih kecil dibandingkan beton bertulang untuk kondisi bentang dan beban yang sama. Pada umumnya, tinggi komponen struktur beton prategang berkisar antara 65 sampai 80 persen dari tinggi komponen struktur beton bertulang. Dengan demikian, komponen struktur prategang membutuhkan lebih sedikit beton.
2.
Penggunaan tulangan yang hanya berkisar antara 20 sampai 35 persen banyaknya tulangan.
3.
Rekapitulasi berat sendiri berkurang akibat pengurangan dimensi balok.
4.
Penghematan jangka panjang secara tidak langsung juga cukup besar karena hanya membutuhkan perawatan yang lebih sedikit, yang berarti daya guna lebih lama sebagai akibat dari kontrol kualitas yang lebih baik pada beton.
2.2.4 Konsep Pemberian Gaya Prategang Ada 3 konsep yang berbeda-beda yang dapat dipakai untuk menjelaskan dan menganalisis sifat-sifat dasar dari beton prategang. Hal ini penting bagi seorang perencana untuk mengerti ketiga konsep tersebut agar dapat mendesain beton prategang dengan sebaik dan seefisien mungkin. Ketiga konsep tersebut sebagai berikut: 1.
Konsep Pertama: Sistem prategang untuk mengubah beton menjadi bahan yang elastis. Beton yang tidak mampu menahan tarikan dan kuat memikul tekanan (umumnya dengan baja mutu tinggi yang ditarik) sedemikian rupa sehingga bahan yang getas dapat memikul tegangan tarik. Dari konsep inilah lahir kriteria “tidak ada tegangan tarik” pada beton. Umumnya telah diketahui bahwa jika tidak ada tegangan tarik pada beton, berarti tidak terjadi retak dan
9
beton tidak merupakan bahan yang getas lagi, melainkan berubah menjadi bahan yang elastis. 2.
Konsep Kedua, Sistem prategang merupakan kombinasi baja mutu tinggi dengan beton. Pada beton prategang, baja mutu tinggi dipakai dengan jalan menariknya sebelum kekuatannya dimanfaatkan sepenuhnya. Jika baja mutu tinggi ditanamkan pada beton seperti pada beton bertulang biasa, beton sekitarnya akan menjadi retak sebelum kekuatan baja digunakan. Oleh karena itu, baja perlu ditarik sebelumnya terhadap beton. Dengan menarik dan menjangkarkan baja ke beton, dihasilkan tegangan dan regangan tekan pada beton dan tegangan dan regangan tarik pada baja. Kombinasi ini memungkinkan pemakaian atau perencanaan yang aman dan ekonomis dari kedua bahan tersebut dimana hal ini tidak akan tercapai jika baja hanya ditanamkan pada beton saja seperti beton bertulang.
3.
Konsep ketiga, Sistem prategang untuk mencapai perimbangan beban. Konsep ini menggunakan prategang sebagai suatu usaha untuk membuat seimbang gaya-gaya pada sebuah batang.
2.2.5 Riwayat Pemberian Beton Prategang 1.
Beton prategang bukan merupakan konsep baru, pada tahun 1872, pada saat Jackson, seorang insinyur dari California, mendapatkan paten untuk sistem struktural yang menggunakan tie rod untuk membuat balok atau pelengkung dari blok-blok. Pada tahun 1888, C.W.Doehring dari Jerman memperoleh paten untuk pemberian prategang pada slab dengan kawat-kawat metal. Akan tetapi, upaya awal untuk pemberian tegangan tersebut tidak benar-benar sukses karena hilangnya prategang dengan berjalannya waktu.
2.
Sesudah selang waktu yang sangat lama, pada saat hanya ada sedikit kemajuan karena sulitnya mendapatkan baja berkekuatan tinggi untuk mengatasi masalah kehilangan prategang, Dill dari Alexandria, Nebraska, mengetahui adanya pengaruh susut dan rangkak (aliran material arah transversal) pada beton terhadap hilangnya prategang. Selanjutnya, ia mengembangkan ide bahwa pemberian pascatarik batang berpenampang bulat
10
tanpa lekatan secara berturutan dapat mengganti kehilangan tegangan yang bergantung pada waktu pada batang tersebut akibat berkurangnya panjang komponen struktur yang ditimbulkan oleh rangkak dan susut. Pada awal tahun 1920-an. Hewett dari Minneapolis mengembangkan prinsip-prinsip pemberian prategang melingkar. Ia memberikan tegangan melingkar horisontal di sekeliling tangki beton dengan menggunakan trekstang untuk mencegah retak akibat tekanan cairan internal. Setelah itu, pemberian prategang pada tangki dan pipa berkembang pesat di Amerika Serikat, dengan ribuan tangki penyimpan air, cairan dan gas dibangun dan banyak sekali pipa tekanan prategang yang dibuat pada dua sampai tiga dekade setelah itu. 3.
Pemberian prategang linier terus berkembang di Eropa dan Prancis, khususnya dikembangkan oleh Eugene Freyssinet, yang pada tahun 1926 sampai 1928 mengusulkan metode untuk mengatasi kehilangan prategang dengan cara menggunakan baja berkekuatan tinggi dan berdaktilitas tinggi. Pada tahun 1940, ia memperkenalkan sistem Freyssinet yang sangat terkenal yang menggunakan jangkar konus untuk tendon 12 kawat.
4.
Selama perang dunia II dan setelah itu, pembangunan kembali secara cepat jembatan utama yang hancur selama perang menjadi suatu kebutuhan. G Magnel dari Gghent, Belgia dan Guyon dari Paris mengembangkan dan menggunakan konsep pemberian prategang untuk desain dan pelaksanaan banyak jembatan di Eropa Barat dan Tengah. Sistem Magnel juga menggunakan blok-blok untuk menjangkar kawat-kawat prategang. Blokblok tersebut berbeda dengan yang digunakan dalam sistem Freyssinet dalam hal bentuknya yang datar, sehingga memungkinkan pemberian tegangan pada dua kawat sekaligus.
5.
Abeles dari Inggris memperkenalkan dan mengembangkan konsep pemberian prategang parsial diantara tahun
1930-an dan 1960-an. Leonhardt dari
Jerman dan Mikhailov dari Rusia dan T.Y.Lin dari Amerika Serikat juga memberikan kontribusi banyak pada seni dan ilmu pengetahuan tentang desain beton prategang. Metode pemberian keseimbangan beban dari Lin ini sangat dihargai. Perkembangan pada abad kedua puluh ini telah menjadikan
11
banyak penggunaan beton prategang di seluruh dunia, dan khususnya di Amerika Serikat. 6.
Dewasa ini, beton prategang digunakan pada gedung seperti apartemen tingkat 40,bangunan industri, struktur bawah tanah menara TV, struktur lepas pantai dan gudang apung, stasiun stasiun pembangkit, cerobong reaktor nuklir, dan berbagai jenis sistem jembatan termasuk jembatan segmental dan cable-stayed. Suksesnya perkembangan dan pelaksanaan semua struktur terkenal di dunia ini adalah karena banyaknya kemajuan dalam teknologi bahan, khususnya baja prategang, dan bertambahnya pengetahuan untuk mengestimasi kehilangan jangka pendek dan panjang pada gaya prategang.
2.2.6 Metode Pemberian Gaya Prategang 2.2.6.1 Metode Pratarik (Pre-Tension Method) Kabel tendon dipersiapkan terlebih dahulu pada sebuah angkur yang mati (fixed anchorage) dan sebuah angkur yang hidup (live anchorage). Kemudian live anchorage ditarik dengan dongkrak sehingga kabel tendon bertambah panjang. Dongkrak biasanya dilengkapi dengan manometer untuk mengetahui besarnya gaya yang ditimbulkan oleh dongkrak. Setelah mencapai gaya yang diinginkan, beton kemudian dicor. Setelah beton mencapai umur yang cukup, kabel perlahanlahan dilepaskan dari kedua angkur dan dipotong. Kabel tendon akan berusaha kembali ke bentuknya semula setelah pertambahan panjang yang diakibatkan oleh penarikan pada awal pelaksanaan. Hal inilah yang menyebabkan adanya gaya tekan internal pada beton. Pada cara ini tidak digunakan selongsong pada tendon. Metode ini digunakan untuk beton-beton pracetak dan biasanya digunakan untuk konstruksi-konstruksi kecil.
12
Gambar 2.1 Metode pemberian pratarik(Pretension) (Sumber : Desain Beton Prategang.Lin,T.Y) 2.2.6.2 Metode Pascatarik (Post-Tension Method) Mula-mula cetakan disediakan dan selongsong dimasukkan dalam cetakan beton dengan salah satu ujungnya diberi angkur hidup (live anchorage) dan ujung lainnya angkur mati (dead anchorage) atau kedua ujungnya dipasang angkur hidup Posisi selongsong diatur sesuai dengan bidang momen strukturnya. Kemudian beton dicor disekeliling selongsong (duct). Biasanya baja tendon tetap berada didalam selongsong selama pengecoran. Jika beton sudah mencapai kekuatan tertentu atau beton sudah mengeras, tendon ditarik hingga mencapai gaya yang diinginkan. Untuk mencegah kabel tendon kehilangan tegangan akibat slip pada ujung angkur terdapat baji. Gaya tarik akan berpindah pada beton sebagai gaya tekan internal akibat reaksi angkur. Gaya prategang ditransfer melalui penjangkaran ujung seperti chucks dari supreme products. Setelah terjadi prategang penuh, kemudian selongsong tempat dimasukkannya baja prategang tersebut disuntikkan dengan cairan beton (grouting).
13
Selongsong
Cetakan beton disiapkan dan beton dicor
Tendon ditarik dan gaya prategang ditransfer
Tendon diangkur dan cairan beton di grouting Gambar 2.2 Metode pemberian pascatarik(Post-tension) (Sumber : Desain Praktis Beton Prategang. Andri Budiardi) 2.2.7
Tahap Pembebanan Beton Prategang
Tidak seperti beton bertulang, beton prategang mengalami beberapa tahap pembebanan. Pada setiap tahap pembebanan, harus dilakukan pengecekan atas kondisi serat tertekan dan serat tertarik dari setiap penampang. Pada tahap tersebut berlaku tegangan ijin yang berbeda-beda sesuai kondisi beton dan tendon. Ada dua tahap pembebanan pada beton prategang, yaitu kondisi transfer dan servis. 2.2.7.1 Transfer Tahap transfer adalah tahap pada saat beton sudah mulai mengering dan dilakukan penarikan kabel prategang. Pada saat ini biasanya yang bekerja hanya beban mati struktur saja, yaitu berat sendiri dan beban pekerja ditambah alat. Pada saat ini belum bekerja beban hidup sehingga momen yang bekerja adalah minimum, sementara gaya yang bekerja adalah maksimum karena belum ada kehilangan gaya prategang.
14
2.2.7.2 Servis (Service) Kondisi servis (service) adalah kondisi pada saat beton prategang digunakan sebagai komponen struktur. Kondisi ini dicapai setelah semua kehilangan gaya prategang diperhitungkan. Pada saat ini beban luar pada kondisi yang maksimum sedangkan gaya prategang mendekati harga minimum karena sudah terjadi kehilangan sebagian gaya prategang. Pada setiap tahapan diatas, ditentukan hasil analisis untuk dievaluasi. Hal ini tentunya sangat penting dalam perencanaan karena kekuatan dari beton prategang itu sendiri tidak sepenuhnya lagi bekerja akibat kehilangan sebagian gaya prategang. Sehingga dalam perencanaan struktur yang akan digunakan nantinya adalah gaya prategang efektif yaitu gaya prategang awal (kondisi transfer) setelah dikurangi kehilangan sebagian gaya prategang. Pada tahap transfer maupun servis, ditetapakan tegangan ijin beton prategang untuk melihat apakah tegangan yang terjadi melampaui tegangan ijin beton prategang itu sendiri. Tegangan ijin ini sendiri berbeda antara serat atas beton prategang maupun serat bawah beton prategang sendiri. 2.2.8
Konsep tegangan pada beton prategang
Balok tanpa tulangan prategang seperti yang ditunjukkan pada gambar (2.3) hanya mampu memikul beban sebesar q1 dengan dimensi tertentu, namun seiring dengan berkembangnya zaman, semakin diperlukan balok yang mampu memikul beban lebih besar tanpa mengubah/memperbesar penampang.
Gambar 2.3 Elemen balok tanpa gaya prategang yang diberi beban sebesar q1
15
Dimana diagram tegangannya diuraikan pada gambar (2.4) dibawah ini:
Gambar 2.4 Diagram tegangan beton tanpa gaya prategang Besarnya tegangan pada serat beton dapat dihitung dengan menggunakan Persamaan (2.1a) dan (2.1b) dibawah ini : ( ) ( )
( ) ( )
…..…… (2.1a) .....…… (2.1b)
dimana: = Tegangan diserat atas beton (Mpa) = Tegangan diserat bawah beton (Mpa) MT
= Momen maksimum pada elemen balok (Nmm) = Jarak antara titik berat ke serat atas beton (mm)
Ic
= Momen Inersia beton (mm4)
Salah satu cara yang digunakan seperti konsep prategang yang dibahas adalah dengan memberikan gaya prategang atau biasa disimbolkan dengan gaya P seperti yang ditunjukkan pada gambar (2.5) dimana dapat memikul beban q2 yang diumpamakan lebih besar dari q1 (q2>q1). Gaya prategang P yang memenuhi kondisi geometri dan pembebanan tertentu untuk suatu elemen, dapat ditentukan berdasarkan prinsip-prinsip mekanika dan hubungan tegangan-regangan serta terkadang dilakukan penyederhanaan yang mengasumsikan diasumsikan bersifat homogen dan elastis. Ketidakmampuan beton dalam menahan tegangan tarik secara efektif digantikan oleh gaya tekan pada tendon prategang. Tendon adalah suatu unsur yang
16
direntangkan yang dipakai dalam komponen struktur beton untuk memberi gaya prategang pada beton tersebut.
Gambar 2.5 Elemen balok dengan gaya prategang yang diberi beban sebesar q2 (q2>q1) Akibat adanya gaya prategang, maka juga mengakibatkan perubahan diagram tegangan yang terjadi pada balok beton. Hal ini ditunjukkan pada gambar (2.6) dibawah ini:
-
Gambar 2.6 Diagram tegangan beton dengan gaya prategang P0 Dengan nilai tegangan pada beton dihitung dengan rumus: ( ) ( )
( ) ( )
dimana: P0
= besarnya gaya yang terjadi pada balok (N)
Ac
= luasan beton yang ditinjau (mm2)
…..…… (2.2a) .....…… (2.2b)
17
Gambar 2.7 Diagram tegangan beton dengan gaya prategang P dan eksentrisitas e Apabila gaya tekan P0 bekerja tidak dipusat berat tetapi memiliki eksentrisitas e, tegangan pada beton yang terjadi seperti gambar 2.7
f t ( P0 )
P .e . y Ic
f b ( P0 ) P.Iec. y 2.2.9
…..…… (2.3a) …..…… (2.3b)
Modulus Penampang Minimum
Untuk mendesain dan memilih penampang, penentuan modulus penampang minimum yang dibutuhkan, Sb dan St harus dilakukan terlebih dahulu. Jika fci = tegangan tekan izin maksimum di beton segera sesudah transfer dan sebelum terjadi tegangan = 0.6 fci`
18
fti = tegangan tarik izin maksimum di beton segera sesudah trensfer dan sebelum terjadi tegangan
= 0.25 fc'i
fc = tegangan tekan izin maksimum di beton sesudah kehilangan pada taraf beban kerja = 0.45fc` f t = tegangan tekan izin maksimum di beton sesudah kehilangan pada taraf beban kerja
= 0 .25 fc '
Beban-beban yang akan dipikul oleh struktur prategang tidak terjadi sekaligus, tetapi melalui tahap-tahap pembebanan yaitu saat awal ketika balok hanya memikul gaya prategang dan berat sendiri, kemudiaan saat akhir ketika seluruh beban dipikul oleh balok. Adanya tahapan pembebanan ini akan mempengaruhi perhitungan tegangan Saat Awal
Gambar 2.8 Diagram tegangan beton dengan gaya prategang P dan eksentrisitas e pada saat awal
19
Saat awal, beban yang bekerja hanya P0 dan qD. Dari gb diagram tegangan diatas, ada kemungkinan beton gagal karena serat atas tertarik. Kondisi demikian dapat terjadi apabila P0 dan atau e terlalu besar.
f t APic (1 er.c2t ) MS tD f t ijin 0.25 fc 'i Atau
…..…… (2.4a)
f t ijin 0.5 fc 'i bila di tumpuan
f b APic (1 er.c2b ) MSbD f c ijin 0.6 fc 'i
…..…… (2.4b)
fc’i = tegangan tekan beton pada saat awal (transfer) Saat Akhir
Gambar 2.9 Diagram tegangan beton dengan gaya prategang P dan eksentrisitas e pada saat akhir Saat akhir, seluruh beban bekerja dan pada saat ini gaya P0 sudah berkurang menjadi Pe karena kehilangan prategang.
…..…... (2.5a) …..…... (2.5b) fc’ = tegangan tekan beton pada saat akhir (layan).
20
2.2.10 Teori Optimasi Teknik Optimasi adalah suatu usaha untuk mendapatkan hasil terbaik dari suatu keadaan. Dalam desain, konstruksi dan perancangan sistem struktur, teknisi harus memiliki teknik dan strategi pelaksanaan dalam tahapan langkahnya. Tujuan akhir dari usaha tersebut adalah untuk meminimalkan usaha yang dibutuhkan atau memaksimalkan keuntungan. Dalam optimasi rancang tampang balok beton prategang ini, metode yang digunakan adalah Metode Persamaan Linear. Persamaan Linear adalah suatu teknik aplikasi matematika dalam menentukan pemecahan masalah yang bertujuan untuk memaksimumkan atau meminimumkan sesuatu yang dibatasi oleh batasan-batasan tertentu, dimana hal ini dikenal juga sebagai teknik optimasi. Persamaan Linear merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Keberhasilan suatu teknik operasi pada akhirnya diukur berdasarkan penyebaran penggunaannya sebagai alat pengambilan keputusan. Sejak diperkenalkan diakhir 1940-an, Persamaan Linear telah terbukti merupakan salah satu alat riseoperasi yang paling efektif. Keberhasilannya berakar dari keluwesannya dalam menjabarkan berbagai situasi kehidupan nyata diberbagai bidang pekerjaan, yaitu militer, industri, pertanian, transportasi, ekonomi, kesehatan, dan bahkan ilmu sosia dan perilaku. Disamping itu, tersedianya program komputer yang sangat efisien untuk memecahkan masalah-masalah Persamaan linear yang sangat luas merupakan faktor penting dalam tersebarnya penggunaan teknik ini. Kegunaan Persamaan Linear adalah lebih luas daripada aplikasinya semata Pada kenyataannya, Persamaan Linear harus dipandang sebagai dasar penting untuk pengembangan teknik-teknik operasi riset lainnya.
21
Persamaan Linear adalah sebuah alat deterministik, yang berarti bahwa sebuah parameter model diasumsikan diketahui dengan pasti. Tetapi dalam kehidupan nyata, jarang seseorang menghadapi masalah di mana terdapat kepastian yang sesungguhnya. Teknik Persamaan Linear mengkompetisi kekurangan ini dengan memberikan analisis pasca optimum dan analisis parametrik yang sistematis untuk memungkinkan pengambil keputusan yang bersangkutan untuk menguji sensitivitas pemecahan optimum yang statis terhadap perubahan diskrit atau kontinu dalam berbagai parameter dari model tersebut. Pada intinya, teknik tambahan ini memberikan dimensi dinamis pada sifat pemecahan Persamaan Linear yang optimum. Tujuan dari Persamaan Linear adalah suatu hasil yang mencapai tujuan yang ditentukan (optimal) dengan cara yang paling baik diantara semua alternatif yang mungkin dengan batasan sumber daya yang tersedia. Meskipun mengalokasikan sumber-sumber daya kepada kegiatan-kegiatan merupakan jenis aplikasi yang paling umum, Persamaan Linear mempunyai banyak aplikasi penting lainnya. Persamaan Linear merupakan masalah pemrograman yang harus memenuhi tiga kondisi berikut: 1. Variabel-variabel keputusan yang terlibat harus positif. 2. Kriteria-kriteria untuk memilih nilai terbaik dari variabel keputusan dapat diekspresikan sebagai fungsi linier. Fungsi kriteria ini biasa disebut fungsi objektif. 3. Aturan-aturan
operasi
yang
mengarahkan
proses-proses
dapat
diekspresikan sebagai suatu set persamaan atau pertidaksamaan linier. Set tersebut dinamakan fungsi pembatas.
22
2.2.10.1 Kelebihan dan Kekurangan Persamaan linear Sebagai alat kuantitatif untuk melakukan pemrograman,
Persamaan linear
mempunyai beberapa kelebihan dan kekurangan. Kelebihan-kelebihan dari Persamaan linear yaitu: 1. Mudah digunakan terutama jika menggunakan alat bantu komputer. 2. Dapat menggunakan banyak variabel sehingga berbagai kemungkinan untuk memperoleh pemanfaatan sumber daya yang optimal dapat dicapai. 3. Fungsi tujuan dapat difleksibelkan sesuai dengan tujuan penelitian atau berdasarkan data yang tersedia. Kekurangan-kekurangan dari Persamaan linear yaitu: 1. Apabila alat bantu komputer tidak tersedia, maka Persamaan linear dengan menggunakan banyak variabel akan menyulitkan analisisnya bahkan mungkin tidak dapat dikerjakan secara manual. Metode ini tidak dapat digunakan secara bebas dalam setiap kondisi, tetapi dibatasi oleh asumsi-asumsi. 2. Metode ini hanya dapat digunakan untuk satu tujuan misalnya hanya untuk maksimisasi keuntungan atau minimisasi biaya.
2.2.10.2 Syarat dalam Penggunaan Persamaan linear Ada beberapa syarat agar masalah dapat disusun dan dirumuskan ke dalam model Persamaan linear yaitu: 1. Penentuan Tujuan Ada tujuan permasalahan yang ingin dipecahkan disebut sebagai fungsi tujuan. Menentukan fungsi tujuan harus jelas dan tegas. Fungsi tujuan dapat berupa dampak positif, manfaat, keuntungan dan kebaikankebaikan yang ingin dimaksimalkan atau dampak negatif, kerugian, risiko, waktu, jarak dan biaya-biaya yang ingin diminimalkan.
23
2. Alternatif Perbandingan Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan. Menentukan alternatif yang ingin diperbandingkan misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah, antara padat modal dengan padat karya, antara kebijakan A dengan B, atau antara proyeksi tinggi dengan rendah. 3. Sumber Daya yang Terbatas Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas. Hal ini disebut juga sebagai kendala. Kendala terbagi dalam tiga tipe dasar, yaitu kendala maksimum yang menunjukkan penggunaan sumber daya tidak melebihi sumber daya yang tersedia; kendala minimum yang menunjukkan penggunaan sumber daya minimal sama dengan yang tersedia dan kendala persamaan yang menunjukkan penggunaan sumber daya sama dengan yang tersedia. 4. Perumusan Kuantitatif Fungsi tujuan dan kendala harus dirumuskan secara kuantitatif dalam suatu model yang disebut dengan model matematik. Model merupakan abstraksi dan simplifikasi dari keadaan nyata yang menunjukkan berbagai hubungan fungsional yang langsung maupun tidak langsung, interaksi dan interdependensi antara satu unsur dengan unsur lainnya yang membentuk suatu sistem. Model yang baik harus mencakup tiga kriteria yaitu kesesuaian, kesederhanaan, dan keserasian. Kesesuaian yaitu model harus mampu merangkum unsur-unsur yang sangat pokok dari persoalan yang dihadapi. Kesederhanaan yaitu model harus dibuat sesederhana mungkin sesuai dengan kemampuan yang ada dan urgensi permasalahan. Keserasian yaitu model harus mampu mengesampingkan hal-hal yang kurang berguna. 5. Keterkaitan Peubah Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala harus memiliki keterkaitan atau hubungan fungsional. Hubungan keterkaitan tersebut dapat diartikan sebagai hubungan yang saling mempengaruhi, hubungan interaksi, interdependensi, timbal balik atau saling menunjang.
24
2.2.10.3 Asumsi-asumsi Dasar Persamaan linear Dengan mengetahui asumsi-asumsi dasar Persamaan linear, penggunaan teknik Persamaan linear akan menjadi lebih terarah. Penggunaan Persamaan linear harus memenuhi beberapa asumsi sebagai berikut: 1. Linearitas Asumsi ini menginginkan agar perbandingan antara input yang satu dengan input yang lainnya atau untuk suatu input dengan output besarnya tetap dan tidak tergantung pada tingkat produksi. 2. Proporsionalitas Asumsi ini menyatakan bahwa perubahan (naik turun) nilai fungsi tujuan (Z) dan penggunaan sumber daya atau fasilitas yang tersedia akan berubah dalam proporsi yang sama dalam perubahan tingkat kegiatan. Implikasi asumsi ini adalah bahwa dalam model Persamaan linear yang bersangkutan tidak berlaku hukum kenaikan yang semakin menurun. 3. Aditivitas Asumsi ini menyatakan bahwa nilai parameter suatu kriteria optimasi (koefisien peubah pengambil keputusan dalam fungsi tujuan) merupakan jumlah dari nilai individu-individu Cj (j = 1, 2, 3, …, n). 4. Divisibilitas Asumsi ini menyatakan bahwa peubah-peubah pengambil keputusan Xn, jika diperlukan dapat dibagi ke dalam pecahan-pecahan artinya nilai-nilai Xn tidak perlu integer (hanya 0 dan 1 atau bilangan bulat) tetapi dapat pula berupa non integer (misalnya ½; 0,5; 12,345; dan sebagainya). Demikian pula dengan nilai Z yang dihasilkan. 5. Deterministik Asumsi ini menghendaki agar semua koefisien model Persamaan linear (nilai peubah pengambilan keputusan, kendala dalam teknis dan sumber daya yang tersedia) tetap atau dapat diperkirakan secara pasti.
25
2.2.10.4 Pembuatan Model Untuk menyelesaikan suatu masalah dapat digunakan model Persamaan linear. Adapun langkah-langkah pemodelannya adalah sebagai berikut: 1. Menentukan variabel-variabel dari persoalan, misalnya X1, X2 dan seterusnya. 2. Menentukan batasan-batasan yang harus dikenakan untuk memenuhi batasan sistem yang dimodelkan.
Keterangan: m = macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia n = macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas tersebut i = nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tersedia j
= nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia
Xj = kegiatan ke-j (variabel keputusan) Ai j = banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran kegiatan j 3. Menentukan tujuan (maksimasi atau minimasi) yang harus dicapai untuk menentukan pemecahan optimum dari semua nilai yang layak dari variabel tersebut. Z = C1X1+ C2X2+ …. + CnXn
26
Keterangan: Z = nilai yang dioptimalkan Cn = sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan n terhadap nilai Z Xn = kegiatan ke-n (variabel keputusan) 2.2.10.5 Definisi Constrained Optimization Constrained minimization adalah masalah untuk menemukan vektor x yang merupakan nilai minimum lokal fungsi fx dan terkendala yang melibatkan nilai x. Min f(x) Meliputi satu atau lebih dari kondisi beriku: c(x) <= 0, ceq(x) = 0, A x<+ b , Aeq x= beq, l <= x += u.
2.2.10.5.1 fmincon Trust Region Reflectice Algorithm
Banyak metode yang di gunakan di Optimization Toolbox solvers berdasarkan dengan trust regions, sebuah konsep yang sederhana dalam optimasi. Untuk mengerti pendekatan the trust-region terhadap optimasi, berdasarkan optimasi tanpa kendala, minimize f(x), dimana fungsi menggunakan verktor argumen. Misalkan kita berada di titik x didalamn ruang-n dan dan kita ingin meningkatkannya, i.e., pindah ke titik dengan nilai fungsi yang lebih rendah. Ide dasar nya dalah mengira-ngira f dengan fungsi yang lebih sederhana q, dimana mempengaruhi perlakuan fungsi f di daerah N sekitar titik x. Daerah ini disebut the trust region. Langkah percobaan dihitung dengan meminimalisasikan ( atau asumsi minimalisasi) seluruh N. ini adalah sub masalah the trust region.
Min { q(s), s = N }
Titik ini diperbarui menjadi x + s jika f(x+s), dengan kata lain titik ini masih tidak berubah, dan N, the region of trust, menyusut dan perhitungan langkah percobaan dilakukan kembali.
27
Pertanyaannya adalah bagaimana memilih dan menghitung nilai argumen q ( berdasarkan titik x), bagaimana memilih dan merubah the trust region N, dan bagaimana menyelesaikan secara akurat the trust-region subproblem.
Didalam metode dasar trust-region, perkiraan persamaan kuadrat q dinyatakan dengan 2 kondisi awal dari perkiraan Taylor terhadap F di x; daerah N biasanya berbentuk parabola atao elipsoidal. Secara matematis the trust region subproblem ditetapkan dalam : Min { ½ sT Hs + sTg such that llDsll ≤ ∆}
Dimana g berupa gradien dari f pada titik x, H adalah matriks hessian ( turunan kedua matriks simetris), D adalah diagonal skala matrix , ^ adalah skala positif.
2 dimensi subruang S ditentukan dengan bantuan dari proses prakondisi konjugasi gradien dibawah. Pemecahan menyatakan S sebagai ruang linear dipisahkan oleh s1 dan s2 , dimana s1 didalam tujuan dari gradien g dan s2 juga berupa perkiraan tujuan newton, seperti contoh, solusi dari
H. s2 = -g, Atau arah kurva negatif St2. H. s2 < 0
Filosofi dibalik pilihan S ini adalah untuk menekan konvergensi global ( via arah turunan yang tajam atau arah kurva negatif) dan memperoleh konvergensi lokal yang cepat ( via langkah newton ketika ini muncul)
2.2.10.5.2 Kendala Persamaan Linear Kendala linear menggabungkan situasi yang dijelaskan untuk optimasi tanpa kendala. Namun, ide utama yang sebelumnya dijelaskan dapat dibawa kedalam cara yang efisien. Metode trust region dalam optimizaion toolbox solvers menghasilkan secara tepat iterasi yang memungkinkan.
28
Masalah Persamaan linear dengan kendala bisa ditulis
Min { f(x) such that Ax=b}
Dimana A adalah matriks m dan n (m<=n). beberapa Optimization toolbox solvers memproses terlebih dahulu A untuk menghilangkan ketergantunan linear menggunakan teknik berdasarkan LU faktorisasi dari AT. sekarang A diasumsukan sebagai tingkatan m.
2.2.10.5.3 Box Constraints Bentuk masalah Box constraints ;
Min { f(x) meliputi l <=x<=u}
Dimana l adalah vektor bagian bawah dan u adalah vektor bagian atas. Beberapa (atau semua) komponen l dapat disamakan dengan -8 dan beberapa (atau semua) komponen u dapat disamakan dengan 8. Metoda ini memperoleh rangkaian kemungkinan titik secara tepat. Dua teknik digunakan untuk menjaga kemungkinan ketika mendapat perlakuan konvergen yang kuat. Pertama, langkah newton yang dimodifikasi skala menggantikan langkah newton tanpa kendala (untuk menyatakan 2 dimensi subruang S). Kedua, refleksi digunakan untuk meningkatkan ukuran langkah. Langkah newton yang dimodifikasi skala, muncul dari pengulangan kondisi kebutuhan the Kuhn-Tucker. (D(x))-2 g = 0 Dimana D(x) = diag (lvkl-1/2) Dan vektor v(x) dinyatakan dibawah ini, untuk tiap 1 <= I <= n : Jika gi < 0 dan ui < ∞ maka vi = xi - ui Jika gi >= 0 dan li < -∞ maka vi = xi - li
29
Jika gi < 0 dan ui < ∞ maka vi = -1 Jika gi >= 0 dan li < -∞ maka vi = 1 Nondifferentiability terjadi ketika v1=0. Kita bisa menghindari titik tertentu dengan menjaga dengan tepat kemungkinan yang terjadi. Contoh membatasi l < x
Modifikasi skala Newton langkah sk untuk persamaan sistem nonlinear diberikan pada persamaan 6.24 didefinisikan sebagai solusi dari sistem linear. MDsN = -g Pada iterasi ke-k, dimana G = D-1 g = diag (lvl1/2)g, Dan M = D-1HD-1+diag(g)Jv Disini Jv berperan sebagai Jacobian dari lvl. Setiap komponen diagonal dari matriks diagonal Jv sama dengan 0, -1 atau 1. Jika semua komponen dari l dan u terbatas, Jv = diag(sign(g)), Pada titik dimana gI = 0, vi mungkin tidak bervariasi. Jii = 0 dinyatakan pada titik tertentu. Tipe nondifferentiability ini tidak diperuntukan untuk concern karena untuk komponen tertentu, hal ini tidak penting seperti nilai vi. Lebih lanjut, lvil akan masih terputus pada titik ini, tetapi fungsi lvil gi tetap menerus.
Kedua, refleksi digunakan untuk meningkatkan ukuran tindakan. A (tunggal) langkah refleksi dinyatakan sebagai berikut. Diberikan sebuah tindakan p yang memotong batasan konstrain, berdasarkan batasan pertama konstrain disebrangi oleh p; asumsi ini adalah batasan konstrain ke-i (baik itu batas atas maupun batas bawah). Kemudian refleksi tindakan pR = p kecuali pada komponen ke-i, dimana pRi = -pi .
