BAB 1
PENDAHULUAN
1.1
Latar belakang
Sebagian besar dari sejarah ilmu pengetahuan alam adalah catatan dari usaha manusia secara kontinu untuk merumuskan konsep-konsep yang dapat menguraikan permasalahan dalam dunia nyata ke dalam istilah-istilah matematika. Menyelesaikan sistem persamaan linier merupakan salah satu permasalahan yang cukup penting dalam matematika, karena lebih dari 75 persen dari semua masalah matematika yang dijumpai dalam aplikasi ilmiah maupun industri melibatkan penyelesaian sistem linier hingga tahap tertentu. Dengan menggunakan metodemetode matematika modern, sering kali suatu masalah yang rumit dapat direduksi menjadi suatu sistem persamaan linier. Dalam dunia nyata, sistem linier dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pada beberapa bidang, di antaranya pada bidang perdagangan, ekonomi, elektronika, fisika, kimia dan lain sebagainya. Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk
Persamaan semacam ini dinamakan persamaan linier dalam peubah (variabel) x dan peubah y. Secara lebih umum, defenisi persamaan linier dalam n peubah sebagai persamaan yang dapat dibentuk
8
Universitas Sumatera Utara
dimana
dan b adalah konstanta-konstanta riil. adalah urutan dari n
Pemecahan persamaan linier bilangan
sehingga
persamaan
mensubsitusikannya terhadap
tersebut
dipenuhi
bila
. Himpunan semua
pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahannya. Sebuah sistem sebarang yang terdiri dari m persamaan linier dengan n bilangan tak diketahui akan dituliskan sebagai
dimana
adalah bilangan–bilangan tak diketahui sedangkan a
dan b menyatakan konstanta-konstanta.
Misalnya, sebuah sistem umum terdiri dari tiga persamaan linier dengan empat bilangan yang tak diketahui akan ditulis sebagai
9
Universitas Sumatera Utara
Maka sistem yang terdiri dari n persamaan linier dengan n bilangan tak diketahui dapat dituliskan dalam persamaan matriks :
Metode dasar untuk memecahkan sistem persamaan linier adalah untuk mengganti sistem yang diberikan dengan sistem baru yang mempunyai himpunan pemecahan yang sama dengan pemecahan yang lebih mudah. Sistem baru ini umumnya didapatkan dalam satu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara sistematis.
1.Kalikankanlah persamaan dengan konstanta yang tak sama dengan nol. 2.Pertukarkanlah dua persamaan tersebut 3.Tambahkanlah kelipatan dari satu persamaan bagi yang lainnya. Operasi ini dinamakan operasi baris elementer.
1.2
Perumusan Masalah
Permasalahan adalah dari ketiga metode yang digunakan ingin dilihat metode mana dalam penyelesaiannya lebih efisien.
1.3
Tujuan Penelitian
Di dalam penelitian ini lebih difokuskan melalui 3 metode yang akan digunakan dalam penyelesaian Sistem Persamaan Linier yaitu eliminasi gauss, invers matrik,
10
Universitas Sumatera Utara
dan LU-decomposition. Melalui 3 metode ini akan dilihat metode mana yang paling simple dan efisien.
1.4
Manfaat Penelitian
Adapun yang menjadi manfaat penelitian ini adalah dapat memberikan gambaran kepada pembaca dalam menyelesaikan sistem persamaan linier secara sederhana dan efesien.
1.5
Tinjauan Pustaka
Metode Eleminasi Gauss
[1] Pada bagian ini diberikan prosedur yang sistematik untuk memecahkan sistemsistem persamaan linier, prosedur tersebut didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga sistem persamaan tersebut dapat di pecahkan dengan memeriksa sistem tersebut.
Invers Matriks Sebuah matriks bujur sangkar A berordo n :
[4] Disebut mempunyai invers bila ada suatu matriks B, sehingga AB = BA = In. Matriks B disebut invers matriks A, ditulis A-1, merupakan matriks bujur sangkar berordo n.
LU Decomposition
11
Universitas Sumatera Utara
[3] Asumsikan bahwa sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam operasi matrik SAx = b
(1)
Pada metode LU-decomposition, matrik A difaktorkan menjadi matrik L dan matrik U, dimana dimensi atau ukuran matrik L dan U harus sama dengan dimensi matrik A. Atau dengan kata lain, hasil perkalian matrik L dan matrik U adalah matrik A, A = LU
(2)
sehingga persamaan (1) menjadi LUx = b Langkah penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode LU-decomposition, diawali dengan menghadirkan vektor y dimana, Ux = y
(3)
Langkah tersebut tidak bermaksud untuk menghitung vektor y, melainkan untuk menghitung vektor x. Artinya, sebelum persamaan (3) dieksekusi, nilai-nilai yang menempati elemen-elemen vektor y harus sudah diketahui. Ly = b
(4)
Kesimpulannya, metode LU-decomposition dilakukan dengan tiga langkah sebagai berikut: ¾ Melakukan faktorisasi matrik A menjadi matrik L dan matrik U → A = LU. ¾ Menghitung vektor y dengan operasi matrik Ly = b. Ini adalah proses forwardsubstitution atau substitusi-maju. ¾ Menghitung vektor x dengan operasi matrik Ux = y. Ini adalah proses backwardsubstitution atau substitusi-mundur. Metode LU-decomposition bisa dibilang merupakan modifikasi dari eliminasi gauss, karena beberapa langkah yang mesti dibuang pada eliminasi gauss, justru harus dipakai oleh LU-decomposition.
12
Universitas Sumatera Utara
1.6
Metodologi Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian literature atau kepustakaan dengan langkahlangkah sebagai berikut : •
Menjelaskan langkah-langkah dari metode SPL yang digunakan.
•
Menjelaskan keistimewaan/kelebihan dan kekurangan dari masingmasing metode SPL yang yang digunakan.
•
Memberikan pembuktian kelebihan dan kekurangan dari masingmasing metode SPL yang digunakan melalui contoh.
13
Universitas Sumatera Utara
