Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a1x + a2y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y.
Definisi persamaan linear dalam n peubah x1, x2,….,xn sebagai suatu persamaan yang bisa disajikan dalam bentuk a1x1 + a2x2 + ….+ anxn = b dengan a1, a2,…, an dan b konstanta real. Sistem Persamaan Linier merupakan Set/kumpulan/ lebih dari satu persamaan linier (polinom derajat 2).
Contoh-contoh Persamaan Linear x + 3y = 7 x1 + 2x2 – 3x3 + x4 = 8 y = (½)x+3z+1 x1 + x2 +…+ xn = 1 Himpunan semua penyelesaian persamaan tersebut disebut himpunan penyelesaian.
Perhatikanlah! Sebuah persamaan linier tidak melibatkan sesuatu hasil kali atau akar variabel. Cari Himpunan penyelesaian dari : 1. 4x – 2y = 1 2. 7x – 5y = 3 3. x – 4y +7z = 5 4. -8x1 + 2x2 - 5x3 + 6x4 = 1
Definisi : Dua sistem persamaan yang menggunakan peubah - peubah yang sama dikatakan EKUIVALEN jika keduanya mempunyai himpunan penyelesaian yang sama Untuk memperoleh sistem yang ekuivalen lakukan tiga langkah : 1. Urutan penulisan dua persamaan dapat dipertukarkan. 2. Kedua ruas dari suatu persamaan dapat dikalikan dg bilangan real. 3. Kelipatan dari suatu persamaan dapat dijumlahkan pada persamaan yang lain.
SEBUAH PEMECAHAN Bentuk Umum Sistem Persamaan Linier :
A11x1 +a12x2+…+a1nxn=b1 A21x1 +a22x2+…+a2nxn=b2 : :
:
:
:
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
Sistem Persamaan Linier diatas mempunyai n bilangan yang tidak diketahui dengan m jumlah persamaan.
pemecahan persamaan akan terpenuhi jika; x1=s1, x2=s2, …, xn=sn.
s1, s2, …, sn merupakan himpunan pemecahan, sehingga sistem persamaan dikatakan Konsisten dan sebaliknya.
Contoh : 4x – y + 3z = -1 3x + y + 9z = -4 mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2 dan z = -1, karena nilai - nilai ini memenuhi kedua persamaan di atas. Sebarang sistem persamaan linier akan mempunyai : Tidak ada pemecahan Persis satu pemecahan Tak terhingga banyaknya pemecahan
Sistem Persamaan Linear
Tidak Konsisten
Konsisten
Jawab Tunggal
Jawab Banyak
y
x
l1 l2
Tidak mempunyai penyelesaian
Garis l1 dan l2 sejajar, dimana tidak ada perpotongan maka tidak ada penyelesaian terhadap sistem tersebut.
y l2
x l1 Mempunyai satu penyelesaian
Garis l1 dan l2 berpotongan hanya di satu titik, maka sistem tersebut tepat mempunyai satu penyelesaian.
y l1 dan l2
x
Mempunyai tak hingga penyelesaian
Garis l1 dan l2 berimpit, dimana ada tak berhingga titik potong maka terdapat banyak penyelesaian untuk sistem tersebut.
Langkah mencari pemecahan dari suatu sistem persamaan Linier dengan Operasi Baris Elementer (OBE): 1. 2. 3. 4.
Susun dalam matriks yang diperbesar. Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tak sama dengan nol Pertukarkanlah dua baris. Tambahkanlah kelipatan dari satu baris kepada baris yang lainnya.
Point 2, 3,dan 4 merupakan Operasi Baris Elementer
Matriks yang diperbesar / diperbanyak. ( augmented matriks ) Misal, suatu sistem : x1 + 2x2 + x3 = 3 2 1 1 3x1 - x2 + 3x3 = -1 3 1 3 2x1 + 3x2 + x3 = 4 2
3
1
dapat diasosiasikan sebagai suatu jajaran bilangan - bilangan dengan orde 3 x 3 yang angka - angkanya adalah koefisien dari xi. Jajaran ini disebut sebagai matriks koefisien dari sistem yang bersangkutan.
Jika pada matriks koefisien tersebut, disisipkan suatu kolom tambahan yang berisi angka - angka diruas kanan dari sistem, maka diperoleh matriks baru yang disebut matriks yang diperbesar / diperbanyak.
1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 4
Note : Diagonal merupakan satu utama yang tidak boleh sama dengan nol, jika berharga nol maka harus tukar baris. Setelah melakukan OBE terhadap sistem persamaan
linier akan diperoleh bentuk matriks segitiga Matriks segitiga yang diperoleh berbentuk matriks segitiga atas dengan elemen dibawah diagonal utamanya nol. Kemudian kita cari pemecahan dengan substitusi balik
CONTOH : Carilah pemecahan dari sistem persamaan linier berikut : x + y +2z = 9 2x+4y- 3z = 1 3x+6y- 5z = 0
Bentuk Baris Eselon Tereduksi
Matriks yang berbentuk baris eselon tereduksi harus mempunyai sifat - sifat berikut ini : 1. 2. 3.
4.
Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angka tak nol pertama dalam baris tersebut adalah angka 1. Jika ada sebarang baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris - baris ini dikelompokkan di bagian bawah matriks. Jika sebarang dua baris yang berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, angka 1 dalam baris yang lebih bawah terletak di sebelah kanan angka 1 dalam baris yang lebih atas. Masing - masing kolom yang berisi angka 1, mempunyai nol di tempat lainnya.
Contoh matriks - matriks berikut dalam bentuk baris eselon tereduksi. 1 0 0 4 0 1 0 7 , 0 0 1 3
1 0 0 0 1 0 , 0 0 0 0 0 0 1
Suatu matriks yang mempunyai sifat 1, 2, dan 3 saja (tidak perlu 4) disebut mempunyai bentuk baris eselon. 1 0 0 0
4 3 7 1 1 0 1 4 3 7 1 6 2 , 0 1 0 , 0 1 6 2 0 1 4 0 0 0 0 0 1 5 0 0 0
Jika dengan serangkaian operasi baris dasar elementer, matriks yang diperbanyak untuk sebuah SPL dijadikan bentuk baris eselon tereduksi, maka himpunan penyelesaian sistem tersebut akan terbukti dengan beberapa langkah sederhana. Contoh :
1 0 0
0
0
1
0
0
1
5 2 4
Sistem persamaan yang berpadanan adalah : X1 = 5 X2 = 2 X3 = 4
Pemecahan Eliminasi Gauss : Merupakan penyelesaian sistem persamaan Linier yang menghasilkan matriks dalam bentuk eselon (tangga) baris Selesaikan sistem persamaan dengan membentuk eselon baris :
0 0 2 0 7 12 2 4 10 6 12 28 2 4 5 6 5 1
Langkah 1. Letakkanlah kolom yg paling kiri yang tidak terdiri seluruhnya dari nol * Tukarkan baris ke 1 dengan baris ke 2
2 0 2
4
10
6
12
0
2
0
7
4
5
6
5
28 12 1
Langkah 2. Jadikan kolom paling kiri pd baris 1 untuk memperoleh 1 utama R1½* R1
1 0 2
2
5
3
6
0 4
2 5
0 6
7 5
14 12 1
Langkah 3. Tambahkan kelipatan yg sesuai dari baris atas kepada baris-baris yang dibawah sehingga entri-entri dibawah 1 utama menjadi nol R3 -2* R1+ R3
1 0 0
2
5
3
6
0 0
2 5
0 0
7 17
14 12 29
Langkah 4. Sekarang tutuplah baris paling atas, Ulangi langkah 1, 2, dan 3 untuk baris yang tersisa.
R2-½* R2
1 0 0
2 0
5 1
3 0
6 7/2
0
5
0
17
14 6 29
R3 -5* R2+ R3
1 0 0
2
5
3
6
0 0
1 0
0 0
7/2 1/ 2
14 6 1
R32 * R3
1 0 0
2 0 0
5 1 0
3 0 0
6 7/2 1
14 6 2
Langkah selanjutnya kita dapat menyelesaikannya dengan substitusi balik maupun dengan menjadikan bentuk eselon baris yang tereduksi (entri bukan nol pertama dalam setiap baris) Proses menggunakan operasi - operasi baris elementer untuk mengubah suatu matriks menjadi bentuk eselon baris yang tereduksi disebut Eliminasi Gauss-Jordan sedangkan prosedur yang hanya menghasilkan bentuk baris eselon disebut eliminasi Gaussian.
R27/2 * R3 + R2 R1-6 * R3 + R1
1 0 0
2
5
3
0
0 0
1 0
0 0
0 1
2 1 2
R15 * R2 + R1
1 0 0
2
0
3
0
0 0
1 0
0 0
0 1
7 1 2
Kemudian kita memperoleh hasil sbb : X1+2x2+
3x4 x3
=7 =1 x5 = 2
x1= -2x2 - 3x4 + 7 = -2. r – 3. t + 7 X2 = r x4 = t x3 = 1 x5 = 2 Sistem tersebut konsisten dengan tak berhingga banyaknya pemecahan.
Prosedur untuk mereduksi suatu matriks menjadi bentuk baris eselon tereduksi disebut eliminasi Gauss- Jordan, sedangkan prosedur yang hanya menghasilkan bentuk baris eselon disebut eliminasi Gaussian.
Sistem Linear Homogen
Suatu sistem persamaan linear dikatakan homogen jika konstantanya semua nol, yaitu jika sistem tersebut mempunyai bentuk :
a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn = 0 : :
:
:
:
am1x1+ am2x2 +…+ amnxn = 0
Sebuah sistem persamaan linear homogen dengan
jumlah peubah yang lebih banyak daripada jumlah persamaan mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian. Setiap sistem persamaan linear homogen mempunyai sifat konsisten, karena semua sistem seperti itu mempunyai x = 0, y = 0 dan z = 0,…, zn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut penyelesaian trivial, jika ada penyelesaian yang lain maka penyelesaiannya disebut penyelesaian tak trivial.
1. 2.
Karena sistem linear homogen selalu mempunyai penyelesaian trivial, maka hanya ada dua kemungkinan untuk penyelesaiannya : Sistem tersebut hanya mempunyai penyelesaian trivial. Sistem tersebut mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian di samping penyelesaian trivial.
Aturan Cramer Untuk mencari solusi dari SPL tertentu (matriks nxn) Teorema :Jika Ax=b merupakan suatu sistem n
persamaan linier dalam n peubah sedemikian sehingga (A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian yang unik. Penyelesaian ini adalah
det( A1 ) det( A2 ) det( A ) n … xn x1 x2 det( A) det( A) det( A) Dengan Aj adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan anggota kolom ke j dari A dengan anggota matriks b
b1 b 2 b : bn
CONTOH: • TENTUKAN PENYELESAIAN DARI SPL BERIKUT DENGAN MENGGUNAKAN ATURAN CRAMER X1 + 2X3 = 6 -3X1 + 4X2 + 6X3 = 30 -X1 – 2X2 + 3 X3 = 8
Carilah Solusi dari SPL berikut (gunakan aturan Cramer)!! x- 4y+ z 4x- y+2z 2x+2y -3z
=6 =-1 =-20
