BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Program stokastik mempunyai peranan penting dalam bidang matematika, dimana permasalahn tersebut dapat berupa ketidakpastian penyelesaian pada suatu distribusi atau bahkan peranan dari suatu distribusi yang lebih luas. Berdasarkan dari hasil dan ketidakpastian penyelesaian dalam suatu masalah distribusi, berbagai solusi penaksiran yang telah di kemukakan akan diurut dari nilai kemungkinan terkecil kenilai kemungkinan yang sebenarnya. Bagaimanapun, sifat dari program stokastik akan menjadi cukup sulittergantung pada berbagai pilihan pada distribusi-distribusi yang melibatkan variabel acak. Terutama untuk beberapa kelas pada permasalahan estimasi dimana terdapat satu tujuan untuk menetapkan suatu harga dari suatu penaksiran dimana hasil penaksiran tersebut berbeda-beda, Ronald at al(1990). Meskipun penaksiran tesebut mempunyai kemungkinan untuk mengestimasi parameter-parameter pada distribusi yang telah diketahui, distribusi-distribusi yang telah dipilih tersebut sering menjadi hambatan, dan mungkin akan berpengaruh lebih besar dengan adanya pengelompokan asumsi-asumsi dan akan lebih mudah untuk menghitungnya dibandingkan dengan kebenaran yang ada pada permasalahan. Teknik nonparametrik merupakan pembahasan penting dalam bidang statistik, dimana teknik tersebut dapat digunakan dalam menyelesaikan suatu ketidakpastian yang mendasari sebuah distribusi yang cukup sulit dengan melakukan penaksiran fungsi distribusi kumulatif dan densitas probabilitasnya.
1 Universitas Sumatera Utara
2 Satu dari cara yang digunakan adalah distribusi empiris, yang termasuk kedalam program stokastik, dimana sebuah penaksiran pada fungsi distribusi kumulatif dibentuk dari realisasi observasi untuk variabel acak, hanya jika nilai kebenaran dari distribusi tersebut tidak diketahui, Divroye(1986). Untuk program stokastik standar dimana variabel acak dispesifikasikan dengan standar distribusi parametrik, ini juga diasumsikan pada permasalahan ini bahwa distrubusi dasar yang meliputi variabel acak yang dapat diestimasi selama tahap permulaan, terutama pada optimisasi. Asumsi ini muncul dan dapat digunakan berbagai aplikasi. Ditunjuk bentuk umum program stokastik (SP)
min(E[f (x, ξ)]) x∈X
dimana X adalah himpunan yang terdapat di Rn , ξ adalah sebuah variabel acak pada besar m yang didefinisikan sebagai ruang probabilitas Ξ, F, P ), dan g adalah sebuah fungsi dari R ke R. Untuk lebih sederhananya, bahwa X adalah diditerministik. Adapun bentuk model nonparametrik Black-Holes, misalnya untuk penyelesaian persamaan diperensial stokastik adalah
ds (t) = µs(t)dt + σs(t)dw(t) dimana w(t) adalah proses Wiener, µ sebagai suatu parameter yang tidak diketahui σ diinterprestasikan sebagai nilai pengembalian yang diharapkan per unit waktu.
Universitas Sumatera Utara
3 Terdapat tiga penyelesaian untuk program stokastik tak linier nonparametrik. Salah satunya adalah dengan melakukan penaksiran nonparametrik, Ronald at al (1990) misalkan, jika terdapat m komponen pada ξ secara terpisah, pada suatu harga asumsi kebebasan diantaranya. Sebagai akibatnya, dan hanya dapat menjelaskan dari variabel acak tak bervariasi yang dianggap lebih sederhana dibandingkan dengan kasus dengan variabel acak bervariasi. Jika X adalah suatu variabel acak tak bervariasi yang diketahui, suatu teknik mudah digunakan untuk menghasilan penjelasan dari distribusi itu sendiri yang mengandung sampel suatu distribusi serupa di [0, 1], yang kemudian didefenisikan dengan U [0.1], dan kemudian diaplikasikan kefungsi distribusi kumulatif Fx−1, sehingga Sx = {Fx−1(U ), U ∼ U [0, 1]}, dimana Sx adalah gambaran himpunan sampel dari variabel acak X. Ini juga diasumsikan bahwa terdapat F − 1x , jika distribusi X diketahui. Metode ini dikenal sebagai teknik pengembalian atau dikembalikan kepada variabel acak, Defroye(1986). Yang kedua adalah metode trust-region, conn at al (2000) untuk estimasi efisien juga merupakan salah satu cara yang dapat digunakan untuk penyelesaian program stokastik. Jika terdapat satu koefisien nonparametrik, ζ mendefenisikan v variabel yang dibutuhkan. Maka ζ selanjutnya disebut order-simplex. Dan ke tiga merupakan metode numerik yang juga dapat diaplikasikan dalam penyelesaian program stokastik.
1.2 Perumusan Masalah Mengembangkan metode penyelesaian yang dipergunakan untuk penyelesaian program tak linier untuk dapat dipakai dalam menyelesaikan program stokastik tak linier nonparametrik.
Universitas Sumatera Utara
4 1.3 Tujuan Penelitian Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah menentukan dan memaparkan berbagai strategi penyelesaian atau pendekatan-pendekatan yang dapat digunakan dalam program stokastik tak linier nonparametrik. Sehingga dalam suatu permasalahan distribusi yang tidak diketahui kepastiannya, dapat diselesaikan dengan ketiga cara yang telah disebutkan sebelumnya, yaitu penaksiran nonparametrik, metode trust-region untuk estimasi efisien dan metode numerik.
1.4 Manfaat Penelitian Dengan adanya strategi penyelesaian pada program stokastik tak linier nonparametrik diharapkan dapat memberi manfaat untuk menyelesaikan suatu distribusi yang tidak diketahui kepastian penyelesaiannya sehingga diperoleh suatu nilai dari permasalahan distribusi tersebut.
1.5 Metodologi Penelitian Dalam penelitian ini akan dibahas tentang:
1. Program stokastik tak linier nonparametrik 2. Penjelasan tingkat ketiga strategi penyelesaian stokastik tak linier 3. Penaksiran non parametrik 4. Metode trust-region untuk estimasi efisien 5. Metode numerik untuk program stokastik
Universitas Sumatera Utara
5 6. Contoh aplikasi metode penyelesaian program stokastik tak linier nonparametrik
Universitas Sumatera Utara
